12 第四章 微专题1 构造法求数列的通项公式-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步课件(人教A版2019)

第四章　数列 微专题1　构造法求数列的通项公式 类型1　an＋1＝pan＋q型 【例1】　已知数列{an}满足2an＋1＝an＋1(n∈N*)且a1＝3，则a8＝________． 　[由2an＋1＝an＋1，得2(an＋1－1)＝an－1，故数列{an－1}是首项为2，公比为的等比数列，故an－1＝2×，故an＝＋1，故a8＝＋1＝． 微专题1　构造法求数列的通项公式 [母题探究]　若将本例中的条件“2an＋1＝an＋1”改为“2an＋1＝an＋”，其他条件不变，求数列{an}的通项公式． [解]　由2an＋1＝an＋，得2n+1an＋1＝2nan＋1，所以2n+1an＋1－2nan＝1，故数列{2nan}是以21a1＝6为首项，1为公差的等差数列，所以2nan＝6＋(n－1)×1＝n＋5，所以an＝． 类型1 类型2 类型3 微专题1　构造法求数列的通项公式 反思领悟　形如an＋1＝pan＋q型(p≠0，a1＝a)的数列{an}的通项公式的求法 (1)若p＝1，则数列{an}为等差数列． (2)若q＝0，则数列{an}为等比数列． (3)若p≠1且q≠0，则数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求． 方法如下：设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，得an＋1＝pan＋(p－1)λ， 与题设an＋1＝pan＋q比较系数得λ＝(p≠1)， 所以an＋＝p(n≥2)， 即构成以a1＋为首项，p为公比的等比数列． 类型1 类型2 类型3 微专题1　构造法求数列的通项公式 [学以致用]　1．在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，求数列{an}的通项公式． [解]　由an＋1＝3an－4，可得an＋1－2＝3(an－2)，所以＝3． 又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以an－2＝3n，所以an＝3n＋2． 类型1 类型2 类型3 微专题1　构造法求数列的通项公式 类型2　an＋1＝pan＋qn型 【例2】　在数列{an}中，a1＝，且an＋1＝－2an＋3n+1，则{an}的通项公式an＝____________________________． －×(－2)n-1＋×3n+1 微专题1　构造法求数列的通项公式 －×(－2)n-1＋×3n+1　[由an＋1＝－2an＋3n+1，得＝－·＋1．令bn＝，则bn＋1＝－bn＋1． 显然有bn＋1－＝－，b1－＝－，故是以－为首项，－为公比的等比数列．因此bn－＝－，可得an＝－×(－2)n-1＋×3n+1．] 反思领悟　形如an＋1＝pan＋qn型(p≠0，1，q≠0)的数列{an}的通项公式的求解方法是等式两边同时除以qn+1，即得＝·．当p＝q时，数列为等差数列；当p≠q时，原式可以变形为＋λ＝的形式，则数列为等比数列，进而写出{an}的通项公式． 类型1 类型2 类型3 微专题1　构造法求数列的通项公式 [学以致用]　2．在数列{an}中，a1＝－1，an＋1＝2an＋4×3n-1，求数列{an}的通项公式． [解]　将an＋1＝2an＋4×3n-1的两边同除以3n+1，得＝·， 令bn＝，则bn＋1＝bn＋． bn＋1－＝，b1－＝－， ∴是以－为首项，为公比的等比数列． ∴bn－＝，则bn＝，∴an＝3n×bn＝4×3n-1－5×2n-1． 类型1 类型2 类型3 微专题1　构造法求数列的通项公式 类型3　 【例3】　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{anan＋1}的前10项和S10＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． an＋1＝型 √ 微专题1　构造法求数列的通项公式 C　[因为an＋1＝(n∈N*)，所以＝＝＋3，即＝3，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝，所以anan＋1＝＝，所以S10＝＝＝．故选C．] 反思领悟　形如an＋1＝型(p，q，r为常数，p＞0，q，r，an≠0)的数列{an}的通项公式的求法 等式两边同时取倒数，变形构造出线性递推式＝A＋B(A，B是常数)，进而求解． 类型1 类型2 类型3 微专题1　构造法求数列的通项公式 [学以致用]　3．若数列{an}满足an＝(n≥2，n∈N*)，且a1＝，则an＝(　　) A．　　 B． C．　　 D． √ 类型1 类型2 类型3 微专题1　构造法求数列的通项公式 A　[当n≥2且n∈N*时，等式an＝两边取倒数得＝＝＋2，∴＝2，且＝2，∴数列是首项为2，公差为2的等差数列， 因此，＝2＋2(n－1)＝2n，∴an＝．故选A．] 题号 一、选择题 1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝4an－6，则a2 025＝(　　) A．－42 025＋2　　 B．－42 025－2 C．－42 024＋2　　 D．－42 024－2 微专题强化练(一)　构造法求数列的通项公式 1 3 5 2 4 6 8 7 9 √ 微专题1　构造法求数列的通项公式 15 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 C　[由an＋1＝4an－6，可得an＋1－2＝4(an－2)，而a1－2＝－1，因此数列{an－2}是首项为－1，公比为4的等比数列，则an－2＝－1×4n-1，即an＝－4n-1＋2，所以a2 025＝－42 024＋2．故选C．] 16 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 2．数列{an}满足an＋1＝2an＋3，n∈N*，若a2 025≥a1，则a1的取值范围为(　　) A．(－∞，－3]　　 B．(－∞，－3) C．(－3，＋∞)　　 D．[－3，＋∞) √ 类型1 类型2 类型3 微专题1　构造法求数列的通项公式 17 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 D　[由an＋1＝2an＋3可得an＋1＋3＝2(an＋3)， 当a1≠－3时，＝2， 所以数列{an＋3}是首项为a1＋3， 公比为2的等比数列， 所以an＋3＝(a1＋3)×2n-1，所以an＝(a1＋3)×2n-1－3， 所以a2 025＝(a1＋3)×22 024－3≥a1， 所以(a1＋3)×22 024≥a1＋3，所以a1＋3≥0，所以a1＞－3，又当a1＝－3时，an＝－3，满足题意，所以a1≥－3．] 