08 第四章 4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步课件(人教A版2019)

第四章　数列 4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及通项公式 整体感知 [学习目标]　1．借助教材实例理解等比数列、等比中项的概念．(数学抽象) 2．会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式解决相关的问题．(数学运算) 3．体会等比数列与指数函数的关系．(数学抽象) 4．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学运算、数学建模) 第1课时　等比数列的概念及通项公式 (教师用书) 有位印度教宰相向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏，国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，作为对宰相忠心的奖赏，他便问那位宰相，他想要得到什么赏赐．宰相开口说道：“请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦粒，第二个格子上放2粒麦粒，第三个格子上放4粒麦粒，第四个格子上放8粒麦粒……即每一个格子中放的麦粒数目都必须是前一个格子中麦粒数目的两倍，直到最后第64格放满为止，这样我就十分满足了．”“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个请求．显然64格的麦粒数可以组成一个数列：1，2，22，23，24，…，263，这就是我们今天要探讨的等比数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [讨论交流]　 问题1．等比数列的定义是什么？ 问题2．等比中项的定义是什么？ 问题3．等比数列的通项公式是什么？ 问题4．如何推导等比数列的通项公式？ 问题5．如何判定等比数列？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 探究建构 探究1　等比数列的概念 探究问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． (1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？” 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98； 第1课时　等比数列的概念及通项公式 (2)《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话中隐藏着一列数：，…； (3)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：－，－，…． 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [提示]　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．对于(1)我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于(2) ＝，…；对于(3)＝－，…也有相同的取值规律(从第2项开始，后一项与它的前一项的比都等于同一个常数)． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [新知生成] 等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的比都等于__________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的____，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号语言 ＝__(q为常数，q≠0，n∈N*) 2 同一个常数 公比 q 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 【教用·微提醒】　等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不能为零． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [典例讲评]　1．(源自北师大版教材)以下数列中，哪些是等比数列？ (1)1，－，－； (2)1，1，1，…，1； (3)1，2，4，8，12，16，20； (4)a，a2，a3，…，an． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [解]　(1)是等比数列，公比q＝－． (2)是公比q＝1的等比数列． (3)因为≠，所以该数列不是等比数列． (4)当a≠0时，它是公比q＝a的等比数列；当a＝0时，它不是等比数列． 反思领悟　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [学以致用]　1．(多选)下面四个数列中是等比数列的有(　　) A．1，1，2，4，8，16，32，64 B．在数列{an}中，已知＝2，＝2 C．数列{an}的通项公式为an＝3×2n D．在数列{an}中，＝q，其中n∈N* √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 CD　[A中，＝1≠＝2，不符合定义中“同一个常数”，故不是等比数列． B中，不一定是等比数列，当数列{an}的项数超过3时，后面的项的比值情况不知，不一定符合定义中“每一项”． C中，因为当n≥2时，＝＝2(常数)，所以数列{an}为等比数列，且公比q＝2． D中，在数列{an}中，对任意n∈N*，有＝q恒成立，那么{an}是等比数列．] 探究2　等比中项 探究问题2　任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个数都有等比中项吗？ [提示]　不一定，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数无等比中项． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [新知生成] 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的________，此时，G2＝__． 等比中项 ab 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 【教用·微提醒】　(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列，如G＝a＝b＝0；(2)只有同号的两个实数才有等比中项；(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数，即G＝±． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [典例讲评]　2．在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为(　　) A．　　B．　　C．　　D．10 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 B　[不妨设插入的两个正数为a，b，即3，a，b，9， 因为3，a，b成等比数列，则a2＝3b， a，b，9成等差数列，则a＋9＝2b， 即解得或(舍去)．则a＋b＝．] 反思领悟　(1)由等比中项的定义可知＝⇒G2＝ab⇒G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个；异号时，没有等比中项； (2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [学以致用]　2．－1与＋1的等比中项是(　　) A．　　　B．－　　　C．±　　　D．± √ C　[－1与＋1的等比中项是±＝±．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 探究3　等比数列的通项公式 探究问题3　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？请结合等差数列的定义写出其符号表达式． [提示]　设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N*且n≥2)． 法一：an＝×…××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn-1， 当n＝1时，上式也成立． