第06讲 排列与组合（寒假预科讲义）-2025年高二数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019）

第06讲 排列与组合 【人教A版2019】 模块一 排列与排列数 1．排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断， 这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任 取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关 的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有 变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 2．排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 =n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元 素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. 3．全排列和阶乘 (1)全排列 特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n， 即有=n×(n-1)×(n-2)××3×2×1. (2)阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成=n!， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示 ==. 【题型1 有关排列数的计算与证明】 【例1.1】（23-24高二下·吉林通化·期末）若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【例1.2】（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二下·全国·课后作业）计算下列各式． (1)； (2)． 【变式1.2】（24-25高二·江苏·课后作业）求证： (1)； (2)． 【题型2 全排列问题】 【例2.1】（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）现有科普类读物4本，艺术类读物3本，每本图书各不相同，若要将这些图书摆在同一层空书架中，则不同的摆放方法数为（    ） A．12 B．64 C．81 D．5040 【变式2.1】（23-24高二下·北京大兴·期末）有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天，其中同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的不同编排方案种数为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高二下·重庆长寿·期末）3张卡片的正、反面分别写有数字1和2、3和4、5和6．将这3张卡片排成一排，可构成不同的三位数的个数为（   ） A．120 B．48 C．8 D．6 【题型3 元素（位置）有限制的排列问题】 【例3.1】（2024·江西新余·模拟预测）甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二下·内蒙古·期中）从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 【变式3.1】（23-24高二下·北京延庆·期中）现要从这5人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？（    ） A．300 B．120 C．96 D．72 【变式3.2】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 【题型4 相邻、不相邻的排列问题】 【例4.1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（   ） A．192 B．240 C．360 D．720 【例4.2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为（    ） A．432 B．864 C．1728 D．2592 【变式4.1】（23-24高二下·广东·期中）某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（    ） A．960种 B．836种 C．816种 D．720种 【变式4.2】（23-24高二下·青海西宁·期末）哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．288 模块二 组合与组合数 1．组合 (1)组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关， 无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. (3)排列与组合的联系与区别 联系：都是从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可 以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 2．组合数与组合数公式 (1)组合数 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式 ①连乘表示： ==. 这里，n,m∈，并且mn. ②阶乘表示：=. 规定：=1. 3．组合数的性质 (1)性质1：= 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素后， 剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当m>时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2：=+ 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：=+. 