08 第一章 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步课件(人教A版2019)

第一章 空间向量与立体几何 1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时　空间中直线、平面的平行 [学习目标]　1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．(数学抽象) 2．能用向量方法判断或证明线线、线面、面面间的平行关系．(逻辑推理、数学运算) 整体感知 第2课时　空间中直线、平面的平行 牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝，在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道均有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 [讨论交流]　问题1．空间直线、平面平行的向量条件是什么？ 问题2．对比平面的两种向量表示式，能写出线面平行的两种向量条件吗？ 问题3．用向量解决空间线面平行问题的一般步骤是什么？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 探究1　直线与直线平行 探究问题1　由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？ 探究建构 [提示]　平行． 第2课时　空间中直线、平面的平行 [新知生成] 两直线平行的判定方法 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔_______⇔∃λ∈R，使得_________． 【教用·微提醒】　利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． u1∥u2 u1＝λu2 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 [典例讲评]　1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2．求证：MN∥AP． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 [证明]　法一：由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直，如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，N，M，所以＝(－1，0，1)，＝，所以＝，又M∉AP，故MN∥AP． 法二：由题意可得，＝＋＝＋×＝＋＋＝＋＝＝，又M∉AP，所以MN∥AP． 反思领悟　向量法证明线线平行的两种思路 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 [学以致用]　1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1．求证：EF∥AC1． [证明]　如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则A(a，0，0)，C1(0，b，c)， E，F， 所以＝， ＝(－a，b，c)， 所以＝ ， 因为FE与AC1不共线，所以EF∥AC1． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 探究2　直线与平面平行 探究问题2　观察下图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？ [提示]　垂直． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 [新知生成] 直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔______ ⇔__________． u⊥n u·n＝0 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 【教用·微提醒】　(1)证明线面平行的关键是看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直． (2)特别强调直线在平面外． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 【链接·教材例题】 例3　如图1.4-12，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2．线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1? [分析]　根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量，，以及平面ACD1的法向量n等都可以用坐标表示．如果点P存在，那么就有n·＝0，由此通过向量的坐标运算可得结果． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 [解]　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-12所示的空间直角坐标系．因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)， 所以＝(－3，4，0)，＝(－3，0，2)． 设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则n＝0，n·＝0，即 所以 取z＝6，则x＝4，y＝3．所以，n＝(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量． 由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得＝(0，4，0)，＝(－3，0，2)．设点P满足＝λ(0≤λ≤1)，则＝(－3λ，0，－2λ)，所以＝＋＝(－3λ，4，－2λ)． 令n·＝0，得－12λ＋12－12λ＝0，解得λ＝，此时A1P⊄平面ACD1，这样的点P存在．所以，当＝，即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1． [典例讲评]　2．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB． [证明]　如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a． 连接AC，交BD于点G，连接EG， 依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)， E，B(a，a，0)． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 法一：设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 又＝＝， 则有即即 令z＝1，则 所以n＝(1，－1，1)，又＝(a，0，－a)， 所以n＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0． 所以n⊥．又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB． 法二：因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为， 所以＝． 又＝(a，0，－a)， 所以，则PA∥EG． 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB． 法三：假设存在实数λ，μ使得， 即(a，0，－a)＝λ＋μ， 则有解得 所以，又PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB． 反思领悟　利用空间向量证明线面平行的三种方法 (1)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． (3)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 [学以致用]　2．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 [证明]　如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为a(a＞0)，侧棱长为b(b＞0)，则A(0，0，0)，B，B1，C1(0，a，b)，D， 所以＝＝， ＝． 设平面DBC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 所以 不妨令y＝2b，则n＝(0，2b，－a)． 由于·n＝ab－ab＝0，因此⊥n． 又AB1⊄平面DBC1，所以AB1∥平面DBC1． 探究3　平面与平面平行 探究问题3　如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ [提示]　平行． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 [新知生成] 平面和平面平行的判定方法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔_________⇔∃λ∈R，使得____________． 【教用·微提醒】　证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． n1∥n2 n1＝λn2 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 【链接·教材例题】 例2　证明“平面与平面平行的判定定理”：若一 个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这 两个平面平行． 已知：如图1.4-11，a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α． 求证：α∥β． [分析]　设平面α的法向量为n，直线a，b的方向向量分别为u，v，则由已知条件可得n·u＝n·v＝0，由此可以证明n与平面β内的任意一个向量垂直，即n也是β的法向量． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 证明　如图1.4-11，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，v． 因为a∥α，b∥α，所以n·u＝0，n·v＝0． 因为a⊂β，b⊂β，a∩b＝P， 所以对任意点Q∈β，存在x，y∈R，使得＝xu＋yv． 从而n＝n·(xu＋yv)＝xn·u＋yn·v＝0． 所以，向量n也是平面β的法向量．故α∥β． [典例讲评]　3．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 [证明]　由题意知AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)． 所以＝(0，－1，0)，＝(1，1，－1)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－2)，设n1＝(x1，y1，z1)是平面GEF的法向量， 则n1⊥，n1⊥，即 得令z1＝1，则x1＝1，y1＝0，所以n1＝(1，0，1)为平面GEF的一个法向量． 设n2＝(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量，由n2⊥，n2⊥， 得即即 令z2＝1，得x2＝1，y2＝0， 所以n2＝(1，0，1)为平面PBC的一个法向量． 因为n1＝n2，所以平面EFG∥平面PBC． 反思领悟　证明面面平行问题的方法 (1)转化为相应的线线平行或线面平行． (2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 [学以致用]　3．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点， 求证：平面BMN∥平面PCD． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 [证明]　连接BD，PM，因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以BM⊥AD， 又PA＝PD，M为AD的中点，所以PM⊥AD， 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥平面ABCD， 所以以M为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设PA＝PD＝2a，CD＝b， 则B(2a，0，0)，C(b，2a，0)，D(0，2a，0)，P(0，0，2a)，M(0，0，0)，N(0，－a，a)， 所以＝(0，－a，a)，＝(2a，0，0)， ＝(b，2a，－2a)，＝(0，2a，－2a)， 设n1＝(x1，y1，z1)是平面BMN的法向量， n2＝(x2，y2，z2)是平面PCD的法向量， 则由＝0， 得令y1＝1，则x1＝0，z1＝1， 所以n1＝(0，1，1)是平面BMN的一个法向量． 同理，由＝0， 得 令y2＝1，可得x2＝0，z2＝1， 所以n2＝(0，1，1)是平面PCD的一个法向量． 因为n1＝n2，所以平面BMN∥平面PCD． 【教用·备选题】　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 [解]　如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则O， P，A(1，0，0)，B(1，1，0)， D1(0，0，1)， 设Q(0，1，z)，则＝， ＝(－1，－1，1)， 则＝2，所以∥，所以OP∥BD1． 又＝＝(－1，0，z)， 当z＝时，，即AP∥BQ． 又AP∩OP＝P，BQ∩BD1＝B，AP，OP⊂平面PAO，BQ，BD1⊂平面D1BQ， 则有平面PAO∥平面D1BQ． 所以当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO． 1．若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是(　　) A．m＝(3，－1，0)，n＝(－1，0，2) B．m＝(－2，1，4)，n＝(2，0，1) C．m＝(2，9，7)，n＝(－2，0，－1) D．m＝(1，－2，3)，n＝(0，3，1) 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ 第2课时　空间中直线、平面的平行 B　[根据题意，直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，要使l∥α，则m·n＝0， 由此分析选项，对于A，m·n＝－3≠0，不符合题意； 对于B，m·n＝－4＋4＝0，符合题意；对于C，m·n＝－11≠0，不符合题意； 对于D，m·n＝－3≠0，不符合题意． 故选B．] 2 4 3 题号 1 应用迁移 2 3 题号 1 4 √ 2．已知向量a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)，且向量a，b分别为直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A．m＝8，n＝28 B．m＝4，n＝28 C．m＝8，n＝ D．m＝4，n＝ C　[因为l1∥l2，且a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)分别为l1，l2的方向向量，所以＝＝，解得m＝8，n＝．故选C．] 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 3．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为，则m＝________． 2 3 题号 4 1 －8　[∵l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为， ∴向量(2，m，1)与平面α的法向量垂直， 则(2，m，1)＝2＋m＋2＝0，解得m＝－8．] －8 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 4．已知平面α与平面ABC是不重合的两个平面，若平面α的一个法向量为m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，则平面α与平面ABC的位置关系是________． 2 4 3 题号 1 平行　[根据题意，平面α的一个法向量为m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，则有m＝2×2－4＝0，则m⊥，同理m＝2－6＋4＝0， 则m⊥，故m也是平面ABC的法向量，必有平面α∥平面ABC．] 平行 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 1．知识链：(1)利用向量证明直线和直线平行． (2)利用向量证明直线和平面平行． (3)利用向量证明平面和平面平行． 2．方法链：坐标法、转化化归． 3．警示牌：利用向量证明直线和平面平行，不要忽略直线不在平面内的条件． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．两直线平行的向量表达式是什么？ [提示]　设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔μ1∥μ2 ⇔∃λ∈R，使得μ1＝λμ2． 2．直线和平面平行的向量表达式是什么？ [提示]　设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，且l⊄α，则l∥α⇔μ⊥n⇔μ·n＝0． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 3．平面和平面平行的向量表达式是什么？ [提示]　设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔ ∃λ∈R，使得n1＝λn2． 4．证明线面平行有哪些方法？ [提示]　(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　空间中直线、平面的平行 $$