03 第四章 4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册同步课件(人教A版2019)

第四章　数列 4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 整体感知 [学习目标]　1．借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．(数学抽象) 2．借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．(数学抽象) 3．会求等差数列的通项公式．(数学运算) 4．能利用等差数列的通项公式解决相关问题．(数学运算、数学建模) 第1课时　等差数列的概念及通项公式 (教师用书) 彗星是指进入太阳系内亮度和形状会随日距变化而变化的绕日运动的天体，星云雾状的独特外貌，其中最有名的当属哈雷彗星了．在过去300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682，1758，1834，1910，1986．通过这一组数据呈现的规律，你能预测哈雷彗星下一次出现的时间吗？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [讨论交流]　 问题1．等差数列的概念是什么？ 问题2．等差中项的定义是什么？ 问题3．等差数列的通项公式怎样表示？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 探究建构 探究1　等差数列的概念 探究问题1　观察下列现实生活中的数列，回答下面的问题． (1)我国有用十二生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017，2029，2041，2053，2065，2077，…． (2)某个电影院设置了20排座位，这个电影院从第1排起各排的座位数组成数列：38，40，42，44，46，…． 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [提示]　以(1)为例，2 029－2 017＝12，2 041－2 029＝12，2 053－2 041＝12，2 065－2 053＝12，2 077－2 065＝12，…，后项与前项的差为同一个常数，这个规律也适用于(2)(3)． (3)全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码(表示以cm为单位的鞋底的长度)由大到小可排列为25，24.5，24，23.5，23，22.5． 以上三个问题中的数蕴含三个数列，你能找到它们的共同规律吗？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [新知生成] 等差数列 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于______常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的____，公差通常用字母__表示 符号 语言 在数列{an}中，若an＋1－an＝d(n∈N*)(若an－an－1＝d，n≥2，n∈N*)成立，则称数列{an}为等差数列，常数d称为等差数列的公差 递推 公式 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 同一个 公差 d 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 【教用·微提醒】　(1)作差的起始项：“从第2项起”，因为第1项没有前一项； (2)作差的顺序：“每一项与它的前一项的差”，即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒； (3)等差的含义：“同一个常数”指所有的差都相等，即a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝d； (4)公差d的取值范围：可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列)，它是一个与n无关的常数，因此公差d的取值范围为(－∞，＋∞)． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [典例讲评]　1．判断下列数列是不是等差数列？如果是，写出首项a1和公差d． (1)9，7，5，3，…，－2n＋11，…； (2)－1，11，23，35，…，12n－13，…； (3)1，2，4，6，8，10，…； (4)a，a，a，a，a． [解]　由等差数列的定义，得(1)(2)(4)为等差数列，(3)不是等差数列． (1)中a1＝9，d＝－2，(2)中a1＝－1，d＝12，(4)中a1＝a，d＝0． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 反思领悟　利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [学以致用]　1．下列数列： ①0，0，0，0； ②0，1，2，3，4； ③1，5，9，13； ④0，1，2，3，…． 其中一定是等差数列的有________个． 3　[①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．] 3 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 探究2　等差中项 探究问题2　若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列吗？反之，是不是也成立？ [提示]　若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．反之，若a，b，c成等差数列，则有2b＝a＋c成立． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [新知生成] 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的________，且2A＝______． 等差中项 a＋b 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 【教用·微提醒】　(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一． (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝． (3)等差数列{an}中，an是an－k与an＋k的等差中项，注意序号间的关系． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [典例讲评]　2．(1)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　　) A．2　　　B．3　　　C．6　　　D．9 (2)已知1，x，y，10构成等差数列，则x，y的值分别为________． √ 4，7 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 (1)B　(2)4，7　[(1)由已知可得⇒m＋n＝6⇒＝3． (2)由已知，得x是1和y的等差中项，即2x＝1＋y①， y是x和10的等差中项，即2y＝x＋10②， 由①②可得x＝4，y＝7．] 发现规律　等差中项应用策略 (1)求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝． (2)证三个数成等差数列，只需证中间一个数为两边两数的等差中项，即若a，b，c成等差数列，则有____________；反之，若____________，则a，b，c成等差数列． a＋c＝2b a＋c＝2b 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [学以致用]　2．