09 第四章 4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步课件(人教A版2019)

第四章　数列 4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第2课时　等比数列的性质及应用 整体感知 [学习目标]　1．能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质，理解等比数列与项有关的性质．(数学运算) 2．能灵活运用等比数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(数学运算、逻辑推理) 第2课时　等比数列的性质及应用 (教师用书) 首先，我们先来看下面两道小题： (1)若{an}为等比数列，a3＝2，a7＝8，则a4a6＝________． (2)若{an}为等比数列，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝8，则a7＋a8＋a9＝________． 大家试着做一做，你会发现我们可以用基本量a1，q完成计算，但计算过程比较麻烦，等比数列“继承”了指数函数的特点，计算量大，如果我们掌握一定的技巧，会不会更容易解决问题呢？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 [讨论交流]　 问题1．等比数列有哪些性质？ 问题2．解决等比数列实际应用问题的关键是什么？ [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 探究建构 探究1　等比数列的性质 探究问题1　类比等差数列中am＋an＝ak＋al(m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*)能否发现等比数列中相似的性质？ [提示]　类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*． 推导过程：am＝a1qm-1，an＝a1qn-1，ak＝a1qk-1，al＝a1ql-1． 所以am·an＝qm＋n-2，akal＝qk＋l-2， 因为m＋n＝k＋l，所以aman＝akal． 第2课时　等比数列的性质及应用 [新知生成] 1．推广的等比数列的通项公式 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1，an＝am·qn－m (m，n∈N*)． 2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝__________． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝． (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的__，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…． ap·aq 积 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 3．由等比数列构造(衍生)新数列 (1)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列． (2)若{an}是等比数列，公比为q，则数列都是等比数列，且公比分别是． (3)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为___和． pq 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 【教用·微提醒】　(1)下标和相等且左右两侧项数相同时，性质2可以推广，如：m＋n＋p＝x＋y＋z，则amanap＝axayaz． (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)下标等差时所取项构成等比数列，如{a2n}，{a2n－1}，{a3n－2}，…． (4)在等比数列{an}中，依次每k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 [典例讲评]　1．(1)在等比数列{an}中，a5＝8，a7＝2，an＞0，则an＝________． (2)在正项等比数列{an}中，a4a8a12＝8，则log2a2＋log2a14＝________． (3)若{an}，{bn}都是等比数列，满足a1b1＝3，a5b5＝6，则a9b9＝________． [思路引导]　利用等比数列的性质，整体代换求解． 2 12 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 (1)　(2)2　(3)12　[(1)由a7＝a5·q2得q2＝．因为an＞0，所以q＝． 所以an＝a5·qn-5＝8×＝． (2)在正项等比数列{an}中，因为a4a8a12＝8， 所以a4a8a12＝＝8， 所以a8＝2，log2a2＋log2a14＝log2(a2a14)＝＝log24＝2． (3)易知{anbn}为等比数列， 则有(a5b5)2＝(a1b1)·(a9b9)， 即62＝3(a9b9)，∴a9b9＝12．] 【教用·备选题】　已知{an}为等比数列． (1)若{an}满足a2a4＝，求a5； (2)若an＞0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8； (3)若an＞0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． [解]　(1)在等比数列{an}中，∵a2a4＝， ＝a1a5＝a2a4＝，a5＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 (2)由等比数列的性质，化简条件得 ＝49， 即(a6＋a8)2＝49， ∵an＞0， ∴a6＋a8＝7． (3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)·(a5a6)]＝log395＝10． 反思领悟　应用等比数列性质的解题策略 (1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题． (2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系，充分利用以下公式进行求解：①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq．②若m＋n＝2t(m，n，t∈N*)，则aman＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 [学以致用]　1．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝________． 2　[设等比数列{an}的公比为q， 则由题意T13＝4T9， 可得a1a2…a13＝4a1a2…a9，所以a10a11a12a13＝4． 由等比数列的性质可得a8a15＝a10a13＝a11a12， 所以a8·a15＝±2． 又因为{an}是递减等比数列，所以q＞0，所以a8·a15＝2．] 2 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 【链接·教材例题】 例3　数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列． 分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解． 探究2　灵活设元解决等比数列问题 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 [解]　设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，80，80＋d，80＋2d．