08 第一章 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步讲义(人教A版2019)

第2课时　空间中直线、平面的平行 [学习目标]　1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．(数学抽象) 2．能用向量方法判断或证明线线、线面、面面间的平行关系．(逻辑推理、数学运算) (教师用书) 牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝，在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道均有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？ [讨论交流]　问题1．空间直线、平面平行的向量条件是什么？ 问题2．对比平面的两种向量表示式，能写出线面平行的两种向量条件吗？ 问题3．用向量解决空间线面平行问题的一般步骤是什么？ [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　直线与直线平行 探究问题1　由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？ [提示]　平行． [新知生成] 两直线平行的判定方法 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． 【教用·微提醒】　利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． [典例讲评]　1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2．求证：MN∥AP． [证明]　法一：由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直，如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，N，M，所以＝(－1，0，1)，＝，所以＝，又M∉AP，故MN∥AP． 法二：由题意可得，＝＋＝＋×＝＋＋＝＋＝＝，又M∉AP，所以MN∥AP． 　向量法证明线线平行的两种思路 [学以致用]　1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1．求证：EF∥AC1． [证明]　如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则A(a，0，0)，C1(0，b，c)，E，F， 所以＝，＝(－a，b，c)， 所以＝， 因为FE与AC1不共线，所以EF∥AC1． 探究2　直线与平面平行 探究问题2　观察下图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？ [提示]　垂直． [新知生成] 直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0． 【教用·微提醒】　(1)证明线面平行的关键是看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直． (2)特别强调直线在平面外． 【链接·教材例题】 例3　如图1.4-12，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2．线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1? [分析]　根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量，，以及平面ACD1的法向量n等都可以用坐标表示．如果点P存在，那么就有n·＝0，由此通过向量的坐标运算可得结果． [解]　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-12所示的空间直角坐标系．因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，所以 ＝(－3，4，0)，＝(－3，0，2)． 设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则n＝0，n·＝0，即 所以 取z＝6，则x＝4，y＝3．所以，n＝(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量． 由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得＝(0，4，0)，＝(－3，0，2)．设点P满足＝λ(0≤λ≤1)，则＝(－3λ，0，－2λ)，所以＝＋＝(－3λ，4，－2λ)． 令n·＝0，得－12λ＋12－12λ＝0，解得λ＝，此时A1P⊄平面ACD1，这样的点P存在．所以，当＝，即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1． [典例讲评]　2．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB． [证明]　如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a． 连接AC，交BD于点G， 连接EG， 依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E，B(a，a，0)． 法一：设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 又＝＝， 则有 即 即 令z＝1，则 所以n＝(1，－1，1)， 又＝(a，0，－a)， 所以n＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0． 所以n⊥． 又PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB． 法二：因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为， 所以＝． 又＝(a，0，－a)， 所以，则PA∥EG． 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB． 法三：假设存在实数λ，μ使得， 即(a，0，－a)＝λ＋μ， 则有 解得 所以， 又PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB． 　