03 第一章 1.1.2 空间向量的数量积运算-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步讲义(人教A版2019)

1.1.2　空间向量的数量积运算 [学习目标]　1．掌握空间向量的夹角的概念．(数学抽象) 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律．(逻辑推理、数学运算) 3．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．(数学抽象) 4．能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题．(直观想象、数学运算) (教师用书) 回忆平面向量数量积的概念与性质，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，说明理由． [讨论交流]　 问题1．空间向量的夹角的定义，数量积的定义、性质和运算律与平面向量有区别吗？ 问题2．两向量共线时，其夹角是多少？零向量与任意向量的数量积等于多少？ 问题3．在空间中，向量a向向量b、直线l、平面α的投影分别有什么意义？ 问题4．类比平面向量的数量积，用空间向量的数量积可解决哪几类几何问题？ [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　空间向量的夹角 探究问题1　我们在必修第二册“第六章　平面向量及其应用”中已经学习了两个平面向量a和b的夹角的定义，那么对于两个空间向量a和b，它们的夹角又该如何定义呢？ [提示]　已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． [新知生成] 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 【教用·微提醒】　(1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π．故〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． (2)由于零向量的方向是任意的，因此任意一个向量与零向量的夹角是不确定的，故零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a都是共线的，即0∥a． [典例讲评]　1．如图，在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　) A．30°　　　B．60°　　　　C．120°　　　　D．150° C　[由题意，可得＝，所以〈〉＝〈〉＝180°－〈〉＝180°－60°＝120°．] 　1．求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防出错． 2．对空间任意两个非零向量a，b，有： (1)〈a，b〉＝〈b，a〉． (2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉． (3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉． [学以致用]　1．如图，在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，O，O1分别是对角线AC，A1C1的中点，则〈〉＝________，〈〉＝________． 0°　90°　[由题意得方向相同，故〈〉＝0°．由题意知OO1是正四棱台ABCD­A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故〈〉＝90°．] 探究2　空间向量的数量积运算 探究问题2　我们在必修第二册“第六章　平面向量及其应用”中已经学习了两个平面向量a和b的数量积的定义、性质及运算．类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？ [提示]　空间两向量数量积的定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． 空间向量的数量积运算满足：(1)数乘向量与向量数量积的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． [新知生成] 1．空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． 规定：零向量与任意向量的数量积为0． (2)空间向量的数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R． ②a·b＝b·a(交换律)． ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． (3)空间两向量的数量积的性质 向量数量积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：则a·b＝|a||b| 反向：则a·b＝－|a||b| 模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2，|a|＝≤|a||b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 2．向量的投影 (1)在空间，向量a向向量b投影： 如图1，先将它们平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a向直线l投影如图2． (3)向量a向平面β投影： 如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量． 【教用·微提醒】　(1)非零向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab． (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π． (3)向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b＝a·c b＝c，(a·b)·ca·(b·c)． 