16 第二章 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步讲义(人教A版2019)

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 [学习目标]　1．理解两条直线平行和垂直的条件．(数学抽象) 2．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(逻辑推理) 3．能利用两直线平行或垂直的条件解决问题．(数学运算) (教师用书) 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理．过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？ [讨论交流]　 问题1．是否总有l1∥l2⇔k1＝k2？ 问题2．是否总有l1⊥l2⇔k1k2＝－1？ 问题3．解决直线平行或垂直问题时，需注意什么？ [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　两条直线平行的判定 探究问题1　在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ [提示]　两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补． 探究问题2　平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ [提示]　两直线平行，倾斜角相等． [新知生成] 两条直线平行与斜率之间的关系 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 图示 【教用·微提醒】　(1)若没有指明l1，l2不重合，那么k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合，用斜率证明三点共线时，常用到这一结论． (2)用“l1∥l2⇔k1＝k2”时，要明确两个前提条件： ①l1与l2是不重合的两条直线；②斜率都存在． 【链接·教材例题】 例2　已知A(2，3)，B(－4，0)，P(－3，1)，Q(－1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论． [解]　如图2.1-8，由已知可得 直线BA的斜率kBA＝＝， 直线PQ的斜率kPQ＝＝． 因为kBA＝kPQ，所以直线AB∥PQ． [典例讲评]　1．根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)l1经过点A(2，3)，B(－4，0)，l2经过点M(－3，1)，N(－2，2)； (2)l1的斜率为－，l2经过点A(4，2)，B(2，3)； (3)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)； (4)l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)． [解]　(1)kAB＝＝，kMN＝＝1，因为kAB≠kMN，所以l1与l2不平行． (2)l1的斜率k1＝－，l2的斜率k2＝＝－，k1＝k2，所以l1与l2平行或重合． (3)由题意，知l1的斜率不存在，且不与y轴重合，l2的斜率也不存在，且与y轴重合，所以l1与l2平行． (4)由题意，知kEF＝＝1，kGH＝＝1，kEF＝kGH，所以l1与l2平行或重合． 需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，kFG＝＝1． 所以E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合． 　判断两条不重合的直线是否平行的两种方法 (1)利用直线的斜率判断： (2)利用直线的方向向量判断：求出两直线的方向向量，通过判断两向量是否共线，得到两条直线是否平行． [学以致用]　1．满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是(　　) ①l1的斜率为2，l2过点A(1，2)，B(4，8)； ②l1经过点P(3，3)，Q(－5，3)，l2平行于x轴，但不经过P点； ③l1经过点M(－1，0)，N(－5，－2)，l2经过点R(－4，3)，S(0，5)． A．①②　　B．②③　　C．①③　　D．①②③ B　[①∵l1的斜率为2，l2过点A(1，2)，B(4，8)， 故l2的斜率为＝2，故l1与l2平行或重合，故排除①． ②∵l1经过点P(3，3)，Q(－5，3)，∴l1的斜率为＝0， 由于l2平行于x轴，但不经过P点，故l1∥l2． ③∵l1经过点M(－1，0)，N(－5，－2)，∴l1的斜率为＝， ∵l2经过点R(－4，3)，S(0，5)，∴l2的斜率为＝， 而直线MR的斜率为＝－1，故l1∥l2．故选B．] 探究2　两条直线垂直的判定 探究问题3　平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ [提示]　k1·k2＝－1． [新知生成]　两条直线垂直与斜率之间的关系 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在，且都不为零)⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2 【教用·微提醒】　(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2． (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率． 【链接·教材例题】 例4　已知A(－6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，－6)，试判断直线AB与PQ的位置关系． [解]　直线AB的斜率kAB＝， 直线PQ的斜率kPQ＝－． 因为kABkPQ＝×＝－1，所以直线AB⊥PQ． [典例讲评]　2．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值． [解]　∵A，B两点纵坐标不相等， ∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD， ∴CD与x轴不垂直，∴－m≠3，即m≠－3． (1)当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1．当m＝－1时，C，D两点的纵坐标均为－1． ∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意． (2)当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得 kAB＝＝， kCD＝＝． ∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1， 即·＝－1，解得m＝1． 综上，m的值为1或－1． 　判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可．若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． [学以致用]　2．判断下列各题中l1与l2是否垂直． (1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)； (2)l1的斜率为－10；l2经过点A(10，2)，B(20，3)； (3)l1经过点A(3，4)，B(3，10)；l2经过点M(－10，40)，N(10，40)． [解]　(1)k1＝＝2，k2＝＝， 因为k1k2＝1，所以l1与l2不垂直． (2)k1＝－10，k2＝＝，因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2． (3)由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴． k2＝＝0，则l2⊥y轴， 所以l1⊥l2． 