01 第一章 1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步讲义(人教A版2019)

1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 第1课时　空间向量及其线性运算 [学习目标]　1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．(数学抽象) 2．经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程．(逻辑推理) 3．掌握空间向量的线性运算．(数学运算) (教师用书) 回忆平面向量的有关概念与约定，思考能否将它们从平面推广到空间中．如果能，尝试说出推广后的不同之处；如果不能，请说明理由． [讨论交流]　 问题1．如何类比平面向量的概念推广得到空间向量的概念？ 问题2．空间向量的线性运算及其法则与平面向量有区别吗？为什么？ 问题3．如何借助平行六面体理解空间向量加法运算的运算律？ 问题4．两个不共线向量的加法有平行四边形法则，三个不共面向量的加法有什么法则？ [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　空间向量的有关概念及其简单应用 探究问题1　请回顾平面向量的概念及其表示，你能类比平面向量给出空间向量的概念及其表示吗？ [提示]　空间向量是平面向量的推广，其一些相关概念及表示方法与平面向量一致． 探究问题2　对比平面向量与空间向量的有关概念，二者有什么区别与联系？ [提示]　(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量． (2)联系：向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量的概念等在平面和空间中都适用． [新知生成] 1．空间向量的概念与表示 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． (3)表示法： 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a 【教用·微提醒】　单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，不是没有方向． [典例讲评]　1．给出下列命题： ①若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③空间中任意两个单位向量必相等； ④若空间向量a，b，c满足a＝b，b＝c，则a＝c； ⑤在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝． 其中真命题的个数为(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 B　[①错误，两个向量模相等，但方向不一定相同；②错误，两个空间向量相等，只需模相等、方向相同，与起点、终点位置无关；③错误，任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同；④正确，向量的相等具有传递性；⑤正确，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与的模相等，方向也相同，所以＝．故选B．] 　空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念． [学以致用]　1．如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中的两点为起点和终点的向量中： (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量． [解]　(1)与向量相等的向量(除它自身之外)有． (2)向量的相反向量为． 探究2　空间向量的加减运算 探究问题3　空间中的任意两个向量是否共面？为什么？ [提示]　共面，因为任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内． 探究问题4　你能类比平面向量的加减运算律给出空间向量的加减运算律吗？ [提示]　空间向量加减法的运算法则所满足的运算律与平面向量完全相同． [新知生成] 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 【教用·微提醒】　 空间向量加法运算的推广——多边形法则：首尾顺次相接的若干个空间向量a1，a2，…，an相加，等于由起始向量a1的起点指向末尾向量an的终点的向量，如图所示． [典例讲评]　2．如图所示，已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． [解]　(1)． (2)． (3)． 　空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． [学以致用]　2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，化简＝(　　) A．　　B．　　C．　　D． B　[如图所示， ．故选B．] 3．如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果． (1)； (2)． [解]　(1)，如图中向量． (2)如图，连接GF，＝，如图中向量． 探究3　空间向量的数乘运算 探究问题5　类比平面向量的数乘运算，探究空间向量的数乘运算及其运算律． [提示]　空间向量的数乘运算及其运算律与平面向量一样． [新知生成] 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 【教用·微提醒】　空间向量数乘运算的注意点 (1)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无意义． (2)任何实数与向量的积仍是一个向量．空间向量的数乘运算可以把向量的模扩大(当|λ|＞1时)，也可以缩小(当|λ|＜1时)；可以不改变向量的方向(当λ＞0时)，也可以改变向量的方向(当λ＜0时)． (3)注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若a＝0，则λa＝0． [典例讲评]　3．(1)在四面体O-ABC中，，Q是BC的中点，M是PQ的中点，设＝c，则＝(　　) A．a＋b＋c　　　 B．a＋b＋c C．a＋b＋c D．a＋b＋c (2)已知正方形ABCD，P是平面ABCD外的一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值： ①； ②． (1)C　[∵，∴＝， ∵M是PQ的中点， ∴＝＝＋×＝＋＋＝a＋b＋c．故选C．] (2)[解]　①如图所示，，由向量加法运算的平行四边形法则可得＝， 故＝－－，所以－－． 所以x＝－，y＝－． ②因为， 所以，① 同理，② 将②代入①，得， 所以x＝2，y＝－2． 　利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． [学以致用]　4．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若，则x＋y＋z＝(　　) A．1　　　B．2　　　C．　　　D． A　[因为EC＝2PE，所以＝， 所以＋＋－ ＝＋＝＋－＝－＝－， 又，所以则x＋y＋z＝1．故选A．] 5．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．