【链接·教材例题】 例2　如图1.1-12，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°．求： (1)；(2)AC′的长(精确到0.1)． [解]　(1)·＝ ＝5×3×cos 60°＝7.5； (2)||2＝2 ＝2(·＋·＋·) ＝52＋32＋72＋2(5×3×cos 60°＋5×7×cos 45°＋3×7×cos 45°) ＝98＋56， 所以AC′≈13.3． [典例讲评]　2．如图所示长方体ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中点，AA′＝AD＝2，AB＝4，求： (1)·； (2)·． [解]　(1)法一：因为是长方体，而且AA′＝AD＝2， 所以〈〉＝∠B′BC′＝45°， ＝AA′＝1， ＝BC′＝， 因此＝＝2＝2． 法二：由题图可以看出，上的投影向量是，而且＝AA′＝1， 注意到的方向相同，所以等于的长， 即＝＝2． (2)在长方体ABCD­A′B′C′D′中，， ， ∴＝×22＝－2． 即＝－2． 　空间向量的数量积运算的方法 (1)利用定义，直接利用a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉，并结合运算律进行计算． (2)利用图形，计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． (3)利用向量分解，在几何体中进行向量的数量积运算时，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算． [学以致用]　2．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，BD＝2，AB＝CD＝1，E，F分别为BC，AD的中点，则＝(　　) A．　　　B．1　　　C．　　　D．2 B　[设H为BD的中点，连接FH，EH．如图所示， ·＝·＝······＝＝1．故选B．] 3．若a，b，c为空间中两两夹角为的单位向量，＝b－c，求·的值． [解]　由题意得，a·b＝b·c＝c·a＝12×cos ＝，则＝2(a－b)·(b－c)＝2(a·b－a·c－b2＋b·c)＝2×＝－1． 探究3　空间向量的数量积的应用 　求夹角 [典例讲评]　3．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，求cos 〈〉的值． [解]　 由已知得＝ 〈〉＝〈〉＝〈〉＝90°， 所以＝0． 因为， 所以2＝＝2＝＝12＋22＋12＝6，＝， 2＝＝2＝＝12＋22＝5，＝， ＝＝＝22－12＝3， 所以cos 〈〉＝． [母题探究] 1．若N为A1A的中点，其他条件不变，求夹角的余弦值． [解]　由例题知，＝＝＝×22－12＝1， 所以cos 〈〉＝． 2．本例中条件不变，求异面直线CA1与AB夹角的余弦值． [解]　由已知得＝＝1，＝2， ＝0． 因为2＝＝2＝＝12＋22＝5，所以＝． 因为2＝＝2＝＝12＋12＝2，所以＝， 又因为＝＝＝－1， 所以cos 〈〉＝． 所以异面直线CA1与AB夹角的余弦值为． 　利用向量求异面直线夹角的步骤 [学以致用]　4．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，则异面直线AE与A1C所成的角是(　　) A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90° C　[∵A1A⊥平面ABC， ∴A1A⊥AB，A1A⊥AC． ∵AC＝AB＝，BC＝2，∴AB⊥AC． 又BC＝2AE＝2， ∴E为BC的中点，∴． ∵AA1＝，∴A1C＝2． ∵＝2＝1， ∴cos 〈〉＝， ∴〈〉＝60°， 即异面直线AE，A1C所成的角是60°．] 　求距离(模) [典例讲评]　4．如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3，5，M，N分别在上、下底面圆周上，且〈〉＝120°，则＝(　　) A． B．5 C． D．5 A　[∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，∴＝0， 又＝3×5×cos 60°＝， ∴＝2＝＝9＋16＋25＋15＝65，∴＝． 故选A．] 　求两点间的距离或线段的长度的步骤 (1)将此线段用向量表示． (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量． (3)利用|a|＝，即得所求距离或长度． [学以致用]　5．已知线段AB，BD在平面α内，∠ABD＝120°，线段AC⊥α．若AB＝a，BD＝b，AC＝c，则线段CD的长为(　　) A． B． C． D． A　[如图，． ∵线段AB，BD在平面α内，∠ABD＝120°，线段AC⊥α，AB＝a，BD＝b，AC＝c， ∴＝2 ＝c2＋a2＋b2＋2ab cos 60°＝a2＋b2＋c2＋ab， ∴线段CD的长＝．故选A．] 　证明垂直 【链接·教材例题】 例3　如图1.1-13，m，n是平面α内的两条相交直线．如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α． [分析]　要证明l⊥α，就是要证明l垂直于α内的任意一条直线g(直线与平面垂直的定义)．如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由l⊥m，l⊥n，得到l⊥g，那么就能解决此问题． [证明]　在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g． 因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使 g＝xm＋yn． 将上式两边分别与向量l作数量积运算，得 l·g＝xl·m＋yl·n． 因为l·m＝0，l·n＝0(为什么？)，所以l·g＝0． 所以l⊥g． 这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α． [典例讲评]　5．