17 第二章 2.2.1 直线的点斜式方程-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步课件(人教A版2019)

第二章　直线和圆的方程 2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 [学习目标]　1．掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会用它们求直线的方程．(数学运算) 2．了解直线的斜截式方程与一次函数的关系．(数学抽象) 3．会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题．(数学运算) 整体感知 2.2.1　直线的点斜式方程 (教师用书) 射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领，一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向．若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求，试从数学角度分析子弹是否会命中目标？ 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 [讨论交流]　 问题1．直线的点斜式和斜截式方程适用的范围是什么？ 问题2．直线的截距是距离吗？ 问题3．直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2平行、垂直的条件是什么？ 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 探究1　直线的点斜式方程 探究问题1　在平面内，过一点P0(x0，y0)的直线有无数条，过两点的直线有且只有一条，那么，过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线有多少条？ 探究建构 [提示]　一条． 2.2.1　直线的点斜式方程 探究问题2　若直线l过点P0(x0，y0)且斜率为k，那么直线l上任意一点P(x，y)和它们有怎样的关系？ [提示]　若P与P0重合，则x＝x0，y＝y0；若P与P0不重合，则k＝，即y－y0＝k(x－x0)． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 [新知生成] 1．方程_________________由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称______． 2．当k＝0时，(如图1)，过P0(x0，y0)的直线可以写成______；当k不存在时(如图2)，过P0(x0，y0)的直线可以写成______． y－y0＝k(x－x0) 点斜式 y＝y0 x＝x0 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 【教用·微提醒】　经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可分为两类： (1)斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)； (2)斜率不存在的直线，方程为x＝x0． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 【链接·教材例题】 例1　直线l经过点P0(－2，3)，且倾斜角α＝45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l． [解]　直线l经过点P0(－2，3)，斜率k＝tan 45°＝1， 代入点斜式方程得y－3＝x＋2． 画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1，y1)， 例如，取x1＝－1，则y1＝4，得点P1的坐标为(－1，4)，过P0，P1两点的直线即为所求，如图2.2-4所示． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 [典例讲评]　1．(源自北师大版教材)求出经过点P(－1，2)且满足下列条件的直线的方程，并画出直线： (1)倾斜角为；(2)与x轴垂直；(3)与x轴平行． [解]　(1)因为直线的倾斜角为，所以该直线的斜率为k＝tan ＝．因为直线经过点P(－1，2)且斜率为，所以该直线方程的点斜式为y－2＝[x－(－1)]，化简，得x－y＋＋2＝0(如图(1))． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 (2)因为直线经过点P(－1，2)且与x轴垂直，所以该直线的方程为x＝－1(如图(2))． (3)因为直线经过点P(－1，2)且与x轴平行，即斜率k＝0，所以该直线的方程为y＝2(如图(3))． 反思领悟　1．求直线的点斜式方程的思路 2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 [学以致用]　1．倾斜角为α＝，且过点P(－2，3)的直线的方程是(　　) A．y－3＝x＋2　 B．y＝3　　　 C．x＝－2　　 D．y＝x C　[因为倾斜角为α＝，所以该直线不存在斜率， 因为该直线过点P(－2，3)，所以直线方程为x＝－2．故选C．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 2．若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的点斜式方程为_______________________________________________． y－6＝12(x－2)或y＋6＝12(x－1)(写出其中任意一个即可)　[∵过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，∴＝12，解得m＝－2，故A(2，6)，B(1，－6)，则直线的点斜式方程为y－6＝12(x－2)或y＋6＝12(x－1)．] y－6＝12(x－2)或y＋6＝12(x－1)(写出其中任意一个即可) 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 探究2　直线的斜截式方程 探究问题3　你能写出过点P(0，b)，斜率为k的直线方程吗？ [提示]　y－b＝kx，即y＝kx＋b． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 [新知生成] 1．截距：我们把直线l与y轴的交点(0，b)的________叫做直线l在y轴上的截距． 2．斜截式：方程__________由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程_________叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 纵坐标b y＝kx＋b y＝kx＋b 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 【教用·微提醒】　(1)斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时也要讨论斜率是否存在． (2)纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可以取一切实数，即可为正数、负数或零． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 [典例讲评]　2．直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为－3． (1)求直线l的方程； (2)求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积． [解]　(1)由斜截式得直线l的方程为y＝3x－3． (2)在直线y＝3x－3中，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1，则直线l与坐标轴所围成的三角形的面积S＝×|1|×|－3|＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 [母题探究] 1．本例中“在y轴上的截距为－3”改为“与y轴的交点到坐标原点的距离为3”，其余条件不变，求直线l的方程． [解]　因为直线l与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线l在y轴上的截距b＝3或b＝－3．