09 第一章 1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步讲义(人教A版2019)

第3课时　空间中直线、平面的垂直 [学习目标]　1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．(数学抽象) 2．能用向量方法判断或证明线线、线面、面面间的垂直关系．(逻辑推理、数学运算) (教师用书) 我们知道，一个平面可用空间一点与该平面的法向量来确定．观察图片，图中旗杆所在的直线和地面垂直，那么如何用向量来表示二者的关系呢？ [讨论交流]　 问题1．空间直线、平面垂直的向量表示是什么？ 问题2．用向量解决空间线面垂直问题的一般步骤是什么？ [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　直线与直线垂直 探究问题1　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ [提示]　垂直． [新知生成] 两直线垂直的判定方法 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． 【教用·微提醒】　(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0． [典例讲评]　1．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1．求证：AB1⊥MN． [证明]　法一：设＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，(a＋b)， ∴＝(a＋c)·cos 60°＋0－0＋0＋＝0．∴⊥，∴AB1⊥MN． 法二：设AB的中点为O，作OO1∥AA1． 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知得 A，B，C， ∵M为BC的中点，∴M． ∴＝(1，0，1)， ∴＝0． ∴⊥，∴AB1⊥MN． 　向量法证明线线垂直的思路方法 用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法有以下两种： (1)坐标法：用坐标表示出两条直线的方向向量，计算出两向量的数量积为0． (2)基向量法：将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，计算出两向量的数量积为0． [学以致用]　1．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PB与底面所成的角是30°，∠BAD＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝a，AB＝2a．若AE⊥PB于点E，求证：DE⊥PB． [证明]　以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示． 因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB与底面ABCD所成的角，所以∠PBA＝30°，所以PA＝a． 所以A(0，0，0)，B(2a，0，0)，D(0，a，0)，P． 所以＝(0，a，0)，＝． 因为＝(0，a，0)＝0，所以PB⊥AD． 又PB⊥AE，且AD∩AE＝A，所以PB⊥平面ADE． 因为DE⊂平面ADE，所以DE⊥PB． 探究2　直线与平面垂直 探究问题2　如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直平面α时，u，n之间有什么关系？ [提示]　平行(共线)． [新知生成] 直线和平面垂直的判定方法 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． 【教用·微提醒】　证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可． 【链接·教材例题】 例4　如图1.4-14，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1． [分析]　根据条件，可以{，}为基底，并用基向量表示和平面BDD1B1，再通过向量运算证明是平面BDD1B1的法向量即可． 证明　设＝b，＝c，则{a，b，c}为空间的一个基底，且 ＝a＋b－c，＝b－a，＝c． 因为AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，所以 a2＝b2＝c2＝1，a·b＝b·c＝c·a＝． 在平面BDD1B1上，取，为基向量，则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ，μ)，使得＋μ． 所以，＝λ＋μ· ＝λ(a＋b－c)·(b－a)＋μ(a＋b－c)·c＝0． 所以A1C是平面BDD1B1的法向量． 所以A1C⊥平面BDD1B1． [典例讲评]　2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC． [证明]　法一：设＝b，则 ＝＝ ＝＝(－a＋b＋c)． 因为＝a＋b， 所以(－a＋b＋c)·(a＋b) ＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝＝0． 所以⊥，即EF⊥AB1．同理，EF⊥B1C．又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC． 法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)． 所以＝(－1，－1，1)，＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)． 所以＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0， ＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝0， 所以⊥⊥， 所以EF⊥AB1，EF⊥AC． 又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC． 法三：由法二得＝(0，2，2)， ＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1)． 设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)，则·n＝0， 即 取x＝1，则y＝1，z＝－1， 所以n＝(1，1，－1)，所以＝－n， 所以∥n，所以EF⊥平面B1AC． [母题探究]　若本例条件不变，求证：A1C⊥平面AD1B1． [证明]　＝(0，2，2)，＝(2，2，0)，A1(2，0，2)，C(0，2，0)， 所以＝(－2，2，－2)． 设平面AD1B1的法向量为m＝(x，y，z)， 则·m＝0， 即 取x＝1，则y＝－1，z＝1，所以m＝(1，－1，1)． 所以＝－2m，所以∥m，所以A1C⊥平面AD1B1． 　证明线面垂直的方法 (1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． [学以致用]　2．如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点． 