19 第二章 2.2.3 直线的一般式方程-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步讲义(人教A版2019)

2.2.3　直线的一般式方程 [学习目标]　1．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式．(逻辑推理、数学抽象) 2．会进行直线方程的五种形式之间的转化．(数学运算、逻辑推理) (教师用书) 前面学习了直线方程的四种形式，但它们各自有自己的适用条件，也就是说上述方程形式不是对任何直线都适用．那么是否存在一种方程形式，对任何直线都适用？ [讨论交流]　 问题1．直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程分别有什么特点？它们的方程能否化简为统一的形式？ 问题2．Ax＋By＋C＝0表示直线的条件是什么？ 问题3．如何把直线的一般式化为斜截式？ [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　直线的一般式方程 探究问题1　y＝x＋2是二元一次方程吗？方程5x＋2y－7＝0表示一条直线吗？ [提示]　y＝x＋2可以化成x－y＋2＝0的形式，是二元一次方程．5x＋2y－7＝0可以化为y＝－x＋的形式，可以表示一条直线． 探究问题2　直线与二元一次方程有何关系？ [提示]　直线的方程都可以化为二元一次方程；二元一次方程都表示直线． [新知生成]　直线的一般式方程 (1)定义 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (2)适用范围 平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义 ①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； ②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． 【教用·微提醒】　(1)方程是关于x，y的二元一次方程． (2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． (3)x的系数一般不为分数和负数． (4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程． (5)解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式． 【链接·教材例题】 例5　已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－，求直线的点斜式和一般式方程． [解]　经过点A(6，－4)，斜率为－的直线的点斜式方程是 y＋4＝－(x－6)， 化为一般式，得4x＋3y－12＝0． [典例讲评]　1．已知直线经过点A(6，－2)，且斜率为－，求该直线方程的点斜式、一般式和截距式． [解]　经过点A(6，－2)，且斜率为－的直线方程的点斜式是y＋2＝－(x－6)． 化成一般式，得2x＋3y－6＝0． 把常数项移到方程的右边，再把方程的两边同时除以6，得到截距式＋＝1． 　(1)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了)． (2)反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的适用条件． [学以致用]　1．已知△ABC中，A(3，2)，B(1，1)，C(2，3)，则AB边上的高所在的直线方程是(　　) A．2x＋y－7＝0 B．2x－y－1＝0 C．x＋2y－8＝0 D．x－2y＋4＝0 A　[∵△ABC中，A(3，2)，B(1，1)，C(2，3)， ∴直线AB的斜率为＝，则AB边上的高所在的直线的斜率为－2， 故AB边上的高所在的直线方程是y－3＝－2(x－2)，即 2x＋y－7＝0． 故选A．] 2．把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形． [解]　把直线l的一般式方程化为斜截式， 得y＝x＋3． 因此，直线l的斜率k＝，它在y轴上的截距是3． 在直线l的方程x－2y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－6， 即直线l在x轴上的截距是－6． 所以直线l与x轴、y轴的交点分别为A(－6，0)，B(0，3)， 过A，B两点作直线，就得直线l(如图所示)． 探究2　利用一般式研究直线的平行与垂直 探究问题3　已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0．若B1，B2≠0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得什么结论？ [提示]　l1∥l2⇒＝且≠， 即A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1． l1⊥l2⇒＝－1， 即A1A2＋B1B2＝0． [新知生成] 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0． (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． 【教用·微提醒】　(1)A1B2－A2B1＝0表示斜率相等或都不存在，B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)表示截距不同，排除重合的情况． (2)A1A2＋B1B2＝0既包含斜率之积为－1的垂直，又包含一个斜率为0，一个不存在的垂直． [典例讲评]　2．(1)若直线(3－m)x＋(2m－1)y＋7＝0与直线(1－2m)x＋(m＋5)y－6＝0互相垂直，则m的值为(　　) A．