故所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 2．本例中“它在y轴上的截距为－3”改为“它与两坐标轴围成的三角形面积为6”，其余条件不变，求直线l的方程． [解]　设直线方程为y＝3x＋b，则x＝0时，y＝b； y＝0时，x＝－b，由已知可得＝6， 即b2＝36，∴b＝±6， 故所求直线方程为y＝3x＋6或y＝3x－6． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 反思领悟　直线的斜截式方程的求解策略 (1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代入方程即可． (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 [学以致用]　3．已知直线l1：y＝kx＋b，l2：y＝bx＋k，则它们的图象可能为(　　) A　　 　　B　　　 　C　　　 　D √ 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 C　[对于A，直线l1方程中的k＜0，b＞0，直线l2方程中的k＞0，b＞0，矛盾； 对于B，直线l1方程中的k＞0，b＜0，直线l2方程中的k＞0，b＞0，矛盾； 对于C，直线l1方程中的k＞0，b＞0，直线l2方程中的k＞0，b＞0，符合； 对于D，直线l1方程中的k＜0，b＞0，直线l2方程中的k＜0，b＜0，矛盾．] 4．已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1的斜率相反且与l2在y轴上的截距相同，则直线l的方程为________． y＝2x－2　[由题意知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为－2．由斜截式可得直线l的方程为y＝2x－2．] y＝2x－2　 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 探究3　利用斜截式方程求平行与垂直的条件 探究问题4　前面一节课中我们已经讨论过斜率对于直线平行、垂直的影响．设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，思考一下什么时候：(1)l1∥l2？(2)l1，l2重合？(3)l1⊥l2？ [提示]　(1)k1＝k2且b1≠b2；(2)k1＝k2且b1＝b2；(3)k1·k2＝－1． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 [新知生成] 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2． (1)l1∥l2⇔___________________； (2)l1⊥l2⇔___________． k1＝k2，且b1≠b2 k1k2＝－1 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 【链接·教材例题】 例2　已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，试讨论：(1)l1∥l2的条件是什么？(2)l1⊥l2的条件是什么？ [分析]　回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论，可以发现l1∥l2或l1⊥l2时，k1，k2与b1，b2应满足的关系． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 [解]　(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时l1，l2与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之，若k1＝k2，且b1≠b2，则l1∥l2． (2)若l1⊥l2，则k1k2＝－1；反之，若k1k2＝－1，则l1⊥l2． 由例2我们得到，对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2； l1⊥l2⇔k1k2＝－1． [典例讲评]　3．已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4．问：m为何值时，l1与l2平行或垂直？ [解]　当m＝0时，l1：8y－10＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直； 当m≠0时，l2的方程可化为y＝－x＋． 由－＝－，得m＝±； 由≠，得m≠且m≠，－·＝－1无解． 故当m＝－时，l1与l2平行；当m＝0时，l1与l2垂直． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 反思领悟　1．给定两条直线的斜截式方程，说明了已知两条直线的斜率及相应截距，在此基础上判断两条直线的位置关系． 2．当给定位置求相应字母的取值时，要正确利用k1＝k2或k1k2＝－1等结论． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 [学以致用]　5．已知直线l1：y＝ax＋2，l2：y＝x－1，根据下列条件分别确定a的值． (1)l1∥l2； (2)l1⊥l2． [解]　(1)∵l1∥l2，∴a＝． (2)∵l1⊥l2，∴a·＝－1，∴a＝－3． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 6．当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ [解]　由题意可知＝a2－2， ∵l1∥l2，∴解得a＝－1． 故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 1．直线y＝的倾斜角为(　　) A．180°　　　　B．0°　　　　C．90°　　　　D．不存在 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ B　[直线y＝的斜率为0，所以倾斜角为0°．故选B．] 2.2.1　直线的点斜式方程 2．经过点(2，1)，且倾斜角为45°的直线方程是(　　) A．y＝x－3 B．y＝x＋1 C．y＝－x＋3 D．y＝x－1 2 3 题号 1 4 √ D　[由题设，直线斜率为tan 45°＝1，又过(2，1)， 所以直线方程为y－1＝x－2，即y＝x－1．故选D．] 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 3．已知直线倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线方程为(　　) A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2 C．y＝－x－2 D．y＝x－2 2 3 题号 4 1 √ D　[由题意可得直线方程为y＝xtan 60°－2，即y＝x－2，故选D．] 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 4．已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝______． 2 4 3 题号 1 －1　[由a×(a＋2)＝－1，即a2＋2a＋1＝0，得a＝－1．] －1　 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 1．知识链：(1)直线的点斜式方程． (2)直线的斜截式方程． (3)两条直线的平行与垂直． 2．方法链：待定系数法、数形结合、分类讨论． 3．警示牌：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．试写出直线的点斜式方程． [提示]　y－y0＝k(x－x0)． 2．试写出直线的斜截式方程． [提示]　y＝kx＋b． 3．写出斜截式方程两直线平行与垂直的充要条件． [提示]　(1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2．(2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.2.1　直线的点斜式方程 $$