14 第一章 空间向量与立体几何 章末重构拓展-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步讲义(人教A版2019)

类型1　空间向量的概念及运算 1．空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等． 2．向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生数学运算的学科素养． 【例1】　(1)(多选)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1，设＝b，＝c，则下列选项正确的为(　　) A．＝(a＋b＋c) B．＝(a＋2b＋c) C．＝a＋b＋c D．＝a＋b＋c (2)已知空间直角坐标系中，A(1，1，1)，B(－1，3，2)，C(0，2，1)． ①若，求P的坐标； ②求三角形ABC的面积． (1)ABC　[∵P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上， 且CQ∶QA1＝4∶1，又＝c， ∴＝＝(a＋b＋c)， 即(a＋b＋c)，∴A选项正确； ∴＝ ＝(a＋b)＋(b＋c) ＝(a＋2b＋c)，即(a＋2b＋c)，∴B选项正确； ∴＋b＋c，即＋b＋c，∴C选项正确； ∴＝＝c，∴D选项错误．故选ABC．] (2)解：①设点P(x，y，z)，由于，所以(x－1，y－1，z－1)＝2(－1－x，3－y，2－z)，整理得P． ②由于A(1，1，1)，B(－1，3，2)，C(0，2，1)． 所以＝3，＝， 故cos A＝，由于0＜A＜π，所以sin A＝， 故S△ABC＝． 类型2　利用空间向量证明位置关系 1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明． 2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维和数学运算的学科素养． 【例2】　如图所示，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2．证明：AB1⊥平面A1B1C1． [证明]　法一：由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB，得AB1＝A1B1＝2，所以，故AB1⊥A1B1． 由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC， 得B1C1＝， 由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，得AC＝2， 连接AC1(图略)，由CC1⊥AC，得AC1＝，所以，故AB1⊥B1C1． 又A1B1∩B1C1＝B1，所以AB1⊥平面A1B1C1． 法二：如图所示，以AC的中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz． 由题意知，A，A1，B1(1，0，2)，C1，则＝＝，＝． 由＝0，得AB1⊥A1B1． 由＝0，得AB1⊥A1C1． 又A1B1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A1B1C1． 法三：如法二建立空间直角坐标系，则A，A1，B1，C1，的坐标同法二． 设m＝(x，y，z)是平面A1B1C1的法向量， 则 即令z＝1，得m＝是平面A1B1C1的一个法向量，因为AB1＝2m，所以AB1⊥平面A1B1C1． 类型3　利用空间向量求距离 1．空间距离的计算思路 (1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量为＝(a·u)u，则点P到直线l的距离为PQ＝(如图1)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为PQ＝(如图2)． 2．通过利用向量计算空间的距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算的学科素养． 【例3】　(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到几何体ABCD-A1C1D1，且这个几何体的体积为10，则点D到平面A1BC1的距离为(　　) A．　　　B．　　　C． D． (2)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，AD＝AA1＝1． 若空间有一点P满足：＋2，求点P到直线BD的距离． (1)D　[设AA1＝h，则＝10， 所以4h－×4＝10，解得h＝3． 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A1(2，0，3)，B(2，2，0)，C1(0，2，3)，所以＝(0，2，－3)，＝(2，0，－3)． 设m＝(x，y，z)是平面A1BC1的法向量，则令z＝2，可得平面A1BC1的一个法向量m＝(3，3，2)． 又＝(2，2，0)，故点D到平面A1BC1的距离为＝＝．故选D．] (2)解：因为，所以，所以＝7． 在菱形ABCD中，∠BAD＝60°， 则△ABD为等边三角形，所以BD＝1， 所以＝＝， 则点P到直线BD的距离d＝． 