利用空间向量证明线面平行的三种方法 (1)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． (3)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示． [学以致用]　2．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1． [证明]　如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为a(a＞0)，侧棱长为b(b＞0)，则A(0，0，0)，B，B1， C1(0，a，b)，D，所以＝＝，＝． 设平面DBC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 所以 不妨令y＝2b，则n＝(0，2b，－a)． 由于·n＝ab－ab＝0，因此⊥n． 又AB1⊄平面DBC1，所以AB1∥平面DBC1． 探究3　平面与平面平行 探究问题3　如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ [提示]　平行． [新知生成] 平面和平面平行的判定方法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． 【教用·微提醒】　证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 【链接·教材例题】 例2　证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 已知：如图1.4-11，a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α． 求证：α∥β． [分析]　设平面α的法向量为n，直线a，b的方向向量分别为u，v，则由已知条件可得n·u＝n·v＝0，由此可以证明n与平面β内的任意一个向量垂直，即n也是β的法向量． 证明　如图1.4-11，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，v． 因为a∥α，b∥α，所以n·u＝0，n·v＝0． 因为a⊂β，b⊂β，a∩b＝P， 所以对任意点Q∈β，存在x，y∈R，使得＝xu＋yv． 从而n＝n·(xu＋yv)＝xn·u＋yn·v＝0． 所以，向量n也是平面β的法向量．故α∥β． [典例讲评]　3．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC． [证明]　由题意知AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)． 所以＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－2)，设n1＝(x1，y1，z1)是平面GEF的法向量， 则n1⊥，n1⊥，即 得令z1＝1，则x1＝1，y1＝0，所以n1＝(1，0，1)为平面GEF的一个法向量． 设n2＝(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量，由n2⊥，n2⊥， 得即 即 令z2＝1，得x2＝1，y2＝0， 所以n2＝(1，0，1)为平面PBC的一个法向量． 因为n1＝n2，所以平面EFG∥平面PBC． 　证明面面平行问题的方法 (1)转化为相应的线线平行或线面平行． (2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行． [学以致用]　3．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点， 求证：平面BMN∥平面PCD． [证明]　连接BD，PM，因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以BM⊥AD， 又PA＝PD，M为AD的中点，所以PM⊥AD， 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥平面ABCD， 所以以M为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设PA＝PD＝2a，CD＝b， 则B(2a，0，0)，C(b，2a，0)，D(0，2a，0)，P(0，0，2a)，M(0，0，0)，N(0，－a，a)， 所以＝(0，－a，a)，＝(2a，0，0)， ＝(b，2a，－2a)，＝(0，2a，－2a)， 设n1＝(x1，y1，z1)是平面BMN的法向量， n2＝(x2，y2，z2)是平面PCD的法向量， 则由n1＝0， 得令y1＝1，则x1＝0，z1＝1， 所以n1＝(0，1，1)是平面BMN的一个法向量． 同理，由n2＝0， 得 令y2＝1，可得x2＝0，z2＝1， 所以n2＝(0，1，1)是平面PCD的一个法向量． 因为n1＝n2，所以平面BMN∥平面PCD． 【教用·备选题】　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? [解]　如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1， 则O，P，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)， 设Q(0，1，z)，则＝，＝(－1，－1，1)， 则＝2，所以∥， 所以OP∥BD1． 又＝＝(－1，0，z)， 当z＝时，，即AP∥BQ． 又AP∩OP＝P，BQ∩BD1＝B，AP，OP⊂平面PAO，BQ，BD1⊂平面D1BQ， 则有平面PAO∥平面D1BQ． 所以当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO． 1．若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是(　　) A．m＝(3，－1，0)，n＝(－1，0，2) B．m＝(－2，1，4)，n＝(2，0，1) C．m＝(2，9，7)，n＝(－2，0，－1) D．m＝(1，－2，3)，n＝(0，3，1) B　[根据题意，直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，要使l∥α，则m·n＝0， 由此分析选项，对于A，m·n＝－3≠0，不符合题意； 对于B，m·n＝－4＋4＝0，符合题意；对于C，m·n＝－11≠0，不符合题意； 对于D，m·n＝－3≠0，不符合题意． 