于是得 解方程组，得或 所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，－48． [典例讲评]　2．有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一个数与第四个数之和为16，第二个数与第三个数之和为12，求这四个数． [解]　法一：设前三个数依次为a－d，a，a＋d，则第四个数为， 由题意，得 解得或 所以这四个数依次为0，4，8，16或15，9，3，1． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 法二：设后三个数依次为，a，aq， 则第一个数为－a． 由题意，得 解得或 所以这四个数依次为0，4，8，16或15，9，3，1． 反思领悟　巧设等比数列的方法 (1)三个数成等比数列设为，a，aq． 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，a，aq，aq2，…． (2)四个符号相同的数成等比数列设为，aq，aq3． 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，，aq，aq3，aq5，…． (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 [学以致用]　2．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________． 45　[设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列． 即 整理得 解得a＝3，q＝2． 因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45．] 45 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 【链接·教材例题】 例4　用10 000元购买某个理财产品一年． (1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息(精确到0.01元)? (2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于(1)中按月结算的利息(精确到10-5)? 分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a(1＋r)，a(1＋r)2，…构成等比数列． 探究3　等比数列的实际应用 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 [解]　(1)设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列{an}，则{an}是等比数列，首项a1＝104(1＋0.400%)，公比q＝1＋0.400%，所以 a12＝104(1＋0.400%)12≈10 490.702． 所以，12个月后的利息为10 490.702－104≈490.70(元)． (2)设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列{bn}，则{bn}也是一个等比数列，首项b1＝104(1＋r)，公比为1＋r，于是 b4＝104(1＋r)4． 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 [104(1＋r)4－104]元． 解不等式104(1＋r)4－104≥490.70，得 r≥1.205%． 所以，当季度利率不小于1.205%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息． [典例讲评]　3．某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值； (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？(精确到0.1) 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 [解]　(1)从第一年起，每辆车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5×(1－10%)，a3＝13.5×(1－10%)2，…． 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a1·qn-1＝13.5×0.9n-1． ∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n(万元)． (2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元． 反思领悟　等比数列实际应用问题的关键是建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题，最后注意数学问题再转化为实际问题作答． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 [学以致用]　3．某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过________年其投入资金开始超过7 000万元． (参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845) 12 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 12　[设该公司经过n年投入的资金为an万元，则a1＝2 000×1.12， 由题意可知，数列{an}是以2 000×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列，所以an＝2 000×1.12n， 由an＝2 000×1.12n＞7 000， 可得n＞log1.12＝≈11.1， 因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7 000万元．] 1．在等比数列{an}中，a6＝，公比q＝，则a10＝(　　) A．6　　B．3　　C．12　　D．8 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ A　[在等比数列{an}中，a6＝，公比q＝，则a10＝a6q4＝×()4＝6．故选A．] 第2课时　等比数列的性质及应用 2 3 题号 1 4 2．设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　) A．12　　B．24　　C．30　　D．32 √ D　[法一：设等比数列{an}的公比为q，所以＝＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝×(25＋26＋27)＝×25×(1＋2＋22)＝32，故选D． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 2 3 题号 1 4 法二：令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)，则bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3．设数列{an}的公比为q，则＝＝＝q，所以数列{bn}为等比数列，由题意知b1＝1，b2＝2，所以等比数列{bn}的公比q＝2，所以bn＝2n-1，所以b6＝a6＋a7＋a8＝25＝32．故选D．] 2 3 题号 4 1 3．在等比数列{an}中，a5，a13是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，则＝(　　) A．　　B．－　　C．±　　D．