求证：AB1⊥平面A1BD． [证明]　 法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO．因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC．又BB1⊥平面ABC， 取B1C1的中点O1，则OO1∥BB1．以O为原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1，A，B1(1，2，0)， 所以＝＝＝(－2，1，0)． 因为＝1×(－1)＋2×2＋＝1×(－2)＋2×1＋×0＝0， 所以⊥⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD． 又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD． 法二：建系同法一． 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥， 即令x＝1， 得平面A1BD的一个法向量为n＝． 又＝，所以n＝，即∥n，所以AB1⊥平面A1BD． 探究3　平面与平面垂直 探究问题3　设n1，n2分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？ [提示]　垂直． [新知生成] 平面和平面垂直的判定方法 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． 【教用·微提醒】　利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径： 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 【链接·教材例题】 例5　证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 已知：如图1.4-15，l⊥α，l⊂β， 求证：α⊥β． 证明　取直线l的方向向量u，平面β的法向量n． 因为l⊥α，所以u是平面α的法向量． 因为l⊂β，而n是平面β的法向量，所以u⊥n． 所以α⊥β． [典例讲评]　3．(源自湘教版教材)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点． 求证：平面BEF⊥平面ABC． [证明]　如图所示，以点B为原点，分别以的方向为y轴、z轴的正方向，并取相同的单位长度，建立空间直角坐标系． 设A(0，0，a)，则B(0，0，0)，C，D(0，a，0)，E，F． 于是＝(0，0，－a)，＝＝＝． 法一：(利用平面的法向量)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ABC的法向量， 则 取x1＝1，得y1＝－1，z1＝0，则n1＝(1，－1，0)是平面ABC的一个法向量． 设n2＝(x2，y2，z2)是平面BEF的法向量， 则 取x2＝1，得y2＝1，z2＝－，则n2＝(1，1，－)是平面BEF的一个法向量． 因为n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－)＝0， 所以平面BEF⊥平面ABC． 法二：(利用线面垂直)∵＝， ∴＝0， ∴EF⊥AB，EF⊥BC， 又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC， ∴EF⊥平面ABC，又EF⊂平面BEF， ∴平面BEF⊥平面ABC． 　证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理将问题转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． [学以致用]　3．如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．求证：平面EFG⊥平面PBC． [证明]　法一：如图，以正三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 令PA＝PB＝PC＝3，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，F(0，1，0)，G(1，1，0)， 于是＝(3，0，0)，＝(1，0，0)， 故，又G不在直线PA上，所以PA∥FG． 而PA⊥平面PBC，所以FG⊥平面PBC． 又FG⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PBC． 法二：同法一，建立空间直角坐标系，令PA＝PB＝PC＝3， 则P(0，0，0)，A(3，0，0)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)． 所以＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)． 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)， 则有n⊥，n⊥． 所以令y＝1，得z＝－1，x＝0， 即n＝(0，1，－1)． 显然＝(3，0，0)是平面PBC的一个法向量． 又n＝0，所以n⊥， 即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，所以平面EFG⊥平面PBC． 【教用·备选题】　如图(1)所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD． [解]　设AS＝AB＝1，建立如图(2)所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E． 法一：如图(2)，连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为． 易知＝(0，0，1)，＝，∴＝，∴OE∥AS． 又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD． 又OE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD． 法二：设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)． 易知＝(－1，1，0)，＝， 由 得 令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0)． ∵AS⊥底面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0，0，1)． ∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD． 1．设l1的方向向量为a＝(1，2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2，3，m)．若l1⊥l2，则m＝(　　) A．1　　 　B．2　　 　C．　　 　D．3 B　[∵l1⊥l2，∴a·b＝1×(－2)＋2×3－2m＝0，解得m＝2．] 2．已知平面α的法向量为n＝(2，－2，4)，＝(－1，1，－2)，则直线AB与平面α的位置关系为(　　) A．AB⊥α B．AB⊂α C．AB与α相交但不垂直 D．AB∥α A　[∵平面α的法向量为n＝(2，－2，4)，＝(－1，1，－2)， ∴＝－n，∴n∥，∴⊥α，即直线AB与平面α垂直．故选A．] 3．