故选B．] 2．已知向量a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)，且向量a，b分别为直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A．m＝8，n＝28 B．m＝4，n＝28 C．m＝8，n＝ D．m＝4，n＝ C　[因为l1∥l2，且a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)分别为l1，l2的方向向量，所以＝＝，解得m＝8，n＝．故选C．] 3．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为，则m＝________． －8　[∵l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为， ∴向量(2，m，1)与平面α的法向量垂直， 则(2，m，1)＝2＋m＋2＝0，解得m＝－8．] 4．已知平面α与平面ABC是不重合的两个平面，若平面α的一个法向量为m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，则平面α与平面ABC的位置关系是________． 平行　[根据题意，平面α的一个法向量为m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，则有m＝2×2－4＝0，则m⊥，同理m＝2－6＋4＝0， 则m⊥，故m也是平面ABC的法向量，必有平面α∥平面ABC．] 1．知识链：(1)利用向量证明直线和直线平行． (2)利用向量证明直线和平面平行． (3)利用向量证明平面和平面平行． 2．方法链：坐标法、转化化归． 3．警示牌：利用向量证明直线和平面平行，不要忽略直线不在平面内的条件． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．两直线平行的向量表达式是什么？ [提示]　设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔μ1∥μ2⇔∃λ∈R，使得μ1＝λμ2． 2．直线和平面平行的向量表达式是什么？ [提示]　设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，且l⊄α，则l∥α⇔μ⊥n⇔μ·n＝0． 3．平面和平面平行的向量表达式是什么？ [提示]　设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． 4．证明线面平行有哪些方法？ [提示]　(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 课时分层作业(八)　空间中直线、平面的平行 一、选择题 1．已知直线l的方向向量为a＝(1，2，－2)，平面α的一个法向量为n＝(2，4，m)，若l∥α，则m等于(　　) A．5 B．2 C． D．－4 A　[根据题意，因为l∥α，且直线l的方向向量为a＝(1，2，－2)，平面α的法向量为n＝(2，4，m)，所以a⊥n，所以a·n＝0，则有1×2＋2×4＋(－2)×m＝0，解得m＝5．故选A．] 2．(多选)设a，b分别是不重合直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是(　　) A．a＝，b＝(－2，－4，0) B．a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1) C．a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0) D．a＝(－2，－1，1)，b＝(4，－2，－8) AB　[对于A，易知a＝－b，所以l1∥l2，A正确；对于B，a＝－2b，所以l1∥l2，B正确；对于选项C、D，由于a与b不共线，所以不能判断l1∥l2．故选AB．] 3．已知平面α的一个法向量为(1，2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　) A．2 B．－4 C．4 D．－2 C　[因为α∥β，所以＝＝，所以k＝4．] 4．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 B　[如图，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．因为A1M＝AN＝a， 所以M， 所以． 又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)， 所以＝(0，a，0)， 所以＝0，所以⊥． 因为是平面BB1C1C的一个法向量，且MN⊄平面BB1C1C， 所以MN∥平面BB1C1C．] 5．如图所示，已知正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为(　　) A．(1，1，1) B． C． D． C　[∵M在EF上，∴不妨设ME＝x， 则M， ∵A(，，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，B(0，，0)， ∴＝(，0，－1)，＝(0，，－1)，＝． 设平面BDE的法向量为n＝(a，b，c)， 易求其中一个法向量为n＝(1，1，)， ∴有n＝0，即x－＋x－＋＝0， ∴x＝，∴x＝1． ∴M，故选C．] 二、填空题 6．已知直线l的方向向量为(1，m，2)，平面α的一个法向量为(3，－1，1)，且l∥α，则m＝________． 5　[根据题意，设直线l的方向向量为a＝(1，m，2)， 平面α的一个法向量为b＝(3，－1，1)， 若l∥α，必有a⊥b，则有a·b＝3－m＋2＝0，解得m＝5．] 7．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝________． 　[由题意知 即 解得∴a＝．] 8．已知a＝(0，1，m)，b＝(0，n，－3)分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则mn＝________． －3　[根据题意，若α∥β，则有a∥b，设a＝kb，即(0，1，m)＝k(0，n，－3)， 则有变形可得：mn＝－3．] 三、解答题 9．