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．证明：PA⊥BD． [证明]　由题意知，DA⊥BD，则·＝0．由PD⊥底面ABCD知，PD⊥BD，则·＝0．又，所以＝···＝0，所以⊥，所以PA⊥BD． 　用向量法证明垂直关系的步骤是什么？ [提示]　(1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量； (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题． [学以致用]　6．如图，在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC． [证明]　因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，所以△OAC≌△OAB，所以∠AOC＝∠AOB．又··＝··＝· cos ∠AOB＝0，所以⊥，即OA⊥BC． 【教用·备选题】　(源自北师大版教材)如图所示，已知四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面ABCD是边长为1的菱形，且∠C′CB＝∠C′CD＝∠BCD＝，DD′＝2．求： (1)·；(2)·；(3)． [解]　(1)因为∠D′DA＝∠C′CB＝， 所以·＝cos ∠D′DA＝1． (2)因为＝， 而·＝cos ∠C′CD＝1， ·＝cos ∠C′CB＝1， 所以·＝·－·＝1－1＝0． (3) ＝ ＝ ＝． 1．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，〈A′B，B′D′〉＝(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° D　[连接BD，A′D(图略)，因为B′D′∥BD，△A′BD为正三角形，所以∠A′BD＝60°，由向量夹角的定义可知〈〉＝120°，即〈〉＝120°．] 2．已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos 〈〉的值为(　　) A． B． C．－ D．0 D　[∵OB＝OC，∴··＝··＝－·＝·＝0， ∴cos 〈〉＝0．故选D．] 3．如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝60°，∠DAA1＝∠BAA1＝90°，则＝(　　) A．2 B． C． D．1 A　[由题意，得＝＋，两边平方可得2＝＋2＋2··＋2·＝3＋2||·＋2|||||cos∠BAA1|＋2||·||·cos ∠DAA1＝4，所以||＝2.故选A．] 4．如图，正四面体A-BCD的棱长为1，＝，则＝________． 　[＝·＝·＝·＝·＋·＝×1×1×cos 60°＋×1×1×cos 60°＝．] 1．知识链：(1)空间向量的夹角、投影． (2)空间向量的数量积的性质及运算律． 2．方法链：向量法、数形结合、类比． 3．警示牌：(1)当空间向量a，b的夹角θ为锐角时，a·b＞0；但当a·b＞0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0． (2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．空间向量的夹角和数量积的定义与平面向量的夹角和数量积的定义是否一致？ [提示]　一致． 2．向量a在向量b上的投影向量为向量c，则如何求|c|？试列举出你知道的方法． [提示]　|c|＝||a|cos 〈a，b〉|或|c|＝． 3．利用空间向量的数量积可研究哪些问题？ [提示]　可以解决立体几何问题中涉及垂直、距离、夹角的一些问题． 课时分层作业(三)　空间向量的数量积运算 一、选择题 1．对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b 〈a，b〉＝0．故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．] 2．已知空间向量a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则cos 〈a，b〉＝(　　) A． B． C．－ D． D　[空间向量a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，如图，设＝c， 则△ABC中，＝2，＝3，＝4， ∴cos 〈a，b〉＝－cos ∠ABC＝－＝－＝． 故选D．] 3．(多选)如图所示，已知三棱锥A-BCD的各棱长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　) A．2· B．2· C．2· D．2· BC　[对于A，2·＝2a2cos 120°＝－a2，A错误； 对于B，2··＝2a2cos 60°＝a2，B正确； 对于C，2··＝a2，C正确； 对于D，2···＝－a2，D错误．] 4．(多选)已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，则以下结论中一定成立的是(　　) A．||＝|| B．·＝0 C．||2＝||2＋||2＋||2 D．··· ACD　[由题意可知，两两垂直，所以··＝0， 即·＝0． 对于A，2＝2＋＋2·＝2＋2＝2＋－2·＝2＋，所以2＝2， 即||＝||，故A正确； 对于B，·＝·＝， 当时，＝0，否则不成立，故B错误； 对于C，||2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝||2＋||2＋||2＋2(0＋0＋0)＝||2＋||2＋||2，故C正确； 对于D，··＝0，同理可得··＝0， 所以···，故D正确．故选ACD．] 二、填空题 5．已知向量a，b满足|a＋b|＝|a－2b|，其中b是单位向量，则a在b方向上的投影向量是________． b　[因为b是单位向量，所以|b|＝1． 