11 第一章 1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步课件(人教A版2019)

第一章 空间向量与立体几何 1.4　空间向量的应用 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [学习目标]　1．会用向量法求线线、线面、面面夹角．(直观想象、数学运算) 2．能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．(逻辑推理、数学运算) 整体感知 第2课时　用空间向量研究夹角问题 (教师用书) 在必修教材中，我们学习过异面直线所成的角、直线与平面相交所成的角以及两个平面相交所成的二面角．那么，在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [讨论交流]　 问题1．两条异面直线、直线和平面、两个平面的夹角的向量计算公式分别是什么？ 问题2．直线和平面的夹角与直线方向向量、平面法向量的夹角有什么关系？ 问题3．两个平面的夹角和二面角有什么区别？ 问题4．用向量解决空间线面夹角问题的一般步骤是什么？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 探究1　两异面直线所成的角 探究问题1　如何求两个向量a，b的夹角？ 探究建构 [提示]　cos 〈a，b〉＝． 探究问题2　能否借助两个向量的夹角来求两异面直线所成的角． [提示]　可以．可转化为两条异面直线的方向向量的夹角问题来解决． 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [新知生成] 利用向量方法求两条异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝ ． 【教用·微提醒】　两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 【链接·教材例题】 例7　如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值． [分析]　求直线AM和CN夹角的余弦值，可以转化为求向量夹角的余弦值．为此需要把向量用适当的基底表示出来，进而求得向量夹角的余弦值． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [解]　化为向量问题 如图1.4-19，以{}作为基底，则 －＝． 设向量． 进行向量运算 ＝· ＝－＋－＝－＋－＝． 又△ABC和△ACD均为等边三角形， 所以＝＝． 所以cos θ＝＝＝． 回到图形问题 所以直线AM和CN夹角的余弦值为． [典例讲评]　1．(源自北师大版教材)如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝2，BC＝1，AA′＝3．求AC′与A′D夹角的余弦值． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [解]　设s1，s2分别是AC′和A′D的一个方向向量，取s1＝． 因为A(0，0，0)，C′(2，1，3)，A′(0，0，3)，D(0，1，0)，所以s1＝＝(2，1，3)，s2＝＝(0，1，－3)． 设AC′与A′D所成角为θ，则 cos θ＝|cos 〈s1，s2〉|＝． 故AC′与A′D夹角的余弦值为． 反思领悟　求异面直线所成角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量． (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值． (3)得出两条异面直线所成的角． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [学以致用]　1．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，△SAB，△SCD是直角圆锥SO的两个轴截面，且 cos ∠BOC＝，则异面直线SA与BC所成角的余弦值为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 B　[以O为坐标原点，OB，OS所在直线分别为y，z轴，垂直于平面SAB的轴为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝6，则A(0，－3，0)，B(0，3，0)，S(0，0，3)，因为cos ∠BOC＝， 所以C(－2，1，0)， 所以＝(0，－3，－3)，＝(－2，－2，0)， 所以cos 〈〉＝＝＝， 所以异面直线SA与BC所成角的余弦值为． 故选B．] 2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的正弦值为(　　) A．　　　　B．　　　C．　　　D． √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 A　[如图， ∵PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形， ∴以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设PA＝BC＝2，则B(2，0，0)，F(1，1，1)， P(0，0，2)，E(1，2，0)， ∴＝(－1，1，1)，＝(1，2，－2)， ∵cos 〈〉＝＝＝－， ∴异面直线BF与PE所成角的正弦值为＝． 故选A．] 探究2　直线与平面所成的角 探究问题3　直线的方向向量与平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角吗？ [提示]　不是． 探究问题4　设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为v，平面的法向量为n，则θ与〈v，n〉有什么关系？ [提示]　θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [新知生成] 利用向量方法求直线与平面所成的角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝ ． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 【教用·微提醒】　(1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决． (2)线面角的范围为． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [典例讲评]　2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点，且PA＝1． (1)求证：PB∥平面ACE； (2)求直线BE与平面PCD所成角的余弦值． [解]　(1)证明：连接BD，交AC于点O，连接EO，则O为BD中点， ∵E为PD的中点，∴EO∥PB， 又EO⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB∥平面ACE． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 (2)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，C(2，1，0)，B(2，0，0)，P(0，0，1)，D(0，1，0)，E， ∴＝＝(0，1，－1)， ＝(2，1，－1)． 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令y＝1，得n＝(0，1，1)， 设直线BE与平面PCD所成角为θ，且θ∈， ∴sin θ＝＝＝＝， ∴cos θ＝＝， 故直线BE与平面PCD所成角的余弦值为． 反思领悟　利用向量法求直线与平面所成角的基本步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量． (3)求平面的法向量n． (4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [学以致用]　3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分别为C1C，BC的中点．求A1B与平面AEF所成角的正弦值． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [解]　以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，所以＝(2，0，－2)，＝(0，2，1)，＝(1，1，0)． 设平面AEF的法向量为n＝(a，b，c)， 由得令a＝1，可得n＝(1，－1，2)为平面AEF的一个法向量． 设A1B与平面AEF所成角为θ， 所以sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝， 即A1B与平面AEF所成角的正弦值为． [提示]　平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 区别：二面角的范围是[0，π]，而两个平面的夹角的范围是． 探究3　两平面的夹角 探究问题5　两个平面的夹角与二面角的平面角有什么区别？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 探究问题6　设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，平面α1与平面α2的夹角为θ，则θ与〈n1，n2〉的关系是什么？ [提示]　两平面的夹角是两平面法向量的夹角或其补角， 即θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [新知生成] 利用向量方法求两个平面的夹角 (1)平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中___________的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝ ． 不大于90° 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 【教用·微提醒】　(1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是，二面角的范围是[0，π]． (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 【链接·教材例题】 例8　如图1.4-22，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1．求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值． [分析]　因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [解]　化为向量问题 以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-22所示的空间直角坐标系．设平面A1B1C1的法向量为n1，平面PQR的法向量为n2，则平面PQR与平面A1B1C1的夹角就是n1与n2的夹角或其补角． 进行向量运算 因为C1C⊥平面A1B1C1，所以平面A1B1C1的一个法向量为n1＝(0，0，1)． 根据所建立的空间直角坐标系，可知P(0，1，3)，Q(2，0，2)，R(0，2，1)． 所以＝(2，－1，－1)，＝(0，1，－2)． 设n2＝(x，y，z)，则 所以所以 取n2＝(3，4，2)，则 cos 〈n1，n2〉＝＝＝． 回到图形问题 设平面PQR与平面A1B1C1的夹角为θ，则 cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝． 即平面PQR与平面A1B1C1的夹角的余弦值为． [典例讲评]　3．(2023·新高考Ⅱ卷)如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点． (1)证明：BC⊥DA； (2)点F满足，求二面角D-AB-F的正弦值． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [解]　(1)证明：如图，连接DE，AE， 因为DC＝DB，且E为BC的中点，所以DE⊥BC． 因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB， 所以△ADB≌△ADC(SAS)． 可得AC＝AB，故AE⊥BC． 因为DE∩AE＝E，DE，AE⊂平面ADE，所以BC⊥平面ADE． 又DA⊂平面ADE，所以BC⊥DA． (2)由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC． 不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2． 由题可知△DBC为等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝． 因为AE⊥BC，所以AE＝＝． 在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED． 以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为 y轴，EA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 如图，则D(，0，0)，B(0，，0)，A(0，0，)， ＝(－，0，)，＝(0，－，)． 