10 第一章 1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步讲义(人教A版2019)

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 [学习目标]　能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题．(直观想象、数学运算) (教师用书) 空间中的距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离、平行线之间的距离、点到平面的距离、与平面平行的直线到平面的距离、平行平面之间的距离、异面直线的距离等．空间两点间的距离即为以这两点为起点和终点的向量的模．本节主要研究点到直线、点到平面、平行线之间、平行平面之间的距离，这些距离都可以通过求投影向量的长度得到． [讨论交流]　 问题1．空间点到直线、点到平面的距离的向量计算公式是什么？ 问题2．相互平行的直线、平面间的距离可分别转化为什么距离求解？ 问题3．用向量解决空间线面距离问题的一般步骤是什么？ [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　点到直线的距离 探究问题1　给定一条直线l和直线l外一点P，如何用向量的方法求点P到直线l的距离？ [提示]　取直线l上一点A，它的单位方向向量用u表示，过P作PQ⊥l(图略)，点Q为垂足．这样，要解决的问题是：利用直线l上的点A，直线的单位方向向量u和直线外的一点P求线段PQ的长度． 探究问题2　为了求线段PQ的长度，如何将“探究问题1”中的条件与线段PQ联系起来？ [提示]　作向量(图略)，构造Rt△APQ，通过勾股定理求出线段PQ的长度，即PQ＝． [新知生成] 点到直线的距离 设直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝＝． 【教用·微提醒】　(1)点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题． (2)两条平行线之间的距离可以转化为其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离．所以两条平行线之间的距离可以用点到直线的距离公式解决． [典例讲评]　1．如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3．用向量的方法求点B到直线A′C的距离． [解]　 依题意有A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)． 法一：＝(1，2，－3)，＝(0，2，0)， 方向上的投影向量的模为． 所以点B到直线A′C的距离为 d＝． 法二：取直线A′C的方向向量＝(1，2，－3)，a＝＝(0，2，0)，u＝， 则a2＝4，a·u＝， 所以点B到直线A′C的距离为． 　用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的单位方向向量u． (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量a． (4)利用公式PQ＝计算点到直线的距离． [学以致用]　1．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． [解]　连接BC1．以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0，0，0)，A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直线A1C1的方向向量＝(－4，3，0)，＝(0，3，1)，取a＝＝(0，3，1)，u＝． 所以点B到直线A1C1的距离 d＝． 探究2　点到平面的距离 探究问题3　你能类比点到直线的距离公式的推导过程，推导出点到平面的距离公式吗？ [提示]　第一步，确定平面α的法向量n； 第二步，选择“参考向量”； 第三步，确定向量向法向量n的投影向量； 第四步，求投影向量的模长，得到PQ＝＝＝． [新知生成] 点P到平面α的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝． 【教用·微提醒】　实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． [典例讲评]　2．在三棱锥S-ABC中，棱长SA＝a，SB＝b，SC＝c，∠ASB，∠BSC，∠CSA都是直角，求点S到底面ABC的距离． [解]　如图所示，以S为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则S(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)． 所以＝(－a，b，0)，＝(－a，0，c)，＝(a，0，0)． 设n＝(x，y，z)是平面ABC的法向量， 则 取x＝bc，得y＝ac，z＝ab， 则n＝(bc，ac，ab)是平面ABC的一个法向量． 由于点S到底面ABC的距离等于向量在法向量n上的投影向量的长度， 因此，点S到底面ABC的距离 d＝ ＝ ＝． 　试写出向量法求点面距离的步骤 [提示]　(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝． [学以致用]　2．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，求点D1到平面BDE的距离． [解]　以点D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz如图所示， 则D(0，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，1)，故＝(1，1，0)，＝(0，1，1)． 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥． 故有所以 所以取x＝1，则y＝－1，z＝1， 所以n＝(1，－1，1)． 因为点D1到平面BDE的距离d＝，＝(0，0，2)，所以·n＝2，|n|＝， 所以d＝＝，即点D1到平面BDE的距离为． 探究3　直线、平面到平面的距离 探究问题4　类比两条平行直线间的距离，如何求直线与平面或两个平行平面间的距离？ [提示]　在直线上或其中一个平面上取一定点，则该点到另一个平面的距离即为直线与平面或两平行平面之间的距离． [新知生成] 1．如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点到平面的距离求解． 2．如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 【教用·微提醒】　只有线面(或面面)平行时，才有线面(面面)距离． 