(多选)已知直线l的方向向量为μ，两个不重合的平面α，β的法向量分别为n1，n2，则(　　) A．若μ∥n1，则l⊥α B．若μ·n1＝0，则l∥α C．若n1∥n2，则α∥β D．若n1·n2＝0，则α⊥β ACD　[根据题意，依次分析选项：对于A，若μ∥n1，则l⊥α，A正确； 对于B，若μ·n1＝0，则μ⊥n1，则l∥α或l⊂α，B错误； 对于C，若n1∥n2，且平面α，β不重合，则有α∥β，C正确； 对于D，若n1·n2＝0，则α⊥β，D正确．故选ACD．] 4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________． 5　[∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量u与平面β的法向量v互相垂直， ∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5．] 1．知识链：(1)利用向量证明直线和直线垂直． (2)利用向量证明直线和平面垂直． (3)利用向量证明平面和平面垂直． 2．方法链：转化法、向量法． 3．警示牌：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．两直线垂直的向量表达式是什么？ [提示]　设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． 2．直线和平面垂直的向量表达式是什么？ [提示]　设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． 3．平面和平面垂直的向量表达式是什么？ [提示]　设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． 4．证明线面垂直有哪些方法？ [提示]　(1)基底法：把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示，然后再证明它们垂直． (2)坐标法，利用线线垂直：建立空间直角坐标系，把直线的方向向量和平面内两条不共线向量用坐标表示，再证明它们垂直． (3)坐标法，利用平面的法向量：建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量的坐标，然后证明它们平行． 课时分层作业(九)　空间中直线、平面的垂直 一、选择题 1．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F(0，y，z)满足方程(　　) A．y－z＝0 B．2y－z－1＝0 C．2y－z－2＝0 D．z－1＝0 D　[因为E(1，0，0)，B1(2，0，2)，C(2，2，0)， 所以＝(－1，0，－2)，＝(－2，y－2，z)，因为CF⊥B1E， 所以＝0， 即2－2z＝0，即z＝1．] 2．已知向量a＝(4，4，5)，b＝(－7，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1⊥l2，则下列几组解中可能正确的是(　　) A．x＝1，y＝3 B．x＝4，y＝3 C．x＝2，y＝4 D．x＝0，y＝2 C　[由题意a·b＝－28＋4x＋5y＝0，即4x＋5y＝28，代入各选项中的值计算，只有C满足2×4＋4×5＝28．故选C．] 3．已知直线l经过点A(1，1，2)，B(0，1，0)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α相交，但不垂直 B　[根据题意，A(1，1，2)，B(0，1，0)，则＝(－1，0，－2)， 而平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，则有n＝2，即n∥，必有l⊥α．故选B．] 4．(多选)已知平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝(－1，0，－2 )，直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，直线m的方向向量为b＝(0，1，－2)，则(　　) A．l⊥α B．α⊥β C．l与m为相交直线或异面直线 D．a在b上的投影向量的坐标为 BC　[根据题意，依次分析选项：对于A，直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为n1＝，由于a·n1＝1＋2×＝0，则直线l∥α或l⊂α，A错误； 对于B，平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝(－1，0，－2 )，由于n1·n2＝－1＋1＝0，则α⊥β，B正确； 对于C，直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，直线m的方向向量为b＝(0，1，－2)， a与b不平行，则l与m不平行，两直线为相交直线或异面直线，C正确； 对于D，a在b上的投影向量为＝b＝－b＝，D错误．故选BC．] 5．(多选)给出下列命题，其中是真命题的是(　　) A．若直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量为b＝，则l与m垂直 B．若直线l的方向向量为a＝(0，1，－1)，平面α的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，则l⊥α C．若平面α，β的一个法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α⊥β D．若平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1 AD　[对于A，a·b＝1×2－1×1＋2×＝0， 则a⊥b，所以直线l与m垂直，故A是真命题； 对于B，a·n＝0，则a⊥n， 所以l∥α或l⊂α，故B是假命题； 对于C，n1·n2＝6，所以α⊥β不成立，故C是假命题； 对于D，易得＝(－1，1，1)，＝(－1，1，0)， 因为向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量， 所以即 得u＋t＝1，故D是真命题．] 二、填空题 6．△ABC的三个顶点分别是A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD长为________． 5　[∵A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，∴＝(4，－5，0)，＝(0，4，－3)，∵点D在直线AC上，∴设＝(0，4λ，－3λ)， 由此可得＝(0，4λ，－3λ)－(4，－5，0)＝(－4，4λ＋5，－3λ)， 又∵⊥，∴＝－4×0＋(4λ＋5)×4＋(－3λ)×(－3)＝0，解得λ＝－． 因此＝(－4，4λ＋5，－3λ)＝， 可得＝＝5．] 7．已知空间直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的法向量n＝(2，3，3)．若l⊥α，则a＋b＝________． 2　[∵m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)是直线l的方向向量， n＝(2，3，3)是平面α的法向量，l⊥α， ∴m∥n， ∴＝＝， 解得a＋b＝2．] 8．