09 第一章 1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步课件(人教A版2019)

第一章 空间向量与立体几何 1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第3课时　空间中直线、平面的垂直 [学习目标]　1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．(数学抽象) 2．能用向量方法判断或证明线线、线面、面面间的垂直关系．(逻辑推理、数学运算) 整体感知 第3课时　空间中直线、平面的垂直 (教师用书) 我们知道，一个平面可用空间一点与该平面的法向量来确定．观察图片，图中旗杆所在的直线和地面垂直，那么如何用向量来表示二者的关系呢？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 [讨论交流]　 问题1．空间直线、平面垂直的向量表示是什么？ 问题2．用向量解决空间线面垂直问题的一般步骤是什么？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 探究1　直线与直线垂直 探究问题1　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ 探究建构 [提示]　垂直． 第3课时　空间中直线、平面的垂直 [新知生成] 两直线垂直的判定方法 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔_________ ⇔ ____________． u1⊥u2 u1·u2＝0 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 【教用·微提醒】　(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 [典例讲评]　1．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1．求证：AB1⊥MN． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 [证明]　法一：设＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，(a＋b)， ∴＝(a＋c)·cos 60°＋0－0＋0＋＝0．∴⊥，∴AB1⊥MN． 法二：设AB的中点为O，作OO1∥AA1． 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知得A，B， C， ∵M为BC的中点，∴M． ∴＝(1，0，1)， ∴＝0．∴⊥，∴AB1⊥MN． 反思领悟　向量法证明线线垂直的思路方法 用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法有以下两种： (1)坐标法：用坐标表示出两条直线的方向向量，计算出两向量的数量积为0． (2)基向量法：将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，计算出两向量的数量积为0． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 [学以致用]　1．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PB与底面所成的角是30°，∠BAD＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝a，AB＝2a．若AE⊥PB于点E，求证：DE⊥PB． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 [证明]　以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示． 因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA是PB与底面ABCD所成的角，所以∠PBA＝30°，所以PA＝a． 所以A(0，0，0)，B(2a，0，0)，D(0，a，0)，P． 所以＝(0，a，0)，＝． 因为＝(0，a，0)＝0， 所以PB⊥AD． 又PB⊥AE，且AD∩AE＝A，所以PB⊥平面ADE． 因为DE⊂平面ADE，所以DE⊥PB． 探究2　直线与平面垂直 探究问题2　如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直平面α时，u，n之间有什么关系？ [提示]　平行(共线)． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 [新知生成] 直线和平面垂直的判定方法 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔________⇔ ∃λ∈R，使得________． 【教用·微提醒】　证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可． u∥n u＝λn 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 【链接·教材例题】 例4　如图1.4-14，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1． [分析]　根据条件，可以{，}为基底，并用基向量表示和平面BDD1B1，再通过向量运算证明是平面BDD1B1的法向量即可． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 证明　设＝b，＝c，则{a，b，c}为空间的一个基底，且 ＝a＋b－c，＝b－a，＝c． 因为AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，所以 a2＝b2＝c2＝1，a·b＝b·c＝c·a＝． 在平面BDD1B1上，取，为基向量，则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ，μ)，使得＋μ． 所以，＝λ＋μ· ＝λ(a＋b－c)·(b－a)＋μ(a＋b－c)·c＝0． 所以A1C是平面BDD1B1的法向量．所以A1C⊥平面BDD1B1． [典例讲评]　2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 [证明]　法一：设＝b，则 ＝＝＝ ＝(－a＋b＋c)． 因为＝a＋b，所以(－a＋b＋c)·(a＋b) ＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝＝0． 所以⊥，即EF⊥AB1．同理，EF⊥B1C．又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC． 法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)． 所以＝(－1，－1，1)，＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)． 所以＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0， ＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝0， 所以⊥，⊥，所以EF⊥AB1，EF⊥AC． 又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC． 法三：由法二得＝(0，2，2)， ＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，1)． 设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)，则·n＝0，n＝0， 即 取x＝1，则y＝1，z＝－1， 所以n＝(1，1，－1)，所以＝－n， 所以∥n，所以EF⊥平面B1AC． [母题探究]　若本例条件不变，求证：A1C⊥平面AD1B1． [证明]　＝(0，2，2)，＝(2，2，0)，A1(2，0，2)，C(0，2，0)，所以＝(－2，2，－2)． 设平面AD1B1的法向量为m＝(x，y，z)， 则·m＝0，即 取x＝1，则y＝－1，z＝1，所以m＝(1，－1，1)． 所以＝－2m，所以∥m，所以A1C⊥平面AD1B1． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 反思领悟　证明线面垂直的方法 (1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 [学以致用]　2．如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点． 求证：AB1⊥平面A1BD． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 [证明]　法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO． 因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC．又BB1⊥平面ABC，  取B1C1的中点O1，则OO1∥BB1．以O为原点，以 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1，A，B1(1，2，0)， 所以＝＝＝(－2，1，0)． 因为＝1×(－1)＋2×2＋＝1×(－2)＋2×1＋×0＝0，所以⊥⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD． 又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD． 法二：建系同法一． 