02 第一章 1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步讲义(人教A版2019)

第2课时　共线向量与共面向量 [学习目标]　1．理解向量共线、向量共面的定义．(数学抽象) 2．掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件．(数学运算、逻辑推理) 3．会证明空间三点共线、四点共面．(逻辑推理) (教师用书) 李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．以上三个位移是同一个平面内的向量吗？为什么？ [讨论交流]　 问题1．空间向量共线的充要条件和平面向量有区别吗？为什么？ 问题2．直线的方向向量和共面向量是如何定义的？ 问题3．空间向量共面的充要条件是什么？ 问题4．类比三点共线的条件，可得到四点共面的条件是什么？ [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　空间向量共线的充要条件 探究问题1　平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ [提示]　对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．该充要条件也适用于空间向量． [新知生成] 1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa． 我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．这样，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定． 【教用·微提醒】　(1)0与空间任意向量a都是共线向量． (2)向量共线的充要条件中的b≠0不可去掉，否则实数λ可能不唯一． [典例讲评]　1．(1)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若，则m＋n＝________． (2)如图，已知M为四面体ABCD的面BCD的重心，连接BM并延长交CD于点E，G为AM的中点，N在AE上，且，且B，G，N三点共线．试求λ的值． (1)1　[由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得，即＝λ，所以＝(1－λ)，所以m＝1－λ，n＝λ，所以m＋n＝1．] (2)[解]　设＝c， 所以＋× ＝＋＝(a＋b＋c)． 所以＋ ＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c． ＋λ＝－a＋λb＋λc． 因为B，G，N三点共线，故存在实数k，使， 即－a＋b＋c＝k， 故解得k＝，λ＝． 　证明空间三点共线有哪些方法？ [提示]　对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线： (1)存在实数λ，使成立． (2)对空间任一点O，有(x＋y＝1)． [学以致用]　1．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且点F在对角线A1C上，且．求证：E，F，B三点共线． [证明]　连接EF，FB(图略)． 因为 ＝ ＝－ ＝， ＝ ＝， 所以，所以． 又EF∩FB＝F，所以E，F，B三点共线． 探究2　空间向量共面的充要条件 探究问题2　空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？ [提示]　不一定．如图所示，空间中的三个向量不共面． [新知生成] 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α． 2．共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 【教用·微提醒】　向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立． 【链接·教材例题】 例1　如图1.1-9，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使＝＝＝＝k．求证：E，F，G，H四点共面． [分析]　欲证E，F，G，H四点共面，只需证明共面．而由已知共面，可以利用向量运算由共面的表达式推得共面的表达式． [证明]　因为＝＝＝＝k，所以 ． 因为四边形ABCD是平行四边形，所以． 因此　 ＝k＝k ＝． 由向量共面的充要条件可知，共面，又过同一点E，从而E，F，G，H四点共面． [典例讲评]　2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面． [证明]　设＝c，则＝b－a， ∵M为线段DD1的中点， ∴a， 又∵AN∶NC＝2∶1， ∴(b＋c)， ∴(b＋c)－a ＝(b－a)＋， ∴为共面向量． 又∵三向量有相同的起点A1， ∴A1，B，N，M四点共面． 　证明空间三个向量共面或四点共面的方法 1．证明向量共面的方法：，则共面． 2．