【链接·教材例题】 例6　如图1.4-18，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． (1)求点B到直线AC1的距离； (2)求直线FC到平面AEC1的距离． [分析]　根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离． [解]　以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-18所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E，F， 所以 ＝(0，1，0)，＝(－1，1，－1)，＝， ＝＝＝． (1)取a＝＝(0，1，0)，u＝＝(－1，1，－1)，则a2＝1，a·u＝． 所以，点B到直线AC1的距离为＝＝． (2)因为＝＝，所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1．所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离． 设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，则 所以 所以 取z＝1，则x＝1，y＝2． 所以，n＝(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量． 又因为＝，所以点F到平面AEC1的距离为 ＝＝． 即直线FC到平面AEC1的距离为． [典例讲评]　3．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2． (1)求直线B1C到平面A1BD的距离； (2)求平面A1BD与平面B1CD1间的距离． [解]　 (1)如图建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，所以＝(2，0，2)，＝(2，0，2)，＝(2，2，0)，所以∥，即CB1∥DA1，又CB1⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD，所以直线B1C到平面A1BD的距离等于点B1到平面A1BD的距离． 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，又＝(0，2，0)，所以点B1到平面A1BD的距离d＝，即直线B1C到平面A1BD的距离为． (2)由(1)知B1C∥平面A1BD，同理，D1B1∥平面A1BD，B1C∩D1B1＝B1，所以平面A1BD∥平面B1CD1，即平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点B1到平面A1BD的距离．由(1)知，点B1到平面A1BD的距离d＝．所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为． 　用向量方法研究空间距离问题的一般步骤：(1)确定法向量．(2)选择参考向量．(3)利用公式求解． [学以致用]　3．已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC，AC的中点．PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点． (1)求证：AE∥平面PFQ； (2)求AE与平面PFQ间的距离． [解]　如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边所在直线的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系．∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F分别是BC，AC的中点， ∴A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，F(0，2，0)，E(，3，0)，Q，P(0，0，2)． (1)证明：∵＝＝(，3，0)， ∴．∵AE与FQ无交点，∴AE∥FQ．又FQ⊂平面PFQ，AE⊄平面PFQ，∴AE∥平面PFQ． (2)由(1)知，AE∥平面PFQ，∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离．设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)，＝(0，2，－2)，＝，∴n·＝x＋y＝0．令y＝1，则x＝－，z＝1，∴平面PFQ的一个法向量为n＝(－，1，1)．连接QA，则＝，∴所求距离d＝＝． 【教用·备选题】　如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE间的距离． [解]　因为A1B1∥AB，A1B1⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，所以A1B1∥平面ABE，所以A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离． 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，C(0，，0)． 过点C作AB的垂线交AB于点F， 易得BF＝， 所以B(1，2，0)，所以＝(0，2，0)，＝(－1，－，1)． 设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 所以y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1)． 因为＝(0，0，2)， 所以点A1到平面ABE的距离 d＝＝＝． 所以直线A1B1与平面ABE间的距离为． 1．已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为(　　) A． B．1 C． D．2 A　[∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)， ＝(1，0，0)，＝(－1，2，－2)，∴点A到直线BC的距离为： d＝ ＝1×＝．] 2．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，2)在α内，则平面外一点P(－2，1，2)到平面α的距离为(　　) A．4 B．2 C． D．3 B　[∵P(－2，1，2)，A(－1，3，2)，∴＝(1，2，0)， 又n＝(－2，－2，1)是平面α的一个法向量， ∴P到平面α的距离为d＝＝＝2．故选B．] 3．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　) A． B． C． D．3 B　[∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，∴两平面间的距离d＝＝＝．故选B．] 4．已知AB∥平面α，平面α的一个法向量为n＝(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上的点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为________． 　