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 法二：a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， …， 由此可得an＝a1qn-1(n≥2)， 当n＝1时，上式也成立． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [新知生成] 1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝______(n∈N*)． 2．等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f (x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f (n)． a1qn-1 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 (2)由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下： ①当或时，等比数列{an}为递增数列； ②当或时，等比数列{an}为递减数列． ③当q＝1时，等比数列{an}为常数列． ④当q＜0时，等比数列{an}为____数列． 摆动 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 【教用·微提醒】　(1)q＜0或q＝1时，等比数列通项公式不具备指数型函数特点． (2)等比数列的单调性由a1和q共同决定，只有q＞0且q≠1时存在单调性． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 【链接·教材例题】 例1　若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项． 分析：等比数列{an}由a1，q唯一确定，可利用条件列出关于a1，q的方程(组)，进行求解． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 解法1：由a4＝48，a6＝12，得 ②的两边分别除以①的两边，得 q2＝．解得q＝或－． 把q＝代入①，得a1＝384．此时a5＝a1q4＝384×＝24． 把q＝－代入①，得a1＝－384．此时a5＝a1q4＝－384×＝－24． 因此，{an}的第5项是24或－24． 解法2：因为a5是a4与a6的等比中项，所以 ＝a4a6＝48×12＝576． 所以a5＝±＝±24． 因此，{an}的第5项是24或－24． 【链接·教材例题】 例2　已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an． [解]　由题意，得 am＝a1qm-1， ① an＝a1qn-1． ② ②的两边分别除以①的两边，得＝qn－m， 所以an＝amqn－m． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [典例讲评]　3．(1)若{an}为等比数列，则“a1＜a3＜a5”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(源自湘教版教材)已知数列{an}是公比为q的等比数列． ①若a2＝2，a5＝54，求{an}的通项公式； ②若a1＝125，q＝0.2，an＝3.2×10-4，求n． √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 (1)B　[若等比数列{an}是递增数列，可得a1＜a3＜a5一定成立； 反之，例如数列{(－1)n+12n}，此时满足a1＜a3＜a5，但数列{an}不是递增数列， 所以“a1＜a3＜a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件．] (2)[解]　①由等比数列的通项公式可知， ②÷①得q3＝27，即q＝3．因此，a1＝． 因此，这个数列的通项公式是an＝×3n-1＝2×3n-2． ②由等比数列的通项公式，得 an＝a1qn-1＝125×＝54-n． 又an＝3.2×10-4＝5-5，因此，54-n＝5-5，即n＝9． 反思领悟　求a1和q的两种方法 (1)通性通法：根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)整体代换法：充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [学以致用]　3．在等比数列{an}中，a2＋a4＝1，a6＋a8＝9，则a2＝(　　) A．　　B．　　C．　　D．4 √ A　[由题得解得q2＝3，∴q＝或q＝－．当q＝时，a1＝；当q＝－时，a1＝－．∴a2＝a1q＝．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 探究4　等比数列的判定与证明 探究问题4　若数列{an}中an≠0，则由＝a1a3能判定{an}是等比数列吗？若是＝anan＋2呢？ [提示]　＝a1a3可变为＝，可判断a1，a2，a3成等比数列，但无法确定整个数列是等比数列，而＝anan＋2可变为＝，考虑n的任意性，可以判定数列为等比数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [新知生成] 判定与证明等比数列的方法 (1)定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q是不为0的常数)； (2)等比中项法：＝____________(n∈N*且n≥2)； (3)通项公式法：an＝______＝·qn＝A·qn(A≠0)． an－1·an＋1 a1qn-1 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 【教用·微提醒】　(1)证明{an}为等比数列常用定义法． (2)定义法也可用＝q(n∈N*)，与＝q(n≥2，n∈N*)作用一致． (3)通项公式法一般只用于选择、填空题． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 【链接·教材例题】 例5　已知数列{an}的首项a1＝3． (1)若{an}为等差数列，公差d＝2，证明数列}为等比数列； (2)若{an}为等比数列，公比q＝，证明数列{log3an}为等差数列． 分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [证明]　(1)由a1＝3，d＝2，得{an}的通项公式为an＝2n＋1． 设bn＝，则＝＝9． 又b1＝33＝27，所以}是以27为首项，9为公比的等比数列． (2)由a1＝3，q＝，得an＝3×＝33-2n． 两边取以3为底的对数，得log3an＝log333-2n＝3－2n． 所以log3an＋1－log3an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2． 又log3a1＝log33＝1， 所以，{log3an}是首项为1，公差为－2的等差数列． [典例讲评]　4．已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是不是等比数列． [思路引导]　利用an与Sn的关系确定通项an，再用定义加以证明． [解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n-1－a＝2n-1(n≥2)． 当n≥2时，＝＝2；当n＝1时，＝＝． 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [母题探究]　 1．将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N*)”． (1)证明：数列{an－n}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [解]　(1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*． 因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列． (2)由(1)，可知an－n＝4n-1， 于是数列{an}的通项公式为an＝4n-1＋n． 2．将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列． [证明]　∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，∴an＋1＝an． 又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0． 