因为|a＋b|＝|a－2b|，所以(a＋b)2＝(a－2b)2， 化简得2a·b＝b2＝1，即a·b＝， 所以a在b方向上的投影向量是·＝b．] 6．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·＝________． 　[如图所示， 连接AG并延长与BC相交于点D． ∵点G是底面△ABC的重心， ∴＝＝＝， 又＋＝， 则·＝· ＝2＝(||2＋||2＋||2＋2···) ＝(1＋4＋9)＝．] 7．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________． 2　[由条件，知··． 所以||2＝||2＋||2＋||2＋2···＝62＋42＋82＋2×6×8cos 120°＝68，所以CD＝2．] 三、解答题 8．如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°．求： (1)·； (2)AC′的长． [解]　(1)·＝||||·cos ∠A′AB＝5×4×＝10． (2)∵＝＋＝＋， ∴2＝2＝＋2＋2··＋2·＝16＋9＋25＋0＋2×4×5×＋2×3×5×＝85， ∴||＝，即AC′的长为． 9．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足···＝0，则△BCD一定是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 B　[因为···＝0， 所以·＝·＝···＞0， 所以cos ∠CBD＝＞0，故∠CBD是锐角．同理·＞0，·＞0，可得∠BCD，∠CDB都是锐角，故△BCD是锐角三角形．故选B．] 10．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，AE⊥PB于点E，M是AC的中点，PB＝1，则·的最小值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ A　[如图，连接EC．∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB． ∵点M是AC的中点，∴＝＝＋，又AE⊥PB， ∴··＝·＋·＋· ＝·＝－| ≥－＝－， 当且仅当||＝||＝时，等号成立，∴·的最小值为－．故选A．] 11．(多选)在三维空间中，定义向量的外积：a×b叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ①a⊥(a×b)，b⊥(a×b)，且a，b和a×b构成右手系(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示)； ②a×b的模|a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉(〈a，b〉表示向量a，b的夹角)． 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的有(　　) A．＝ B．与共线 C． D．6与正方体表面积的数值相等 ABD　[对于A，设正方体的棱长为1，在正方体中，〈，〉＝60°，则||＝||||·sin 〈，〉＝＝， 因为BD∥B1D1，且∠AD1B1＝60°，所以〈，〉＝120°， 所以||＝||||sin 〈，〉＝＝， 所以||＝||，故A正确； 对于B，A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1⇒A1C1⊥平面BB1D1D， BD1⊂平面BB1D1D⇒BD1⊥A1C1，同理BD1⊥AD1， 由右手系知，与共线，故B正确； 对于C，由a，b和a×b构成右手系知，a×b与b×a方向相反，由a×b模的定义知， |a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉＝|b||a|sin 〈a，b〉＝|b×a|， 所以a×b＝－b×a，则，故C错误； 对于D，设正方体棱长为1，6||＝6||·||·sin 45°＝6×1×＝6， 正方体表面积为6，故D正确．故选ABD．] 12．已知空间四面体OABC各边长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则向量与向量的夹角的余弦值为________． －　[由已知得＝＝， 因此||＝＝＝， ||＝＝＝． 又因为·＝·＝×2－×2＋×2－2＝－2，所以向量与向量的夹角的余弦值为＝＝－．] 13．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为． (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； (2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长． [解]　(1)证明：＝＋，＝＋． 因为BB1⊥平面ABC，所以·＝0，·＝0． 又△ABC为正三角形， 所以〈〉＝π－〈〉＝π－＝． 因为·＝· ＝·＋·＋2＋· ＝||·cos 〈〉＋2 ＝－1＋1＝0，所以⊥，即AB1⊥BC1． (2)结合(1)知·＝||·cos 〈〉＋2＝2－1． 又|AB1|＝＝＝|BC1|， 所以|cos 〈，〉|＝＝， 所以||＝2，即侧棱长为2． 14．如图1，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为∠ACB的平分线，AC＝4，BC＝2，过点B作BN⊥CD于点N，延长后交CA于点E，把图形沿CD折起，使∠BNE＝120°，如图2所示，求折起后所得线段AB的长度． [解]　如图，过点A作AM⊥CD交CD的延长线于点M， 则CM＝AC·cos ∠ACM＝4×cos 30°＝2，CN＝CB·cos ∠BCD＝2×cos 30°＝，∴MN＝CM－CN＝． 易知AM＝AC·sin 30°＝2，BN＝BC·sin 30°＝1，且〈〉＝120°，∴〈〉＝60°． ∵⊥，∴·＝0．同理·＝0． ∵， ∴···＝4＋3＋1＋2·||cos 60°＝10． ∴||＝，即折起后所得线段AB的长度为． 14/21 学科网（北京）股份有限公司 $$