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 【题型5 有关组合数的计算与证明】 【例5.1】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）若，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或3 【例5.2】（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）若，则的值为（   ） A．286 B．285 C．219 D．218 【变式5.1】（23-24高二下·天津河西·期中）（1）证明：组合数性质； （2）计算：（用数字作答）． 【变式5.2】（24-25高二上·上海·假期作业）解方程： (1)； (2)解方程：. 【题型6 组合计数问题】 【例6.1】（24-25高二下·全国·课后作业）从，，，，，，这个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例6.2】（24-25高二下·全国·课后作业）某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 【变式6.1】（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，轴正半轴上有4个点，轴正半轴上有6个点，将轴上的4个点和轴上的6个点连成24条线段，这24条线段在第一象限内的交点最多有（ ）个 . A．90 B．85 C．80 D．75 【变式6.2】（23-24高二下·湖北宜昌·阶段练习）从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为（    ） A．240 B．216 C．180 D．108 【题型7 分组分配问题】 【例7.1】（2024高三·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁4名同学去三个敬老院做志愿者，每人只去一个敬老院，每个敬老院都要有人去．若甲不去敬老院，乙不去敬老院，则不同的分配方式共有（     ） A．12种 B．17种 C．21种 D．24种 【例7.2】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（    ） A．60种 B．54种 C．48种 D．36种 【变式7.1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（    ） A．45种 B．90种 C．150种 D．240种 【变式7.2】（23-24高二下·安徽安庆·期中）某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（    ） A．360种 B．336种 C．216种 D．120种 【题型8 排列、组合的综合问题】 【例8.1】（24-25高二下·全国·课后作业）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【例8.2】（23-24高二下·湖北武汉·期中）混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品．现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束． (1)一共抽取了4次检测结束，有多少种不同的抽法? (2)若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法?（要求：解答过程要有必要的说明和步骤） 【变式8.1】（24-25高二·全国·课后作业）已知10件不同的产品中有4件次品，现对这10件产品一一进行测试，直至找到所有次品. (1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第8次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试6次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 【变式8.2】（23-24高二下·北京东城·期末）某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛. 某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单. (1)一共有多少种不同的出场阵容？ (2)若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？ 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）的值是（   ） A．480 B．520 C．600 D．1320 2．（23-24高二下·江苏·期中）若，则的值为（    ） A．54 B．55 C．164 D．165 3．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（    ） A．128种 B．96种 C．72种 D．48种 4．（23-24高二下·河北·阶段练习）暑期将至，甲､乙､丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为（    ） A．540 B．720 C．1080 D．1170 5．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”，为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 6．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（   ）种 A．114 B．120 C．126 D．132 7．（23-24高二上·河南·期末）2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲､乙､丙､丁､戊五名同学排成一排合影留念，其中甲､乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 8．（23-24高二下·四川广元·阶段练习）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ） A．450种 B．360种 C．90种 D．70种 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·课后作业）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种排列方式． B．若两个“将”相邻，则有24种排列方式． C．若两个“将”不相邻，则有36种排列方式． D．若同色棋子不相邻，则有12种排列方式． 