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥， 即令x＝1， 得平面A1BD的一个法向量为n＝． 又＝，所以n＝，即∥n，所以AB1⊥平面A1BD． 探究3　平面与平面垂直 探究问题3　设n1，n2分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？ [提示]　垂直． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 [新知生成] 平面和平面垂直的判定方法 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔______⇔_________． n1⊥n2 n1·n2＝0 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直  【教用·微提醒】　利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径： 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 【链接·教材例题】 例5　证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 已知：如图1.4-15，l⊥α，l⊂β，求证：α⊥β． 证明　取直线l的方向向量u，平面β的法向量n． 因为l⊥α，所以u是平面α的法向量． 因为l⊂β，而n是平面β的法向量，所以u⊥n．所以α⊥β． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 [典例讲评]　3．(源自湘教版教材)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点． 求证：平面BEF⊥平面ABC． [证明]　如图所示，以点B为原点，分别以的方向为y轴、z轴的正方向，并取相同的单位长度，建立空间直角坐标系． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 设A(0，0，a)，则B(0，0，0)，C，D(0，a，0)，E，F． 于是＝(0，0，－a)，＝＝＝． 法一：(利用平面的法向量)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ABC的法向量， 则 取x1＝1，得y1＝－1，z1＝0，则n1＝(1，－1，0)是平面ABC的一个法向量． 设n2＝(x2，y2，z2)是平面BEF的法向量， 则 取x2＝1，得y2＝1，z2＝－，则n2＝(1，1，－)是平面BEF的一个法向量． 因为n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－)＝0， 所以平面BEF⊥平面ABC． 法二：(利用线面垂直)∵＝， ∴＝0， ∴EF⊥AB，EF⊥BC， 又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC， ∴EF⊥平面ABC，又EF⊂平面BEF， ∴平面BEF⊥平面ABC． 反思领悟　证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理将问题转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 [学以致用]　3．如图，在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．求证：平面EFG⊥平面PBC． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 [证明]　法一：如图，以正三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 令PA＝PB＝PC＝3，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，F(0，1，0)， G(1，1，0)， 于是＝(3，0，0)，＝(1，0，0)， 故，又G不在直线PA上，所以PA∥FG． 而PA⊥平面PBC，所以FG⊥平面PBC． 又FG⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PBC． 法二：同法一，建立空间直角坐标系，令PA＝PB＝PC＝3， 则P(0，0，0)，A(3，0，0)，E(0，2，1)，F(0，1，0)， G(1，1，0)． 所以＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)． 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)， 则有n⊥，n⊥． 所以令y＝1，得z＝－1，x＝0， 即n＝(0，1，－1)． 显然＝(3，0，0)是平面PBC的一个法向量． 又n＝0，所以n⊥， 即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，所以平面EFG⊥平面PBC． 【教用·备选题】　如图(1)所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD． [解]　设AS＝AB＝1，建立如图(2)所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 法一：如图(2)，连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为．易知＝(0，0，1)，＝，∴＝，∴OE∥AS． 又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD． 又OE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD． 法二：设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)． 易知＝(－1，1，0)，＝， 由得 令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0)． ∵AS⊥底面ABCD， ∴平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0，0，1)． ∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD． 1．设l1的方向向量为a＝(1，2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2，3，m)．若l1⊥l2，则m＝(　　) A．1　　 　B．2　　 　C．　　 　D．3 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ B　[∵l1⊥l2，∴a·b＝1×(－2)＋2×3－2m＝0，解得m＝2．] 第3课时　空间中直线、平面的垂直 2 3 题号 1 4 √ 2．已知平面α的法向量为n＝(2，－2，4)，＝(－1，1，－2)，则直线AB与平面α的位置关系为(　　) A．AB⊥α B．AB⊂α C．AB与α相交但不垂直 D．AB∥α A　[∵平面α的法向量为n＝(2，－2，4)，＝(－1，1，－2)， ∴＝－n，∴n∥，∴⊥α，即直线AB与平面α垂直．故选A．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 3．(多选)已知直线l的方向向量为μ，两个不重合的平面α，β的法向量分别为n1，n2，则(　　) A．若μ∥n1，则l⊥α B．若μ·n1＝0，则l∥α C．若n1∥n2，则α∥β D．若n1·n2＝0，则α⊥β 2 3 题号 4 1 √ ACD　[根据题意，依次分析选项：对于A，若μ∥n1，则l⊥α，A正确； 对于B，若μ·n1＝0，则μ⊥n1，则l∥α或l⊂α，B错误； 对于C，若n1∥n2，且平面α，β不重合，则有α∥β，C正确； 对于D，若n1·n2＝0，则α⊥β，D正确．故选ACD．] √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为_____． 2 4 3 题号 1 5　[∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量u与平面β的法向量v互相垂直， ∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5．] 5　 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 1．知识链：(1)利用向量证明直线和直线垂直． (2)利用向量证明直线和平面垂直． (3)利用向量证明平面和平面垂直． 2．方法链：转化法、向量法． 3．警示牌：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．两直线垂直的向量表达式是什么？ [提示]　设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． 2．直线和平面垂直的向量表达式是什么？ [提示]　设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n ⇔∃λ∈R，使得u＝λn． 3．平面和平面垂直的向量表达式是什么？ [提示]　设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 4．证明线面垂直有哪些方法？ [提示]　(1)基底法：把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示，然后再证明它们垂直． (2)坐标法，利用线线垂直：建立空间直角坐标系，把直线的方向向量和平面内两条不共线向量用坐标表示，再证明它们垂直． (3)坐标法，利用平面的法向量：建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量的坐标，然后证明它们平行． 整体感知 探究建构 应用迁移 第3课时　空间中直线、平面的垂直 $$