15 第二章 2.1.1 倾斜角与斜率-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步讲义(人教A版2019)

2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 [学习目标]　1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．(数学抽象、直观想象) 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程．(数学抽象) 3．掌握过两点的直线斜率的计算公式．(数学运算) (教师用书) 由初中的平面几何知识，我们知道两点确定一条直线；由必修教材中的平面向量知识，我们知道一个点与一个方向也可以确定一条直线．那么，怎样用代数方法刻画直线呢？ [讨论交流]　 问题1．直线的倾斜角是如何定义的？它的取值范围如何？ 问题2．直线的斜率是如何定义的？直线的斜率一定存在吗？ 问题3．若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？所有的直线都有倾斜角吗？ [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　直线的倾斜角 探究问题1　在平面中，怎样才能确定一条直线？ [提示]　两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线． 探究问题2　在平面直角坐标系中，经过原点、与x轴正方向的夹角为60°的直线有几条？ [提示]　有且仅有一条． [新知生成] 1．当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°． 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°． 【教用·微提醒】　(1)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角(未作旋转时倾斜角为0°)． (2)倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等． (3)一条直线的倾斜角存在且唯一． [典例讲评]　1．(1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(　　) A．30°　　　　B．60°　　　　C．30°或150°　　　　D．60°或120° (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45°　　　　B．α－135°　　　　C．135°－α 　　　　D．α－45° (1)D　(2)AB　[(1)如图，直线l有两种情况，故直线l的倾斜角为60°或120°． (2)根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知： 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．] 　求直线的倾斜角的方法及两点注意 1．方法：结合图形，利用定义求角． 2．两点注意：(1)当直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°． (2)注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．有时要根据题意把倾斜角α分为以下四种情况讨论：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°． [学以致用]　1．(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为－30° C．倾斜角为0°的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) AC　[任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确． D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误．] 2．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角α2＝________． 135°　[设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°．] 探究2　直线的斜率 探究问题3　在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α． (1)已知直线l经过O(0，0)，P(，1)，α与O，P的坐标有什么关系？ (2)类似地，如果直线l经过P1(－1，1)，P2(，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？ (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？ [提示]　(1)tan α＝＝．(2)tan α＝＝1－．(3)tan α＝． [新知生成] 1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α． 2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 3．直线的斜率与方向向量的关系 (1)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量的坐标为(1，k)． (2)若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，则直线l的斜率k＝． 【教用·微提醒】　(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°． (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0． 