11．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（    ） A．可组成300个不重复的四位数 B．可组成156个不重复的四位偶数 C．可组成120个能被5整除的不重复四位数 D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数字为2301 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）若，则 . 13．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）根据学校要求，错峰放学去食堂吃饭，高三年级五楼有4个班排队，1班不能排在最后，4班不能排在第一位，则四个班排队吃饭的不同方案有 种.（用数字作答） 14．（24-25高二上·全国·课后作业）某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展消防安全宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法共有 种．（用数字作答） 四、解答题 15．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)解方程：. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）有3名男生和4名女生相约一起去观看电影，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的排法有多少种？ (2)女生互不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的排法有多少种？ 17．（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派 5人外出参加比赛. (1)队长中至少有1人参加，有多少种选派方法? (2)参赛的运动员需要分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)，有多少种安排方式? 18．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）有0，1，2，3，4五个数字（每小问均须用数字作答）. (1)可以排成多少个三位数？ (2)求满足下列条件的五位数个数（无重复数字）. （i）左起第二、四位数是偶数的奇数. （ii）比大的偶数. 19．（23-24高二下·广东佛山·期中）一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球． (1)从中任取4个球，红球的个数不比白球个数少的取法有多少种？ (2)将4个不同的红球，分给甲、乙两人，每人至少分得1个球，则共有多少种不同的分配方法？ 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 排列与组合 【人教A版2019】 模块一 排列与排列数 1．排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断， 这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任 取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关 的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有 变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 2．排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 =n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元 素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. 3．全排列和阶乘 (1)全排列 特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n， 即有=n×(n-1)×(n-2)××3×2×1. (2)阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成=n!， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示 ==. 【题型1 有关排列数的计算与证明】 【例1.1】（23-24高二下·吉林通化·期末）若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【解题思路】根据排列数得到方程，求出答案. 【解答过程】由，得，解得． 故选：D． 【例1.2】（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解. 【解答过程】易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高二下·全国·课后作业）计算下列各式． (1)； (2)． 【解题思路】（1）（2）利用排列数的计算公式直接计算即可得结果. 【解答过程】（1）； （2）. 【变式1.2】（24-25高二·江苏·课后作业）求证： (1)； (2)． 【解题思路】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立； （2）利用排列数公式化简可证得等式成立. 【解答过程】（1）证明：. （2）证明：. 【题型2 全排列问题】 【例2.1】（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用捆绑法结合分步乘法计数原理求解即可. 【解答过程】首先，甲、乙、丙3人站在一起，对其全排列，共有种不同的站法， 然后我们把他们捆绑为一个整体， 再对这个整体和其他个人全排列，共有种不同的站法， 所以甲、乙、丙站在一起的不同站法种数为，故D正确. 故选：D. 【例2.2】（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）现有科普类读物4本，艺术类读物3本，每本图书各不相同，若要将这些图书摆在同一层空书架中，则不同的摆放方法数为（    ） A．12 B．64 C．81 D．5040 【解题思路】把7本不同的书全排列，结合组合数运算求解. 【解答过程】根据题意可知：即把7本不同的书全排列， 所以不同的摆放方法数为. 故选：D. 