27 第二章 2.5.1 第1课时 直线与圆的位置关系-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步课件(人教A版2019)

第二章　直线和圆的方程 2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1　直线与圆的位置关系 第1课时　直线与圆的位置关系 [学习目标]　1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(直观想象) 2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(逻辑推理、数学运算) 3．能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题．(逻辑推理、数学运算) 整体感知 第1课时　直线与圆的位置关系 (教师用书) 海上日出是非常壮丽的美景．在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采．在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 [讨论交流]　 问题1．如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 问题2．用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 探究1　直线与圆位置关系的判定 探究问题　通过前面的学习，已经知道，借助平面直角坐标系，平面内的直线l与圆C可以分别用方程表示．那么，由直线l与圆C的方程，如何判断它们的位置关系呢？ 探究建构 [提示]　转化为判断由它们的方程组成的方程组实数解个数的问题． 第1课时　直线与圆的位置关系 [新知生成] 直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 __个 __个 __个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d__r d__r d__r 代数法：由 消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ Δ__0 Δ__0 Δ__0 两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 【教用·微提醒】　(1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程组解的组数，进一步判断两者的位置关系． (2)利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径及圆心到直线的距离． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 [典例讲评]　1．已知直线l：2x＋y－3＝0，圆M：(x－a)2＋y2＝5． (1)指出圆心M的位置特征； (2)求实数a分别取何值时，直线l与圆M相交、相切、相离． [解]　(1)由圆M的方程可知圆心M(a，0)为x轴上的点． (2)根据点到直线的距离公式，得圆心M到直线l的距离为 d＝＝． 当d＜，即－1＜a＜4时，直线l与圆M相交； 当d＝，即a＝－1或a＝4时，直线l与圆M相切； 当d＞，即a＜－1或a＞4时，直线l与圆M相离． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 发现规律　判断直线和圆的位置关系有哪些方法？ [提示]　(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系，d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离． (2)代数法：联立直线与圆，化简后得到一元二次方程， Δ＝b2－4ac 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 [学以致用]　1．直线l：2x－y－1＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　) A．相交 　　　　B．相切 　　　　C．相离 　　　　D．不确定 A　[圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心C(0，1)，半径r＝， 又圆心C到直线l的距离d＝＝＜， 所以直线l与圆C相交．故选A．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 2．已知直线ax－y＋2＝0与圆(x－3)2＋y2＝9只有一个公共点，则a＝(　　) A．－ 　　　　B． 　　　　C．－ 　　　　D． B　[因为直线ax－y＋2＝0与圆(x－3)2＋y2＝9只有一个公共点， 所以＝3，所以(3a＋2)2＝9(a2＋1)，解得a＝．故选B．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 【教用·备选题】　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 [解]　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0， ∵Δ＝4m(3m＋4)． ∴(1)当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交， 即直线与圆有两个公共点． (2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点． (3)当Δ<0时，即－<m<0时，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点． 法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2，1)，半径r＝2． 圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝． (1)当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交， 即直线与圆有两个公共点． (2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当d >2时，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 探究2　圆的弦长问题 【链接·教材例题】 例1　已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 [分析]　思路1：将判断直线l与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长． 思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长． 解法1：联立直线l与圆C的方程，得 消去y，得x2－3x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝1． 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点． 把x1＝2，x2＝1分别代入方程①，得y1＝0，y2＝3． 所以，直线l与圆C的两个交点是A(2，0)，B(1，3)． 因此|AB|＝＝． 解法2：圆C的方程x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，因此圆心C的坐标为(0，1)，半径为，圆心C(0，1)到直线l的距离 d＝＝＜． 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点． 如图2.5-1，由垂径定理， 得|AB|＝2＝． 通过上述解法我们发现，在平面直角坐标系中，要判断直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系，可以联立它们的 方程，通过判定方程组 的解的个数， 得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系．若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长． 我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径r，从而求得圆心到直线的距离d，通过比较d与r的大小，判断直线与圆的位置关系．若相交，则可利用勾股定理求得弦长． [典例讲评]　2．(源自北师大版教材)已知直线m：3x＋4y－2＝0与圆P：x2＋y2－2x－2y＝0． (1)写出圆P的圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形； (2)由(1)所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线m被圆P截得的弦长；若相切或相离，给出证明． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 [解]　(1)将圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－1)2＝2，即圆P是以点(1，1)为圆心，为半径的圆(如图(1))． (2)因为圆心P到直线m的距离d＝＝1＜，所以直线m与圆P相交． 