lg (2＋)与lg (2－)的等差中项是________． 0　[等差中项为＝＝0．] 0 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 探究3　等差数列的通项公式 探究问题3　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？请结合等差数列的定义写出其符号表达式． [提示]　设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， 思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，… 归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2)． 当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d＝a1．综上，an＝a1＋(n－1)d． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 思路二：a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， … an－an－1＝d， 左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)． 当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d＝a1． 综上，an＝a1＋(n－1)d． [新知生成] 1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝____________． 2．等差数列和一次函数的关系 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加d． a1＋(n－1)d 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 3．由等差数列和一次函数的关系可知，等差数列的单调性受公差d的影响． (1)当d＞0时，数列为____数列，如图1； (2)当d＜0时，数列为递减数列，如图2； (3)当d＝0时，数列为常数列，如图3． 递增 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 【链接·教材例题】 例1　(1)已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}的公差和首项； (2)求等差数列8，5，2，…的第20项． 分析：(1)已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由an－an－1＝d即可求出公差d；(2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [解]　(1)当n≥2时，由{an}的通项公式an＝5－2n，可得 an－1＝5－2(n－1)＝7－2n． 于是 d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2． 把n＝1代入通项公式an＝5－2n，得 a1＝5－2×1＝3． 所以，{an}的公差为－2，首项为3． (2)由已知条件，得 d＝5－8＝－3． 把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，得 an＝8－3(n－1)＝11－3n． 把n＝20代入上式，得 a20＝11－3×20＝－49． 所以，这个数列的第20项是－49． 【链接·教材例题】 例2　－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？ 分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [解]　由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为 an＝－5－4(n－1)＝－4n－1． 令－4n－1＝－401， 解这个关于n的方程，得 n＝100． 所以，－401是这个数列的项，是第100项． [典例讲评]　3．(1)(多选)下列判断正确的是(　　) A．等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列 B．若an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)，则数列{an}是等差数列 C．等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率 D．若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0 √ √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 (2)在等差数列{an}中，求解下列各题： ①已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝________； ②已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝________； ③已知公差为d，a3＝，a7＝－，则a15＝________． 10 － － 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 (1)BCD　(2)①10　②－　③－　[(1)A项，公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列；B，C，D均正确． (2)①由题意，得a1＋6×＝8，解得a1＝10． ②依题意可得 解得d＝－． ③由得解得 ∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－．] 反思领悟　1．等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． (2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数．这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 2．熟练掌握等差数列通项公式an＝dn＋(a1－d)＝kn＋b是关于n的一次函数型这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性．d＞0时，数列{an}为递增数列；d＝0时，数列{an}为常数列；d＜0时，数列{an}为递减数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [学以致用]　3．(1)已知数列{an}为等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线的斜率为________． (2)在等差数列{an}中， ①已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； ②已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an． 4 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 (1)4　[由题意则d＝4， 所以斜率k＝d＝4．] (2)[解]　①由题意知解得 ②设等差数列的公差为d， 由题意知解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*． 探究4　等差数列的判定与证明 [典例讲评]　4．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝． (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． [思路引导]　先用an＋1表示bn＋1，再验证bn＋1－bn为常数，最后可求出数列{an}的通项公式． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [解]　(1)证明：bn＋1－bn＝ ＝＝＝＝． 又b1＝＝， ∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． (2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝． ∵bn＝，∴an＝＋2＝＋2． ∴数列{an}的通项公式为an＝＋2． [母题探究]　本例中若将条件改为“已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝．”求数列{an}的通项公式． [解]　由an＋1＝两边取倒数，可得＝，即＝，所以＝，因此数列是公差为的等差数列． 因为a1＝2，所以＝，即数列是首项为，公差为的等差数列，因此＝(n－1)＝n，故an＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 反思领悟　等差数列的三种判定方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [学以致用]　4．(源自北师大版教材)判断下面数列是否为等差数列． (1)an＝2n－1；(2)an＝(－1)n． [解]　(1)由an＝2n－1，得an＋1＝2(n＋1)－1，于是an＋1－an＝[2(n＋1)－1]－(2n－1)＝2． 由n∈N*，知这个数列是等差数列． (2)a2－a1＝1－(－1)＝2，a3－a2＝－1－1＝－2． 因为a2－a1≠a3－a2，所以这个数列不是等差数列． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 2 4 3 题号 1 应用迁移 1．等差数列{an}中，a1＝2，a3＝8，则公差d＝(　　) A．4　　B．3　　C．－4　　D．－3 √ B　[∵等差数列{an}中，a1＝2，a3＝8， ∴a3＝a1＋2d＝8，∴d＝3．故选B．] 第1课时　等差数列的概念及通项公式 2 3 题号 1 4 2．若2a＋1是a－1与4a－2的等差中项，则实数a的值为(　　) A．－　　B．　　C．　　D．5 √ D　[由2a＋1是a－1与4a－2的等差中项， 得2×(2a＋1)＝a－1＋4a－2，解得a＝5．故选D．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 2 3 题号 4 1 3．(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列 C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数) D．数列{2n＋1}(n∈N*)是等差数列 √ √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 2 3 题号 4 1 BCD　[对于A，数列6，4，2，0的公差为－2，A错误； 对于B，数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列，所以B正确； 对于C，由等差数列与函数的关系知C正确．选项D显然正确．故选BCD．] 2 4 3 题号 1 4．在等差数列{an}中，首项为33，若第12项为0，则数列{an}的通项公式为______________． an＝36－3n　[若a1＝33，a12＝0，则33＋11d＝0，得d＝－3，所以an＝33＋(n－1)×(－3)＝－3n＋36．] an＝36－3n 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 1．知识链：(1)等差数列的有关概念． (2)等差数列的通项公式． (3)等差数列通项公式与函数的关系． (4)等差数列的判定与证明． 2．方法链：方程组法、构造法、定义法． 3．警示牌：(1)在具体应用问题中项数不清． (2)忽略等差数列通项公式与函数关系中d＝0的情况． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．等差数列的概念中，应从哪几个方面理解？ [提示]　任何两个数都一定有等差中项，有且只有一个，这个等差中项就是它们的算术平均数，即a与b的等差中项为． [提示]　等差数列的概念是非常严密的，要抓住“从第2项起”“后项与前项的差”“同一个常数”三个关键点进行理解． 2．任何两个数都有等差中项吗？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 3．如何判断数列为等差数列？ [提示]　判断一个数列为等差数列可用以下几种方法：①定义法： an＋1－an＝常数；②等差中项法：an＋an＋2＝2an＋1；③通项法：即an＝dn＋b(d，b为常数)． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 课时分层作业(三)　等差数列的概念及通项公式 题号 一、选择题 1．已知数列{an}，对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为(　　) A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列 C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 A　[由题意知an＝2n＋1，则an＋1－an＝2．故选A．] 第1课时　等差数列的概念及通项公式 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．已知{an}是等差数列，且a2＋1是a1和a4的等差中项，则{an}的公差为(　　) A．1　　B．2　　C．－2　　D．－1 √ 14 15 B　[由2(a1＋1＋d)＝a1＋a1＋3d，得公差d＝2．故选B．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 51 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 3．已知等差数列{an}满足4a3＝3a2，则{an}中一定为零的项是(　　) A．a6　　B．a4　　C．a10　　D．a12 √ 14 15 A　[由4a3＝3a2，得4(a1＋2d)＝3(a1＋d)，即a1＝－5d， 所以an＝a1＋(n－1)d＝－5d＋(n－1)d＝(n－6)d，所以a6＝0． 故选A．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 52 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 4．(多选)已知等差数列{an}的公差为－3，若a7＞0，a8＜0，则首项a1的值可能是(　　) A．18　　B．19　　C．20　　D．21 √ 14 15 BC　[由题意，可得∴18＜a1＜21．故选BC．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 53 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 5．在数列{an}中，a1＝1，a6＝，且数列是等差数列，则a16＝(　　) A．7　　B．　　C．19　　D． √ 14 15 B　[设等差数列的公差为d，则＝＋5d，解得d＝， 故＝＋15d＝1＋6＝7，即a16＝．故选B．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 54 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 二、填空题 6．在正项等差数列{an}中，a3＝2，则公差d的取值范围是________． 