【变式2.1】（23-24高二下·北京大兴·期末）有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天，其中同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的不同编排方案种数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】只需安排其余名同学到除周三的另外四天值日，每人值日一天，利用排列数公式计算可得. 【解答过程】依题意只需安排其余名同学到除周三的另外四天值日，每人值日一天， 故有种不同安排方案. 故选：B. 【变式2.2】（23-24高二下·重庆长寿·期末）3张卡片的正、反面分别写有数字1和2、3和4、5和6．将这3张卡片排成一排，可构成不同的三位数的个数为（   ） A．120 B．48 C．8 D．6 【解题思路】结合题意根据分步乘法计数原理求解即可. 【解答过程】“组成三位数”这件事，分2步完成： 第1步：确定排在百位、十位、个位上的卡片，即3个元素的一个全排列； 第2步：分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法. 根据分步乘法计数原理，共可以得到不同的三位数个. 故选：B. 【题型3 元素（位置）有限制的排列问题】 【例3.1】（2024·江西新余·模拟预测）甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【解题思路】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙在最左端的有种，然后加上甲在中间和乙在最左端的有种. 【解答过程】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙排最左端的有种， 然后加上甲在中间和乙在最左端的有种， 则共有种排法. 故选：D. 【例3.2】（23-24高二下·内蒙古·期中）从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 【解题思路】分甲被选中和甲没被选中两种情况，结合排列数公式即可求解. 【解答过程】当甲被选中时，不同的选派方案有种； 甲没被选中时，不同的选派方案有种. 故满足条件的不同的选派方案有种. 故选：B. 【变式3.1】（23-24高二下·北京延庆·期中）现要从这5人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？（    ） A．300 B．120 C．96 D．72 【解题思路】由分类计数加法原理计算即可． 【解答过程】若未被选中，则有种安排方法， 若被选中，则有种安排方法， 故共有种安排方法， 故选：C． 【变式3.2】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 【解题思路】根据捆绑法、特殊位置的排列和插空法计算，依次判断选项即可. 【解答过程】A：如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法，故A错误； B：如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法种数，故B错误； C：如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时，共有种不同的排法种数，故C正确； D：如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中， 此时，共有种不同的排法种数，故D错误. 故选：C． 【题型4 相邻、不相邻的排列问题】 【例4.1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（   ） A．192 B．240 C．360 D．720 【解题思路】根据题意和首位非零的要求，将六位数分成三类，在每一类中，再运用相邻元素捆绑法求出方法数，最后根据分类加法计数原理即可求得. 【解答过程】依题意，可将这样的六位数分成三类： 第一类，首位是1，则第二位必须是4，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法； 第二类，首位是4，则第二位必须是1，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法； 第三类，首位从中人去一个，有种，再将看成一个元素，与另外三个数字在四个位置上全排有种， 再考虑的顺序，有种，故由分步乘法计数原理，有种方法. 由分类加法计数原理可知，这样的六位数共有个. 故选：A. 【例4.2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将五人排成一行形成甲队，要求与相邻，在的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为（    ） A．432 B．864 C．1728 D．2592 【解题思路】先计算甲队的排列总数，分别要用上捆绑法和除序法；然后再利用插空法计算乙队的排列总数，最后利用计数原理计算总的排列方法数即可. 【解答过程】甲队，先用捆绑法，将与捆绑有种，将与看作一个整体，再用除序法得种，利用计数原理可知，一共为种； 乙队，利用插空法得种； 按照计数原理可知，一共种. 故选：C. 【变式4.1】（23-24高二下·广东·期中）某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（    ） A．960种 B．836种 C．816种 D．720种 【解题思路】先捆绑，再全排列后插空得出加工顺序. 【解答过程】先捆绑再和排列，然后插入 共有种排法． 故选：A. 【变式4.2】（23-24高二下·青海西宁·期末）哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．288 【解题思路】相邻问题利用捆绑法，不相邻问题利用插空法，再利用分步计数原理计算. 【解答过程】先将捆绑在一起与排，有种排法，然后在三者排好后形成的4个空中插入两人，有种方法， 由分步计数原理得共有种排列方法.故A，B，D错误. 故选：C. 模块二 组合与组合数 1．组合 (1)组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关， 无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. (3)排列与组合的联系与区别 联系：都是从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可 以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 2．