18 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 1 3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＝log2，则数列{bn}的通项公式bn等于(　　) A．n　　B．n－1　　C．n　　D．2n √ 类型1 类型2 类型3 微专题1　构造法求数列的通项公式 19 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 1 C　[由an＋1＝，得＝1＋， 所以＋1＝2， 又＋1＝2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以＋1＝2×2n-1＝2n， 所以bn＝log2＝log22n＝n．故选C．] 20 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 1 4．已知在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，则数列{an}的通项公式an等于(　　) A．　　 B． C．　　 D． √ 类型1 类型2 类型3 微专题1　构造法求数列的通项公式 21 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 1 A　[因为a1＝，an＋1＝an＋，所以2n+1an＋1＝×2nan＋1，整理得2n+1an＋1－3＝(2nan－3)，所以数列{2nan－3}是以2a1－3＝－为首项，为公比的等比数列，所以2nan－3＝－，解得an＝．故选A．] 22 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 1 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＋1＝4an＋2，则a12等于(　　) A．20 480　　 B．49 152 C．60 152　　 D．89 150 √ 类型1 类型2 类型3 微专题1　构造法求数列的通项公式 23 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 1 B　[由题意得S2＝4a1＋2，所以a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝8，故a2－2a1＝4，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，所以an＋2－2an＋1＝2(an＋1 －2an)，因此数列{an＋1－2an}是以a2－2a1＝4为首项，2为公比的等比数列，即an＋1－2an＝4×2n-1＝2n+1，所以＝1，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝n·2n，所以a12＝12×212＝49 152．故选B．] 24 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 1 二、填空题 6．已知数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn＝3an－2n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为_____________． an＝3n－1　[令n＝1，得2a1＝3a1－2，解得a1＝2； 当n≥2时，由2Sn＝3an－2n(n∈N*)，得2Sn－1＝3an－1－2(n－1)， 两式相减得2an＝3an－3an－1－2， 即an＝3an－1＋2，整理得＝3， 所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝3，公比为3的等比数列， 所以an＋1＝3n，所以an＝3n－1．] an＝3n－1 类型1 类型2 类型3 微专题1　构造法求数列的通项公式 25 题号 2 4 5 3 7 6 8 9 1 7．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2n，则数列{an}的通项公式为____________． an＝3n－2n　[∵an＋1＝3an＋2n，两边同时除以2n+1，得＝·，令bn＝，则bn＋1＝bn＋，∴bn＋1＋1＝(bn＋1)，b1＋1＝＋1＝，则数列{bn＋1}是首项为，公比为的等比数列． ∴bn＋1＝，即＋1＝，则an＝3n－2n．] an＝3n－2n 类型1 类型2 类型3 微专题1　构造法求数列的通项公式 26 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 1 8．在正项数列{an}中，a1＝1，a2＝10，＝(n＝3，4，5，…)，则{an}的通项公式为__________________． an＝ 类型1 类型2 类型3 微专题1　构造法求数列的通项公式 27 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 1 an＝　[对＝两边同时取常用对数可得lg an－lg an－1＝ (lg an－1－lg an－2)．令bn＝lg an＋1－lg an，则b1＝lg a2－lg a1＝1，bn－1＝bn－2(n＝3，4，5，…)，所以bn＝(n＝1，2，3，…)，所以lg an＋1－lg an＝，故＝． 由累乘法可得当n≥2时，＝10×××…× =，所以an＝，又a1＝1也符合此式，所以an＝．] 28 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 1 三、解答题 9．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*)． (1)求a2，a3的值； (2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式． [解]　(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5， a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9． 类型1 类型2 类型3 微专题1　构造法求数列的通项公式 29 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 1 (2)证明：∵an＋1＝3an－4n＋2， 即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)． 由(1)知a1－2＝－2＝， ∴an－2n≠0，n∈N*． ∴＝3， ∴数列{an－2n}是首项为，公比为3的等比数列． ∴an－2n＝×3n-1＝3n-2， ∴an＝3n-2＋2n． 30 $$