类型4　利用空间向量求空间角 1．利用空间向量求夹角是空间向量的重要应用，利用向量方法求夹角，可不作出角而求出角的大小，体现了向量方法的优越性． 2．通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑推理和数学运算的学科素养． 【例4】　如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，各侧棱及底边BC，DA的长均为a，AB，CD的长为a，记AC与BD的交点为O，过底面对角线AC作与PB平行的平面交PD于点E． (1)求二面角E-AC-D的余弦值； (2)求EO与底面ABCD所成角的大小； (3)求DO与平面EAC所成角的正弦值． [解]　(1)因为PB∥平面ACE，平面PBD∩平面ACE＝OE，PB⊂平面PBD，所以PB∥OE．又O是BD的中点，所以E是PD的中点．连接PO，因为四边形ABCD为矩形，所以OA＝OC，又PA＝PC，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD，又AC∩BD＝O，所以PO⊥底面ABCD． 以O为原点，OP所在直线为z轴，过点O平行于AD的直线为x轴，过点O平行于CD的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 易知A，B，C，D，P，E，则＝． 显然，是平面ACD的一个法向量，设n1＝(x，y，z)是平面ACE的法向量，则 即取y＝1，可得平面ACE的一个法向量n1＝(，1，2)， 所以cos 〈n1，〉＝＝． 因为二面角E-AC-D是锐二面角，所以二面角E-AC-D的余弦值为． (2)设EO与底面ABCD所成的角为θ， 则sin θ＝＝＝， 所以EO与底面ABCD所成角的大小为． (3)设DO与平面EAC所成的角为β， 则sin β＝＝， 所以DO与平面EAC所成角的正弦值为． 章末综合测评(一)　空间向量与立体几何 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则等于(　　) A． B．3 C．3 D．2 B　[－ ＝ ＝．故选B．] 2．在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是(　　) A． B．＝＋＋ C．＝0 D．＝0 C　[根据共面向量定理，， 若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是x＋y＋z＝1， 由此得到选项A，B，D均不正确； 对于C，＋2＋＝0． 即＝＋＋， ∴M，A，B，C四点共面．故选C．] 3．已知O是坐标原点，空间向量＝(1，1，2)，＝(－1，3，4)，＝(2，4，4)，若线段AB的中点为D，则＝(　　) A．9 B．8 C．3 D．2 C　[由题意A(1，1，2)，B(－1，3，4)，C(2，4，4)，则D(0，2，3)， 所以＝(－2，－2，－1)，所以＝＝3．故选C．] 4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则直线AB和CE所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． B　[设AB＝1，则由，得，又＝，故cos ＝－，则直线AB和CE所成角的余弦值为．] 5．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，N为A1C1与B1D1的交点，M为DD1的中点，若＝b，AA1＝c，则＝(　　) A．a＋b＋c B．a－b＋c C．a＋b－c D．a－b－c B　[因为N为 A1C1 与 B1D1 的交点， 所以a， 故c．故选B．] 6．如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，∠A1AB＝∠A1AC＝，点E，F满足＝AA1，＝，则＝(　　) A． B． C．2 D． D　[＋＝＋， ∴2＝＝＋＋＝1＋1＋1＋×2×2×－2×1×－2×1×＝2，∴＝，故选D．] 7．已知点A(0，0，－1)，B(1，2，1)分别为平面α内、外一点，平面α的一个法向量为n＝(1，－1，1)，则直线AB与平面α所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． C　[因为＝(1，2，2)，n＝(1，－1，1)， 所以直线AB与平面α所成角的正弦值为＝＝． 故选C．] 8．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图所示)，其中四边形ABCD为矩形，EF∥AB，若AB＝3EF，△ADE和△BCF都是正三角形，且AD＝2EF，则异面直线DE与BF所成角的大小为(　　) A． B． C． D． A　[如图，以矩形ABCD的中心O为原点，的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系． ∵四边形ABCD为矩形，EF∥AB，△ADE和△BCF都是正三角形，∴EF⊂Oyz平面，且Oz是线段EF的垂直平分线． 设AB＝3，则EF＝1，AD＝2，D，E，B，F． ∴＝(1，1，)，＝(－1，－1，)， ∴＝－1×1＋1×(－1)＋×＝0， ∴⊥，∴异面直线DE与BF所成的角为．