组合数与组合数公式 (1)组合数 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式 ①连乘表示： ==. 这里，n,m∈，并且mn. ②阶乘表示：=. 规定：=1. 3．组合数的性质 (1)性质1：= 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素后， 剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当m>时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2：=+ 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：=+. 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 【题型5 有关组合数的计算与证明】 【例5.1】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）若，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或3 【解题思路】根据组合数公式的性质求解即可. 【解答过程】因为，所以或，解得或. 故选：D. 【例5.2】（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）若，则的值为（   ） A．286 B．285 C．219 D．218 【解题思路】利用组合数性质计算可得答案. 【解答过程】由，得或， 解得（舍）或， 则 . 故选：B. 【变式5.1】（23-24高二下·天津河西·期中）（1）证明：组合数性质； （2）计算：（用数字作答）． 【解题思路】（1）利用组合数公式计算化简可证结论； （2）利用（1）的结论可计算求得答案. 【解答过程】（1）证明：+＝+ ＝＝ ＝＝＝； （2）＝+++…+＝++…+ ＝++…+＝…＝+＝＝＝166650． 【变式5.2】（24-25高二上·上海·假期作业）解方程： (1)； (2)解方程：. 【解题思路】（1）利用组合数的性质可得答案； （2）利用组合数性质、排列数公式计算可得答案. 【解答过程】（1）由原方程得或，∴或， 又把和代入检验，满足， ∴原方程的解为或； （2）原方程可化为，即， ∴， ∴， ∴，解得或， 经检验：是原方程的解. 【题型6 组合计数问题】 【例6.1】（24-25高二下·全国·课后作业）从，，，，，，这个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【解题思路】利用分步乘法计数原理可得. 【解答过程】第一步，从，，，，，，这个数中任选个共有种方法， 第二步，选出的个数中，最小的为，从剩下的4个数中选出个分给，由题意可知，选出后就确定了，共有种方法， 故满足条件的“五位凹数”个， 故选：A. 【例6.2】（24-25高二下·全国·课后作业）某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 【解题思路】结合分类加法和分步乘法计数原理，利用组合数即可求得. 【解答过程】若恰有1名女生参加，则有种， 若恰有2名女生参加，则有种， 所以共有种不同的选派方式． 故选：C. 【变式6.1】（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，轴正半轴上有4个点，轴正半轴上有6个点，将轴上的4个点和轴上的6个点连成24条线段，这24条线段在第一象限内的交点最多有（ ）个 . A．90 B．85 C．80 D．75 【解题思路】任取轴和轴上的两点，可以组成一个四边形，这个四边形的两条对角线有一个交点，这个交点在第一象限内，所以交点的个数就是四边形的个数，再由组合数计算即可； 【解答过程】任取轴和轴上的两点，可以组成一个四边形，这个四边形的两条对角线有一个交点，这个交点在第一象限内， 所以交点的个数就是四边形的个数，即个， 故选：A. 【变式6.2】（23-24高二下·湖北宜昌·阶段练习）从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为（    ） A．240 B．216 C．180 D．108 【解题思路】按照是否取到0进行分类讨论，结合排列组合求解. 【解答过程】按照是否取到0进行分类： ①若从0，2，4中取的2个数字中不含0，则共有个无重复数字的四位数； ②若从0，2，4中取的2个数字中含0，则共有个无重复数字的四位数. 因此满足条件的共有个数. 故选：C. 【题型7 分组分配问题】 【例7.1】（2024高三·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁4名同学去三个敬老院做志愿者，每人只去一个敬老院，每个敬老院都要有人去．若甲不去敬老院，乙不去敬老院，则不同的分配方式共有（     ） A．12种 B．17种 C．21种 D．24种 【解题思路】根据给定条件，按甲去两个敬老院进行分类讨论，结合排列组合列式求解. 【解答过程】4人去3个敬老院，则有1个敬老院会有两个人去， ①若甲去敬老院：当敬老院有两人去，则分配方式有种；当敬老院只有甲去，分配方式有种； ②若甲去敬老院：当乙去敬老院，分配方式有种；当乙也去敬老院，分配方式有种， 所以不同的分配方式共有种． 故选：B. 【例7.2】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（    ） A．60种 B．54种 C．48种 D．36种 【解题思路】分选派2名快递员和选派3名快递员两种情况讨论. 【解答过程】第一：选派2名快递员的时候： 首先，快递员的选法有种不同选法，其中一名快递员从四个区域中选2个区域，有种选法，剩余快递员的选法只有1种， 所以不同安排方案有：种； 第二：选派3名快递员的时候： 先从四个区域中选2个区域，有种选法，将其看做一个区域，现在3个区域安排给三个人有种方法， 所以不同安排方案有：种. 综上，不同安排方案有：种. 故选：B. 【变式7.1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（    ） A．45种 B．90种 C．150种 D．240种 【解题思路】先将5人按照，或进行分组，然后再将3组进行全排列即可. 【解答过程】5名学生分成三组的情况有或， 当为时，则不同的安排方法有种， 当为时，则不同的安排方法有种， 所以，一共有种方法. 故选：C. 