18 第二章 2.2.2 直线的两点式方程-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步讲义(人教A版2019)

2.2.2　直线的两点式方程 [学习目标]　1．掌握直线的两点式方程的形式、特点及适用范围．(数学抽象) 2．了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围．(数学抽象) 3．能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题．(逻辑推理、数学运算) (教师用书) 我们知道，两点可以确定一条直线，因此，直线上其他的任意一点的位置都可以由已知两点确定，即直线上任意其他点的坐标和已知两点的坐标都存在着恒定的数量关系． 如图所示，已知直线l上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，对于直线l上其他的任意一点Q(x，y)，A，B，Q三点坐标间的数量关系是怎样的呢？ [讨论交流]　 问题1．两点式方程与P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的顺序有关吗？ 问题2．两点式能否表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线？ 问题3．截距式方程适用的条件是什么？ [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　直线的两点式方程 探究问题1　如图，给定直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，试用点斜式写出l的方程． [提示]　y－y1＝(x－x1)． 探究问题2　给定直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，任选直线上一点P(x，y)，其中P不与P1，P2重合，那么与有什么关系？ [提示]　，即＝． [新知生成] 1．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程为＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 2．当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1＝0，即x＝x1；当y1＝y2时，直线P1P2垂直于y轴，直线方程为y－y1＝0，即y＝y1． 【教用·微提醒】　两点式方程也可写成＝，需注意等号左、右两边的字母、下标必须对应，不能乱写，并注意x1≠x2，y1≠y2． 【链接·教材例题】 例4　已知△ABC的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求边BC所在直线的方程，以及这条边上的中线AM所在直线的方程． [解]　如图2.2-6，过B(3，－3)，C(0，2)的直线的两点式方程为＝， 整理得5x＋3y－6＝0． 这就是边BC所在直线的方程． 边BC上的中线是顶点A与边BC中点M所连线段， 由中点坐标公式，可得点M的坐标为，即． 过A(－5，0)，M两点的直线方程为＝， 整理可得x＋13y＋5＝0． 这就是边BC上中线AM所在直线的方程． [典例讲评]　1．(源自湘教版教材)如图所示，已知三角形的三个顶点为A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)． (1)求BC边所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． [解]　(1)过B(5，－4)，C(0，－2)的直线的两点式方程为＝． 整理得2x＋5y＋10＝0． 这就是BC边所在直线的方程． (2)BC中点M的坐标为＝． 过A(－3，2)，M的直线的两点式方程为＝． 整理得10x＋11y＋8＝0． 这就是BC边上的中线AM所在直线的方程． 　1．利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件；若满足即可考虑用两点式求方程． (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 2．中点坐标公式：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2中点为． [学以致用]　1．已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求直线的方程． [解]　由直线经过点A(1，0)，B(m，1)知，该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． (1)当m＝1时，直线斜率不存在，直线方程为x＝1． (2)当m≠1时，直线斜率存在，利用两点式，可得直线方程为＝， 即x－(m－1)y－1＝0． 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0． 探究2　直线的截距式方程 探究问题3　若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ [提示]　kAB＝－，根据点斜式得y＝－(x－a)，即＋＝1． [新知生成] 方程＋＝1由直线在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以把此方程叫做直线的截距式方程，简称截距式．