07 第一章 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步讲义(人教A版2019)

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [学习目标]　1．能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．(数学抽象) 2．会求一个平面的法向量．(数学运算、逻辑推理) (教师用书) 立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，为了用空间向量解决几何问题，首先必须把点、直线、平面用向量表示出来． 那么，如何利用向量刻画直线与平面的方向与位置？ [讨论交流]　 问题1．空间点的位置向量、直线的方向向量、平面的法向量是如何定义的？ 问题2．空间一条直线的方向向量唯一吗？它们有什么共同特征？ 问题3．空间直线和平面的向量表示式分别是什么？其依据是什么？ 问题4．求一个平面的法向量的一般步骤是什么？ [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　空间中点的向量和直线的向量表示 探究问题1　在空间中，如何确定一条直线？ [提示]　两点可以确定一条直线；直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线． [新知生成] 1．点的位置向量 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间直线的向量表示式 设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝． (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＋ta，即＝． (3)性质：空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 【教用·微提醒】　(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． [典例讲评]　1．(源自湘教版教材)如图所示，已知长方体ABCD­A′B′C′D′的棱长AB＝2，AD＝4，AA′＝3．以点D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量： (1)AA′；(2)BD′． [解]　 由已知可得，长方体顶点A，B，A′，D′的坐标分别为A(4，0，0)，B(4，2，0)，A′(4，0，3)，D′(0，0，3)． (1)因为向量＝(0，0，3)，所以直线AA′的一个方向向量为(0，0，3)．(答案不唯一) (2)因为向量＝(－4，－2，3)，所以直线BD′的一个方向向量为(－4，－2，3)．(答案不唯一) 　求直线的方向向量的两种方法 (1)在直线l上确定两点A，B，则就是直线l的方向向量． (2)在与直线l平行的直线m上确定两点A1，B1，则就是直线l的方向向量． [学以致用]　1．已知点A(1，2，－1)，B(2，0，1)是直线l上的两点． (1)求直线l的一个方向向量； (2)判断点M(3，3，1)是否在直线l上． [解]　(1)直线l的一个方向向量为＝(1，－2，2)．(答案不唯一) (2)＝(2，1，2)．设，即(2，1，2)＝λ(1，－2，2)，所以这样的λ不存在，即向量不共线． 故点M不在直线l上． 探究2　空间中平面的向量表示 探究问题2　向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是什么？ [提示]　存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb． 探究问题3　如何用向量表示点P在平面ABC内的充要条件？ [提示]　存在有序实数对(x，y)，使得． [新知生成] 1．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb． 2．如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3．如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P·＝0}． 【教用·微提醒】　(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无数多个，它们相互平行． 【链接·教材例题】 例1　如图1.4-7，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面MCA1的法向量． [分析]　(1)平面BCC1B1与y轴垂直，其法向量可以直接写出；(2)平面MCA1可以看成由，，中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量． [解]　(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1＝(0，1，0)是平面BCC1B1的一个法向量． (2)因为AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，所以M，C，A1的坐标分别为(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2)． 因此＝(－3，2，0)，＝(0，－2，2)． 设n2＝(x，y，z)是平面MCA1的法向量，则 n2⊥，n2⊥． 所以所以 取z＝3，则x＝2，y＝3．于是n2＝(2，3，3)是平面MCA1的一个法向量． [典例讲评]　2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． [解]　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，D(0，，0)，E，C(1，，0)，于是＝＝(1，，0)． 设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量， 则即 所以 令y＝－1，则x＝z＝． 所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．(答案不唯一) [母题探究]　本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量． [解]　以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，，0)，所以＝(1，，－1)即为直线PC的一个方向向量． 因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1)． 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 所以令y＝1，则z＝． 所以平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，)．(答案不唯一) 　如何确定平面的法向量？ [提示]　按如下步骤求平面的法向量： (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量． (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组： (5)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． [学以致用]　2．已知点A(1，2，3)，B(1，1，0)，C(0，1，1)，则下列向量是平面ABC的一个法向量的是(　　) A．(－1，3，－1)　　　　 B．(－1，－3，－1) C．(1，3，1) D．(－1，3，1) A　[由题意知：＝(0，－1，－3)，＝(－1，－1，－2)， 对于A，∵(－1，3，－1)·(0，－1，－3)＝0－3＋3＝0，(－1，3，－1)·(－1，－1，－2)＝1－3＋2＝0，∴(－1，3，－1)与均垂直，∴(－1，3，－1)是平面ABC的一个法向量，A正确； 对于B，∵(－1，－3，－1)·(－1，－1，－2)＝1＋3＋2＝6，∴(－1，－3，－1)与不垂直， ∴(－1，－3，－1)不是平面ABC的一个法向量，B错误； 对于C，∵(1，3，1)·(0，－1，－3)＝0－3－3＝－6，∴(1，3，1)与不垂直， ∴(1，3，1)不是平面ABC的一个法向量，C错误； 对于D，∵(－1，3，1)·(0，－1，－3)＝0－3－3＝－6，∴(－1，3，1)与不垂直，∴(－1，3，1)不是平面ABC的一个法向量，D错误．故选A．] 3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2．以A为原点，建立空间直角坐标系． (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面A1BC的法向量． [解]　(1)由已知得B(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(1，0，2)，A1(0，0，2)， 故＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)． 设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，则n＝(1，1，0)， 所以平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，1，0)．(答案不唯一) (2)设平面A1BC的法向量为m＝(a，b，c)． 因为＝(1，0，－2)，＝(－1，1，0)， 则令a＝1，则m＝， 所以平面A1BC的一个法向量为m＝．(答案不唯一) 【教用·备选题】　已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，并求出平面SAB、平面SDC的一个法向量． [解]　由已知得SA，AB，AD两两垂直， ∴以A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)． ∵SA＝AB＝BC＝1，AD＝， ∴S(0，0，1)，A(0，0，0)，C(1，1，0)，D，∴＝＝(1，1，－1)，＝． 易知平面SAB的一个法向量为＝． 设平面SDC的法向量为m＝(x，y，z)， 则取z＝1，则x＝2，y＝－1， ∴平面SDC的一个法向量为m＝(2，－1，1)．(答案不唯一) 1．若A(0，1，2)，B(2，5，8)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(3，2，1) B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(1，2，3) D　[＝(2，5，8)－(0，1，2)＝(2，4，6)， 因为(2，4，6)＝2(1，2，3)．故选D．] 2．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α法向量的是(　　) A．(0，－3，1) B．(2，0，1) C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1) D　[∵(－2，3，－1)＝－(2，－3，1)，∴向量(－2，3，－1)与平面α的一个法向量平行，它也是平面的一个法向量．故选D．] 3．设直线l的方向向量为m＝(2，－1，z)，平面α的一个法向量为n＝(4，－2，－2)，若直线l∥平面α，则实数z的值为(　　) A．－5 B．5 C．－1 D．1 B　[若直线l∥平面α，则m·n＝0，故8＋2－2z＝0，解得z＝5．故选B．] 4．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是平面α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________． x＋2y－3z＝0　[由题意得e⊥，则e＝(x，y，z)·(1，2，－3)＝0，故x＋2y－3z＝0．] 1．知识链：(1)空间中点和直线的向量表示． (2)空间中平面的向量表示． (3)平面法向量的求法． 2．方法链：待定系数法、赋值法． 3．警示牌：直线的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一，这无数个方向向量或法向量都分别是共线向量．用代数法求平面的法向量时，设定的某个分坐标一定不能是0． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何求直线l的方向向量？直线的方向向量唯一吗？ [提示]　在直线l或与直线l平行的直线上取两点A，B，则就是直线l的方向向量．直线的方向向量有无数个，哪个易求求哪个． 2．平面的法向量有无数个，它们是什么关系？ [提示]　共线． 3．如何求一个平面的法向量？ [提示]　(1)设法向量n＝(x，y，z)； (2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)； (3)建立方程组 (4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量． 课时分层作业(七)　空间中点、直线和平面的向量表示 一、选择题 1．设空间四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则(　　) A．点P一定在直线AB上 B．点P一定不在直线AB上 C．点P不一定在直线AB上 D．以上都不对 A　[由m＋n＝1得m＝1－n，结合题意知＝(1－n)＋n＝ 由此可知，A，P，B三点共线．故选A．] 2．若点A(－1，0，2)，B(1，4，10)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，4) B．(1，4，2) C．(0，2，－1) D．(0，4，12) A　[由＝(2，4，8)，l的方向向量与平行，只有选项A满足题意．故选A．] 3．已知A(3，2，0)，B(0，4，0)，C(3，0，2)，则平面ABC的一个法向量是(　　) A．(1，1，1) B．(2，2，3) C．(2，3，3) D． C　[由题可知＝(－3，2，0)，＝(0，－2，2)，设n＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，则n⊥，n⊥． 