故选A．] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，O是坐标原点，则(　　) A．＝ B．⊥ C．点C关于Oxy平面对称的点为(1，－3，1) D．与夹角的余弦值是 AB　[A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)， 则＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，＝(－3，1，1)， 故＝＝，故A正确；＝2×(－1)＋1×2＋0×1＝0， 故⊥，故B正确；点C关于Oxy平面对称的点为(－1，3，－1)，故C错误； cos 〈〉＝＝－，故D错误．故选AB．] 10．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的菱形，且∠ADC＝120°，PD＝AD，则(　　) A．＝1 B．＝－ C．＝ D．＝－ BD　[因为PD⊥底面ABCD，所以PD垂直于平面ABCD内的任何一条直线， 因为四边形ABCD是边长为1的菱形，且∠ADC＝120°，所以△ABD和△BCD是等边三角形，对于A，＝0，故A错误；对于B，＝0＋1×1×cos 120°＝－，故B正确； 对于C，＝＝ ＝－1＋＝－，故C错误；对于D，＝ ＝cos 120°＝－，故D正确．故选BD．] 11．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设＝b，＝c．若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则下列说法中正确的是(　　) A．＝a＋b＋c B．＝ C．直线AB1和直线BC1相互垂直 D．直线AB1和直线BC1所成角的余弦值为 ABD　[对于A，＝＋＋＝＋＋＝－＋＋＋＝＋＋＝a＋b＋c，故选项A正确； 对于B，因为|a|＝|b|＝|c|＝1，∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，所以a·b＝0，a·c＝b·c＝1×1×＝，所以2＝(a＋b＋c)2＝(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)＝(1＋1＋1＋0＋1＋1)＝，所以＝，故选项B正确； 对于C，＝a＋c，＝c＋b－a， 所以·＝(a＋c)·(c＋b－a)＝a·c＋a·b－a2＋c2＋b·c－a·c＝＋0－1＋1＋－＝≠0，故选项C不正确； 对于D，||＝＝＝＝， ||＝＝＝， 所以cos 〈，〉＝＝＝＝，故选项D正确．故选ABD．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．两个非零向量a，b，定义|a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉．若a＝(1，0，1)，b＝(0，2，2)，则|a×b|＝________． 　[设向量a，b的夹角为θ，∵a＝(1，0，1)，b＝(0，2，2)， ∴|a|＝＝2，a·b＝2，∵cos θ＝＝＝， ∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝，∴＝|a||b|sin θ＝×2×＝2．] 13．已知空间向量a＝(－1，2，4)，b＝(1，－4，2)，c＝(x，4，z)． (1)若(a＋2b)⊥c，且x＝4，则z＝________； (2)若a，b，c共面，在以下三个条件①x＝1，②x＝0，③x＝－2中选取一个作为已知，则z的值可以为________． (1)　(2)－22或－12或8(只需写出一个)　[(1)当x＝4时，c＝(4，4，z)． 因为a＝(－1，2，4)，b＝(1，－4，2)，所以a＋2b＝(1，－6，8)． 因为(a＋2b)⊥c，所以(a＋2b)·c＝1×4－6×4＋8z＝0，解得z＝． (2)因为a，b，c共面，所以由向量共面的充要条件可知，c＝λa＋μb． 选①x＝1，则(1，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)， 故 选②x＝0，则(0，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)， 故解得z＝－12． 选③x＝－2，则(－2，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)， 故解得z＝8． 综上所述，z的值可以为－22或－12或8．] 14．在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥．如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2，AA1＝4，当鳖臑A1-ABC的体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值为________． 　