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距． 【教用·微提醒】　直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况，由直线的截距式方程可以直接读出直线在x轴和y轴上的截距，所以利用截距式解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题非常方便． 【链接·教材例题】 例3　如图2.2-5，已知直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0．求直线l的方程． [解]　将两点A(a，0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得＝，即＋＝1． [典例讲评]　2．过点A(1，4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　　) A．x－y＋3＝0 B．x＋y－5＝0 C．4x－y＝0或x＋y－5＝0 D．4x－y＝0或x－y＋3＝0 D　[法一：当直线过原点时，满足题意， 此时直线方程为y＝4x，即4x－y＝0， 当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1(a≠0)， 因为直线过点A(1，4)，所以－＝1， 解得a＝－3，此时直线方程为x－y＋3＝0．故选D． 法二：易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意， 设直线方程为y－4＝k(x－1)(k≠0)， 则x＝0时，y＝4－k；y＝0时，x＝1－，由题意知1－＋4－k＝0， 解得k＝4或k＝1，即直线方程为y＝4x或x－y＋3＝0．故选D．] [母题探究]　本例中“截距之和为零”改为“截距相等”呢？ [解]　(1)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx． 又l过A(1，4)，∴4＝k，∴直线l的方程为y＝4x． (2)当截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1， 又l过A(1，4)，∴＋＝1，解得a＝5， ∴直线l的方程为x＋y－5＝0． 综上，直线l的方程为x＋y－5＝0或4x－y＝0． 　截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)下列三种情况，不能用截距式表示直线： ①k不存在．②k＝0．③直线过原点． [学以致用]　2．直线x－2y－2＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则(　　) A．a＝2，b＝1　　 B．a＝2，b＝－1 C．a＝－2，b＝1 D．a＝－2，b＝－1 B　[令x＝0，解得y＝－1，故b＝－1；令y＝0，解得x＝2，故a＝2．故选B．] 3．过点P(3，2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(　　) A．x－y－1＝0或y＝0 B．x＋y－5＝0或2x－3y＝0 C．x＋y－5＝0或y＝0 D．x－y－1＝0或2x－3y＝0 B　[当直线在坐标轴上的截距为0时，此时直线方程过点P(3，2)和原点(0，0)， 直线方程为＝，整理得2x－3y＝0； 当截距不为0时，此时直线方程可设为＋＝1，把P(3，2)代入，得＋＝1，解得a＝5，∴直线方程为＋＝1，即x＋y－5＝0． 所以过点P(3，2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是x＋y－5＝0 或2x－3y＝0． 故选B．] 探究3　截距式方程的应用 [典例讲评]　3．直线l过点P，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． (1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程． [解]　(1)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)， 因为直线l过点P，所以＋＝1，① 由△AOB的周长为12，得a＋b＋＝12，② 联立①②解得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0． (2)设直线l的方程＋＝1(a＞0，b＞0)， 由题意知，ab＝6，即ab＝12，③ 联立①③，解得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0． 　直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a，0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝，周长C＝． [学以致用]　4．(多选)已知直线l过点(1，3)，若l与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积为S，则S的值可以是(　　) A．3　　　B．5　　　C．7　　　D．9 CD　[由题意知直线l在x，y轴上的截距存在且大于0， 可设l的方程为＋＝1(a，b＞0)，由直线l过点(1，3)，得＋＝1， 所以1＝＋≥2，当且仅当＝，即a＝2，b＝6时，等号成立， 即ab≥12，所以S＝ab≥6，故选CD．] 5．