06 第一章 1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步课件(人教A版2019)

第一章 空间向量与立体几何 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [学习目标]　1．掌握空间向量运算的坐标表示．(数学运算) 2．掌握空间两点间的距离公式，并会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．(数学运算、逻辑推理) 整体感知 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 (教师用书) 　　在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上，在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1 kg的砝码，天平平衡．3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1，F2，F3)，若3根细绳两两之间的夹角均为．若不考虑秤盘和细绳本身的质量，你知道F1，F2，F3的大小分别是多少吗？ 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [讨论交流]　 问题1．如何用坐标来表示空间向量的运算？ 问题2．如何用坐标来表示空间向量平行和垂直的条件、模和夹角的计算公式？ 问题3．空间两点间的距离公式是什么？ 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 探究1　空间向量的坐标运算 探究问题1　设平面向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b，a－b，λa，a·b的运算结果分别是什么？ 探究建构 [提示]　a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)；a－b＝(a1－b1，a2－b2)；λa＝(λa1，λa2)；a·b＝a1b1＋a2b2． 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 探究问题2　你能由平面向量运算的坐标表示类比得出空间向量运算的坐标表示吗？若能，请尝试证明． [提示]　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．证明如下：设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则a＝a1i＋a2 j＋a3k，b＝b1i＋b2 j＋b3k，所以a±b＝(a1±b1)i＋(a2±b2) j＋(a3±b3)k＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)， λa＝λ(a1i＋a2 j＋a3k)＝λa1i＋λa2 j＋λa3k＝(λa1，λa2，λa3)， a·b＝(a1i＋a2 j＋a3k)·(b1i＋b2 j＋b3k)＝a1b1＋a2b2＋a3b3 (由数量积的分配律及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0得)． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [新知生成] 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 2．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝_____________________. 即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标______起点坐标． 减去 (x2－x1，y2－y1，z2－z1) 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 【教用·微提醒】　(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． (2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [典例讲评]　1．(1)已知两个向量a＝(－1，0，1)，b＝(－2，1，1)，则a＋2b＝______________． (2)已知点A(0，1，0)，点B(2，3，2)，向量＝，则点C的坐标为___________． (1)(－5，2，3)　(2)(1，2，1)　[(1)2b＝(－4，2，2)，a＋2b＝(－1－4，0＋2，1＋2)＝(－5，2，3)． (2)设C(x，y，z)，则＝(x，y－1，z)，而＝(2，2，2)＝(1，1，1)，故x＝1，y＝2，z＝1，故点C的坐标为(1，2，1)．] (－5，2，3) (1，2，1) 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 反思领悟　空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量或点的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [学以致用]　1．在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5)． (1)求顶点B，C的坐标； (2)求·； (3)若点P在AC上，且＝，求点P的坐标． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [解]　(1)设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，所以＝(x－2，y＋5，z－3)，＝(x1－x，y1－y，z1－z)． 因为＝(4，1，2)，所以解得 所以点B的坐标为(6，－4，5)． 因为＝(3，－2，5)，所以解得 所以点C的坐标为(9，－6，10)． (2)因为＝(－7，1，－7)， 所以·＝－21－2－35＝－58． (3)设P(x2，y2，z2)，则＝(x2－2，y2＋5，z2－3)， ＝(9－x2，－6－y2，10－z2)， 于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝(9－x2，－6－y2，10－z2)， 所以解得 故点P的坐标为． 探究2　空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 探究问题3　设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？对于空间向量是不是也有类似的结论？ [提示]　a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．对于空间向量也有类似结论． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [新知生成] 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔_____________________________ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔____________________(a，b均为非零向量) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 【教用·微提醒】　(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔＝＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 考向1　由平行、垂直关系求参数 [典例讲评]　 2．