又由an＋1＝an知an≠0，∴＝， ∴{an}是首项为1，公比为的等比数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 【教用·备选题】　已知数列{an}满足a1＝2，nan＋1＝3(n＋1)an，bn＝(n∈N*)． (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [解]　(1)由题意得an＋1＝an， 将n＝1代入，得a2＝6a1，又a1＝2，∴a2＝12， 将n＝2代入，得a3＝a2，∴a3＝54， ∴b1＝＝2，b2＝＝6，b3＝＝18． (2){bn}是首项为2，公比为3的等比数列． 由题意得＝3×，即bn＋1＝3bn，又∵b1＝2，∴{bn}是首项为2，公比为3的等比数列． 反思领悟　判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． (3)等比中项法：若＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [学以致用]　4．设数列{an}的前n项和为Sn，且nSn＋(n＋2)an＝4n，求证：数列是等比数列． [证明]　因为nSn＋(n＋2)an＝4n， 即Sn＋＝4，当n≥2时，Sn－1＋＝4，两式相减得 an＋＝0， 整理得＝·，所以数列是等比数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ C　[因为an＝a1qn-1，所以＝，即＝，解得n＝5．] 1．在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为(　　) A．3　　　　　B．4　　　　　C．5　　　　　D．6 第1课时　等比数列的概念及通项公式 2 3 题号 1 4 2．若a，b，c成等比数列且公比为q，那么(　　) A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列 C．一定是等比数列，且公比为 D．一定是等比数列，且公比为q √ C　[因为a，b，c成等比数列且公比为q，所以＝，b2＝ac，可得＝＝＝，由等比中项可判断得成等比数列，并且公比为．故选C．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 2 3 题号 4 1 3．在等比数列{an}中，若a1＝，公比q＝2，则a4与a8的等比中项是________． ±4　[依题意，得a6＝a1q5＝×25＝4，而a4与a8的等比中项是±a6，故a4与a8的等比中项是±4．] ±4 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 2 4 3 题号 1 4．已知在等比数列{an}中，若它的首项为2，公比为3，则通项公式an＝________． 2×3n-1　[等比数列{an}中，首项为2，公比为3，可得该数列的通项公式为an＝2×3n-1．] 2×3n-1 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 1．知识链：(1)等比数列的概念． (2)等比中项的概念． (3)等比数列的通项公式及其与函数的关系． (4)等比数列的判定与证明． 2．方法链：方程(组)法、构造法、定义法、整体代换法． 3．警示牌：x，G，y成等比数列⇒G2＝xy，但G2＝xy x，G，y成等比数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．等比数列的概念中，应从哪几个方面理解？ [提示]　不是，只有同号的两个实数才有等比中项且它们互为相反数． [提示]　①从第2项起，②后项与前项的比，③同一个常数． 2．任何两个实数都有等比中项吗？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 3．如何判断一个数列为等比数列？ [提示]　 定义法 ＝q(q为常数且不为零，n∈N*)⇔{an}为等比数列 等比中项法 ＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列 通项公式法 an＝a1qn-1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 课时分层作业(七)　等比数列的概念及通项公式 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q＝2，且满足a2a6＝16，则a5＝(　　) A．8　　B．4　　C．2　　D．1 第1课时　等比数列的概念及通项公式 57 课时分层作业(七)　等比数列的概念及通项公式 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[由{an}为等比数列，不妨设首项为a1， 由a2a6＝16，可得a2a6＝·26＝16． 又an＞0，则有a1＝， 则a5＝×24＝8．故选A．] 58 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．(多选)下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述，不正确的是(　　) A．q＞1⇒{an}为递增数列 B．{an}为递增数列⇒q＞1 C．0＜q＜1⇔{an}为递减数列 D．q＞1 {an}为递增数列，且{an}为递增数列 q＞1 √ 14 15 √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 59 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 ABC　[若a1＝－2，q＝2＞1，则{an}的各项为－2，－4，－8，…， 是递减数列，A不正确； 若等比数列{an}的各项为－16，－8，－4，－2，…，是递增数列，则q＝＜1，B不正确，D正确； 若a1＝－16，q＝∈(0，1)，则{an}的各项为－16，－8，－4，…，显然是递增数列，C不正确．] 14 15 60 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 3．(多选)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　) A．　　 B．{anan＋1} 　　 D．{an＋an＋1} √ 14 15 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 61 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 AB　[根据题意，{an}为等比数列，设其公比为q(q≠0)； 对于A，＝＝·，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确；对于B，＝＝q2，∴数列{anan＋1}是以a1a2为首项，q2为公比的等比数列，故B正确；对于C，当an＝1时＝0，数列}不是等比数列，故C错误；对于D，当q＝－1时，an＋an＋1＝0，数列{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误．故选AB．] 14 15 62 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 4．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，新插入的第2个数应为(　　) A．　　B．　　C．　　D．　　 √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 63 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 A　[设该等比数列为{an}，公比为q，则q12＝＝2，所以a3＝a1q2＝．故选A．] 14 15 64 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 5．(多选)已知等比数列{an}的各项均为正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则下列说法正确的是(　　) A．a1＞0　　 B．q＞0　 C．＝3或－1　　 D．＝9 √ 14 15 √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 65 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 ABD　[设等比数列{an}的公比为q，q＞0，且an＞0． 由3a1，a3，2a2成等差数列，得a3＝2a2＋3a1，即a1q2－2a1q－3a1＝0，∴q2－2q－3＝0，又q＞0，解得q＝3，∴＝q＝3，＝＝q2＝9． 结合选项可知，ABD正确，C错误．故选ABD．] 14 15 66 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 二、填空题 6．已知数列{an}满足an＝2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则an＝________． 