2 B　[因为a5，a13是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，所以有a5＋a13＝－6＜0，a5a13＝2＞0，因此a5＜0，a13＜0，由等比数列的性质可知，a9＜0，而＝a5a13＝2⇒a9＝－，所以＝＝a9＝－．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 2 4 3 题号 1 4．某工厂去年产值为a，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第________年这个工厂的产值将超过2a． 8　[由题意知每年的产值构成以1.1a为首项，1.1为公比的等比数列，则an＝a·1.1n． 所以a·1.1n＞2a．因为1.17＜2，1.18＞2，所以n＝8．] 8 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 1．知识链：(1)等比数列中项与项之间的关系及应用． (2)由等比数列构造新的等比数列． (3)等比数列中项的设法． (4)等比数列的实际应用． 2．方法链：整体代换的思想、构造法、转化法、公式法． 3．警示牌：(1)在应用题中，容易忽视数列的项数． (2)构造新的等比数列易忽视有等于0的项． (3)四个数成等比数列时设成，aq，aq3未考虑四个数符号不同的情况． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．在等比数列{an}中，如何巧设数列中的项？ [提示]　三个数成等比数列时，可设三数为，a，aq；四个符号相同的数成等比数列时可设为，aq，aq3． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 2．在等比数列中，常用到的性质有哪些？ [提示]　要注意：①认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型；②合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素；③针对所求结果作出合理解释． [提示]　①若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq； ②若m＋n＝2p，则aman＝． 3．解决等比数列的实际应用问题有哪些注意事项？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 课时分层作业(八)　等比数列的性质及应用 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 C　[∵lg (a3a8a13)＝＝6，∴＝106，∴a8＝102＝100， ∴a1a15＝＝10 000．] 一、选择题 1．已知在各项均为正数的等比数列{an}中，lg (a3a8a13)＝6，则a1a15的值为(　　) A．100　　B．－100　　C．10 000　　D．－10 000 第2课时　等比数列的性质及应用 38 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．在正项等比数列{an}中，a1a13＝36，则a5＋4a9的最小值是(　　) A．12　　B．18　　C．24　　D．36 √ 14 15 C　[在正项等比数列{an}中，a5a9＝a1a13＝36，所以a5＋4a9≥2＝24， 当且仅当a5＝4a9，即a5＝12，a9＝3时，等号成立，即a5＋4a9的最小值是24． 故选C．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 39 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 3．已知等比数列{an}的各项均为正数，若a2＝1，a8＝2a6＋3a4，则a9＝(　　) A．18　　B．36　　C．27　　D．27 √ 14 15 D　[设{an}的公比为q，则a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2． 因为a8＝2a6＋3a4，所以q6＝2q4＋3q2，因为q≠0， 所以q4－2q2－3＝(q2＋1)(q2－3)＝0，所以q2＝3．因为{an}的各项均为正数， 所以q＝，因为a2＝1，所以a9＝a2q7＝27．故选D．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 40 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 4．已知等比数列{an}为递减数列，若a2a6＝6，a3＋a5＝5，则＝(　　) A．　　B．　　C．　　D．6 √ 14 15 A　[由{an}为等比数列，得a2a6＝a3a5＝6，又a3＋a5＝5， ∴a3，a5为方程x2－5x＋6＝0的两个根，解得a3＝2，a5＝3或a3＝3，a5＝2， 由{an}为递减数列得an＞an＋1，∴a3＝3，a5＝2， ∴q2＝＝，则＝＝．故选A．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 41 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 5．(多选)已知等比数列{an}各项均为正数，满足a2·a16＝16，＝，记等比数列{an}的前n项的积为Tn，则当Tn取得最大值时，n＝(　　) A．8　　B．9　　C．10　　D．11 √ 14 15 CD　[因为a2·a16＝16，由等比数列的性质可得， ＝a2·a16＝16， 因为an＞0，所以a9＝4，因为＝，即＝， 所以q＝，所以a10＝a9q＝4×＝2，a11＝a10q＝1， √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 42 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 14 15 因为0＜q＝＜1，an＞0， 所以等比数列{an}为递减数列， 当n≥12时，0＜an＜1， 所以当n＝10或n＝11时，Tn取得最大值．] 43 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 二、填空题 6．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3－a4＝16，a5－a6＝4，则使得an＜1成立的n的最小值为________． 14 15 9　[由得＝q2＝， 所以q＝或q＝－(舍去)， 由a3(1－q)＝16，得a3＝32，所以an＝a3qn-3＝28-n， 由28-n＜1，得8－n＜0，所以n＞8，即n的最小值为9．] 9 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 44 题号 2 4 5 3 7 6 8 9 10 11 12 13 1 7．在等比数列{an}中，公比q＝2，且＝，则a9＋a10＋a11＋a12＝________． 14 15 12　[根据题意，＝，＝， 则＝＝， 则有＝，则有＝， 变形可得a9＋a10＋a11＋a12＝12．] 12 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 45 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 10 11 12 13 1 8．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________． 14 15 28　[依题意，设原来的三个数依次为，a，aq． 因为·a·aq＝512，所以a＝8． 