－1　　　　B．1或－　　　C．－1或　　　D．1 (2)已知直线ax＋2y＋6＝0与直线x＋(a－1)y＋a2－1＝0互相平行，则实数a的值为(　　) A．－2 B．2或－1 C．2 D．－1 (3)过点(1，6)，且平行于直线x－2y＝0的直线方程是(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0 C．x－2y＋11＝0 D．x＋2y＋11＝0 (1)C　(2)D　(3)C　[(1)由题设(3－m)(1－2m)＋(2m－1)(m＋5)＝0，整理得(m＋1)(2m－1)＝0， ∴m＝－1或m＝．故选C． (2)∵直线ax＋2y＋6＝0与直线x＋(a－1)y＋a2－1＝0互相平行， ∴a(a－1)＝2×1，即a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1， 当a＝2时，两直线重合，不符合题意，当a＝－1时，两直线不重合，符合题意， 故实数a的值为－1．故选D． (3)与直线x－2y＝0平行的直线可设为x－2y＋C＝0， 将(1，6)代入x－2y＋C＝0可得C＝11，故直线方程为x－2y＋11＝0，故选C．] 　1．判定平行、垂直的两种方法 (1)化成斜截式方程看斜率和截距的关系，但要注意k＝0和k不存在的情况； (2)化成一般式方程，用充要条件判断． 2．与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0． [学以致用]　3．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l平行； (2)过点(－1，3)，且与l垂直． [解]　法一：l的方程可化为y＝－x＋3， ∴l的斜率为－． (1)∵l′与l平行， ∴l′的斜率为－． 又∵l′过点(－1，3)， 由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)， 即3x＋4y－9＝0． (2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为， 又l′过点(－1，3)， 由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0． 法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)． 将点(－1，3)代入上式，得m＝－9． ∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0． (2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0． 将(－1，3)代入上式，得n＝13． ∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0． 探究3　直线的一般式方程的应用 [典例讲评]　3．(源自北师大版教材)已知直线l的方程为mx＋(m－1)y＋1＝0，m∈R． (1)若直线l在x轴上的截距为－2，求m的值； (2)若直线l与y轴垂直，求m的值； (3)若直线l的倾斜角为，求m的值． [解]　(1)由已知，可得直线l与x轴交于点(－2，0)， 所以－2m＋(m－1)·0＋1＝0，解得m＝． 故m的值为． (2)因为直线l与y轴垂直，所以直线l的斜率为0． 所以直线l的方程可化为斜截式y＝x－． 由＝0，可得m＝0． 故m的值为0． (3)由(2)可知直线l的斜率为，又倾斜角为， 所以由斜率与倾斜角的关系可得＝tan ，即＝1． 解得m＝． 故m的值为． [母题探究]　本例条件不变，求证：不论m为何值，直线l总经过第二象限． [证明]　直线l的方程整理为m(x＋y)－y＋1＝0， 因为m为任意实数，所以解得 故直线l恒过定点(－1，1)，又点(－1，1)在第二象限，故直线l总经过第二象限． 　含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0． (2)令x＝0可得在y轴上的截距，且x的系数不为0．令y＝0可得在x轴上的截距，且y的系数不为0．若确定直线斜率存在，则可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． [学以致用]　4．直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． [解]　(1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意； ②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2， 令y＝0，则x＝． ∵l在两坐标轴上的截距相等， ∴a－2＝， 解得a＝2或a＝0． 综上，a的值为2或0． (2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2， 故要使l不经过第二象限，只需 解得a≤－1． ∴a的取值范围为(－∞，－1]． 【链接·教材例题】 例6　把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形． [分析]　求直线l在x轴上的截距，即求直线l与x轴交点的横坐标，只要在直线l的方程中令y＝0即可得x的值． [解]　把直线l的一般式方程化为斜截式 y＝x＋3． 因此，直线l的斜率k＝，它在y轴上的截距是3． 在直线l的方程x－2y＋6＝0中，令y＝0，得 x＝－6， 即直线l在x轴上的截距是－6． 由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为 A(－6，0)，B(0，3)， 过A，B两点作直线，就得直线l(图2.2-7)． 1．