所以可得 取z＝3，则x＝2，y＝3．于是n＝(2，3，3)是平面ABC的一个法向量． 故选C．] 4．已知直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，则a＋b＝(　　) A．0 B．1 C． D．3 D　[∵A(0，a，3)和B(－1，2，b)在直线l上，＝(－1，2－a，b－3)，且直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，∴设＝λm，则(－1，2－a，b－3)＝λ(2，－1，3)，解得λ＝－，a＝b＝，∴a＋b＝3．故选D．] 5．(多选)已知平面α内有一点M(1，－1，1)，平面α的一个法向量为n＝(4，－1，0)，则下列点中不在平面α内的是(　　) A．A(2，3，2) B．B(－2，0，1) C．C(－4，4，0) D．D(3，－3，4) BCD　[对于A，＝(－1，－4，－1)，n＝4×(－1)＋(－1)×(－4)＋0＝0，所以n⊥，又因为M∈平面α，所以A∈平面α；对于B，＝(3，－1，0)，n＝4×3＋(－1)×(－1)＋0＝13，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以B∉平面α；对于C，＝(5，－5，1)，n＝4×5＋(－1)×(－5)＋0＝25，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以C∉平面α；对于D，＝(－2，2，－3)，n＝4×(－2)＋(－1)×2＋0＝－10，所以n与不垂直，又因为M∈平面α，所以D∉平面α．故选BCD．] 二、填空题 6．已知直线l的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝________，y＝________． －20　12　[∵直线的方向向量平行，∴＝＝，∴x＝－20，y＝12．] 7．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中： (1)直线AB的方向向量有________个； (2)平面AA1B1B的法向量有________个． (1)8　(2)8　[(1)直线AB的方向向量有：，共8个． (2)平面AA1B1B的法向量有：，共8个．] 8．已知A(1，2，3)，B(－2，2，1)在直线l上，写出直线l的一个方向向量：u＝________．(用坐标表示) (－3，0，－2)(答案不唯一)　[因为A(1，2，3)，B(－2，2，1)在直线l上， 则直线l的一个方向向量u＝＝(－3，0，－2)．(答案不唯一)] 三、解答题 9．已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，－2)． (1)写出直线BC的一个方向向量； (2)设平面α经过点A，且是平面α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式． [解]　(1)∵B(2，0，0)，C(0，2，－2)， ∴＝(－2，2，－2)，即(－2，2，－2)为直线BC的一个方向向量．(答案不唯一) (2)由题意得＝(x－2，y－2，z－2)， ∵⊥平面α，AM⊂α， ∴⊥，则＝0， ∴(－2，2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0， ∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0， 化简得x－y＋z－2＝0． 10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的一个法向量的是(　　) A．(1，－2，4) B．(－4，1，－2) C．(2，－2，1) D．(1，2，－2) B　[设AB＝2，由题图知A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(1，0，2)，＝(0，2，1)，＝(－1，0，2)． 设平面AEF的法向量n＝(x，y，z)， 则取y＝1，得n＝(－4，1，－2)．故选B．] 11．已知空间三点坐标分别为A(1，1，1)，B(0，3，0)，C(－2，－1，4)，点P(－3，x，3)在平面ABC内，则实数x的值为(　　) A．1 B．－2 C．0 D．－1 A　[＝(1，－2，1)，＝(－2，－4，4)，＝(－3，x－3，3)，设平面ABC的法向量为n＝(a，b，c)，则 即 ①＋②得－4b＋3c＝0， 令c＝4，则b＝3，a＝2，∴n＝(2，3，4)． ∵n⊥，∴n＝0， 即－3×2＋3(x－3)＋3×4＝0， ∴x＝1．] 12．在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m＝(A，B，C)的平面方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0．若平面α的方程为x＋2y＋z－1＝0，则平面α的一个法向量为________． (1，2，1)(答案不唯一)　[根据题意，平面α的方程为x＋2y＋z－1＝0，即1(x－0)＋2(y－0)＋1(z－1)＝0， 则平面α的一个法向量为(1，2，1)．] 13．已知直线l的方向向量为e＝(－1，1，2)，平面α的一个法向量为n＝(λ∈R)，若l⊥α，则实数λ的值为________． －　[因为l⊥α，所以e与n平行， 则存在实数m使得e＝mn，即(－1，1，2)＝m， 可得所以] 14．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点E在棱AB上移动． (1)证明：D1E⊥A1D； (2)求平面ACD1的法向量． [解]　(1)证明：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，设E(1，t，0)，0≤t≤3， 所以＝(1，t，－1)·(1，0，1)＝1－1＝0，所以D1E⊥A1D． (2)A(1，0，0)，C(0，3，0)，＝(－1，3，0)，＝(0，－3，1)， 设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)， 则取y＝1，则n＝(3，1，3)． 所以平面ACD1的一个法向量为n＝(3，1，3)．(答案不唯一) 15．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)． (1)求证：是平面ABCD的一个法向量； (2)求平行四边形ABCD的面积． [解]　(1)证明：＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝0， ＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD． 又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD． 所以是平面ABCD的一个法向量． (2)因为＝＝， ＝＝2， ＝(2，－1，－4)·(4，2，0)＝6， 所以cos 〈〉＝＝， 故sin 〈〉＝， S▱ABCD＝＝8． 5/15 学科网（北京）股份有限公司 $$