【变式7.2】（23-24高二下·安徽安庆·期中）某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（    ） A．360种 B．336种 C．216种 D．120种 【解题思路】对山区的派发人数分类，若派到山区只有甲，剩下教师按人数分组以后计算种数，再减去乙丙教师安排到同一山区的种数，即可得山区只派甲的情况的种数，进而求出总的情况数量. 【解答过程】若派到山区有人，则不同的派法有种； 若派到山区只有甲，先把其余人分为四组，每组人数分别为，再将四组教师分配到四个山区，不同派法有种， 其中乙和丙安排到同一山区的情况有种，所以派到山区只有甲的派法有种； 所以不同的派法共有种. 故选：B. 【题型8 排列、组合的综合问题】 【例8.1】（24-25高二下·全国·课后作业）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【解题思路】（1）根据特殊元素优先安排求解即可. （2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的名男学生即可. （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可. 【解答过程】（1）由题意可得共种不同的站法． （2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法， 最后排剩余的名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法． （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 【例8.2】（23-24高二下·湖北武汉·期中）混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品．现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束． (1)一共抽取了4次检测结束，有多少种不同的抽法? (2)若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法?（要求：解答过程要有必要的说明和步骤） 【解题思路】（1）分两种情形：第一种是4次抽到的全是正品，第二种前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，由分类加法原理计算； （2）由题意知第二次抽到的必是正品，第4次抽取的是次品，检测结束，或第4次抽取到正品，第五次再抽取一件（不论正品还是次品）都可以结束，由此计算可得． 【解答过程】（1）有以下两种情况： 4次均为正品，共有种； 前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，共种； 则共有96种． （2）由题意知，第二次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束， 当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有种抽法； 当抽取5次结束时，若第4次抽到正品且第5次抽到正品，则共有种抽法； 若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有种抽法； 共120种抽法． 【变式8.1】（24-25高二·全国·课后作业）已知10件不同的产品中有4件次品，现对这10件产品一一进行测试，直至找到所有次品. (1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第8次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试6次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 【解题思路】（1）需测试8次，按顺序可看作为8个位置，然后利用分步乘法原理求解：第一步，第一个位置放置正品，第二步，选2个次品放在第二和第八个位置，第三步在第三到第7个位置中选2个位置放置剩余的两个次品，其他3个位置放3个正品，再计算可得； （2）由分类加法原理计算：分三类：恰好4次，恰好5次，恰好6次找到所有次品或测6次全是正品． 【解答过程】（1）需测试8次，按顺序可看作为8个位置， 第一步，第一个位置放置正品，第二步，选2个次品放在第二和第八个位置，第三步在第三到第7个位置中选2个位置放置剩余的两个次品，其他3个位置放3个正品，由乘法原理方法数为：； （2）至多6次可分为恰好4次，恰好5次，恰好6次找到所有次品， 恰好4次，即前4次测试都是次品，方法数为； 恰好4次，即第5次是次品，前4次中有3次是次品，方法数为； 恰好6次，即第6次是次品，前5次中有3次是次品或前6次都是正品，方法数为 所以总的测试情况数为： ． 【变式8.2】（23-24高二下·北京东城·期末）某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛. 某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单. (1)一共有多少种不同的出场阵容？ (2)若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？ 【解题思路】（1）根据分步计数原理，先安排前两场比赛人员，再安排第三场的比赛人员； （2）从队员A上场和不上场来分类，分别求解，再利用分类加法原理可得答案. 【解答过程】（1）出场阵容可以分两步确定： 第1步，从5名运动员中选择2人，分别参加前两场男单比赛，共有种； 第2步，从剩下的3名运动员中选出两人参加男双比赛，共有种， 根据分步乘法计数原理，不同的出场阵容种数为. （2）队员A不能参加男子双打比赛，有两类方案： 第1类方案是队员A不参加任务比赛，即除了队员A之外的4人参加本次比赛，只需从4人中选出两人，分别取参加前两场单打比赛，共有种，剩余人员参加双打比赛； 第2类方案是队员A参加单打比赛，可以分3个步骤完成： 第1步，确定队员A参加的是哪一场单打比赛，共2种； 第2步，从剩下4名队员中选择一名参加另一场单打比赛，共4种； 第3步，从剩下的3名队员中，选出两人参加男双比赛，共有种， 根据分步乘法计数原理，队员A参加单打比赛的不同的出场阵容有种； 根据分类加法计数原理，队员A不参加男子双打比赛的不同的出场阵容种数为. 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）的值是（   ） A．480 B．520 C．600 D．1320 【解题思路】根据排列数公式计算即可. 