第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷（寒假预科讲义）-2025年高二数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019）

第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高二下·四川凉山·期中）设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 2．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．（5分）（23-24高二下·贵州安顺·期末）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（23-24高二下·青海西宁·期中）已知函数，，若对任意两个不相等正数，，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（23-24高二下·山东东营·期末）已知a为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（23-24高二下·湖南·期中）已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·辽宁·期中）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C． D．设函数且，则 10．（6分）（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．在上是减函数 C．在区间内有2个极值点 D．曲线在点处的切线的斜率大于0 11．（6分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．有三个极值点 B．的最小值为 C．有三个零点 D．曲线存在两条平行的切线 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知函数在上存在导数，且，则 . 13．（5分）（23-24高三上·广西南宁·阶段练习）已知曲线与的公切线为，则实数 . 14．（5分）（2024高三·全国·专题练习）已知函数，对任意，总有成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高二下·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 16．（15分）（23-24高二下·河南·期中）2024年2月23日19时30分，中国航天迎来甲辰龙年首飞．长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星十一号送入预定轨道．竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到100m/s，此后其位移H（单位：m）与时间t（单位；s）近似满足函数关系 (1)分别求火箭在、这些时间段内的平均速度； (2)求火箭在时的瞬时速度﹔ (3)熄火后多长时间火箭上升速度为0． 17．（15分）（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 18．（17分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 19．（17分）（2024高三·全国·专题练习）已知函数（是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元函数的导数及其应用全章综合测试卷 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高二下·四川凉山·期中）设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【解题思路】由导数的概念求解即可得. 【解答过程】. 故选：B. 2．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用复合函数的求导规则计算即可. 【解答过程】． 故选：D. 3．（5分）（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】结合图形，利用曲线上两点所在直线的斜率和过两点的切线斜率的比较即可得到. 【解答过程】    如图，设函数的图象上有两点，经过点的切线分别为, 则直线的斜率依次为 ， 由图知直线的倾斜角满足，， 因函数在上递增，故， 即. 故选：B. 4．（5分）（23-24高二下·贵州安顺·期末）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用指数函数的性质可得，构造函数证明即可比较大小. 【解答过程】令，求导得，即函数在上单调递减， 则，即，因此； 令，求导得， 函数在上单调递增，则，即，因此， 所以. 故选：B. 5．（5分）（23-24高二下·青海西宁·期中）已知函数，，若对任意两个不相等正数，，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知不等式的形式构造新函数，利用新函数的单调性，结合导数的性质进行求解即可. 【解答过程】不妨设，由，得， 令，所以在区间上单调递减， 所以在上恒成立， 即，所以， 即的取值范围是. 故选：D. 6．（5分）（23-24高二下·山东东营·期末）已知a为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由偶函数的定义确定参数的值，再根据导数的几何意义结合导数运算求解即可得切线方程. 【解答过程】因为是偶函数， 所以， 所以，故，， 所以，， 故曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 7．（5分）（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求导，根据在区间上有极值，由在区间上有不等根求解. 【解答过程】解：因为， 所以， 因为函数在区间上有极值， 所以在区间上有变号根， 即在区间上有变号根， 令，则， 令，得或（舍去）， 当时，，递减； 当时，，递增； 所以当时，取得极小值，又，， 所以，则， 又当时，， 递增，无极值， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 8．（5分）（23-24高二下·湖南·期中）已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】变形为有两个实根，变形得到，设，求导得到单调性，进而求出，只需使有两个根，设，求导,即可求解最值得出的取值范围． 【解答过程】要使函数有两个零点，即有两个实根， 即有两个实根， 即，整理为， 设函数，则上式为， 因为恒成立，所以单调递增，所以， 所以只需使有两个根，设， ， 易知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 故函数在处取得极大值，也是最大值，则， 当时，；当时，， 要想有两个根，只需，解得， 即的取值范围是． 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高二下·辽宁·期中）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C． D．