05 第一章 1.3.1 空间直角坐标系-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步课件(人教A版2019)

第一章 空间向量与立体几何 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 [学习目标]　1．了解空间直角坐标系．(数学抽象) 2．能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．(数学运算) 整体感知 1.3.1　空间直角坐标系 (教师用书) 在直线上建立数轴后，就可以用一个数刻画点在直线上的位置；平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量，引进了平面向量的坐标．空间向量是否可以引进类似的坐标？ 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 [讨论交流]　 问题1．如何类比平面直角坐标系，理解空间直角坐标系？ 问题2．在空间直角坐标系中，点和向量的坐标是如何定义的？ 问题3．在空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？ 问题4．在空间直角坐标系中，点和向量的坐标的求解步骤是什么？ 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 探究1　空间直角坐标系及点的坐标 探究问题1　利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系？类似地，如何建立空间直角坐标系？ 探究建构 [提示]　在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，这样就建立了一个平面直角坐标系．类似地，在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}来建立空间直角坐标系． 1.3.1　空间直角坐标系 [新知生成] 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：________________，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系． x轴、y轴、z轴 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 (2)有关概念 坐标轴 __轴、__轴、__轴 原点 点__ 坐标向量 __，__，__ 坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成__个部分 x y z O i j k 八 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 (3)建系的常用规则 ①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°． ②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向____的正方向，食指指向____的正方向，如果中指指向____的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． x轴 y轴 z轴 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 2．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定， 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝___________．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组__________，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的______，y叫做点A的______，z叫做点A的______． xi＋yj＋zk (x，y，z) 横坐标 纵坐标 竖坐标 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 3．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z)   点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 【教用·微提醒】　(1)基向量满足：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0． (2)建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 [典例讲评]　1．在棱长均为2a的正四棱锥P-ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出正四棱锥P-ABCD各顶点的坐标； (2)写出棱PB的中点M 的坐标． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 [解]　如图，连接AC，BD交于点O，连接PO． ∵四棱锥P-ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a， ∴四边形ABCD为正方形，且PO⊥平面ABCD． ∴OA＝a， PO＝＝＝a． ∴以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． (1)正四棱锥P-ABCD中各顶点坐标分别为A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，D(0，－a，0)，P(0，0，a)． (2)∵M为棱PB的中点， ∴M， 即M． [母题探究]　本例条件不变，写出棱PD中点的坐标，写出AB中点的坐标． [解]　设PD的中点为N，由(1)知N， 即N， 设AB的中点为E，由(1)知E， 即E ． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 反思领悟　1．若已给出坐标系，不用再建系，若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则： (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内． (2)充分利用几何图形的对称性． 2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)进而确定第三个坐标． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 [学以致用]　1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点M是点N(3，4，5)在坐标平面Oxy内的射影，则点M的坐标是(　　) A．