【链接·教材例题】 例1　如图2.1-6，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． [解]　直线AB的斜率kAB＝＝； 直线BC的斜率kBC＝＝＝－； 直线CA的斜率kCA＝＝＝1． 由kAB＞0及kCA＞0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由kBC＜0可知，直线BC的倾斜角为钝角． [典例讲评]　2．(1)求经过两点A(2m，1)，B(m，2)(m∈R)的直线l的斜率； (2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针旋转90°，求所得直线的斜率； (3)若三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，求k的值； (4)已知点A(－1，－3)，B(0，－1)，C(4，7)，试判断这三点是否共线． [解]　(1)当直线l垂直于x轴，即2m＝m，m＝0时，其斜率不存在； 当2m≠m，即m≠0时，直线l的斜率k＝＝－． (2)∵直线l过原点且斜率为1， ∴直线l的倾斜角为45°． 直线l绕原点逆时针旋转90°后所得直线的倾斜角为135°， 故所求直线的斜率k＝tan 135°＝－1． (3)∵点A，B，C在同一条直线上，且三点的横坐标均不相等，kAB＝＝3存在， ∴kAB＝kBC，即3＝，解得k＝6． (4)∵A，B，C三点的横坐标均不相等， ∴kAB＝＝2，kAC＝＝2， ∴kAB＝kAC．又A为公共点， ∴直线AB与AC重合，∴A，B，C三点共线． 　1．直线斜率的基本求法 (1)利用两点坐标求直线的斜率，即k＝(x1≠x2)，用此法时要注意两点的横坐标不能相等，同时要注意横、纵坐标必须对应． (2)利用倾斜角求斜率，即k＝tan α，用此法时一定注意倾斜角为90°时，直线的斜率不存在． 2．利用斜率公式求直线的斜率时，如果点的坐标中含有参数，需要先对直线斜率是否存在作出判断，即对参数进行分类讨论． 3．判断三点共线的方法 对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在． (1)若斜率都不存在，则三点共线． (2)若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线． [学以致用]　3．(源自人教B版教材)已知A(－2，－1)，B(0，－3)，C(1，－4)，D(2，－6)，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？ [解]　因为kAB＝＝－1，kAC＝＝－1，kAD＝＝－， 所以kAB＝kAC≠kAD，因此A，B，C共线，而A，B，D不共线． 4．求经过两点A(a，2)，B(3，6)的直线的斜率． [解]　当a＝3时，斜率不存在；当a≠3时，直线的斜率k＝． 探究3　倾斜角和斜率的综合应用 探究问题4　当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？ [提示]　当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大． [新知生成] 1．设直线的倾斜角为α，斜率为k． α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180° k的范围 k＝0 k＞0 不存在 k＜0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 2．下面特殊角的正切值要熟记： 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 【教用·微提醒】　(1)根据正切函数在[0，π)上的图象可知，倾斜角与斜率之间是一一对应的，即可以用k的值判定倾斜角的情况． (2)正确分析斜率随倾斜角的变化规律，注意90°倾斜角没有斜率． [典例讲评]　3．(1)设点A(3，－3)，B(－2，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是(　　) A．k≥1或k≤－4 B．k≥1或k≤－2 C．－4≤k≤1 D．－2≤k≤1 (2)(源自北师大版教材)根据下列条件，求直线l的倾斜角： ①斜率为－； ②经过A(－2，0)，B(－5，3)两点； ③一个方向向量为＝． (1)B　[如图，直线PB的斜率为kPB＝＝1，直线PA的斜率为kPA＝＝－2，当直线l与线段AB相交时，则l的斜率k的取值范围是k≥1或k≤－2． 故选B．] (2)[解]　设直线l的倾斜角为α． ①因为直线l的斜率为－，所以tan α＝－． 又因为0≤α<π，所以α＝． ②由经过两点的直线斜率的计算公式，可得直线l的斜率k＝＝－1， 又因为0≤α<π，所以α＝． ③由直线l的一个方向向量为P1P2＝，可得斜率k＝＝，又因为0≤α<π，所以α＝． [母题探究]　若将本例(1)中“B(－2，－2)”改为“B(2，2)”，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围． [解]　∵P(1，1)，A(3，－3)，B(2，2)， ∴kAP＝－2，kBP＝1， 由图可知，直线l的斜率的取值范围为[－2，1]． 　倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者要相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解． [学以致用]　5．若直线l的倾斜角为α，且45°≤α≤135°，则直线l斜率的取值范围为(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．[－1，1] D．