14 15 2n-1　[数列{an}满足an＝2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1， 可得数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， 则an＝1×2n-1＝2n-1，n∈N*．] 2n-1 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 67 题号 2 4 5 3 7 6 8 9 10 11 12 13 1 7．在等差数列{an}中，a3＝0．如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________． 14 15 9　[设等差数列{an}的公差为d，由题意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝ －2d．又∵ak是a6与ak＋6的等比中项＝a6ak＋6，即[a1＋(k－1)d]2＝(a1＋5d)·[a1＋(k＋5)d]，整理得[(k－3)d]2＝3d·(k＋3)d，解得k＝9或k＝0(舍去)．] 9 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 68 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 10 11 12 13 1 8．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为_______． 14 15 　[设衰分比例为q， 则甲、乙、丙各分得，28，28q石， ∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或． 又0＜q＜1，∴q＝．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 69 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 三、解答题 9．(1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an； (2)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n； (3)若等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q． 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 70 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 [解]　(1)设等比数列{an}的公比为q， 由题意知q＞0． 由已知得解得 ∵q＞0，∴q＝， ∴an＝128×＝． 14 15 71 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 (2)由an＝a1·qn-1，得＝， 即＝，解得n＝4． (3)∵an＋4＝a1qn+3，a4＝a1q3， 又an＋4＝a4， ∴qn＝1， ∴当n为偶数时，q＝±1； 当n为奇数时，q＝1． 14 15 72 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 10．设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则的最小值为(　　) A．8　　B．4　　C．1　　D． √ 14 15 B　[因为是5a与5b的等比中项，则＝5a·5b，所以a＋b＝1， 所以＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4．当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 73 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 11．已知不等式x2－5x－6＜0的解集中有三个整数解构成等比数列{an}的前3项，则数列{an}的第4项是(　　) A．8　　B．　　C．8或2　　D．8或 √ 14 15 D　[不等式x2－5x－6＜0的解集为{x|－1＜x＜6}，其中成等比数列的三个整数为1，2，4， 若数列前3项为1，2，4，则第4项为8，若数列前3项为4，2，1，则第4项为．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 74 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 12．若a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则＝________． 14 15 　[＝＝＝＝．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 75 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 13．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________． 14 15 　－1　[∵a2，a3，a7成等比数列＝a2a7， ∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)， 即2d＋3a1＝0．① 又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1．② 由①②解得a1＝，d＝－1．] －1 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 76 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14．已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an． (1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列； (2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式． 14 15 [解]　(1)证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an， 所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，因为数列{an}中各项均为正数，所以an＋1＋an＞0， 所以＝3，所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 77 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 (2)由(1)知数列{an＋an＋1}是以a1＋a2为首项，3为公比的等比数列，又a1＝，a2＝， 则an＋an＋1＝(a1＋a2)3n-1＝2×3n-1， 因为an＋2＝2an＋1＋3an， 所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)＝(－1)2(an－3an－1)＝…＝(－1)n(a2－3a1)， 又因为a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，所以an＝×3n-1． 14 15 78 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 15．已知数列{an}和{bn}满足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数． (1)求证：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列； (2)试判断{bn}是否为等比数列． 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等比数列的概念及通项公式 79 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 [解]　(1)证明：假设存在实数λ，使得数列{an}是等比数列， 则必有＝a1a3，∵a1＝λ，∴a2＝λ－3，a3＝－2＝λ－4． 由＝λ，整理得9＝0，矛盾． 故假设错误，因此对于任意实数λ，数列{an}不是等比数列． 14 15 80 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 (2)若存在实数λ使得数列{bn}是等比数列，则＝常数(bn≠0)． ∵bn＋1＝(－1)n+1[an＋1－3(n＋1)＋21] ＝(－1)n+1 ＝(－1)n+1(an－3n＋21)＝－bn， 当且仅当an≠3n－21，即λ≠－18时上式成立． 故当λ≠－18时，数列{bn}为等比数列． 14 15 81 $$