28 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 46 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 10 11 12 13 1 又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，所以＋(aq－2)＝2a， 所以2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝， 所以原来的三个数为4，8，16或16，8，4． 因为4＋8＋16＝16＋8＋4＝28， 所以原来的三个数的和等于28．] 14 15 47 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 三、解答题 9．某公司的销售额下跌严重，从2023年的7月销售收入128万元，到9月跌至32万元．你能求出该公司7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时候每月销售收入跌至8万元？ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 48 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 [解]　设平均每月下降的百分比为x，则每月的销售收入构成了等比数列{an}，a1＝128，则a2＝a1(1－x)， a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32，解得x＝50%． 设an＝8，an＝128(1－50%)n-1＝8，解得n＝5， 所以从2023年的7月算起第5个月，即2023年的11月该公司的销售收入跌至8万元． 14 15 49 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 10．(多选)已知等比数列{an}的公比q<0，等差数列{bn}的首项b1＞0，若a9＞b9，且a10＞b10，则下列结论一定正确的是(　　) A．a9a10＜0　　 B．a9＞a10 C．b10＞0　　 D．b9＞b10 √ 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 50 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 AD　[对于选项A，因为q<0， 所以a9a10＝a9·a9q＝q＜0，故A正确； 对于选项B，因为a9a10＜0， 所以或 即a9＞a10或a9＜a10，故B错误； 对于选项C，D，因为a9，a10异号，a9＞b9，且a10＞b10，所以b9，b10中至少有一个负数， 又因为b1＞0，所以d＜0，b9＞b10，故C错误，D正确．故选AD．] 14 15 51 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 11．已知等比数列{an}的首项为1，则“a2 021＜a2 024”是“a2 023＜ a2 025”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 52 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 A　[因为等比数列{an}的首项为1，所以数列的奇数项一定为正， 若a2 021＜a2 024，则＝q3＞1，即q＞1，此时＝q2＞1， 故a2 023＜a2 025，即充分性成立；若a2 023＜a2 025，则＝q2＞1， 所以q＞1或q＜－1，此时＝q3＞1或＝q3＜－1， 所以a2 021＜a2 024不一定成立，即必要性不成立．故选A．] 14 15 53 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 12．(多选)在正项等比数列{an}中，公比为q，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＋1an＋2an＋3＝324，则下列说法正确的是(　　) A．q2＝ B．＝4 C．a4a6＝2　　 D．n＝12 √ 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 54 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 BD　[已知正项等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则an＝a1qn-1． 由a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，得＝＝12，B正确；而a5＝a2q3，于是(a2q3)3＝12，即q9＝3，A错误；而a5＝，C错误；由an＋1an＋2an＋3＝324得＝324，即(a2qn)3＝324，因为＝4，所以q3n＝81＝34＝(q9)4＝q36，所以3n＝36，解得n＝12，D正确．故选BD．] 14 15 55 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 13．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25，则a1a13的最大值是________． 14 15 　[∵{an}是等比数列，且a1a11＋2a6a8＋a3a13＝＝(a6＋a8)2＝25． 又∵an＞0，∴a6＋a8＝5， ∴a1a13＝a6a8≤＝，当且仅当a6＝a8＝时取等号．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 56 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14．某厂生产电脑，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台．问：该厂第一季度实际生产电脑多少台？ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 57 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 [解]　根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x－d，x，x＋d(d＞0)，则实际上3个月生产电脑台数分别为x－d，x＋10，x＋d＋25， 由题意得解得 故共有(x－d)＋(x＋10)＋(x＋d＋25)＝3x＋35＝3×90＋35＝305(台)， 即该厂第一季度实际生产电脑305台． 14 15 58 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 15．已知函数f (x)＝，数列{an}是正项等比数列，且a10＝1，则 f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a18)＋f (a19)＝________． 14 15 　[函数f (x)＝， 当x＞0时，f (x)＋f ＝＝＝1， 因为数列{an}是正项等比数列，且a10＝1， 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　等比数列的性质及应用 59 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 则a1a19＝a2a18＝a3a17＝…＝＝1，f (a1)＋f (a19)＝f (a1)＋f ＝1，同理f (a2)＋f (a18)＝f (a3)＋f (a17)＝…＝f (a10)＋f (a10)＝1， 令S＝f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a18)＋f (a19)， 又S＝f (a19)＋f (a18)＋f (a17)＋…＋f (a2)＋f (a1)， 则有2S＝19，S＝，所以f (a1)＋f (a2)＋f (a3)＋…＋f (a18)＋f (a19)＝．] 14 15 60 $$