【解答过程】. 故选：C. 2．（23-24高二下·江苏·期中）若，则的值为（    ） A．54 B．55 C．164 D．165 【解题思路】由组合数的性质计算可得，结合计算即可得解. 【解答过程】由，故或，故， 则 . 故选：C. 3．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）甲、乙、丙等6人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（    ） A．128种 B．96种 C．72种 D．48种 【解题思路】分类讨论：乙丙及中间人占据首四位、乙丙及中间人占据中间四位、乙丙及中间人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果. 【解答过程】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间人占据首四位或中间四位或尾四位， 当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩最后2位，甲不在两端， 第一步先排末位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种， 由分步乘法计数原理可得有种； 当乙丙及中间人占据中间四位，此时两端还剩2位，甲不在两端， 第一步先排两端有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种， 由分步乘法计数原理可得有种； 乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩前2位，甲不在两端， 第一步先排首位有种，第二步将甲和中间人排入有种，第三步排乙丙有种， 由分步乘法计数原理可得有种； 由分类加法计数原理可知，一共有种排法. 故选：B. 4．（23-24高二下·河北·阶段练习）暑期将至，甲､乙､丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为（    ） A．540 B．720 C．1080 D．1170 【解题思路】根据排列组合知识结合分组问题求解即可. 【解答过程】因为甲没有选景点，所以甲有种选法， 其余5名学生可以选3个景点或4个景点. 当其余5名学生选3个景点时，有种选法； 当其余5名学生选4个景点时，有种选法. 故共有种不同的选法. 故选：D. 5．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”，为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 【解题思路】利用捆绑法即可求解. 【解答过程】“射”和“御”两次相邻，两者捆绑，与剩下的四艺排列， 则“六艺”讲座不同的次序共有. 故选：. 6．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（   ）种 A．114 B．120 C．126 D．132 【解题思路】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可. 【解答过程】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班， 所以必有一人值班3天，另两人各值班2天. 第一类：值班3天在、、、、、时，共有种不同的值班方法； 第二类：值班3天在、时，共有种不同的值班方法； 第三类：值班3天在时，共有种不同的值班方法； 第四类：值班3天在时，共有种不同的值班方法； 综上可知三位老师在国庆节7天假期共有种不同的值班方法. 故选：A. 7．（23-24高二上·河南·期末）2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲､乙､丙､丁､戊五名同学排成一排合影留念，其中甲､乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【解题思路】分类当丙站在左端时及丙不站在左端时的情况计算即可得. 【解答过程】由题意可知，当丙站在左端时，有种站法； 当丙不站在左端时，有种站法. 由分类加法计数原理可得，一共有种不同的站法. 故选：C. 8．（23-24高二下·四川广元·阶段练习）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ） A．450种 B．360种 C．90种 D．70种 【解题思路】利用分组和分配的求法求得名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得. 【解答过程】由题知，6名航天员安排三舱， 三舱中每个舱至少一人至多三人， 可分两种情况考虑： 第一种：分人数为的三组，共有种； 第二种：分人数为的三组，共有种； 所以不同的安排方法共有种. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·课后作业）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据排列数，组合数的计算公式，以及性质进行判断即可. 【解答过程】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，，原式成立，故B正确； 对于C，左边，右边，两边不等，故C错误； 对于D，左边 ， 右边，左边右边，故D正确． 故选：ABD. 10．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（    ） A．共有120种排列方式． B．若两个“将”相邻，则有24种排列方式． C．若两个“将”不相邻，则有36种排列方式． D．若同色棋子不相邻，则有12种排列方式． 【解题思路】A选项，由全排列知识进行求解，B选项，相邻问题进行捆绑，再由排列知识求出答案；C选项，不相邻问题插空法进行求解；D选项，先将2个黑色的棋子进行全排列，再插空即可. 【解答过程】A选项，由排列知识可得共有种排列方式，故A正确； B选项，两个“将”捆绑，有种情况，再和剩余的3个棋子进行全排列， 故共有种情况，故B错误； C选项，两个“将”不相邻，先将剩余3个棋子进行全排列，共有4个空， 再将两个“将”插空，故共有种情况，故C错误； D选项，将2个黑色的棋子进行全排列，共有3个空， 再将3个红色的棋子进行插空，则有种排列方式，故D正确. 故选：AD. 11．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（    ） A．可组成300个不重复的四位数 B．可组成156个不重复的四位偶数 C．