探究3　平行与垂直的综合应用 【链接·教材例题】 例3　已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，－1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明． [解]　如图2.1-9，由已知可得 AB边所在直线的斜率kAB＝－， CD边所在直线的斜率kCD＝－， BC边所在直线的斜率kBC＝， DA边所在直线的斜率kDA＝． 因为kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA． 因此四边形ABCD是平行四边形． [典例讲评]　3．已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状． [解]　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图， 由斜率公式可得 kAB＝＝， kCD＝＝， kAD＝＝－3， kBC＝＝－， ∴kAB＝kCD， 由图可知AB与CD不重合， ∴AB∥CD． 由kAD≠kBC， ∴AD与BC不平行． 又kAB·kAD＝×(－3)＝－1， ∴AB⊥AD． 故四边形ABCD为直角梯形． [母题探究]　将本例中B点坐标改为(5，6)，其他点不变，此时四边形ABCD是什么图形？ [解]　kAB＝＝，kBC＝＝－3， 所以kAB·kBC＝－1，且kAB＝kCD． 所以AB⊥BC，AB∥CD． 故四边形ABCD为矩形． 　利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤 [学以致用]　3．已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)． [解]　设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0， 所以kAB·kBC＝0≠－1， 即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰． (1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD，因为kBC＝0，所以CD的斜率不存在，从而有x＝3．又kAD＝kBC，所以＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3，3)． (2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，因为kAD＝，kCD＝， 所以 解得x＝，y＝，此时AD与BC不平行，所以D点坐标为． 综上，D点坐标为(3，3)或． 【教用·备选题】　(1)已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A，B，C，则点D的坐标为________． (2)已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2，2)，且四边形ABCD为直角梯形，求m和n的值． (1)　[法一：设点D的坐标为(m，n)．由题意知，AB∥CD，AD∥BC． 由两直线平行的条件知 kAB＝kCD，kAD＝kBC， ∴化简，得 解得∴点D的坐标为． 法二：设点D的坐标为(m，n)．由题意知，． 依题意得，＝， ＝， 因此解得 ∴点D的坐标为．] (2)当AB∥CD，AB⊥AD时，由图a可知，A(2，－1)，∴m＝2，n＝－1． 当AD∥BC，AD⊥AB时，由图b可知， 即 解得m＝，n＝－． 综上，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－． 【链接·教材例题】 例5　已知A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断△ABC的形状． [分析]　如图2.1-10，猜想AB⊥BC，△ABC是直角三角形． [解]　边AB所在直线的斜率kAB＝－，边BC所在直线的斜率kBC＝2． 由kABkBC＝－1，得AB⊥BC， 即∠ABC＝90°． 所以△ABC是直角三角形． 1．(多选)已知直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是(　　) A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2 C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2 BCD　[根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行； 当直线的倾斜角相等，则直线平行，当直线平行，则倾斜角必相等．故选BCD．] 2．已知直线l1的倾斜角为30°，且直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A．－ B． C．－ D． C　[由题意可得直线l1的斜率为．由直线l1⊥l2，得直线l2的斜率为－．故选C．] 3．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，)，B(－2，－2)，则直线l1，l2的位置关系是(　　) A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 A　[由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 60°＝，直线l2的斜率k2＝＝．因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合．故选A．] 4．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，则AB边上的高所在直线的斜率为________． －　[∵kAB＝＝， ∴AB边上的高所在直线的斜率为－．] 1．知识链：(1)两条直线平行的判定． (2)两条直线垂直的判定． 2．方法链：分类讨论、数形结合． 3．警示牌：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．两条直线平行和斜率有怎样的关系？ [提示]　两条平行直线的斜率相等或斜率均不存在． 2．两条直线垂直和斜率有怎样的关系？ [提示]　两条直线垂直，则它们的斜率之积为－1或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在． 3．经过A，B两点的直线其斜率不存在，则A，B两点的坐标有什么特点？ [提示]　A，B两点横坐标相同，纵坐标不相同． 课时分层作业(十三)　两条直线平行和垂直的判定 一、选择题 1．(多选)已知两条直线l1，l2，有如下说法，其中正确的是(　　) A．直线l1，l2的斜率都存在，分别为k1，k2，且k1·k2＝－1，则l1⊥l2 B．直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在且为0，则l1⊥l2 C．若直线l1与l2相交，则必有k1≠k2 D．直线l1，l2的斜率存在，分别为k1，k2，若k1≠k2，则l1与l2一定相交 ABD　[l1，l2的斜率都存在，且斜率之积为－1，则l1⊥l2，A正确；直线l1的斜率不存在，直线l1与x轴垂直，直线l2的斜率存在且为0，直线l2与x轴平行或重合，B正确；直线l1与l2相交，但斜率不一定存在，C错误；直线l1，l2的斜率存在，若k1≠k2，则l1与l2一定相交，D正确．