[因为AB∥平面α，所以直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离，易知＝(1，2，0)，所以点A到平面α的距离d＝＝＝，即直线AB到平面α的距离为．] 1．知识链：(1)点到直线的距离、两条平行线之间的距离． (2)点到平面的距离、与平面平行的直线到平面的距离、两个平行平面之间的距离． 2．方法链：向量法、几何法、转化法． 3．警示牌：(1)求两条平行线之间的距离，在其中一条直线上找到一点，转化为点到直线的距离． (2)求直线与平面之间的距离、两个平行平面之间的距离，在直线或其中一个平面上找到一点，转化为点到平面的距离． (3)应注意点要选取适当，以方便求解为主． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．用空间向量求点到直线的距离的方法是什么？ [提示]　已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，则点P到直线l的距离为． 2．用空间向量求点到平面的距离的方法是什么？ [提示]　已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离是． 3．如何用空间向量求直线和平面、平面和平面间的距离？ [提示]　先证明直线和平面平行，平面和平面平行，然后把所求距离转化为点到平面的距离，最后利用点到平面的距离公式求解． 异面直线间的距离 设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？ 如图1所示，过直线a上任意一点A作b′∥b，过直线b上任意一点B作a′∥a，则a∩b′＝A，a′∩b＝B，于是a与b′，a′与b均可确定一个平面，依次记作α，β．由立体几何的知识可以证明：平面α，β均由直线a，b唯一确定，与点A，B的位置无关，且α∥β．于是，异面直线a，b间的距离就转化为平行平面α，β间的距离，故只需先求出这两个平行平面的法向量，再求在此法向量上的投影向量的长度即可． 如何求这两个平行平面的法向量呢？ 设n是平行平面α，β的一个法向量，显然有n⊥a，n⊥b．因为向量a，b不共线，所以满足这个条件的所有向量都平行．也就是说，只需找到与向量a，b均垂直的向量即可． 如图2所示，设点A，B分别是异面直线a，b上任意一点，向量a，b分别是直线a，b的方向向量，向量n是与向量a，b均垂直的向量，则异面直线a，b间的距离为d＝． 课时分层作业(十)　用空间向量研究距离问题 一、选择题 1．直线l的方向向量为m＝(1，0，－1)，且l过点A(1，1，1)，则点P(－1，2，1)到l的距离为(　　) A． B． C． D．2 B　[直线l的方向向量为m＝(1，0，－1)，且l过点A(1，1，1)， 又点P(－1，2，1)，则＝(－2，1，0)，则|AP|＝， 又∵＝＝， ∴点P(－1，2，1)到l的距离为＝，故选B．] 2．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　[以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P， 所以＝(－4，3，0)，＝， 所以点P到AB的距离d＝＝＝3．故选C．] 3．(多选)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，M为AA1的中点，则(　　) A．C1到直线CE的距离为 B．A1到平面MBD的距离为 C．E到平面ABM的距离为 D．C到直线MD的距离为1 ABD　[建立空间直角坐标系，如图所示，则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E，所以＝，＝(0，0，1)，所以点C1到直线EC的距离 d＝＝＝，A正确；A1到平面MBD的距离等于A到平面MBD的距离，由VA-MBD＝VM-ABD可得该距离为，B正确；E到平面ABM的距离是EA1＝，C错误；C到直线MD的距离为CD＝1，D正确．故选ABD．] 4．已知在四棱锥P-ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则点P到底面ABCD的距离为(　　) A． B． C．1 D．2 D　[在四棱锥P-ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则可得不妨令x＝3，则y＝12，z＝4， 可得n＝(3，12，4)．则＝(－6，2，－8)在平面ABCD法向量上的投影向量的长度就是这个四棱锥的高h，所以h＝＝＝＝2， 所以该四棱锥的高为2．故选D．] 5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝1，则直线AB1到平面BC1D的距离为(　　) A． B． C． D． A　[以B为原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C1(1，0，1)，D，A(0，1，0)，B1(0，0，1)，所以＝(1，0，1)，＝(0，－1，1)． 设平面BC1D的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－1)．因为·n＝0×1＋(－1)×(－1)＋1×(－1)＝0，所以⊥n，又AB1⊄平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D．设直线AB1到平面BC1D的距离为d，因为＝(0，1，0)，所以d＝，所以直线AB1到平面BC1D的距离为．故选A．] 二、填空题 6．已知A(1，2，0)，B(3，1，2)，C(2，0，4)，则点C到直线AB的距离为________． 　[设点C到直线AB的距离为d，∵A(1，2，0)，B(3，1，2)，C(2，0，4)， ∴＝(2，－1，2)，＝(1，－2，4)，∴＝4，∴d＝＝．] 7．如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1＝，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为________． 　[如图所示，建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1，B1，C1，∴＝()，＝＝(－1，1，0)． 设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令z＝1，得x＝－，y＝0， ∴n＝． ∴点B1到平面A1BC的距离d＝．] 8．已知直线l的方向向量为m＝(1，，－1)，若点P(－1，1，－1)为直线l外一点，A(4，1，－2)为直线l上一点，则P到直线l的距离为________． 　[∵P(－1，1，－1)，A(4，1，－2)， ∴＝(5，0，－1)，又m＝(1，，－1)， ∴cos 〈m，〉＝＝＝， ∴sin 〈m，〉＝，又∵＝， ∴点P(－1，1，－1)到直线l的距离为＝×＝．] 三、解答题 9．