(3，0，5)　　　　　 B．(0，4，5) C．(3，4，0) D．(0，0，5) C　[根据题意，点N(3，4，5)在坐标平面Oxy内的射影为(3，4，0)， 结合空间中点的坐标运算可得点M的坐标是(3，4，0)．故选C．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 2．画一个正方体ABCD-A1B1C1D1，以A为坐标原点，棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，取正方体的棱长为单位长度． (1)求各顶点的坐标； (2)求棱CC1的中点M的坐标； (3)求四边形AA1B1B的对角线的交点N的坐标． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 [解]　(1)由题意可知，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)． (2)由(1)可知棱CC1的中点M的坐标为． (3)由(1)可知四边形AA1B1B的对角线的交点N的坐标为． 探究2　空间点的对称问题 [典例讲评]　2．(多选)下列关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1，2，3)的说法，正确的有(　　) A．线段OP的中点的坐标为 B．点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3) C．点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1，2，－3) D．点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(1，2，－3) √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 AD　[由题意可知线段OP的中点的坐标为，所以A中说法正确； 点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，所以B中说法错误； 点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，所以C中说法错误； 点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(1，2，－3)，所以D中说法正确．故选AD．] 发现规律　点P(x，y，z)关于坐标轴、坐标平面对称的点P′的坐标与点P的坐标有什么关系？ [提示]　关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反，如点(x，y，z)关于y轴的对称点为(－x，y，－z)，关于Ozx平面的对称点为(x，－y，z)． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 [学以致用]　3．点A(3，4，5)关于坐标平面Oyz对称的点B的坐标 为(　　) A．(3，4，－5) B．(－3，4，5) C．(－3，4，－5) D．(－3，－4，－5) B　[关于坐标平面Oyz对称的点，横坐标变换为其相反数，纵坐标、竖坐标不变． 即点A(3，4，5)关于坐标平面Oyz对称的点B的坐标为(－3，4，5)．故选B．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 4．(多选)在空间直角坐标系中，点P的坐标为(－4，1，2)，则下列说法正确的是(　　) A．点P关于原点对称的点是(4，－1，－2) B．点P关于x轴对称的点是(4，1，2) C．点P关于Ozx平面对称的点是(－4，－1，2) D．点P关于点(1，1，1)对称的点是(－9，1，3) √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 AC　[在空间直角坐标系中，点P(－4，1，2)， 对于A，点P关于原点对称的点的坐标是P1(4，－1，－2)，A正确； 对于B，点P关于x轴对称的点的坐标是P2(－4，－1，－2)，B错误； 对于C，点P关于Ozx平面对称的点的坐标是P3(－4，－1，2)，C正确； 对于D，点P关于点(1，1，1)对称的点的坐标是P4(2－(－4)，2－1，2－2)＝(6，1，0)，D错误．故选AC．] 【教用·备选题】 1．已知点A(－2，3，4)，则点A关于原点的对称点的坐标为(　　) A．(2，3，4)　　　　 B．(－2，－3，4) C．(－2，3，－4) D．(2，－3，－4) D　[在空间直角坐标系Oxyz中，点A(－2，3，4)关于原点的对称点坐标为(2，－3，－4)．故选D．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 2．在空间直角坐标系中，点(3，1，－2)关于Ozx平面的对称点的坐标为(　　) A．(－3，1，2)　　　 B．(－3，－1，2) C．(－2，1，3) D．(3，－1，－2) D　[点(3，1，－2)关于Ozx平面的对称点的坐标为(3，－1，－2)．故选D．] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 3．在空间直角坐标系中，O为原点，已知点P(1，2，－1)，A(0，1，2)，则(　　) A．点P关于点A的对称点为(2，3，－4) B．点P关于x轴的对称点为(1，－2，－1) C．点P关于y轴的对称点为(－1，2，1) D．点P关于Oxy平面的对称点为(1，－2，1) √ 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 C　[由中点坐标公式可知，点P(1，2，－1)关于A(0，1，2)的对称点的坐标是(－1，0，5)，所以A不正确；点P关于x轴的对称点为(1，－2，1)，所以B不正确； 点P关于y轴的对称点为(－1，2，1)，所以C正确； 点P关于Oxy平面的对称点为(1，2，1)，所以D不正确．故选C．] 探究3　空间向量的坐标 探究问题2　在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，＝xi＋yj，那么向量的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交基底，＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量的坐标是什么？点A的坐标是什么？ [提示]　(x，y，z)　(x，y，z) 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 [新知生成] 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝__________． (x，y，z) 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 【链接·教材例题】 例1　如图1.3-6，在长方体OABC-D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝2，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． (1)写出D′，C，A′，B′四点的坐标； (2)写出向量，，，的坐标． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 [解]　 (1)点D′在z轴上，且OD′＝2，所以＝0i＋0 j＋2k．所以点D′的坐标是(0，0，2)． 同理，点C的坐标是(0，4，0)． 点A′在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D′，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点A′的坐标是(3，0，2)． 点B′在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D′，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点B′的坐标是(3，4，2)． (2)＝＝0i＋4 j＋0k＝(0，4，0)； ＝－＝0i＋0 j－2k＝(0，0，－2)； ＝＋＝－3i＋4 j＋0k＝(－3，4，0)； ＝＋＝－3i＋4 j＋2k＝(－3，4，2)． [典例讲评]　3．(源自湘教版教材)在长方体ABCD-A′B′C′D′中，已知AB＝4，AD＝2，AA′＝4，建立适当的空间直角坐标系． (1)求点C′的坐标； (2)求的坐标． [解]　(1)如图所示，以点A为原点，分别以，的方向为正方向，均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ＝2 j，＝4k， 又＝＋ ＝＋ ＝4i＋2 j＋4k， 所以点C′的坐标为(4，2，4)． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 (2)因为＝4k， ＝＋ ＝2 j＋4k， 所以 ＝ － ＝2 j＋4k－4k＝2 j， 因此＝(0，2，0)． 反思领悟　用坐标表示空间向量的步骤 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 [学以致用]　5．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标． [解]　建立如图所示的空间直角坐标系，设＝4i＋0 j＋0k＝(4，0，0)． ＝0i＋4 j＋4k＝(0，4，4)． ＝－4i＋4 j＋4k＝(－4，4，4)． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 1．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于y轴对称点的坐标 是(　　) A．(－1，2，3) B．(－1，－2，－3) C．(－1，2，－3) D．(1，－2，－3) 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ B　[在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于y轴对称的点坐标为(－1，－2，－3)．故选B．] 1.3.1　空间直角坐标系 2 3 题号 1 4 √ 2．如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为(　　) A．(3，5，4) B． C． D． C　[设点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1，P2，P3(图略)，它们在坐标轴上的坐标分别是，5，4，故点P的坐标是．] 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 3．如图所示，在空间直角坐标系Oxyz中，已知长方体OABC-O′A′B′C′，OA＝3，OC＝4，OO′＝2，则点O′的坐标为________，点A′的坐标为__________，点B′的坐标为__________． 2 3 题号 4 1 (0，0，2) (3，0，2) (3，4，2) 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 (0，0，2)　(3，0，2)　(3，4，2)　[点O′在z轴上，且OO′＝2，则它的竖坐标为2，又它的横坐标和纵坐标都为0，所以点O′的坐标为(0，0，2)． 点A′在Ozx平面内，则它的纵坐标为0．点A′在x轴、z轴上的射影依次为点A、点O′，又OA＝3，OO′＝2，所以点A′的横坐标和竖坐标依次为3，2，即点A′的坐标为(3，0，2)． 点B′在x轴、y轴和z轴上的射影依次为点A、点C和点O′，所以点B′的坐标为(3，4，2)．] 2 3 题号 4 1 2 4 3 题号 1 4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为____________，的坐标为____________． (1，0，0)　(1，0，1)　[由题图可知，设{}为单位正交基底{i，j，k}，则＝1i＋0 j＋0k＝(1，0，0)， ＝1i＋0 j＋1 k＝(1，0，1)．] (1，0，0) (1，0，1) 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 1．知识链：(1)空间直角坐标系的概念． (2)空间点的坐标． (3)空间向量的坐标． 2．方法链：数形结合、类比联想． 3．警示牌：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．在空间几何图形中如何建立空间直角坐标系？ [提示]　(1)观察图形，寻找两两垂直的三条直线，必要时作辅助线． (2)让尽量多的点落在坐标轴或坐标平面内． (3)充分利用几何图形的对称性． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 2．如何确定空间一点P的坐标？ [提示]　先将P投射(沿与z轴平行的方向)到Oxy平面上的一点P1，由P1P的长度及与z轴正方向的异同确定竖坐标z，再在Oxy平面上同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x，纵坐标y，最后得出点P的坐标(x，y，z)． 3．如何求空间向量的坐标？ [提示]　在空间直角坐标系中，把向量用单位正交基底{i，j，k}表示，从而求出空间向量的坐标． 整体感知 探究建构 应用迁移 1.3.1　空间直角坐标系 $$