已知直线l的斜率为－1，且直线l在y轴上的截距为，则直线l的一般式方程是(　　) A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0 A　[由题易知，直线l的方程为y＝－x＋，即x＋y－＝0．] 2．直线x＋3y＋m＝0和直线3x－y＋n＝0的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．不平行也不垂直 D．与m，n的取值有关 B　[因为两直线斜率之积等于－1，所以两直线垂直．] 3．已知直线l过点(0，3)，且与直线x－y－1＝0平行，则l的方程是(　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 D　[设直线l的方程为x－y＋c＝0(c≠－1)，由点(0，3)在直线x－y＋c＝0上，得0－3＋c＝0，解得c＝3，因此直线l的方程为x－y＋3＝0．] 4．若直线的截距式＋＝1化为斜截式为y＝－2x＋b，化为一般式为bx＋ay－8＝0，且a＞0，则a＋b＝_______________． 6　[∵截距式＋＝1化为一般式为bx＋ay－ab＝0，化为斜截式为y＝－x＋b， ∴由已知得解得或 ∵a＞0，∴a＝2，b＝4，a＋b＝6．] 1．知识链：(1)直线的一般式方程． (2)直线五种形式方程的互化． (3)利用直线的一般式方程判定直线的平行与垂直． 2．方法链：分类讨论、化归转化． 3．警示牌：把直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)化为斜截式方程y＝－x－时，容易忽视B≠0． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．试写出直线的一般式方程． [提示]　Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)． 2．在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中，A，B，C为何值时，方程表示的直线(1)平行于x轴？(2)与x轴重合？(3)平行于y轴？(4)与y轴重合？ [提示]　当A＝0时，方程变为y＝－，当C≠0时，表示的直线平行于x轴，当C＝0时，表示的直线与x轴重合；当B＝0时，方程变为x＝－，当C≠0时，表示的直线平行于y轴，当C＝0时，表示的直线与y轴重合． 3．如何根据直线的一般式方程求直线的斜率和直线在x轴、y轴上的截距？ [提示]　法一：将直线方程化为斜截式和截距式， 可求直线的斜率和在x轴、y轴上的截距． 法二：斜率k＝－，令x＝0，可得直线在y轴上的截距，令y＝0，可得直线在x轴上的截距． 课时分层作业(十六)　直线的一般式方程 一、选择题 1．直线3x－2y－4＝0的截距式方程是(　　) A．－＝1 B．＋＝1 C．－＝4 D．x－＝1 B　[由3x－2y－4＝0，得3x－2y＝4，即x－y＝1，即＋＝1，所以直线的截距式方程为＋＝1．] 2．两条直线l1：ax＋(1＋a)y＝3，l2：(a＋1)x＋(3－2a)y＝2互相垂直，则a的值是(　　) A．0 B．－1 C．－1或3 D．0或－1 C　[因为直线ax＋(1＋a)y＝3与(a＋1)x＋(3－2a)y＝2互相垂直， 所以a(a＋1)＋(1＋a)(3－2a)＝0， 解得a＝－1或 a＝3． 故选C．] 3．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是(　　) A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0 C．x＋2y－1＝0 D．2x＋y－2＝0 D　[直线x－2y－2＝0的斜率为，则所求直线的斜率为－2，即所求直线的方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0．故选D．] 4．已知直线l1：2x＋2y－5＝0，l2：4x＋ny＋1＝0，l3：mx＋6y－5＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m＋n的值为(　　) A．－10 B．10 C．－2 D．2 C　[因为l1∥l2，所以＝≠⇒n＝4，又l1⊥l3，所以2×m＋2×6＝0⇒m＝－6， 所以m＋n＝－2．故选C．] 5．(多选)已知直线l1：mx＋y＋m－1＝0，直线l2：4x＋my＋3m－4＝0，下列命题中正确的是(　　) A．若l1⊥l2，则m＝0 B．当m＝0时，n＝(1，0)是直线l1的一个方向向量 C．若l1∥l2，则m＝2或m＝－2 D．若直线l2在两坐标轴上的截距相等，则实数m＝4 AB　[对于A，直线l1：mx＋y＋m－1＝0，直线l2：4x＋my＋3m－4＝0，l1⊥l2， ∴m×4＋1×m＝0，解得m＝0，故A正确； 对于B，当m＝0时，直线l1：y－1＝0， ∴n＝(1，0)是直线l1的一个方向向量，故B正确； 对于C，当m＝0时，l1：y－1＝0，l2：x－1＝0，l1，l2不平行， ∴m≠0，由l1∥l2，得，∴－m＝－，∴m＝2或m＝－2， 当m＝2时，l1：2x＋y＋1＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，两直线重合， 当m＝－2时，l1：2x－y＋3＝0，l2：2x－y－5＝0，即l1∥l2，符合题意， ∴m＝－2，故C错误； 对于D，直线l2在两坐标轴上的截距相等，可知m≠0， 对于4x＋my＋3m－4＝0，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝，则＝， 解得m＝4或m＝，故D错误．故选AB．] 二、填空题 6．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m＝______． 3　[由已知得∴m＝3．] 7．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为______． x－3y＋24＝0　[直线2x－3y＋12＝0的斜率为，在y轴上截距为4．