[在堑堵ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2，AA1＝4， 当鳖臑A1-ABC体积最大时，AC＝BC＝， 以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， B1(0，，4)，C(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，，0)， ＝(0，－，－4)，＝(，－，0)，＝(0，0，4)， 设平面ABB1A1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即取x＝1，得n＝(1，1，0)． 设直线B1C与平面ABB1A1所成的角为θ， 则sin θ＝＝＝， ∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值为．] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知空间中三点A(0，－1，2)，B(1，1，3)，C(－2，1，0)． (1)求△ABC的面积； (2)若点D(x，3，4)在A，B，C三点确定的平面内，求x的值． [解]　(1)A(0，－1，2)，B(1，1，3)，C(－2，1，0)， 可得＝(1，2，1)，＝(－2，2，－2)， 由＝1×(－2)＋2×2＋1×(－2)＝0，可得⊥， 又＝＝，＝＝2， 所以△ABC的面积为××2＝3． (2)由点D(x，3，4)，A(0，－1，2)，可得＝(x，4，2)， 因为A，B，C，D四点共面，可设， 则(x，4，2)＝m(1，2，1)＋n(－2，2，－2)， 即有解得x＝2． 16．(15分)如图1，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点M，N分别是边AB，AC上的点，且BM＝2MA，AN＝2NC．将△AMN沿MN折起到△A′MN的位置，如图2所示． (1)求证：平面A′BM⊥平面BCNM； (2)给出三个条件：①A′M⊥BC；②二面角A′-MN-C的大小为60°；③A′B＝．在这三个条件中任选一个作为下面问题的已知条件，并作答． 在线段BC上是否存在一点P，使直线PA′与平面A′BM所成角的正弦值为？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由． [解]　(1)证明：由已知得AM＝1，AN＝2，∠A＝60°，∴MN⊥AB，∴MN⊥A′M，MN⊥MB． 又∵MB∩A′M＝M，MB，A′M⊂平面A′BM， ∴MN⊥平面A′BM． 又∵MN⊂平面BCNM，∴平面A′BM⊥平面BCNM． (2)选条件①A′M⊥BC．由(1)得A′M⊥MN，又A′M⊥BC，MN与BC是两条相交直线，MN，BC⊂平面BCNM，∴A′M⊥平面BCNM．∴MB，MN，MA′两两垂直，以M为坐标原点，MB，MN，MA′所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz， 则A′(0，0，1)，B(2，0，0)，设PB＝2a，则P(2－a，a，0)，其中0≤a≤， 则＝(2－a，a，－1)． 易得平面A′BM的一个法向量为(0，1，0)，记n＝(0，1，0)． 设直线PA′与平面A′BM所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝，解得a＝＞， ∴不存在满足条件的点P． 选条件②二面角A′-MN-C的大小为60°． 由(1)得∠A′MB就是二面角A′-MN-C的平面角，∴∠A′MB＝60°． 过A′作A′O⊥BM，垂足为O，连接OC，则A′O⊥平面BCNM． 经计算可得OA′＝，OM＝，OB＝，而BC＝3，∠MBC＝60°，∴OB⊥OC．∴OB，OC，OA′两两垂直．以O为坐标原点，OB，OC，OA′所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则A′，B，设PB＝2a， 则P，0≤a≤， 则＝． 易得平面A′BM的一个法向量为(0，1，0)，记n＝(0，1，0)． 设直线PA′与平面A′BM所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝， 解得a＝或a＝3(舍去)， ∴存在满足条件的点P，这时PB＝3． 选条件③A′B＝．在△A′BM中，由余弦定理的推论得cos ∠A′MB＝＝＝－，∴∠A′MB＝120°． 过A′作A′O⊥BM，垂足为O，则A′O⊥平面BCNM． 以O为坐标原点，，的方向分别为x轴、z轴的正方向建立右手直角坐标系(图略)， 则A′，B，设PB＝2a， 则P，其中0≤a≤， 则A′P＝． 易得平面A′BM的一个法向量为(0，1，0)，记n＝(0，1，0)． 设直线PA′与平面A′BM所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝，解得a＝＞， ∴不存在满足条件的点P． 17．(15分)(2024·北京卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE＝DE＝2． (1)若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD； (2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值． [解]　(1)取PD的中点G，连接FG，CG(图略)， 因为F为PE的中点，所以FG＝DE＝1，FG∥DE，又BC＝1，AD∥BC，所以FG＝BC，FG∥BC， 所以四边形FGCB为平行四边形， 所以BF∥CG， 又BF⊄平面PCD，CG⊂平面PCD，所以BF∥平面PCD． (2)因为AB⊥平面PAD，PE⊂平面PAD，所以AB⊥PE， 又PE⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD． 