14 15 [0，1)　[依题意可得a1＝a3－2d＝2－2d＞0，则d＜1， 又等差数列{an}各项为正，则d≥0，所以0≤d＜1．] [0，1) 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 55 题号 2 4 5 3 7 6 8 9 10 11 12 13 1 7．在等差数列中，第7项是80及第16项是26，则第34项为________． 14 15 －82　[设该数列为{an}，其公差为d，根据题意，有 解得a1＝116，d＝－6，所以第34项为a34＝a1＋33d＝116－33×6＝－82．] －82 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 56 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 10 11 12 13 1 8．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2＋1，则a13＝________． 14 15 168　[由an＋1＝an＋2＋1， 得an＋1＋1＝(＋1)2， ∴＝＋1， 又a1＝0，∴{}是以1为首项，1为公差的等差数列， 则＝1＋(n－1)＝n， 所以an＝n2－1，所以a13＝168．] 168 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 57 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 三、解答题 9．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7． (1)求数列的第10项； (2)112是数列{an}的第几项？ (3)在80到110之间数列{an}有多少项？ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 58 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 [解]　设等差数列{an}的公差为d， 则解得 (1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25． (2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， 由112＝3n－5，解得n＝39，39∈N*． 所以112是数列{an}的第39项． 14 15 59 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 (3)由80＜3n－5＜110，解得28 ＜n＜38 ， 因为n∈N*，所以n的取值为29，30，…，38，共10个，即在80到110之间数列{an}有10项． 14 15 60 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 10．记等差数列{an}的公差为d(d≥0)，若是与－2的等差中项，则d的值为(　　) A．0　　B．　　C．1　　D．2 √ 14 15 C　[等差数列{an}的公差为是与－2的等差中项， －2＝＋(a1＋2d)2－2＝2(a1＋d)2， 解得d＝1(舍负)．故选C．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 61 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 11．设首项为的数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，且an＝－SnSn－1 (n≥2)，则b2 024等于(　　) A．4 000　　B．2 024　　C．4 052　　D．4 048 √ 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 62 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 C　[由bn＝，an＝－SnSn－1(n≥2)， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，所以Sn－Sn－1＝－SnSn－1， 可得＝(n≥2)， 又＝＝2，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列， 所以＝2＋(n－1)×＝，得bn＝＝2n＋4， 所以b2 024＝2×2 024＋4＝4 052．故选C．] 14 15 63 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 12．设a＞0，b＞0，是a与b的等差中项，则的最小值为(　　) A．3＋2　　 B．3－2 C．5　　 D． √ 14 15 A　[由是a与b的等差中项，得a＋b＝1，又a＞0，b＞0， 所以＝(a＋b)＝3＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当＝，即a＝2－，b＝－1时，等号成立， 所以的最小值为3＋2．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 64 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 13．已知数列{an}的各项均为正数，a1＝2，an＋1－an＝，则an＝________． 14 15 2　[由题意，得＝＝4，所以数列}是以4为首项，4为公差的等差数列，所以＝4＋4(n－1)＝4n，则an＝2．] 2 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 65 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)． (1)当a2＝－1时，求实数λ及a3； (2)是否存在实数λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求出它的公差；若不存在，请说明理由． 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 66 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 [解]　(1)因为a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2， 所以λ＝． 所以a3＝－a2＋22＝． (2)不存在．理由如下： 因为a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)， 所以a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16． 若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，即λ2－7λ＋13＝0． 因为Δ＝49－4×13＜0，所以方程无实数解． 所以不存在实数λ，使数列{an}为等差数列． 14 15 67 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 15．已知数阵 中，每行、每列的四个数均成等差 数列，如果数阵中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a22＝________． 14 15 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　等差数列的概念及通项公式 68 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 　[设第三行的四个数的公差为d3，因为a31＝1，a34＝7，所以a34＝a31＋3d3，解得d3＝2，所以a32＝1＋2＝3，因为第二列的四个数成等差数列，所以a22是a12，a32的等差中项，所以a22＝＝＝．] 14 15 69 $$