在正方体ABCD-­A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3，若PQ⊥AE，，求λ的值． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [解]　如图所示，以点D为原点，分别以的方 向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体 的棱长为1，则A(1，0，0)，B(1，1，0)， B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，D(0，0，0)，由题意，可设点P 的坐标为(a，a，1)，因为3，所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，所以3a－3＝－a，解得a＝，所以点P的坐标为．由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，因为PQ⊥AE，所以＝0，所以＝0，即－＝0，解得b＝，所以点Q的坐标为．因为，所以(－1，－1，0)＝λ，所以＝－1，故λ＝－4． [母题探究] 1．若本例中删掉3，将“PQ⊥AE”改为“B1Q⊥EQ”，其他条件不变，结果如何？ [解]　以点D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，点Q的坐标为(c，c，0)，因为B1Q⊥EQ，所以＝0，所以(c－1，c－1，－1)·＝0，即c(c－1)＋c(c－1)＋＝0，4c2－4c＋1＝0，解得c＝，所以点Q的坐标为，所以点Q是线段BD的中点，所以，故λ＝－2． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 2．本例中，若点G是A1D的中点，点H在平面Dxy上，且GH∥BD1，试判断点H的位置． [解]　以点D为原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1， 因为点G是A1D的中点，所以点G的坐标为， 因为点H在平面Dxy上，设点H的坐标为(m，n，0)， 因为＝，＝(－1，－1，1)， 且GH∥BD1，所以＝＝，解得m＝1，n＝． 所以点H的坐标为，所以点H为线段AB的中点． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 反思领悟　判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [学以致用]　2．已知A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，点P(x，y，1)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为___________． (0，1，1)　[∵A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，点P(x，y，1)， ∴＝(1，0，0)，＝(1，－1，0)，＝(x，y－1，1)， ∵PA⊥平面ABC， ∴∴P(0，1，1)．] (0，1，1)　 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 考向2　向量的平行、垂直关系在立体几何证明中的应用 【链接·教材例题】 例2　如图1.3-8，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证EF⊥DA1． [分析]　要证明EF⊥DA1，只要证明⊥， 即证· ＝0．我们只要用坐标表示，， 并进行数量积运算即可． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 证明　不妨设正方体的棱长为1，建立如图1.3-8所示的空间直角坐标系Oxyz，则E，F， 所以＝． 又A1(1，0，1)，D(0，0，0)，所以＝(1，0，1)． 所以＝·(1，0，1)＝0． 所以⊥，即EF⊥DA1． [典例讲评]　3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点．求证：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH； (2)A1G⊥平面EFD． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [证明]　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)．由中点坐标公式，得E，F，G，H． (1)＝(1，0，1)，，． 因为＝0， 所以∥⊥，即⊥EH． (2)． 因为＋0＝0，＝0， 所以⊥⊥⊥DE， 因为DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD． 反思领悟　利用向量的坐标运算证明平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [学以致用]　3．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上边BC的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1．求证：AB1⊥MN． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [证明]　设AB的中点为O，作OO1∥AA1．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知得A， N， ∵M为BC的中点，∴M． ∴＝(1，0，1)， ∴＝0．∴⊥，∴AB1⊥MN． 探究3　夹角和距离的计算 探究问题4　我们已经知道＝是点A(a1，a2，a3)到原点O(0，0，0)的距离． 如图所示，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，你能猜想出这两点之间的距离公式吗？为什么？ 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [提示]　由|OA|＝＝ ＝， 可以类比猜想得出|P1P2|＝ ＝． 通过推理可以得出其正确性：因为＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，所以＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [新知生成] 1．空间两点间的距离公式：设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2＝||＝__________________________________． 2．空间向量的夹角公式：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos 〈a，b〉＝＝ ． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 【教用·微提醒】　(1)空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，cos θ＝． (2)求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算公式． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 【链接·教材例题】 例3　如图1.3-9，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1＝A1B1，D1F1＝C1D1． (1)求AM的长． (2)求BE1与DF1所成角的余弦值． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [分析]　(1)利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点A，M的坐标，利用空间两点间的距离公式求出AM的长．(2) BE1与DF1所成的角就是，所成的角或它的补角．因此，可以通过，的坐标运算得到结果． [解]　(1)建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系Oxyz，则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为． 于是AM＝ ＝． (2)由已知，得B(1，1，0)，E1，D(0，0，0)，F1， 所以＝－(1，1，0)＝， ＝－(0，0，0)＝，||＝＝． 所以·＝0×0＋＋1×1＝． 所以cos 〈，〉＝＝＝． 所以，BE1与DF1所成角的余弦值是． [典例讲评]　4．(源自湘教版教材)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点． (1)求证：EF⊥CF； (2)求CE的长； (3)求EF与CG所成角的余弦值． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [解]　如图所示，以D为原点，以，的方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G． (1)证明：＝＝． 因为·＝×＋×＋×0＝0， 所以⊥，即EF⊥CF． (2)因为＝， 所以＝＝． (3)由＝及(1)得 ·＝×1＋×0＋×＝． 又＝＝， ＝＝， 所以cos 〈〉＝＝＝． 因此EF与CG所成角的余弦值为． 发现规律　用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什么？ [提示]　(1)根据条件建立适当的空间直角坐标系； (2)写出相关点的坐标，用向量表示相关元素； (3)通过向量的坐标运算求夹角和距离． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [学以致用]　4．(源自北师大版教材)如图所示，三棱柱ABC-A′B′C′中，侧棱与底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝，棱AA′＝2，点M，N分别是A′B′和A′A的中点． (1)求； (2)求cos 〈〉的值； (3)求证：⊥． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [解]　如图所示，以点C为原点，CA，CB， CC′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系． (1)由题意，得B(0，1，0)，N(1，0，1)． 则＝(1，－1，1)， ＝＝． (2)由题意，得B(0，1，0)，C(0，0，0)，A′(1，0，2)，B′(0，1，2)． 因为＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)， 所以＝＝， ＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3， cos 〈〉＝． 故cos 〈〉的值为． (3)证明：由题意，得A′(1，0，2)，B(0，1，0)，C′(0，0，2)，M． 因为＝(－1，1，－2)，， 所以＝(－1)×＋(－2)×0＝0， 即⊥． 1．在空间直角坐标系中，已知点A(1，2，3)，B(3，3，5)，则线段AB的长度为(　　) A．3 B．4 C．2 D．4 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ A　[AB＝＝3．故选A．] 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 2 3 题号 1 4 √ 2．已知向量a＝(1，2，1)，b＝(1，－1，m)，且a·b＝－2，则m＝(　　) A．－1 　　 B．1 　　 C．－2 　　 D．2 A　[由题意，可得a·b＝1×1＋2×(－1)＋1×m＝－2，解得m＝－1．故选A．] 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 3．已知空间向量a＝(－1，m，2)，b＝(－1，2，－1)，若a·b＝－3，则a与b的夹角为(　　) A． 　　B． 　　 C． 　　 D． 2 3 题号 4 1 √ C　[由于向量a＝(－1，m，2)，b＝(－1，2，－1)，若a·b＝1＋2m－2＝－3，则m＝－1．故a＝(－1，－1，2)，b＝(－1，2，－1)，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，由于0≤θ≤π，故θ＝．故选C．] 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 4．与a＝(2，－1，2)共线且满足a·b＝－9的向量b＝______________． 2 4 3 题号 1 (－2，1，－2)　[∵a与b共线，∴可设b＝λa， ∴a·b＝a·λa＝λ·a2＝λ·|a|2＝λ·()2＝9λ＝－9， ∴λ＝－1．∴b＝－a＝(－2，1，－2)．] (－2，1，－2) 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 1．知识链：(1)向量的坐标运算． (2)向量的坐标表示的应用． 2．方法链：直接法，类比、转化，待定系数法． 3．警示牌：(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等． (2)求异面直线所成的角时易忽略范围，讨论向量夹角易忽略向量共线的情况． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何用空间向量的坐标运算表示平行、垂直、模及夹角？ [提示]　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos 〈a，b〉＝＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 2．你是如何用空间向量的坐标运算来研究平行、垂直、夹角和距离的？ [提示]　(1)根据条件建立适当的空间直角坐标系； (2)求出相关点的坐标，用向量表示相关元素； (3)通过向量的坐标运算研究平行、垂直、夹角和距离． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 $$