连接EC，易知四边形ABCE为矩形，故直线EC，ED，EP两两垂直，故以E为坐标原点，EC，ED，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，2)，C(1，0，0)，D(0，2，0)，A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，则＝(1，0，0)，＝(0，1，2)，＝(1，0，－2)，＝(0，2，－2)． 设平面PAB的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则 可取n1＝(0，－2，1)． 设平面PCD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则 可取n2＝(2，1，1)． 设平面PAB与平面PCD的夹角为θ， 则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝． 所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为． 18．(17分)如图，在四棱锥S-ABCD中，△ABS是正三角形，四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝120°，点E是BS的中点． (1)求证：SD∥平面ACE； (2)若平面ABS⊥平面ABCD，求点E到平面ASD的距离． [解]　(1)证明：在四棱锥S-ABCD中，连接BD交AC于点F，则F为BD的中点，连接EF． ∵E为BS的中点， ∴EF∥SD， 又SD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，∴SD∥平面ACE． (2)∵四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝120°， ∴△ABD为正三角形，取AB的中点O，连接OD，OS， 则OD⊥AB． ∵平面ABS⊥平面ABCD，平面ABS∩平面ABCD＝AB， ∴OD⊥平面ABS． ∵△ABS是正三角形，∴OS⊥AB． 以O为原点，分别以OS，OB，OD所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz． ∵AB＝4，则A(0，－2，0)，D(0，0，2)，S(2，0，0)，B(0，2，0)，E(，1，0)， ∴＝(0，2，2)，＝(2，2，0)． 设平面ASD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝，可得平面ASD的一个法向量n＝(，－3，)．又＝(－，1，0)，设点E到平面ASD的距离为d， 则d＝＝＝，即点E到平面ASD的距离为． 19．(17分)如图，在棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面ABCD为平行四边形，DD′＝CD＝4，AD＝2，∠BAD＝，且D′在底面上的投影H恰为CD的中点． (1)过D′H作与BC垂直的平面α，交棱BC于点N，试确定点N的位置，并说明理由； (2)在线段D′C′上是否存在点P，使平面PBH与平面BHA的夹角为？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由． [解]　(1)当点N为棱BC的中点时，符合题意，理由如下： 连接NH，ND′．在△HNC中， NH＝＝， 所以HC2＝NC2＋HN2， 因此∠HNC＝，即NH⊥BC， 因为D′在底面上的投影H恰为CD的中点， 所以D′H⊥底面ABCD，又BC⊂底面ABCD，所以D′H⊥BC， 又D′H∩NH＝H，D′H，NH⊂平面D′HN，所以BC⊥平面D′HN，因此点N即为所求，平面D′HN即为平面α． (2)存在满足条件的点P，且P的位置与C′或D′重合． 由(1)知HN⊥BC，HN∥DB，AD∥BC， 所以AD⊥BD， 以的方向分别为x，y轴的正方向，以过点D且垂直于底面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 则D(0，0，0)，H(－1，，0)，B(0，2，0)，D′(－1，，2)，C(－2，2，0)，C′(－3，3，2)， 设＝λ＝λ(－2，2，0)＝(－2λ，2λ，0)， 易得平面BHA的一个法向量为m＝(0，0，1)， ＝(1，，0)，λ＝(0，0，2)， ＝＋＝(－2λ，2λ，2)， 设n＝(x，y，z)为平面PBH的法向量， 则 即 令x＝，得n＝(，－1，2λ)，因为平面PBH与平面BHA的夹角为， 所以|cos 〈m，n〉|＝cos ，即＝， 所以＝，解得λ＝1． 故P与C′重合时，平面PBH与平面BHA的夹角为． 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