故选ABD．] 2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 D　[设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2． ∵直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根， ∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2．故选D．] 3．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则直线l的倾斜角为(　　) A．135° B．45° C．30° D．60° B　[由题意知，PQ⊥l． ∵经过P，Q两点的直线的斜率kPQ＝＝－1，∴直线l的斜率kl＝1，即直线l的倾斜角为45°．] 4．已知A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为(　　) A．1 B．0 C．0或2 D．0或1 D　[当AB与CD的斜率均不存在时，m＝0，此时AB∥CD；当kAB＝kCD时，m＝1，此时AB∥CD．故选D．] 5．下列条件中，使得l1⊥l2的是(　　) ①l1的斜率为－，l2经过点A(1，1)，B； ②l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－5)； ③l1经过点M(1，0)，N(4，－5)，l2经过点R(－6，0)，S(－1，3)． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ B　[①中，易求得l2的斜率为＝，×＝－1，故l1⊥l2； ②中，l1的斜率为tan 45°＝1，l2的斜率为＝－，1×≠－1，故l1与l2不垂直； ③中，l1的斜率为＝－，l2的斜率为＝，－×＝－1，故l1⊥l2． 故①③正确．故选B．] 二、填空题 6．设动直线l经过定点A(－1，1)，则当点B(2，－1)与直线l的距离最大时，直线l的斜率为________． 　[当直线AB⊥l时，点B与直线l的距离最大， 此时直线AB的斜率为＝－，所以直线l的斜率为．] 7．已知l1，l2不重合，直线l1经过点A(－2，m)和点B(m，4)，直线l2的斜率为－2，直线l3的斜率为－，若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n的值为________． －10　[由题意可得，直线l1的斜率为，又直线l2的斜率为－2，且l1∥l2，所以＝－2，解得m＝－8． 由于直线l3的斜率为－，l2⊥l3，所以－2×＝－1，解得n＝－2．所以m＋n＝－10．] 8．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)．若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________． 6　[∵直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则这两条直线互相平行，∴它们的斜率相等， 即＝，求得a＝6．] 三、解答题 9．已知直线l1经过A(m，3)，B(1，m)两点，l2经过P(2，1)，Q(4，2)两点． (1)若l1∥l2，求m的值； (2)若l1，l2的倾斜角互余，求m的值． [解]　由题意得kAB＝，kPQ＝＝． (1)若 l1∥l2，则kAB＝＝kPQ＝，得m＝． (2)若 l1，l2 的倾斜角互余，则kAB＝＝＝2，得m＝． 10．如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　) A．(－3，1) B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1) A　[如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B． 根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标．] 11．已知直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝(　　) A． B．4＋ C．4－ D．－ B　[如图，由题可知直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，则直线l1的斜率k1＝tan 60°＝，由l1∥l2，得直线l2的斜率k2＝． ∵直线l2是线段AB的垂直平分线，∴直线AB的斜率kAB＝＝－．∴＝－，解得m＝4＋．故选B．] 12．在直角梯形ABCD中，已知点A(－5，－10)，B(15，0)，C(5，10)，AD是腰且垂直于两底，则顶点D的坐标为________． (－11，2)　[设点D(x，y)． 由题意可知DC∥AB，DA⊥AB，直线AB的斜率存在且不为0，所以kDC＝kAB，kDA·kAB＝－1， 即＝①，×＝－1②， 由①②得x＝－11，y＝2．故顶点D的坐标为(－11，2)．] 13．如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________． 6　[以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，垂直于l1的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设B(a，－2)，C(b，3)． ∵AC⊥AB， ∴kAC·kAB＝－1， ∴·＝－1， 则ab－6＝0，ab＝6，b＝． ∴Rt△ABC的面积S＝ ＝·＝·＝≥＝6(当且仅当a2＝4时取等号)．] 14．如图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长为|AD|＝5 m，宽为|AB|＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问在BC上能否找到一点M，使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直？ [解]　以点B为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)． 则C(5，0)，D(5，3)，A(0，3)． 设M(x，0)，0＜x＜5． 因为AC⊥DM，所以kAC·kDM＝－1， 所以·＝－1，解得x＝3.2， 所以当|BM|＝3.2 m时，两条小路所在直线AC与DM相互垂直． 15．已知M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0)． (1)若点Q满足PQ⊥MN，PN∥MQ，求点Q的坐标； (2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角． [解]　(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3，又PQ⊥MN，∴kPQ·kMN＝－1，即×3＝－1①，由已知得kPN＝－2，又PN∥MQ，∴kPN＝kMQ，即－2＝②， 联立①②，解得x＝0，y＝1，∴Q(0，1)． (2)设Q(x0，0)． ∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝－kNP， 又kNQ＝，kNP＝－2，∴＝2，解得x0＝1，∴Q(1，0)， 又M(1，－1)，∴MQ⊥x轴，故直线MQ的倾斜角为90°． 1/2 学科网（北京）股份有限公司 $$