设F(xF，yF，zF)，因为，所以(xF，yF，zF)＝(－，0，)，可得F(－，0，)． 所以＝(，0，0)． 设平面DAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则即 取x1＝1，则y1＝z1＝1，m＝(1，1，1)． 设平面ABF的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 则即得x2＝0，取y2＝1， 则z2＝1，n＝(0，1，1)． 所以cos 〈m，n〉＝＝＝． 记二面角D-AB-F的大小为θ， 则sin θ＝＝＝， 故二面角D-AB-F的正弦值为． 反思领悟　利用坐标法求两个平面夹角的步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)分别求出两个面所在平面的法向量的坐标． (3)求两个法向量的夹角． (4)确定两平面夹角的大小． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [学以致用]　4．(2023·北京卷)如图，四面体P-ABC中，PA＝AB＝BC＝1，PC＝，PA⊥平面ABC． (1)求证：BC⊥平面PAB； (2)求二面角A-PC-B的大小． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [解]　(1)证明：∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥AC，PA⊥BC，∵PA＝1，PC＝，∴AC＝＝＝， 又∵AB＝BC＝1，∴AC2＝AB2＋BC2，∴BC⊥AB，又∵PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面PAB． (2)以点B为坐标原点，分别以BC，BA所在直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则A(0，1，0)，B(0，0，0)，C(1，0，0)，P(0，1，1)， ∴＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)，＝(0，1，1)，＝(1，0，0)． 设平面APC的法向量为n＝(x，y，z)， 则取x＝1，得n＝(1，1，0)， 设平面BPC的法向量为m＝(a，b，c)， 则取b＝1，得m＝(0，1，－1)， ∴cos 〈m，n〉＝＝＝， 由图可知二面角A-PC-B为锐角，设二面角A-PC-B的大小为θ， 则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝，∴θ＝， 即二面角A-PC-B的大小为． 【教用·备选题】　如图所示，四棱锥P-ABCD，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝2BC＝2CD＝4，△PAB为等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，Q为PB的中点． (1)求证：AQ⊥平面PBC； (2)求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [解]　(1)证明：因为AB∥CD，∠BCD＝90°，所以AB⊥BC， 又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面PAB． 又AQ⊂平面PAB，所以BC⊥AQ． 因为Q为PB的中点，且△PAB为等边三角形，所以PB⊥AQ． 又PB∩BC＝B，所以AQ⊥平面PBC． (2)法一：取AB的中点O，连接PO，OD，因为△PAB为等边三角形，所以PO⊥AB． 因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OD． 由AB＝2BC＝2CD＝4，AB∥CD，得OB＝CD，且OB∥CD，所以四边形OBCD为平行四边形，可得OD∥BC，又∠ABC＝90°，所以OD⊥AB． 以AB的中点O为坐标原点，OA，OD，OP所在直 线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角 坐标系Oxyz，则A(2，0，0)，D(0，2，0)，C(－2， 2，0)，P(0，0，2)，B(－2，0，0)，则＝(0，－2，2)，＝(2，0，0)． 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， 由得 取z＝1，则平面PCD的一个法向量为n＝(0，，1)． 由(1)知，为平面PBC的一个法向量， 因为Q为PB的中点，则Q(－1，0，)，所以＝(3，0，－)． 又·n＝－，＝2＝2， 所以cos 〈，n〉＝＝＝－． 故平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为． 法二：建系同方法一． 分别从B，D作PC的垂线段，垂足分别为E，F，如图所示，则〈〉即为二面角B-PC-D的平面角的大小． 设＝λ(2，－2，2)＝(2λ，－2λ， 2λ)，则＝(0，2，0)＋(2λ， －2λ，2λ)＝(2λ，2－2λ，2λ)， 由＝0，得2λ×2＋(2－2λ)×(－2)＋ 2λ×2＝0，解得λ＝，即＝． 同理可得＝，所以＝－，＝，＝． 所以cos 〈〉＝＝＝－， 故平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为． 法三：如图，取AB的中点为O，连接PO，OD，因为△PAB为等边三角形，所以PO⊥AB． 因为平面PAB⊥平面ABCD， 所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OD． 在Rt△POD中，PO＝2，OD＝2， 所以PD＝4．所以PB＝PD， 又BC＝DC，PC＝PC，所以△PBC≌△PDC． 在Rt△PBC中，过点B作BE⊥PC，垂足为E，连接DE，则DE⊥PC，所以∠BED就是二面角B-PC-D的平面角． 在Rt△PBC中，PB＝4，BC＝2，所以PC＝＝2，所以BE＝＝，所以DE＝BE＝． 连接BD，则BD＝2，在△BED中，cos ∠BED＝ ＝－，所以平面PBC与平面PCD夹角的余弦值为． 【链接·教材例题】 例9　图1.4-23为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°．已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)． [分析]　因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小．8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [解]　如图1.4-24，设水平面的单位法向量为n，其中一根绳子的拉力为F．因为〈n，F〉＝30°，所以F在n上的投影向量为n．