根据题意，直线l的斜率为，在y轴上截距为8，所以直线l的方程为y＝x＋8，即x－3y＋24＝0．] 8．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是________． x＋2y＋4＝0　[直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)， 由题意得所求直线过点A且斜率为－， ∴所求直线的方程为y＋2＝－x， 即x＋2y＋4＝0．] 三、解答题 9．直线l经过点(1，3)，且________． (1)求直线l的方程； (2)求直线l与坐标轴围成的三角形面积． 试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答． ①与直线2x－y－1＝0平行． ②直线l在x轴上的截距为－． [解]　(1)选①，∵直线l与直线2x－y－1＝0平行， ∴可设直线l的方程为2x－y＋m＝0， 把(1，3)代入可得m＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0． 选②，∵直线l经过点(1，3)，由题意可知直线的斜率存在，设为k，∴直线l的方程为y－3＝k(x－1)． ∵直线l在x轴上的截距为－，∴直线l过点， 代入可得k＝2，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0． (2)在直线l：2x－y＋1＝0中，令x＝0可得y＝1，令y＝0可得x＝－，∴直线l与坐标轴围成的三角形面积S＝×1×＝． 10．(多选)已知直线l1：mx－y－3＝0，直线l2：4x－my＋6＝0，则下列命题正确的有(　　) A．直线l1恒过点(0，－3) B．存在m使得直线l2的倾斜角为90° C．若l1∥l2，则m＝2或m＝－2 D．存在实数m使得l1⊥l2 ABD　[对于选项A：由l1：mx－y－3＝0，得y＝mx－3，令x＝0，所以直线l1恒过点(0，－3)，故A正确；对于选项B：当m＝0时，直线l2的斜率不存在，即倾斜角为90°，故B正确；对于选项C：当l1∥l2时，解得m＝2，故C错误； 对于选项D：当m＝0时，l1：y＝－3，l2：x＝－，此时l1⊥l2，故D正确． 故选ABD．] 11．设A(－2，2)，B(1，1)，若直线l：ax＋y＋1＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是(　　) A．∪[2，＋∞) B． C．(－∞，－2]∪ D． C　[由ax＋y＋1＝0，得y＝－ax－1，因此直线l过定点P(0，－1)， 若直线l斜率存在，则斜率k＝－a． 如图所示，当直线l由直线PA按顺时针方向旋转到直线PB的位置时，符合题意． 易得kPB＝＝2，kPA＝＝－，结合图形知，－a≥2或－a≤－，解得a≤－2或a≥．故选C．] 12．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)，若直线l：ax＋(a2－3)y－9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3 B　[由△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)知， △ABC重心为，即(1，1)， 又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点，即， 所以可得△ABC的欧拉线方程为＝，即x＋2y－3＝0， 因为ax＋(a2－3)y－9＝0与x＋2y－3＝0平行， 所以＝≠，解得a＝－1．故选B．] 13．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为________． 8　[点A在直线mx＋ny＋1＝0上，则 2m＋n＝1，所以＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥4＋4＝8， 当且仅当n＝2m，即n＝，m＝时，等号成立， 即＋的最小值为8．] 14．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程． [解]　(1)证明：直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，由点斜式方程可知，直线l过定点(－2，1)． (2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k， 要使直线不经过第四象限， 则必须有解得k＞0； 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意， 故k的取值范围是[0，＋∞)． (3)由题意可知k≠0，再由l的方程， 得A，B(0，1＋2k)． 依题意得解得k＞0． ∵S＝＝＝＝≥×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝， ∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0． 15．已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程． [解]　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点， ∵点B在中线y－1＝0上， ∴设点B坐标为(x，1)． 又∵点A坐标为(1，3)，D为AB的中点， ∴由中点坐标公式得点D坐标为． 又∵点D在中线x－2y＋1＝0上， ∴－2×2＋1＝0，解得x＝5， ∴点B坐标为(5，1)． 同理可求出点C的坐标是(－3，－1)． 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0． 7/9 学科网（北京）股份有限公司 $$