19 第二章 2.2.3 直线的一般式方程-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步课件(人教A版2019)

第二章　直线和圆的方程 2.2　直线的方程 2.2.3　直线的一般式方程 [学习目标]　1．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式．(逻辑推理、数学抽象) 2．会进行直线方程的五种形式之间的转化．(数学运算、逻辑推理) 整体感知 2.2.3　直线的一般式方程 (教师用书) 前面学习了直线方程的四种形式，但它们各自有自己的适用条件，也就是说上述方程形式不是对任何直线都适用．那么是否存在一种方程形式，对任何直线都适用？ 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 [讨论交流]　 问题1．直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程分别有什么特点？它们的方程能否化简为统一的形式？ 问题2．Ax＋By＋C＝0表示直线的条件是什么？ 问题3．如何把直线的一般式化为斜截式？ 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 探究1　直线的一般式方程 探究问题1　y＝x＋2是二元一次方程吗？方程5x＋2y－7＝0表示一条直线吗？ 探究建构 [提示]　y＝x＋2可以化成x－y＋2＝0的形式，是二元一次方程．5x＋2y－7＝0可以化为y＝－x＋的形式，可以表示一条直线． 2.2.3　直线的一般式方程 探究问题2　直线与二元一次方程有何关系？ [提示]　直线的方程都可以化为二元一次方程；二元一次方程都表示直线． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 [新知生成]　直线的一般式方程 (1)定义 关于x，y的二元一次方程_______________(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (2)适用范围 平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义 ①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； ②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． Ax＋By＋C＝0 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 【教用·微提醒】　(1)方程是关于x，y的二元一次方程． (2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． (3)x的系数一般不为分数和负数． (4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程． (5)解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 【链接·教材例题】 例5　已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－，求直线的点斜式和一般式方程． [解]　经过点A(6，－4)，斜率为－的直线的点斜式方程是 y＋4＝－(x－6)， 化为一般式，得4x＋3y－12＝0． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 [典例讲评]　1．已知直线经过点A(6，－2)，且斜率为－，求该直线方程的点斜式、一般式和截距式． [解]　经过点A(6，－2)，且斜率为－的直线方程的点斜式是y＋2＝－(x－6)． 化成一般式，得2x＋3y－6＝0． 把常数项移到方程的右边，再把方程的两边同时除以6，得到截距式＋＝1． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 反思领悟　(1)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了)． (2)反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的适用条件． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 [学以致用]　1．已知△ABC中，A(3，2)，B(1，1)，C(2，3)，则AB边上的高所在的直线方程是(　　) A．2x＋y－7＝0 B．2x－y－1＝0 C．x＋2y－8＝0 D．x－2y＋4＝0 A　[∵△ABC中，A(3，2)，B(1，1)，C(2，3)， ∴直线AB的斜率为＝，则AB边上的高所在的直线的斜率为－2， 故AB边上的高所在的直线方程是y－3＝－2(x－2)，即 2x＋y－7＝0．故选A．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 2．把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形． [解]　把直线l的一般式方程化为斜截式，得y＝x＋3． 因此，直线l的斜率k＝，它在y轴上的截距是3． 在直线l的方程x－2y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－6， 即直线l在x轴上的截距是－6． 所以直线l与x轴、y轴的交点分别为A(－6，0)， B(0，3)，过A，B两点作直线，就得直线l(如图所示)． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 探究2　利用一般式研究直线的平行与垂直 探究问题3　已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0．若B1，B2≠0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得什么结论？ [提示]　l1∥l2⇒＝且≠，即A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1． l1⊥l2⇒＝－1，即A1A2＋B1B2＝0． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 [新知生成] 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0． (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 【教用·微提醒】　(1)A1B2－A2B1＝0表示斜率相等或都不存在，B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)表示截距不同，排除重合的情况． (2)A1A2＋B1B2＝0既包含斜率之积为－1的垂直，又包含一个斜率为0，一个不存在的垂直． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 [典例讲评]　2．(1)若直线(3－m)x＋(2m－1)y＋7＝0与直线(1－2m)x＋(m＋5)y－6＝0互相垂直，则m的值为(　　) A．－1　　　 　B．1或－　　　C．－1或　　　D．1 (2)已知直线ax＋2y＋6＝0与直线x＋(a－1)y＋a2－1＝0互相平行，则实数a的值为(　　) A．－2 B．2或－1 C．2 D．－1 (3)过点(1，6)，且平行于直线x－2y＝0的直线方程是(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0 C．x－2y＋11＝0 D．x＋2y＋11＝0 √ √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 (1)C　(2)D　(3)C　[(1)由题设(3－m)(1－2m)＋(2m－1)(m＋5)＝0，整理得(m＋1)(2m－1)＝0，∴m＝－1或m＝．故选C． (2)∵直线ax＋2y＋6＝0与直线x＋(a－1)y＋a2－1＝0互相平行， ∴a(a－1)＝2×1，即a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1， 当a＝2时，两直线重合，不符合题意，当a＝－1时，两直线不重合，符合题意，故实数a的值为－1．故选D． (3)与直线x－2y＝0平行的直线可设为x－2y＋C＝0， 将(1，6)代入x－2y＋C＝0可得C＝11，故直线方程为x－2y＋11＝0，故选C．] 反思领悟　1．