已知A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P的坐标是(x，0，y)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是________． (－1，0，2)　[根据题意，可得＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)，＝(x，－1，y)． ∵PA⊥平面ABC，∴⊥⊥，可得 解得x＝－1，y＝2，可得P的坐标是(－1，0，2)．] 三、解答题 9．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．求证：EF⊥平面PAB． [证明]　以D为坐标原点，DC，DA，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 且以DA的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系． 设E(a，0，0)，其中a＞0，则C(2a，0，0)，A(0，1，0)，B(2a，1，0)，P(0，0，1)，F＝＝(2a，1，－1)，＝(2a，0，0)．所以＝0， 所以EF⊥PB，EF⊥AB．又PB，AB⊂平面PAB，PB∩AB＝B，所以EF⊥平面PAB． 10．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的比值为(　　) A．1∶2 B．1∶1 C．3∶1 D．2∶1 B　[以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方形ABCD的边长为1，PA＝a，则B(1，0，0)，E，P(0，0，a)． 设点F的坐标为(0，y，0)， 则＝(－1，y，0)，＝． 因为BF⊥PE， 所以＝0， 解得y＝，即点F的坐标为， 所以F为AD的中点，所以AF∶FD＝1∶1．] 11．(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM(　　) A．和AC垂直 B．和AA1垂直 C．和MN垂直 D．与AC，MN都不垂直 AC　[以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)． 设正方体的棱长为2a(a＞0)，则M(0，0，a)，A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a)，A1(2a，0，2a)． ∴＝(－a，－a，a)，＝(0，a，a)，＝(－2a，2a，0)，＝(0，0，2a)． ∴＝2a2≠0，∴OM⊥MN，OM⊥AC，OM和AA1显然不垂直．] 12．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是(　　) A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD D．不存在DQ与平面A1BD垂直 D　[以A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)， 所以＝(1，0，1)，＝(－1，2，0)，． 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则取z＝－2， 则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2，1，－2)． 假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，则． 因为也是平面A1BD的一个法向量， 所以n与共线， 所以成立，但此方程关于λ无解，所以不存在DQ与平面A1BD垂直．] 13．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB＝2，E是PB的中点，cos 〈〉＝． (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点E的坐标是________； (2)在底面ABCD内求一点F，使EF⊥平面PCB，则点F的坐标是________． (1)(1，1，1)　(2)(1，0，0)　[(1)由已知，平面ABCD是边长为2的正方形，设DP＝t(t＞0)，则D(0，0，0)，P(0，0，t)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)， 则E＝(0，0，t)，＝． 故cos 〈〉＝＝＝． 由已知，得＝， 解得t＝2(负值舍去)， 故E(1，1，1)． (2)设F(m，n，0)，则＝(m－1，n－1，－1)． 又＝(－2，0，0)，＝(0，2，－2)， 则 解得 故F(1，0，0)．] 14．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，D为BC的中点． (1)证明：A1B∥平面ADC1； (2)证明：平面ADC1⊥平面BB1C1C． [证明]　 (1)∵在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，∴以A1为原点，A1C1，A1B1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝AC＝AA1＝2， 则A1(0，0，0)，B(0，2，2)，A(0，0，2)，C(2，0，2)，D(1，1，2)，＝(0，2，2)，＝(1，1，0)，＝(2，0，－2)． 设平面ADC1的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1， 得n＝(1，－1，1)，∵n·＝0－2＋2＝0，且A1B⊄平面ADC1， ∴A1B∥平面ADC1． (2)∵＝(1，－1，0)，＝(1，－1，－2)，设平面BB1C1C的法向量为m＝(a，b，c)， 则取a＝1，得m＝(1，1，0)， 又平面ADC1的法向量n＝(1，－1，1)，n·m＝1－1＋0＝0， ∴平面ADC1⊥平面BB1C1C． 15．(多选)在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实： (1)过点P0(x0，y0，z0)，且以u＝(a，b，c)(abc≠0)为方向向量的空间直线l的方程为＝＝． (2)过点P(x0，y0，z0)，且以v＝(m，n，t)(mnt≠0)为法向量的平面α的方程为m(x－x0)＋n(y－y0)＋t(z－z0)＝0． 现已知平面α：x＋2y＋3z＝6，l1：l2：x＝y＝2－z，l3：＝＝，则(　　) A．l1∥α B．l2∥α C．l3∥α D．l1⊥α CD　[根据题意，平面α：x＋2y＋3z＝6，即(x－1)＋2(y－1)＋3(z－1)＝0，则平面α的一个法向量为(1，2，3)，设m＝(1，2，3)，直线l1： 变形可得：2x＝y＋1＝(z＋2)，即＝＝，则直线l1的一个方向向量为，设n1＝，由于m＝2n1，则l1⊥α，A错误，D正确；直线l2：x＝y＝2－z，即＝＝，直线l2的一个方向向量为(1，1，－1)，设n2＝(1，1，－1)，由于m·n2＝1＋2－3＝0，则m⊥n2，对于 l2：x＝y＝2－z，当x＝0时，有y＝0，z＝2，直线l2过点(0，0，2)，平面α：x＋2y＋3z＝6，也过点(0，0，2)，则l2⊂α，B错误； l3：＝＝，则直线l3的一个方向向量为(5，－4，1)，设n3＝(5，－4，1)， 由于m·n3＝5－8＋3＝0，则m⊥n3， 同时，l3：＝＝，过点(1，0，0)，平面α：x＋2y＋3z＝6不过点(1，0，0)，则有l3∥α，C正确．故选CD．] 1/5 学科网（北京）股份有限公司 $$