设＝b，＝c． (1)用a，b，c表示； (2)设E是棱DD1上的点，且，用a，b，c表示． [解]　 (1)∵＝c， ∴b－c． (2)c． 【教用·备选题】　在平面四边形ABCD中，E，F分所成的比为λ，即＝＝λ，则有＝＋． (1)拓展到空间，写出空间四边形ABCD类似的命题，并加以证明； (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，利用上述(1)的结论表示． [解]　(1)在空间四边形ABCD中，E，F分所成的比为λ，即＝＝λ，则有＝＋．证明如下： ＝＋＝＋＋＝＋＋＋＝＋． (2)由(1)的结论可得＝＋＝＋． 1．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量都不相等 C．已知四边形ABCD，则它是平行四边形的充要条件是 D．“向量的模为0”是“一个向量的方向是任意的”的充要条件 CD　[A不正确，单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同．B不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．易知C，D正确．] 2．在棱柱ABCD-A1B1C1D1中，＋＝(　　) A． B． C． D． B　[＋＝＋＝．故选B．] 3．在空间四边形OABC中，＝c，点M在OA上且＝，点N在BC上且，则＝(　　) A．a－b＋c B．a＋b－c C．－a＋b＋c D．－a＋b＋c D　[∵，∴N为BC的中点， ∴＝， ∴＝－＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c． 故选D．] 4．已知空间中任意四点A，B，C，D，则＝_________． 　[] 1．知识链：(1)空间向量的有关概念． (2)空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)． (3)空间向量的线性运算的运算律． 2．方法链：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想． 3．警示牌：抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．平面向量的有关概念与约定推广到空间中后得到相应空间向量的有关概念与约定，它们有什么不同之处？ [提示]　适用范围不同，一个在平面内，一个在空间中． 2．空间向量的线性运算是指空间向量的哪几种运算？有何运算律？ [提示]　加法运算、减法运算、数乘运算． 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb． 课时分层作业(一)　空间向量及其线性运算 一、选择题 1．下列命题为真命题的是(　　) A．空间向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 A　[对于A，因为空间向量互为相反向量，所以空间向量的长度相等，所以A为真命题； 对于B，将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B为假命题； 对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C为假命题； 对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量的模相等，所以D为假命题．故选A．] 2．已知四边形ABCD，O为空间任意一点，且，则四边形ABCD是(　　) A．空间四边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形 B　[由已知可得，由相等向量的定义可知，四边形ABCD的一组对边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形，无法判断其是不是矩形．故选B．] 3．已知空间四边形ABCD，连接BD，设M，N分别是BC，CD的中点，则＝(　　) A． B．3 C．3 D．2 B　[因为M，N分别是BC，CD的中点，所以MN∥BD，且MN＝BD，所以＝，所以＋＝．故选B．] 4．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点P是线段BD上的一点，且PD＝3PB，设＝c，则＝(　　) A．a＋b＋c B．a－b＋c C．－a＋b＋c D．a－b＋c C　[由题意可得，＝－＝＋－－＝＋－(＋)－＝－－(－)＝＋－＝－a＋b＋c．故选C．] 二、填空题 5．空间中任意四个点A，B，C，D，则＝________． 　[] 6．已知四面体OABC，M，N分别是BC，OA的中点，且＝c，则向量＝__________(用a，b，c表示)． a－b－2c　[M，N分别是BC，OA的中点，且＝c， 则＝－，所以＝a－b－2c．] 7．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，，若＋y，则x＝________，y＝________． 1　　[因为＝＋＝＋＝＋，所以x＝1，y＝．] 三、解答题 8．(源自北师大版教材)如图所示，已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量． (1)； (2)； (3). [解]　(1)． (2)． (3)设点M为CB′的中点，则 ＝＝． 化简后所对应的向量如图所示． 9．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，＝，PN＝ND，设＝c，则向量可表示为(　　) A．a＋b＋c B．－a＋b＋c C．a－b＋c D．－a－b＋c D　[由四边形ABCD为平行四边形，＝，PN＝ND，可得＝＝， 则＝＋＝＋＝－－＋＝－a－b＋c．故选D．] 10．在四面体ABCD中，点E满足，F为BE的中点，且＝＋＋，则实数λ＝(　　) A． B． C． D． D　[由于F为BE的中点，所以＝＋，又＝＋＋， 整理得＝＋，① 由，得＝λ， 即＋(1－λ)，② 根据①②的对应关系，得λ＝． 故选D．] 11．光岳楼，又称“余木楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼．其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则＋＝________． 　[如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则＝，＝，且， ∴＋＋＋＋＋＋．] 12．如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，E，F分别是上底面A′B′C′D′和侧面CDD′C′的中心，求下列各式中x，y的值： (1)＝x； (2)； (3). [解]　如图所示，连接A′C′，C′D， (1)正方体ABCD­A′B′C′D′中，，所以x＝1． (2)＝， 所以x＝． (3)＝， 所以x＝． 13．如图，已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′． (1)化简，并在图中标出其结果； (2)设M是底面ABCD的中心，N在侧面BCC′B′的对角线BC′上，且，设，试求α，β，γ的值． [解]　(1)如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使D′F＝2FC′，连接EF， 则． (2)因为 ＝ ＝＋ ＝， 所以α＝． 16/16 学科网（北京）股份有限公司 $$