如图，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外△AEF内部有一文物保护区域不能占用，经过测量，AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应该如何设计才能使草坪面积最大？ [解]　在线段EF上取一点P(m，n)，作PQ⊥BC于Q，PR⊥CD于R，则矩形PQCR即为要建的矩形草坪， 设矩形PQCR的面积是S，则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)． 又因为＋＝1(0≤m≤30)， 所以n＝20， 故S＝(100－m)＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)， 当m＝5时，S有最大值，此时＝＝5，即当点P为线段EF上靠近F点的六等分点时，可使草坪面积最大． 1．过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线的两点式方程是(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ B　[过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线的两点式方程是＝或＝．故选B．] 2．直线l：2x－3y＋6＝0在x轴上的截距是(　　) A．(－3，0) B．(3，0) C．－3 D．3 C　[令y＝0，解得x＝－3，故直线l：2x－3y＋6＝0在x轴上的截距是－3． 故选C．] 3．(多选)若直线l过点(4，－2)且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为(　　) A．x－2y＝0 B．x＋2y＝0 C．x＋y－2＝0 D．x－y－6＝0 BD　[当截距为0时，则l过点(4，－2)和原点， 所以l的方程为y＝－x，即x＋2y＝0； 当截距不为0时， 由直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则设l的方程为＋＝1， 又l过点(4，－2)，得＋＝1，解得a＝6，所以l的方程为x－y－6＝0． 故选BD．] 4．直线－＝1与坐标轴围成的图形面积为________． 3　[因为直线－＝1，故x轴上的截距为2，y轴上的截距为－3， 所以面积为＝3．] 1．知识链：(1)直线的两点式方程． (2)直线的截距式方程． 2．方法链：分类讨论法、数形结合法． 3．警示牌：在利用截距式求直线的方程时，容易遗忘截距为零的情况． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．试写出直线的两点式方程． [提示]　＝(x1≠x2，y1≠y2)． 2．试写出直线的截距式方程． [提示]　＋＝1． 3．如何解决与直线在x轴、y轴上的截距有关的问题？ [提示]　可设直线的截距式方程求解，应注意当截距为0时，直线过原点，不能用截距式方程表示． 课时分层作业(十五)　直线的两点式方程 一、选择题 1．已知直线l经过点(－3，－2)，(1，2)，则下列不在直线l上的点是(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(2，1) D　[由直线的两点式方程，得直线l的方程为＝，即x－y＋1＝0， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点(－2，－1)，(－1，0)，(0，1)都在直线l上，点(2，1)不在直线l上． 故选D．] 2．已知直线x－2y＋t＝0经过点(2，－1)，则该直线在y轴上的截距为(　　) A． B．－ C．2 D．－2 D　[直线x－2y＋t＝0经过点(2，－1)，则2＋2＋t＝0，解得t＝－4， 故直线方程为x－2y－4＝0，令x＝0，解得y＝－2， 故该直线在y轴上的截距为－2．故选D．] 3．已知△ABC三顶点A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0 C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0 A　[点M的坐标为(2，4)，点N的坐标为(3，2)，由两点式方程得＝， 即2x＋y－8＝0．故选A．] 4．(多选)下列选项中不正确的是(　　) A．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B．经过任意两个不同点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)·(y2－y1)表示 C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示 D．经过定点的直线都可以用y＝kx＋b表示 ACD　[A不正确，该方程无法表示直线x＝x0；C不正确，该方程无法表示与坐标轴平行的直线；D不正确，该方程无法表示与x轴垂直的直线，B正确．] 5．直线l经过点P(4，－3)，在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a，b满足logab＝2，则直线l的斜率为(　　) A．2 B．－1 C．－3 D．－1或－3 C　[设直线l的截距式方程为＋＝1，且a＞0，a≠1，b＞0， ∵直线l经过点P(4，－3)，∴－＝1，① ∵logab＝2，∴a2＝b，② 由①②解得a＝3，b＝9，＋＝1，即y＝－3x＋9， ∴直线l的斜率为－3，故选C．] 二、填空题 6．以点P(5，8)和Q(3，－4)为端点的线段的方程是________． 