如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1． (1)求BF的长； (2)求点C到平面AEC1F的距离． [解]　 (1)以D为坐标原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)．设点F(0，0，z)． 因为四边形AEC1F为平行四边形， 所以，即(－2，0，z)＝(－2，0，2)，解得z＝2，所以F(0，0，2)，所以＝(－2，－4，2)，所以＝2．即BF的长为2． (2)＝(0，4，1)，＝(－2，0，2)，设平面AEC1F的法向量为n＝(x，y，z)， 由 令z＝1，得x＝1，y＝－，所以n＝为平面AEC1F的一个法向量． 又因为＝(0，0，3)， 所以点C到平面AEC1F的距离为 d＝． 10．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0＜λ＜2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为(　　) A．λ B． C．λ D． D　[以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则E(2，0，1)，M(2，λ，2)，N，D1(0，0，2)，F(2，2，1)， ＝(0，2，0)，＝(－2，0，1)，， 设平面D1EF的法向量n＝(x，y，z)，则 取x＝1，得n＝(1，0，2)，∴点N到平面D1EF的距离d＝．故选D．] 11．(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，点P在该正方体内部且满足＝＋＋AA1，则下列说法正确的是(　　) A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面ABC1D1的距离为 C．平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 BC　[如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)， 所以＝(1，0，0)，， 所以点A到直线BE的距离d1＝，故A错误； 易知，平面ABC1D1的一个法向量为＝(0，－1，1)， 则点O到平面ABC1D1的距离d2＝，故B正确； 易知＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0)， 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则 即 令z＝1，得y＝1，x＝1， 所以n＝(1，1，1)， 所以点D1到平面A1BD的距离d3＝， 因为平面A1BD∥平面B1CD1， 所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离等于点D1到平面A1BD的距离， 所以平面A1BD与平面B1CD1之间的距离为，故C正确； 易知＝(0，1，0)，＝(0，0，1)， 且． 所以， 所以点P到直线AB的距离d4＝＝，故D错误．] 12．在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________． 　[由AD∥平面PBC知AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．由已知可得AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)， 则＝(2，0，－2)，＝(0，2，0)． 设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)， 则即 取a＝1，得n＝(1，0，1)， 又＝(2，0，0)， 所以d＝＝．] 13．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD间的距离为________． 　[如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz， 则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)． ∴＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)， ∴， ∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M． ∴平面AMN∥平面EFBD． 设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量， 则 解得 取z＝1，则x＝2，y＝－2， 得n＝(2，－2，1)． 平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离． ∵＝(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d＝＝．] 14．如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点． (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． [解]　(1)建立以点D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示． 则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，所以＝＝＝． 设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)． 所以点D到平面PEF的距离d＝＝＝． (2)由题意知AC∥平面PEF，所以直线AC到平面PEF的距离即点A到平面PEF的距离． 因为＝， 所以点A到平面PEF的距离d′＝＝＝， 所以直线AC到平面PEF的距离为． 15．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝2，棱AA1＝2，D是CC1的中点，则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1，B两点)，使得点A1到平面AED的距离为？ [解]　 假设存在点E满足题意．以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，＝(0，0，2)，＝(2，－2，2)． 设，λ∈(0，1)， 则E(2λ，2(1－λ)，2λ)，＝(－2，0，1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)． 设n＝(x，y，z)为平面AED的法向量， 则 即 取x＝1，则y＝，z＝2， 即n＝为平面AED的一个法向量． 因为点A1到平面AED的距离d＝， 所以， 又λ∈(0，1)，所以λ＝． 故存在点E，且当点E为A1B的中点时，点A1到平面AED的距离为． 20/23 学科网（北京）股份有限公司 $$