证明点P在平面ABC内(即点P，A，B，C共面)的方法： (1)若，则点P在平面ABC内． (2)若对空间任意一点O，有，则点P在平面ABC内． (3)若对空间任意一点O，有(其中x＋y＋z＝1)，则点P在平面ABC内． 上述中的x，y，z均为实数． [学以致用]　2．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE． 求证：向量共面． [证明]　因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋． 同理，＝＋． 所以＝＋＋＋＝＋＝＋． 又不共线，根据向量共面的充要条件可知共面． 【教用·备选题】　对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式，求证：点P在平面ABC内的充要条件是x＋y＋z＝1． [证明]　①充分性． ∵可变形为＝(1－y－z)， ∴＝y＋z， ∴， ∴点P与A，B，C共面． ②必要性． ∵点P在平面ABC内，A，B，C三点不共线， ∴存在有序实数对(m，n)，使， ＝m＋n， ∴＝(1－m－n)， ∵，点O在平面ABC外， ∴不共面， ∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n， ∴x＋y＋z＝1． 1．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 A　[由三个向量共面的充要条件可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量．] 2．下列命题正确的是(　　) A．用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面 B．若存在实数x，y，使得不共线)，则与共面 C．共面的三个向量的起点和终点一定共面 D．若向量a，b共线，且b与c共线，则a与c共线 B　[空间中，用有向线段表示的向量仍然是自由向量，而任意两个向量总是共面向量，故A错误； 当共线时，共面，当不共线时，由向量共面的充要条件，可知共面，B正确； 若其中两个向量是平行向量，第三个向量与其中一个向量有相同的起点，则这三个向量一定是共面向量，但这三个向量的起点和终点却可以不共面，故C错误； 向量a，b共线，且b，c共线，但a与c不一定共线，因为b可以为零向量．故D错误．] 3．三个向量xa－yb，yb－zc，zc－xa的关系是________．(填“共面”“不共面”“无法确定是否共面”) 共面　[因为xa－yb，yb－zc，zc－xa也是三个向量，且有zc－xa＝－(yb－zc)－(xa－yb)，所以三个向量共面．] 4．若a与b不共线，而a＋3b与λa－b共线，则实数λ＝________． －　[∵a＋3b与λa－b共线，∴存在实数k，使k(a＋3b)＝λa－b， ∴(k－λ)a＋(3k＋1)b＝0． 又a，b不共线，∴k－λ＝0且3k＋1＝0，∴λ＝－．] 1．知识链：(1)直线的方向向量．(2)空间向量共线的充要条件．(3)空间向量共面的充要条件．(4)三点共线、四点共面的证明方法． 2．方法链：类比、转化化归． 3．警示牌：向量共线与线段共线、点共线不同，不要混淆． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．向量a与b共线，则一定存在λ使得a＝λb成立吗？ [提示]　当b＝0时，不一定存在λ值． 2．如何证明点P，A，B，C四点共面？ [提示]　可转化为证明向量共面． 课时分层作业(二)　共线向量与共面向量 一、选择题 1．已知非零空间向量a，b，且＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D A　[由题意可得＝2a＋4b，则，则A，B，D三点共线；＝－4a＋8b，不存在实数λ满足，则A，B，C三点不共线； 不存在实数λ满足，则B，C，D三点不共线； 不存在实数λ满足，则A，C，D三点不共线．故选A．] 2．已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且，则m的值为(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．1 B　[法一：因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，所以存在x，y∈R，使得， 因为，所以＝x＋y，即＝(1－x－y)， 因为， 所以解得m＝－2． 法二：根据四点共面的充要条件，若A，B，C，P四点共面，则(x＋y＋z＝1)， 则m＋2＋1＝1，解得m＝－2．故选B．] 3．(多选)下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是(　　) A．＝＋ B．＝＋＋ C． D．＝0 AB　[对于A：∵＝＋， ∴＝－＋－， ∴＋＝＋＝0， 故＝＋，故A，B，C共线，故P，A，B，C共面；或由＝＋，得为共面向量，故P，A，B，C共面；对于B：＋＋＝1，故P，A，B，C共面；对于C，D，显然不满足，故C，D错误．故选AB．] 4．