所以8根绳子拉力的合力 F合＝8×n＝4n． 又因为降落伞匀速下落， 所以|F合|＝|G礼物|＝1×9.8＝9.8(N)． 所以＝9.8．所以|F|＝≈1.41(N)． 【链接·教材例题】 例10　如图1.4-25，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． (1)求证：PA∥平面EDB； (2)求证：PB⊥平面EFD； (3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [分析]　本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角．这些问题都可以利用向量方法解决．由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 [解]　以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-26所示的空间直角坐标系，设DC＝1． (1)证明：连接AC，交BD于点G，连接EG． 依题意得A(1，0，0)，P(0，0，1)，E． 因为底面ABCD是正方形，所以点G是它的中心， 故点G的坐标为，且＝(1，0，－1)， ＝． 所以，即PA∥EG． 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，因此PA∥平面EDB． (2)证明：依题意得 B(1，1，0)，＝(1，1，－1)． 又＝，故＝0＋－＝0． 所以PB⊥DE． 由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E， 所以PB⊥平面EFD． (3)解：已知PB⊥EF，由(2)可知PB⊥DF，故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角． 设点F的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)． 因为，所以(x，y，z－1)＝k(1，1，－1)＝(k，k，－k)，即x＝k，y＝k，z＝1－k． 由(2)可知＝0，则(1，1，－1)·(k，k，1－k)＝k＋k－1＋k＝3k－1＝0． 所以k＝，点F的坐标为． 又点E的坐标为，所以＝． 所以cos ∠EFD＝ ＝＝． 所以∠EFD＝60°，即平面CPB与平面PBD的夹角大小为60°． 1．已知空间两异面直线所成的角的取值集合为A，直线与平面所成角的取值集合为B，则(　　) A．A＝B　　B．A⊆B　　C．B⊆A　　D．A∩B＝∅ 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ B　[两异面直线所成的角的取值集合为A＝， 而直线与平面所成角的取值集合为B＝，则ACD错误，B正确．故选B．] 第2课时　用空间向量研究夹角问题 2．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝ (2，0，4)，则异面直线l1与l2所成角的余弦值等于(　　) A．－ 　　 B． 　　 C．－ 　　 D． 2 3 题号 1 4 √ B　[异面直线 l1，l2 的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)， b＝(2，0，4)， 则a·b＝0×2＋(－2)×0＋(－1)×4＝－4，|a|＝＝2， 则cos 〈a，b〉＝＝＝－，则异面直线l1与l2所成角的余弦值等于．故选B．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 3．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，平面PCD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ满足(　　) A．θ＝ B．cos θ＝ C．tan θ＝ D．sin θ＝ 2 3 题号 4 1 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 C　[因为四边形ABCD为正方形，所以DC⊥DA， 因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，CD⊂底面ABCD， 所以CD⊥平面PAD，又因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD，同理可得AD⊥PD， 2 3 题号 4 1 所以DA，DC，DP两两垂直，以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)， G，所以＝， 易知平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)， 则sin θ＝＝＝， 所以cos θ＝＝，tan θ＝． 故选C．] 2 3 题号 4 1 4．如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝________． 2 4 3 题号 1 　[cos θ＝＝＝．] 　 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 1．知识链：(1)用向量求两条异面直线所成的角． (2)用向量求直线与平面所成的角． (3)用向量求两个平面的夹角． 2．方法链：向量法、化归转化． 3．警示牌：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念、把握空间角的范围． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．用向量语言表述两条异面直线所成的角． [提示]　若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 2．用向量语言表述直线和平面所成的角． [提示]　设直线l和平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为u，平面α 的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝． 3．用向量语言表述平面和平面的夹角． [提示]　设平面α与平面β的夹角为θ，其法向量分别为n1，n2， 则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 4．试总结用坐标法求两平面的夹角的步骤． [提示]　(1)建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标； (2)求出两个平面的法向量； (3)求出两个法向量的夹角； (4)两个法向量的夹角或其补角就是两平面的夹角． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　用空间向量研究夹角问题 $$