02 第一章 1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步课件(人教A版2019)

第一章 空间向量与立体几何 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 第2课时　共线向量与共面向量 [学习目标]　1．理解向量共线、向量共面的定义．(数学抽象) 2．掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件．(数学运算、逻辑推理) 3．会证明空间三点共线、四点共面．(逻辑推理) 整体感知 第2课时　共线向量与共面向量 (教师用书) 李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．以上三个位移是同一个平面内的向量吗？为什么？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 [讨论交流]　 问题1．空间向量共线的充要条件和平面向量有区别吗？为什么？ 问题2．直线的方向向量和共面向量是如何定义的？ 问题3．空间向量共面的充要条件是什么？ 问题4．类比三点共线的条件，可得到四点共面的条件是什么？ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 探究1　空间向量共线的充要条件 探究问题1　平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 探究建构 [提示]　对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．该充要条件也适用于空间向量． 第2课时　共线向量与共面向量 [新知生成] 1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使________． 2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取 __________，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量 的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa． 我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的________．这样，直线l 上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定． a＝λb 非零向量a 方向向量 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 【教用·微提醒】　(1)0与空间任意向量a都是共线向量． (2)向量共线的充要条件中的b≠0不可去掉，否则实数λ可能不唯一． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 [典例讲评]　1．(1)已知A，B，C三点共线，O为直线外空间任意一点，若，则m＋n＝_____． (2)如图，已知M为四面体ABCD的面BCD的重心， 连接BM并延长交CD于点E，G为AM的中点， N在AE上，且，且B，G，N三点共线． 试求λ的值． 1 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 (1)1　[由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得，即＝λ，所以＝(1－λ)，所以m＝1－λ，n＝λ，所以m＋n＝1．] (2)[解]　设＝c， 所以＋× ＝＋＝(a＋b＋c)． 所以＋＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c． ＋λ＝－a＋λb＋λc． 因为B，G，N三点共线，故存在实数k，使， 即－a＋b＋c＝k， 故解得k＝，λ＝． 发现规律　证明空间三点共线有哪些方法？ [提示]　对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线： (1)存在实数λ，使成立． (2)对空间任一点O，有(x＋y＝1)． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 [学以致用]　1．如图所示，在正方体ABCD-­A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且点F在对角线A1C上，且．求证：E，F，B三点共线． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 [证明]　连接EF，FB(图略)． 因为＝ ＝－＝， ＝ ＝，所以，所以∥． 又EF∩FB＝F，所以E，F，B三点共线． 探究2　空间向量共面的充要条件 探究问题2　空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？ [提示]　不一定．如图所示，空间中的三个向量不共面． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 [新知生成] 1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA____________或__________，那么称向量a平行于平面α． 2．共面向量 定义 平行于同一个____的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在____的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 平行于平面α 在平面α内 平面 唯一 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 【教用·微提醒】　向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 【链接·教材例题】 例1　如图1.1-9，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使＝＝＝＝k．求证：E，F，G，H四点共面． [分析]　欲证E，F，G，H四点共面，只需证明共面．而由已知共面，可以利用向量运算由共面的表达式推得共面的表达式． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 [证明]　因为＝＝＝＝k，所以． 因为四边形ABCD是平行四边形，所以． 因此　 ＝k＝k ＝． 由向量共面的充要条件可知，共面，又过同一点E，从而E，F，G，H四点共面． [典例讲评]　2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 [证明]　设＝c，则＝b－a， ∵M为线段DD1的中点，∴a，又∵AN∶NC＝2∶1， ∴(b＋c)， ∴(b＋c)－a ＝(b－a)＋， ∴为共面向量． 又∵三向量有相同的起点A1，∴A1，B，N，M四点共面． 反思领悟　证明空间三个向量共面或四点共面的方法 1．证明向量共面的方法：，则共面． 2．证明点P在平面ABC内(即点P，A，B，C共面)的方法： (1)若，则点P在平面ABC内． (2)若对空间任意一点O，有，则点P在平面ABC内． (3)若对空间任意一点O，有(其中x＋y＋z＝1)，则点P在平面ABC内． 上述中的x，y，z均为实数． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 [学以致用]　2．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE． 求证：向量共面． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 [证明]　因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋．同理，＝＋． 所以＝＋＋＋＝＋＝＋． 又不共线，根据向量共面的充要条件可知共面． 【教用·备选题】　对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式，求证：点P在平面ABC内的充要条件是x＋y＋z＝1． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 [证明]　①充分性． ∵可变形为＝(1－y－z)， ∴＝y＋z， ∴， ∴点P与A，B，C共面． ②必要性． ∵点P在平面ABC内，A，B，C三点不共线， ∴存在有序实数对(m，n)，使， ＝m＋n， ∴＝(1－m－n)， ∵，点O在平面ABC外， ∴不共面， ∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n， ∴x＋y＋z＝1． 1．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ A　[由三个向量共面的充要条件可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量．] 第2课时　共线向量与共面向量 2．下列命题正确的是(　　) A．用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面 B．若存在实数x，y，使得不共线)，则与共面 C．共面的三个向量的起点和终点一定共面 D．若向量a，b共线，且b与c共线，则a与c共线 2 3 题号 1 4 √ 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 B　[空间中，用有向线段表示的向量仍然是自由向量，而任意两个向量总是共面向量，故A错误； 当共线时，共面，当不共线时，由向量共面的充要条件，可知共面，B正确； 若其中两个向量是平行向量，第三个向量与其中一个向量有相同的起点，则这三个向量一定是共面向量，但这三个向量的起点和终点却可以不共面，故C错误； 向量a，b共线，且b，c共线，但a与c不一定共线，因为b可以为零向量．故D错误．] 2 3 题号 1 4 3．三个向量xa－yb，yb－zc，zc－xa的关系是________．(填“共面”“不共面”“无法确定是否共面”) 2 3 题号 4 1 共面　[因为xa－yb，yb－zc，zc－xa也是三个向量，且有zc－xa＝－(yb－zc)－(xa－yb)，所以三个向量共面．] 共面 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 4．若a与b不共线，而a＋3b与λa－b共线，则实数λ＝________． 2 4 3 题号 1 －　[∵a＋3b与λa－b共线，∴存在实数k，使k(a＋3b)＝λa－b， ∴(k－λ)a＋(3k＋1)b＝0． 又a，b不共线，∴k－λ＝0且3k＋1＝0，∴λ＝－．] －　 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 1．知识链：(1)直线的方向向量．(2)空间向量共线的充要条件．(3)空间向量共面的充要条件．(4)三点共线、四点共面的证明方法． 2．方法链：类比、转化化归． 3．警示牌：向量共线与线段共线、点共线不同，不要混淆． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．向量a与b共线，则一定存在λ使得a＝λb成立吗？ 2．如何证明点P，A，B，C四点共面？ [提示]　当b＝0时，不一定存在λ值． [提示]　可转化为证明向量共面． 整体感知 探究建构 应用迁移 第2课时　共线向量与共面向量 $$