判定平行、垂直的两种方法 (1)化成斜截式方程看斜率和截距的关系，但要注意k＝0和k不存在的情况． (2)化成一般式方程，用充要条件判断． 2．与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 [学以致用]　3．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l平行； (2)过点(－1，3)，且与l垂直． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 [解]　法一：l的方程可化为y＝－x＋3，∴l的斜率为－． (1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－．又∵l′过点(－1，3)， 由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)， 即3x＋4y－9＝0． (2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，又l′过点(－1，3)， 由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，即4x－3y＋13＝0． 法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)． 将点(－1，3)代入上式，得m＝－9． ∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0． (2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0． 将(－1，3)代入上式，得n＝13． ∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0． 探究3　直线的一般式方程的应用 [典例讲评]　3．(源自北师大版教材)已知直线l的方程为mx＋(m－1)y＋1＝0，m∈R． (1)若直线l在x轴上的截距为－2，求m的值； (2)若直线l与y轴垂直，求m的值； (3)若直线l的倾斜角为，求m的值． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 [解]　(1)由已知，可得直线l与x轴交于点(－2，0)， 所以－2m＋(m－1)·0＋1＝0，解得m＝．故m的值为． (2)因为直线l与y轴垂直，所以直线l的斜率为0． 所以直线l的方程可化为斜截式y＝x－． 由＝0，可得m＝0．故m的值为0． (3)由(2)可知直线l的斜率为，又倾斜角为， 所以由斜率与倾斜角的关系可得＝tan ，即＝1． 解得m＝．故m的值为． [母题探究]　本例条件不变，求证：不论m为何值，直线l总经过第二象限． [证明]　直线l的方程整理为m(x＋y)－y＋1＝0， 因为m为任意实数，所以解得 故直线l恒过定点(－1，1)，又点(－1，1)在第二象限，故直线l总经过第二象限． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 反思领悟　含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0． (2)令x＝0可得在y轴上的截距，且x的系数不为0．令y＝0可得在x轴上的截距，且y的系数不为0．若确定直线斜率存在，则可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 [学以致用]　4．直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． [解]　(1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意； ②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2，令y＝0，则x＝． ∵l在两坐标轴上的截距相等，∴a－2＝， 解得a＝2或a＝0．综上，a的值为2或0． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 (2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2， 故要使l不经过第二象限，只需 解得a≤－1．∴a的取值范围为(－∞，－1]． 【链接·教材例题】 例6　把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形． [分析]　求直线l在x轴上的截距，即求直线l与x轴交点的横坐标，只要在直线l的方程中令y＝0即可得x的值． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 [解]　把直线l的一般式方程化为斜截式y＝x＋3． 因此，直线l的斜率k＝，它在y轴上的截距是3． 在直线l的方程x－2y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－6， 即直线l在x轴上的截距是－6． 由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为 A(－6，0)，B(0，3)， 过A，B两点作直线，就得直线l(图2.2-7)． 1．已知直线l的斜率为－1，且直线l在y轴上的截距为，则直线l的一般式方程是(　　) A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ A　[由题易知，直线l的方程为y＝－x＋，即x＋y－＝0．] 2.2.3　直线的一般式方程 2．直线x＋3y＋m＝0和直线3x－y＋n＝0的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．不平行也不垂直 D．与m，n的取值有关 2 3 题号 1 4 √ B　[因为两直线斜率之积等于－1，所以两直线垂直．] 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 3．已知直线l过点(0，3)，且与直线x－y－1＝0平行，则l的方程是(　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 2 3 题号 4 1 √ D　[设直线l的方程为x－y＋c＝0(c≠－1)，由点(0，3)在直线x－y＋c＝0上，得0－3＋c＝0，解得c＝3，因此直线l的方程为x－y＋3＝0．] 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 4．若直线的截距式＋＝1化为斜截式为y＝－2x＋b，化为一般式为bx＋ay－8＝0，且a＞0，则a＋b＝_____． 2 4 3 题号 1 6　[∵截距式＋＝1化为一般式为bx＋ay－ab＝0，化为斜截式为y＝－x＋b， ∴由已知得解得或 ∵a＞0，∴a＝2，b＝4，a＋b＝6．] 6　 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 1．知识链：(1)直线的一般式方程． (2)直线五种形式方程的互化． (3)利用直线的一般式方程判定直线的平行与垂直． 2．方法链：分类讨论、化归转化． 3．警示牌：把直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)化为斜截式方程y＝－x－时，容易忽视B≠0． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．试写出直线的一般式方程． [提示]　Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 2．在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中，A，B，C为何值时，方程表示的直线(1)平行于x轴？(2)与x轴重合？(3)平行于y轴？(4)与y轴重合？ [提示]　当A＝0时，方程变为y＝－，当C≠0时，表示的直线平行于x轴，当C＝0时，表示的直线与x轴重合；当B＝0时，方程变为x＝－，当C≠0时，表示的直线平行于y轴，当C＝0时，表示的直线与y轴重合． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 3．如何根据直线的一般式方程求直线的斜率和直线在x轴、y轴上的截距？ [提示]　法一：将直线方程化为斜截式和截距式， 可求直线的斜率和在x轴、y轴上的截距． 法二：斜率k＝－，令x＝0，可得直线在y轴上的截距，令y＝0，可得直线在x轴上的截距． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.3　直线的一般式方程 $$