24 第二章 微专题2 对称问题-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步课件(人教A版2019)

第二章　直线和圆的方程 微专题2　对称问题 类型1　几类常见的对称问题 考向1　中心对称问题 1．点关于点对称 点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)可利用中点坐标公式求得， 由得 类型1　几类常见的对称问题 微专题2　对称问题 2．直线关于点对称 直线Ax＋By＋C＝0关于点P(x0，y0)的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即为所求的直线方程． 类型1 类型2 类型3 微专题2　对称问题 【例1】　(1)直线2x＋3y－6＝0关于点(1，1)对称的直线方程为(　　) A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0 C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y－4＝0 (2)点(1，－2)关于点(2，3)的对称点为________． √ (3，8) 类型1 类型2 类型3 微专题2　对称问题 (1)D　(2)(3，8)　[(1)在所求直线上取点(x，y)，则关于点(1，1)对称的点的坐标为(2－x，2－y)， 代入直线2x＋3y－6＝0，可得2(2－x)＋3(2－y)－6＝0，整理得2x＋3y－4＝0． 故选D． (2)设对称点为(x0，y0)，由中点坐标公式得 解得即对称点为(3，8)．] 考向2　轴对称问题 1．点关于直线对称 设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直． 即解此方程组可得x′，y′，即得点P′的坐标． 类型1 类型2 类型3 微专题2　对称问题 2．直线关于直线对称 (1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程． (2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解． 类型1 类型2 类型3 微专题2　对称问题 【例2】　已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标； (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程． [解]　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l， 即解得 所以点P′的坐标为(－2，7)． 类型1 类型2 类型3 微专题2　对称问题 (2)解方程组得 则点在所求直线上． 在直线y＝x－2上任取一点M(2，0)， 设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)， 则解得 点M′也在所求直线上， 由两点式得直线方程为 ＝， 化简得7x＋y＋22＝0即为所求直线方程． 根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解． 类型2　光的反射问题 【例3】　已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　) A．2　　B．6　　C．3　　D．2 √ 微专题2　对称问题 A　[如图所示，分别作出点P关于直线AB的对称点P′，点P关于y轴的对称点P″，则点P′，Q，M，P″在同一条直线上，线段P′P″即为所求，易知：P″(－2，0)，直线AB方程为x＋y＝4， 设点P′(a，b)， 则 解得a＝4，b＝2．∴点P′(4，2)． ∴光线所经过的路程是|P′P″|＝＝2，故选A．] 由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解． 类型3　利用对称解决有关最值问题 微专题2　对称问题 【例4】　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q，使其满足以下条件． (1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大； (2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小． 类型1 类型2 类型3 微专题2　对称问题 [解]　(1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，则kBB′·kl＝－1，即×1＝－1， 所以a＋b－4＝0，① 因为BB′的中点在直线l上， 所以－－1＝0，即a－b－6＝0．② 由①②得a＝5，b＝－1， 所以点B′的坐标为(5，－1)． 于是AB′所在直线的方程为＝，即2x＋y－9＝0． 易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大． 所以联立 解得x＝，y＝， 即l与AB′的交点坐标为． 故点P的坐标为． (2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1，2)，所以AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0． 易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小． 所以联立解得 即AC′与l的交点坐标为． 故点Q的坐标为． $$