6x－y－22＝0(3≤x≤5)　[过两点P(5，8)，Q(3，－4)的线段的方程是＝(3≤x≤5)，即6x－y－22＝0(3≤x≤5)．] 7．写出一个截距相等且不过第三象限的直线方程________． x＋y－1＝0(答案不唯一)　[当截距相等且为0时，直线过原点，又直线不过第三象限， 则直线方程为y＝kx(k＜0)； 当截距相等且不为0时，直线截距式方程为＋＝1，又直线不过第三象限，有a＞0， 则直线方程为x＋y－a＝0(a＞0)．] 8．已知直线l过点(3，4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的两倍，则直线l的方程为________． y＝x或x＋2y－11＝0　[①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为y＝kx， 因为直线过点(3，4)，所以k＝，所以直线l的方程为y＝x； ②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时， 设直线l在y轴上的截距为b，则在x轴上的截距为2b， 则直线l的方程为＋＝1，又因为直线l过点(3，4)，所以＋＝1， 解得b＝，所以直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－11＝0． 综上所述，直线l的方程为y＝x或x＋2y－11＝0．] 三、解答题 9．求下列直线l的方程： (1)l的倾斜角是π，l在x轴上的截距是－3； (2)l在x轴、y轴上的截距分别是－2，4； (3)直线l经过点A(2，1)，B(1，－2)． [解]　(1)因为l在x轴上的截距是－3，所以l经过点A(－3，0)， 又因为l的斜率k＝tan π＝－，所以由点斜式可得l的方程是：y＝－(x＋3)． (2)由题意，直线的截距式方程为＋＝1，即2x－y＋4＝0． (3)直接把点A，B的坐标代入直线的两点式方程， 得＝，即y＝3x－5． 10．(多选)直线l过点A(1，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l在y轴上的截距可能是(　　) A．3 B．0 C． D．1 ABD　[由题意，直线l过点A(1，2)，在两坐标轴上的截距的绝对值相等， 当直线l的截距为0时，显然满足题意，直线l的方程为y＝2x； 当直线l的截距不为0时，设横、纵截距分别为a，b，则直线方程为＋＝1， ∴解得b＝1或3，∴直线l的纵截距可取0，1，3．故选ABD．] 11．两条直线－＝1与－＝1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的(　　) A　　　　B　　　　　C　　　D B　[两直线的方程分别化为y＝x－n，y＝x－m，易知两直线的斜率符号相同．] 12．直线l：＋＝1过点A(2，3)，则直线l与x轴、y轴正半轴围成的三角形的面积最小值为(　　) A．6 B．12 C．18 D．24 B　[因为直线l：＋＝1过点A(2，3)，所以＋＝1， 令x＝0，可得y＝n，即直线l与y轴交于点(0，n)， 令y＝0，可得x＝m，即直线l与x轴交于点(m，0)， 依题意可得m＞0，n＞0，所以＋＝1≥2，则mn≥24，当且仅当＝， 即m＝4，n＝6时取等号，所以直线l与x轴、y轴正半轴围成的三角形的面积S＝mn≥12，当且仅当m＝4，n＝6时取等号，即直线l与x轴、y轴正半轴围成的三角形的面积最小值为12．故选B．] 13．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线y＝2x和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P，则直线AB的方程为________． 3x－4y＋20＝0　[依题意知，a＝2，P(0，5)． 设A(x0，2x0)，B(－2y0，y0)， 则由中点坐标公式，得 解得 所以A(4，8)，B(－4，2)， 由直线的两点式方程，得直线AB的方程是＝，即3x－4y＋20＝0．] 14．已知直线l的横截距为m，且在x轴、y轴上的截距之和为4． (1)若直线l的斜率为2，求实数m的值； (2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程． [解]　(1)依题意直线在x轴、y轴上的截距都存在且不为0， 设直线l的方程为＋＝1(m≠0且m≠4)， 令y＝0，可得x＝m；令x＝0，可得y＝4－m，即直线l经过点(m，0)，(0，4－m)， 所以直线l的斜率k＝＝2，解得m＝－4． (2)设直线l的方程为＋＝1(m≠0，且m≠4)， 由直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点， 可得解得0＜m＜4，又由A(m，0)，B(0，4－m)， 可得S△AOB＝＝－(m－2)2＋2， 当m＝2时，S△AOB取得最大值2，此时直线方程为＋＝1，即y＝－x＋2． 15．一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m．问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？ [解]　如图，以河流所在直线为x轴，y轴通过点A，建立直角坐标系，则点A(0，300)，B(x，700)，设B点在y轴上的射影为H，则x＝|BH|＝＝300，故点B(300，700)，设点A关于x轴的对称点A′(0，－300)，则直线A′B的方程为＝，即y＝x－300． 令y＝0，得x＝90，得点P(90，0)，故水电站建在河边P(90，0)处电线用料最省． 3/14 学科网（北京）股份有限公司 $$