已知正方体OABC­O1A1B1C1的棱长为1，如图以O为原点，{}为单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz．D，E分别是OO1，AB的中点． (1)求直线DE的一个方向向量； (2)证明：DE∥平面O1BC． [解]　(1)根据题意，D，E， 因此＝， 故直线DE的一个方向向量为m＝(2，1，－1)(答案不唯一)． (2)证明：连接OC1(图略)，BC⊥平面O1OCC1，OC1⊂平面O1OCC1，则BC⊥OC1， 又因为OC1⊥O1C，O1C∩BC＝C，O1C，BC⊂平面O1BC，故OC1⊥平面O1BC， 因此取平面O1BC的法向量为＝(0，1，1)，由于m·＝0，则m⊥，而DE⊄平面O1BC，因此DE∥平面O1BC． 10．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且，若B1F∥平面A1BE，则λ＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． C　[如图所示，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则B(1，0，0)，E，D1(0，1，1)，C1(1，1，1)，A1(0，0，1)，所以＝(－1，0，1)，． 设n＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则由 得令z＝2，得平面A1BE的一个法向量为n＝(2，1，2)． 由＝(1，0，0)，，可得F(λ，1，1)(0≤λ≤1)． 又B1(1，0，1)，所以＝(λ－1，1，0)． 由B1F∥平面A1BE，得·n＝0， 即2(λ－1)＋1＝0，解得λ＝．] 11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是(　　) A．异面 B．平行 C．垂直不相交 D．垂直且相交 B　[设正方体的棱长为1，以D点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则＝(1，0，1)，＝(－1，1，0)，设＝(a，b，c)，则 取＝(1，1，－1)．∵＝(0，0，1)－(1，1，0)＝(－1，－1，1)＝－，∴∥，∴PQ∥BD1．] 12．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________． 　[如图，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝a(a＞0)，AP＝b(0＜b≤1)，则A(0，0，0)， D(0，1，0)，P(0，0，b)，B1(a，0，1)，E． 于是AB1＝(a，0，1)，＝＝(0，－1，b)． 设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)，则得取x＝2，得y＝－a，z＝－2a， ∴n＝(2，－a，－2a)是平面B1AE的一个法向量．∵DP∥平面B1AE，∴n＝a－2ab＝0，解得b＝，即AP＝．] 13．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段D1B上的动点，M，N分别为棱BC，AB的中点，若DP∥平面B1MN，则＝________． 　[如图所示，以D为原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系． 设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，可得D(0，0，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，M(1，2，0)，N(2，1，0)，则＝(2，2，－2)，＝(－1，0，－2)，＝(0，－1，－2)． 设＝λ，可得＝(2λ，2λ，－2λ)，可得P(2λ，2λ，2－2λ)，则＝(2λ，2λ，2－2λ)． 设平面B1MN的法向量为n＝(x，y，z)， 则有 不妨令x＝－2，则n＝(－2，－2，1)． 因为DP∥平面B1MN，所以·n＝(2λ，2λ，2－2λ)·(－2，－2，1)＝－4λ－4λ＋2－2λ＝0， 解得λ＝，即．] 14．如图所示，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点．求证： (1)MN∥平面PAD； (2)平面QMN∥平面PAD． [证明]　(1)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝b，AD＝d，则A(0，0，0)，B(b，0，0)，D(0，d，0)，P(0，0，d)，C(b，d，0)．因为M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，所以M，N，Q，所以＝． 因为平面PAD的一个法向量为m＝(1，0，0)，所以m＝0，即⊥m，因为MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD． (2)由(1)知，＝(0，－d，0)，所以m＝0，所以⊥m，又由(1)知⊥m，所以m也是平面QMN的一个法向量，所以平面QMN∥平面PAD． 15．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝AD． 问：侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由． [解]　因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD． 又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD．又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)． 设侧棱PA的中点是E， 则E＝． 设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则 因为＝(－1，1，0)，＝(0，2，－1)，所以 取x＝1，则y＝1，z＝2， 所以平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，2)． 所以n＝(1，1，2)＝0，所以n⊥． 因为BE⊄平面PCD， 所以BE∥平面PCD． 综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD． 21/21 学科网（北京）股份有限公司 $$