[1，＋∞)∪(－∞，－1] D　[直线倾斜角为45°时，斜率为1，直线倾斜角为135°时，斜率为－1， 当倾斜角为90°时，斜率不存在，因为k＝tan α在上单调递增，在上单调递增，所以当45°≤α≤135°时，k的取值范围是[1，＋∞)∪(－∞，－1]．故选D．] 【教用·备选题】　已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值． [解]　的几何意义是过点(－2，－3)和曲线y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)上任意一点(x，y)的直线的斜率． 对于y＝x2－2x＋2，当x＝－1时，y＝5；当x＝1时，y＝1． 设点(－1，5)为B，点(1，1)为A，点(－2，－3)为P，如图所示． 由图可知，当直线经过点P(－2，－3)和B(－1，5)时，斜率最大；当直线经过点P(－2，－3)和A(1，1)时，斜率最小． 又kPA＝＝，kPB＝＝8， 所以的最大值为8，最小值为． 1．(多选)设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋60°　　　 B．α＋120° C．α－60° D．120°－α BC　[直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，当α≥60°时，直线l1的倾斜角为α－60°，当0°≤α<60°时，直线l1的倾斜角为α－60°＋180°＝120°＋α．] 2．(多选)下列说法正确的有(　　) A．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应 B．倾斜角为135°的直线的斜率为1 C．一条直线的倾斜角为α，则其斜率为k＝tan α D．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞) AD　[对于A，每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应，故A正确； 对于B，倾斜角为135°的直线的斜率为－1，故B错误； 对于C，一条直线的倾斜角为α，则其斜率为k＝tan α，故C错误； 对于D，直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)，故D正确．故选AD．] 3．已知点A(－1，4)，B(2，7)在直线l上，则直线l的倾斜角的大小为(　　) A． B． C． D． C　[直线l的斜率为k＝＝1，设直线l的倾斜角为α，则tan α＝1， 因为α∈[0，π)，所以α＝．故选C．] 4．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)，当m＝________时，直线l的斜率是1． 　[kMN＝＝1，解得m＝．] 1．知识链：(1)直线的倾斜角． (2)直线的斜率． (3)直线的方向向量与斜率的关系． (4)直线的倾斜角与斜率的综合应用． 2．方法链：数形结合、分类讨论． 3．警示牌：(1)对直线的斜率与倾斜角理解不透彻，忽略直线的斜率不存在致错． (2)对直线的方向向量与斜率的关系搞不清楚． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．直线的倾斜角是如何定义的？其取值范围是什么？ [提示]　当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°，因此，直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°． 2．直线的斜率是如何定义的？直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式是什么？ [提示]　把一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率，倾斜角是90°的直线没有斜率． 直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式是k＝． 3．直线的斜率k和直线的方向向量有怎样的关系？ [提示]　若直线的斜率为k，则n＝(1，k)是其方向向量． 反之若直线的方向向量n＝(x，y)，则斜率k＝(x≠0)． 课时分层作业(十二)　倾斜角与斜率 一、选择题 1．(多选)在下列四个命题中，正确的是(　　) A．若直线的倾斜角α为锐角，则其斜率一定大于0 B．任意直线都有倾斜角α，且当α≠90°时，斜率为tan α C．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大 AB　[当0°＜α＜90°时，其斜率k＝tan α＞0，所以A正确； 根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有确定的倾斜角，由斜率定义可得，当直线的倾斜角α≠90°时，直线的斜率为tan α，所以B正确； 若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为β＝α＋k×180°，k∈Z，且0°≤β＜180°，故C不正确；直线的倾斜角为锐角时斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确．故选AB．] 2．过两点A(3，y)，B(2，0)的直线的倾斜角为120°，则y＝(　　) A． B． C．－ D．－ D　[设直线斜率为k，则k＝tan 120°＝＝y＝－．故选D．] 3．若直线l的斜率大于1，则l的倾斜角的取值范围为(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． B　[设直线l的倾斜角为α，直线l的斜率大于1， 得α≠，tan α＞1，得α∈．故选B．] 4．已知直线l1的倾斜角是直线l2的倾斜角的2倍，且l1的斜率为－，则l2的斜率为(　　) A．3或－　　　　B．3　　　　C．或－3　　　　D． B　[设l2的倾斜角为α，由tan 2α＝＝－， 得3tan2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－，又l2的倾斜角必为锐角， 所以l2的斜率为3．