设交点为A，B，圆P的半径为r(如图(2))， 易知△PAB是等腰三角形，腰PA，PB的长为 圆P的半径长，即PA＝PB＝r＝，底边 AB上的高为圆心P到直线m的距离d． 所以由勾股定理，得|AB|＝2＝2． 故直线m被圆P截得的弦长为2． 反思领悟　求弦长常用的三种方法 (1)几何法：利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题． (2)交点坐标法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． (3)公式法：设直线y＝kx＋b，与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 [学以致用]　3．求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长． [解]　法一：直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是 方程组的解． 解这个方程组，得 所以公共点的坐标为(－，1)，(0，2)， 所以直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 法二：如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)， 又|OM|＝＝， 所以|AB|＝2|AM|＝2 ＝2＝2． 探究3　直线与圆相切 【链接·教材例题】 例2　过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，求切线l的方程． [分析]　如图2.5-2，容易知道，点P(2，1)位于圆O：x2＋y2＝1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．我们设切线方程为y－1＝k(x－2)，k为斜率，由直线与圆相切可求出k的值． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 解法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0． 由圆心(0，0)到切线l的距离等于圆的半径1， 得＝1，解得k＝0或． 因此，所求切线l的方程为y＝1，或4x－3y－5＝0． 解法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1＝k(x－2)． 因为直线l与圆相切，所以方程组 只有一组解． 消元，得(k2＋1)x2＋(2k－4k2)x＋4k2－4k＝0． ① 因为方程①只有一个解，所以 Δ＝4k2(1－2k)2－16k(k2＋1)(k－1)＝0， 解得k＝0或． 所以，所求切线l的方程为y＝1，或4x－3y－5＝0． [典例讲评]　3．已知圆C：x2＋y2＋4x＋2y－11＝0，过点P(2，1)作圆C的切线m，则m的方程为(　　) A．x＝2 B．3x＋4y－10＝0 C．3x＋4y－10＝0或x＝2 D．3x＋4y－10＝0或3x－4y－2＝0 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 C　[将圆C：x2＋y2＋4x＋2y－11＝0化为标准方程(x＋2)2＋(y＋1)2＝16， 则圆心C(－2，－1)，半径r＝4，因为(2＋2)2＋(1＋1)2＝20＞16，所以P在圆外． 当切线l的斜率不存在时，切线l的方程为x＝2，此时直线l与圆C相切； 当切线l的斜率存在时，设切线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，由题意知，4＝，解得k＝－． 此时切线l的方程为3x＋4y－10＝0． 综上，切线l的方程为x＝2或3x＋4y－10＝0． 故选C．] [母题探究]　 1．在本例条件下，求此切线长． [解]　点P(2，1)到圆心的距离为＝， ∴切线长为＝2． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 2．若本例点P的坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求切线m的方程． [解]　∵22＋(－1)2＋4×2＋2×(－1)－11＝0， ∴点P在圆上， ∴过P(2，－1)的切线方程为x＝2， 即直线m的方程为x＝2． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 反思领悟　求过某一点的圆的切线方程 (1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 ①若切线斜率存在且不为0，则先求切点和圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式方程可得切线方程． ②若切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 (2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 ①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当切线斜率不存在时要加以验证． ③过圆外一点的切线有两条． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 [学以致用]　4．过点(－1，0)与圆x2＋y2－4x－m＝0相切的两条直线垂直，则m＝(　　) A．－ 　　　　B．－1 　　　　C．1 　　　　D． D　[圆x2＋y2－4x－m＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4＋m，圆心(2，0)，半径r＝， ∵过点(－1，0)与圆x2＋y2－4x－m＝0相切的两条直线垂直， ∴点(－1，0)到圆心的距离是r，即3＝×，解得m＝． 故选D．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 1．直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是(　　) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ B　[∵圆心坐标为(1，0)，半径r＝2． ∴圆心到直线的距离d＝＝＜r． ∴直线与圆相交， 又∵1＋0－2＝－1≠0，∴圆心不在直线上．故选B．] 第1课时　直线与圆的位置关系 2．已知直线l：x＋my＋1＝0和圆E：x2＋y2－4x＋3＝0，则圆E上的点P到直线l的距离的最大值为(　　) A．2 　　　　B．3 　　　　C．4 　　　　D．5 2 3 题号 1 4 √ C　[由题知，圆E：(x－2)2＋y2＝1，其中圆心E(2，0)，半径为1，直线l过定点(－1，0)，所以点P到直线l的距离的最大值为(－1，0)到圆心的距离加上圆的半径， 即3＋1＝4．故选C．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 3．圆心在y轴上的圆C与直线x－y＝1相切于点A(1，0)，则圆心C的纵坐标为(　　) A．2 　　　　B． 　　　　C．1 　　　　D．0 2 3 题号 4 1 √ C　[圆心在y轴上的圆C与直线x－y＝1相切于点A(1，0)，可知圆的圆心在直线y＝－(x－1)，x＝0时，y＝1，所以圆心C的纵坐标为1．故选C．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 4．直线3x＋y＋a＝0截圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5所得的弦长为2，则a的值为____． 2 4 3 题号 1 1　[圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(－1，2)，半径为，因为直线3x＋y＋a＝0截圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5所得的弦长为2， 所以直线3x＋y＋a＝0经过圆的圆心(－1，2)，所以－3＋2＋a＝0，解得a＝1．] 1　 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 1．知识链：(1)直线与圆的三种位置关系． (2)圆的弦长问题． (3)圆的切线问题． 2．方法链：几何法、代数法． 3．警示牌：求直线方程时易忽略直线斜率不存在的情况． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．判断直线和圆的位置关系有哪些方法？ [提示]　(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 2．如何求过圆外一点或圆上一点的圆的切线？ [提示]　(1)点在圆上时，可先求点与圆心连线的斜率，根据切线垂直于过切点的半径，确定切线的斜率，从而求出切线方程． (2)点在圆外时，可设出切线的点斜式方程，利用几何法或代数法求解，当只有一解时，应注意斜率不存在的情况． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 3．直线和圆相交时，如何求弦长？ [提示]　(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系 ＋d 2＝r2解题． (2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 整体感知 探究建构 应用迁移 第1课时　直线与圆的位置关系 $$