设函数且，则 【解题思路】结合导数的求导法则依次求解． 【解答过程】对于A项，，则，故A项正确； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，由，得，故D项错误； 故选：AC. 10．（6分）（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．在上是减函数 C．在区间内有2个极值点 D．曲线在点处的切线的斜率大于0 【解题思路】根据给定的导函数图象，求出函数的单调区间，再逐项分析判断即可. 【解答过程】由图象知，当或时，，当或时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 对于A，，A错误； 对于B，函数在上单调递减，B正确； 对于C，函数在处取得极小值，在处取得极大值，在内有3个极值点，C错误； 对于D，当时，，因此曲线在点处切线的斜率，D正确. 故选：BD. 11．（6分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．有三个极值点 B．的最小值为 C．有三个零点 D．曲线存在两条平行的切线 【解题思路】对函数求导，利用极值点的定义判断A，求出函数的单调区间及极值即可求解最小值判断B，结合函数的单调性利用零点存在性定理判断C，利用导数的几何意义判断D. 【解答过程】， 令，则或或， 令，得或， 令，得或， 故有三个极值点，A正确； 由A项知在区间和上单调递减，在区间和内单调递增， 则的极大值为，极小值为或，所以的最小值为，B正确； ，由B项可知，则有两个零点，C错误； 曲线存在两条平行的切线，即切线的斜率相等，记为， 则存在两个零点，令，则， 令，显然，不妨令的两根为和，且， 则在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 所以曲线存在两条平行的切线，D正确． 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二下·陕西渭南·期中）已知函数在上存在导数，且，则 . 【解题思路】根据条件，利用导数的定义，即可求出结果. 【解答过程】因为， 又，所以， 故答案为：. 13．（5分）（23-24高三上·广西南宁·阶段练习）已知曲线与的公切线为，则实数 . 【解题思路】设切点坐标为，求得切线方程，根据题意，求得，得到切线方程为，再设切点为，结合切点在切线上和，列出方程组，即可求解. 【解答过程】由函数，可得， 设切点坐标为，可得，则切线方程为， 即，与公切线重合，可得， 可得，所以切线方程为， 对于函数，可得，设切点为，则 则 ，解得. 故答案为：. 14．（5分）（2024高三·全国·专题练习）已知函数，对任意，总有成立，则实数的取值范围为 . 【解题思路】根据给的条件可知，等价变形不等式，构造函数，按，分类讨论即可求解. 【解答过程】依题意，，， 显然，则有，于是， 令，求导得， 当，即时，，函数在上单调递增， ，即； 当，即时，当时， ，函数在上单调递减， ，，此时，不符合题意， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（23-24高二下·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【解题思路】根据基本初等函数的求导公式以及导数运算法则即可求解. 【解答过程】（1） . （2） . （3） . （4）方法一 ： . 方法二 ： ， . 16．（15分）（23-24高二下·河南·期中）2024年2月23日19时30分，中国航天迎来甲辰龙年首飞．长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星十一号送入预定轨道．竖直向上发射的火箭熄火时上升速度达到100m/s，此后其位移H（单位：m）与时间t（单位；s）近似满足函数关系 (1)分别求火箭在、这些时间段内的平均速度； (2)求火箭在时的瞬时速度﹔ (3)熄火后多长时间火箭上升速度为0． 【解题思路】（1）根据平均速度代入表达式计算； （2）由函数，可得，根据导函数几何意义可求解； （3）根据题意即求瞬时速度为0时的t的值. 【解答过程】（1）由位移H与时间t近似满足函数关系， 则火箭在这些时间段内的平均速度为； 火箭在这些时间段内的平均速度为：． （2）由函数，可得，可得， 所以火箭在时的瞬时速度为80m/s． （3）由，令，即，解得， 熄火后10s火箭上升速度为0． 17．（15分）（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【解题思路】（1）求导结合曲线在点处的切线方程为，可得，结合，可求； （2）设曲线与过点的切线相切于点，求得切线方程为，利用点在切线上，可得，求解即可求切线方程. 【解答过程】（1），，由曲线在点处的切线方程为， 可得，即，且切点为， 所以，解得，即有，； （2）曲线即为，求导得， 设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率，所以切线方程为， 即，因为点在切线上，所以， 解得或，故所求的切线方程为或． 18．（17分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 【解题思路】（1）当时，求得，得出函数的单调区间，进而求得函数的极值； （2）求得，分和，分类讨论，结合导数的符号，进而得到函数的单调区间. 【解答过程】（1）解：当时，，可得， 令，则；令，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以函数在处取得极小值，无极大值． （2）解：由函数，可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增． 19．（17分）（2024高三·全国·专题练习）已知函数（是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点分别为. ①求实数的取值范围； ②求证：. 【解题思路】（1）根据题意，求导即可得到结果； （2）①根据题意，将问题转化为有两个零点，然后利用导数，分类讨论即可得到的取值范围； ②根据题意，将问题转化为，再由①中的结论，即只需证，然后构造函数求导即可得到证明. 【解答过程】（1）由题意可得，， 当时，，在上单调递增； 当时，由解得，由解得， 所以，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）①等价于有两个零点， 令，则，在时恒成立，∴在时单调递增， ∴有两个零点，等价于有两个零点. ∵ ，∴当时，，单调递增，不可能有两个零点； 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减，∴， 若，得，此时恒成立，没有零点； 若，得，此时有一个零点； 若，得，∵，， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故在上单调递增，所以， 即， ∴在，上各存在一个零点，符合题意， 综上，的取值范围为. ②因为，不等式两边同时取对数化简可得， 要证即证：， 即证，由（2）中①知，，∴只需证. ∵，，∴，， ∴ ，只需证. 设，令， 则，∴只需证 ， 即证 ， 令，，则 ，， 即当时， 成立.∴，即. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$