故选B．] 5．斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成．如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为18 m．最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m，以B10A10所在直线为x轴，OP10所在直线为y轴，则最长拉索B10P10所在直线的斜率为(　　) A． B． C． D． B　[如图， 根据题意，最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m， 且|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为18 m，则|OA10|＝|OA1|＋|A1A10|＝78＋9×18＝240 m，即点A10(240，0)， 同理B10(－240，0)，又|OP10|＝|OP1|＋|P1P10|＝84＋9×4＝120，即点P10(0，120)， 所以kB10P10＝＝，即最长拉索所在直线的斜率为．故选B．] 二、填空题 6．直线l的倾斜角α满足sin α＝，则直线l的斜率为________． ±　[因为α∈[0，π)，且sin α＝， 则cos α＝±＝±， 所以直线l的斜率为tanα＝＝±．] 7．已知直线l的方向向量n＝(2，－2)，则直线l的倾斜角为________ 　[由于直线l的方向向量n＝(2，－2)，则直线l的斜率为＝－， 设直线l的倾斜角为θ，则tan θ＝－，θ∈[0，π)，∴θ＝．] 8．已知直线l上一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率k为________． －　[设点P(a，b)是直线l上的一点， 将点P(a，b)向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点P′(a＋4，b－2)仍在该直线上，则直线l的斜率k＝＝－．] 三、解答题 9．已知坐标平面内两点M(m＋3，3m＋5)，N(2m－1，1)． (1)当直线MN的倾斜角θ为锐角时，求m的取值范围； (2)若直线MN的方向向量为a＝(1，－2 025)，求m的值． [解]　(1)因为倾斜角θ为锐角，则k＝tan θ＞0，而k＝＝＞0， 即(3m＋4)(m－4)＜0，解得－＜m＜4，所以m的取值范围为． (2)直线MN的方向向量为a＝(1，－2 025)，可得k＝－2 025＝，解得m＝． 10．(多选)已知直线l1，l2，l3的倾斜角分别为θ1，θ2，θ3，斜率分别是k1，k2，k3，若θ1＜θ2＜θ3，则k1，k2，k3的大小关系可能是(　　) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k2＜k1 C．k3＜k1＜k2 D．k2＜k3＜k1 ACD　[由k＝tan x在，上分别单调递增， 且x∈时，k＞0；x∈时，k＜0， 若0＜θ1＜θ2＜θ3＜，或＜θ1＜θ2＜θ3＜π，则k1＜k2＜k3，故A正确； 若0＜θ1＜θ2＜＜θ3＜π，则k3＜k1＜k2，故C正确； 若0＜θ1＜＜θ2＜θ3＜π，则k2＜k3＜k1，故D正确，无论哪种条件下，B都不成立．故选ACD．] 11．已知两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈，则直线AB的倾斜角α的取值范围是(　　) A． B． C．∪ D． D　[因为两点A(－1，2)，B(m，3)，且m∈， 设直线的倾斜角为α，且α∈(0，π)， 当m＝－1时，m＝－1∈，此时直线的倾斜角为． 当m≠－1时，直线的斜率k＝＝， 可得m＋1∈，可得k＝≥或k≤－， 即tan α≥或tan α≤－，可得α∈或α∈． 综上所述，直线的倾斜角α∈．故选D．] 12．若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则＋的值为_______． 　[∵ab≠0，∴＝，即2a＋2b＝ab，两边同除以ab，得＋＝．] 13．已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)． (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围． [解]　(1)由斜率公式得：kAB＝＝0， kBC＝＝，kAC＝＝， ∴直线AB的倾斜角为0°，直线BC的倾斜角为60°，直线AC的倾斜角为30°． (2)如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时， 直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kAC增大到kBC， ∴k的取值范围为． 14．(多选)在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为(0，0)，(1，0)，(2，0)，(4，0)，则正方形ABCD四边所在直线中过点(0，0)的直线的斜率可以是(　　) A．2 B． C． D． ABD　[因为选项斜率均为正值，不妨假设AB所在的直线过点(0，0)， 设直线AB的倾斜角为α∈，斜率为k． ①若CD所在的直线过点(1，0)，如图，可得BC＝sin α，CD＝2cos α，因为BC＝CD，即sin α＝2cos α，则k＝tan α＝2． ②若CD所在的直线过点(2，0)，如图，可得BC＝2sin α，CD＝3cos α， 因为BC＝CD，即2sin α＝3cos α，则k＝tan α＝． ③若CD所在的直线过点(4，0)，如图，可得BC＝4sin α，CD＝cos α， 因为BC＝CD，即4sin α＝cos α，则k＝tan α＝． 综上所述，k的可能值为2，，．故选ABD．] 15/15 学科网（北京）股份有限公司 $$