(多选)空间四点A，B，C，D及空间任意一点O，由下列条件一定可以得出A，B，C，D四点共面的有(　　) A． B． C． D． ACD　[，则共面，且有公共顶点A，故A，B，C，D四点共面，故A正确；，3－1＋1≠1，故A，B，C，D四点不共面，故B错误； ，则A，B，C三点共线，故A，B，C，D四点一定共面，故C正确； ，由于－1－3＋5＝1，故A，B，C，D四点一定共面，故D正确．故选ACD．] 二、填空题 5．设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k的值为________． －8　[因为＝2e1－e2，所以＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2．因为A，B，D三点共线，所以，所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2．因为e1，e2是空间中两个不共线的向量，所以 所以k＝－8．] 6．在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋，若共面，则λ＝________． 　[法一：由题意＝－＝－＋＝－－＋(1－λ)，因为共面， 所以存在唯一实数对(m，n)，使得， 即－＝m， 所以解得λ＝． 法二：由共面得M，A，B，C四点共面， 则根据四点共面的充要条件可得，＋＋λ＝1，即λ＝．] 7．给出下列四个命题： ①若存在实数x，y，使p＝xa＋yb，则p与a，b共面； ②若p与a，b共面，则存在实数x，y，使p＝xa＋yb； ③若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面； ④若点P，M，A，B共面，则存在实数x，y，使． 其中 ________是真命题．(填序号) ①③　[①由共面向量定理知，若存在实数x，y，使p＝xa＋yb，则p与a，b共面，故正确； ②若a，b共线，且p不与a，b共线，则不存在实数x，y，使p＝xa＋yb，故错误； ③由共面向量定理知，若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面，故正确； ④若共线，不与共线，则不存在实数x，y，使，故错误．] 三、解答题 8．如图，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3．设＝c． (1)请用a，b，c表示； (2)求证：B，G，N三点共线． [解]　(1)＋＝－a＋b＋c． (2)证明：∵＋＋×＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，∴＝，∴B，G，N三点共线． 9．(多选)以下能判定空间四点P，M，A，B共面的条件是(　　) A． B．＝＋－ C．＝0 D． ACD　[对于A，共面，且有公共顶点M，所以P，M，A，B四点共面； 对于B，＝＋－，＋－≠1，所以P，M，A，B四点不共面； 对于C，因为＝0，所以＝0，所以，所以＋＋，＋＋＝1，所以四点共面； 对于D，，得出PM与AB平行或重合，所以P，M，A，B四点共面．故选ACD．] 10．(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P为空间一点，且满足＋μ，λ，μ∈[0，1]，则(　　) A．当λ＝1时，点P在棱BB1上 B．当μ＝1时，点P在棱B1C1上 C．当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上 D．当λ＝μ时，点P在线段BC1上 BCD　[对于A：当λ＝1时，所以，则，即P在棱CC1上，故A错误；对于B：当μ＝1时，则，故P在棱B1C1上，故B正确；对于C：λ＋μ＝1时，μ＝1－λ，所以＋(1－λ)，即，由于存在线性关系，即点P在线段B1C上，故C正确； 对于D：当λ＝μ时，＝λ＝，由于存在线性关系，故点P在线段BC1上，故D正确．故选BCD．] 11．已知A，B，C三点共线，若对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使＝0，那么λ＋m＋n的值为________． 0　[由＝0， 得＝－－． 由A，B，C三点共线知， －－＝1，所以λ＋m＋n＝0．] 12．在正四面体O-ABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．设＝c． (1)用a，b，c表示； (2)求证：E，F，G，H四点共面． [解]　(1)∵E，F分别是OA，AB的中点，∴＝＝b， ∵F，G分别是AB，BC的中点， ∴＝＝－＝c－a． (2)证明：∵＝(b＋c－a)，＝＝(c－a)，＝b， ∴＝b＋(c－a)＝(b＋c－a)＝， ∴，从而E，F，G，H四点共面． 13．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且＝，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，求m的值． [解]　如图，连接BG． 因为， 所以． 因为， 所以 ＝－． 因为＝， 所以＝， 所以＝ ＝－＋＋． 又因为， 所以＝－＋＋． 因为＝m， 所以＝－＋＋． 因为， 所以＝＋＋． 又因为G，B，P，D四点共面， 所以1－＝0，m＝， 即m的值是． 15/15 学科网（北京）股份有限公司 $$