可组成120个能被5整除的不重复四位数 D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数字为2301 【解题思路】应用分类分步原理，结合分组讨论的方法研究不同选项中的计算问题：A中6个数中选4个全排列再排除首位为0的情况或首位在1、2、3、4、5任选一个数再从剩余数中选3个数全排；B中分末位为0，为2、4两种情况分别计数再求和；B中分末位为0，为5两种情况分别计数再求和；D中分首位为1、2、依次计数，找到第85个数字的位置再确定数字即可. 【解答过程】A选项，有个，故A正确； B选项，分为两类：在末位，则有种； 不在末位，则有种， 所以共有种，故B正确； C选项，分为两类：在末位，则有种； 5在末位，则有种， 所以共有种，故C错误； D选项，首位为的有个；前两位为的有个；前两位为的有个， 所以第个数字是前两位为的最小数，即为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）若，则 3 . 【解题思路】利用排列数与组合数的公式即可得解. 【解答过程】因为， 所以， 则，即，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：3. 13．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）根据学校要求，错峰放学去食堂吃饭，高三年级五楼有4个班排队，1班不能排在最后，4班不能排在第一位，则四个班排队吃饭的不同方案有 种.（用数字作答） 【解题思路】根据题意，由间接法代入计算，即可得到结果. 【解答过程】总方案有种，1班排在最后有种方案，4班排在第一位有种方案， 1班排在最后且4班排在第一位有种方案， 则满足要求的方案有种. 故答案为：. 14．（24-25高二上·全国·课后作业）某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展消防安全宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法共有 30 种．（用数字作答） 【解题思路】将5人分为3组，再把3组安排到三个地区，分步乘法计算分配方法. 【解答过程】①将5人分为3组，要求A，B两人在同一组而C，D不在同一组， 分A，B两人在3人组和在2人组两种情况，有（种）分组方法； ②将分好的3组全排列，安排到三个地区，有（种）安排方法； 由分步乘法计数原理，得共有（种）不同的分配方法． 故答案为：30. 四、解答题 15．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）计算下列各题： (1)； (2)解方程：. 【解题思路】（1）根据排列数公式计算，可得答案； （2）根据排列数公式化简可得一元二次方程，结合排列数性质，即可求得答案. 【解答过程】（1）； （2）由，得， 即，即， 解得或， 又因为且，故， 故的解为. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）有3名男生和4名女生相约一起去观看电影，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的排法有多少种？ (2)女生互不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的排法有多少种？ 【解题思路】（1）根据相邻问题捆绑法即可求解， （2）根据不相邻问题插空法即可求解， （3）结合捆绑法和插空法即可求解. 【解答过程】（1）先将4名女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有（种）排法． （2）先将3名男生排好，共有种排法，在这3名男生中间以及两边共4个空位中插人4名女生，共有种排法， 再由分步乘法计数原理，可得共有（种）排法． （3）先将甲、乙、丙以外的其余4人排好，共有种排法，由于甲、乙相邻，则有种排法， 最后将排好的甲、乙这个整体与丙分别插人原先排好的4人产生：的5个空隙中，共有种排法， 由分步乘法计数原理，可得共有（种）排法． 17．（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派 5人外出参加比赛. (1)队长中至少有1人参加，有多少种选派方法? (2)参赛的运动员需要分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)，有多少种安排方式? 【解题思路】（1）求出随机选择和没有队长的情况，即可求出队长中至少有1人参加时选派方法的数量； （2）求出随机选择人数，人随机坐和人坐同一个车中的情况，即可求出运动员分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)时安排方式的数量. 【解答过程】（1）由题意， 男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.选派 5人， 若没有队长，则有种选派方法， 若随机选择，则有种选派方法， ∴队长中至少有1人参加，有种方法. （2）由题意， 男运动员6名，女运动员4名，选派 5人外出参加比赛，分坐在两辆车， ∴选择的人是随机的，有种情况， 若人坐同一个车中，有种情况， 若人随机坐，有种情况， ∴从人中选5人，且坐在辆不同的车中，有种情况. 18．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）有0，1，2，3，4五个数字（每小问均须用数字作答）. (1)可以排成多少个三位数？ (2)求满足下列条件的五位数个数（无重复数字）. （i）左起第二、四位数是偶数的奇数. （ii）比大的偶数. 【解题思路】（1）先排百位，再排十位、个位，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）（i）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算；（ii）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算. 【解答过程】（1）首先排百位数字有种选法， 再排十位数字有种选法， 最后排个位数字有种选法， 所以一共有三位数（个）. （2）（i）首先从、两数中选一个数排在个位，有种； ①最高位排、中剩下的数，将三个偶数排到左起第二、三、四位，有种； ②最高位为从、两数中选一个，有种，再将剩下的两个偶数排到左起第二、四位，有种，最后将、中剩下的数排到第三位； 综上可得符合条件的数字一共有（个）； （ii）比大的偶数可分为六类： 万位数字为的偶数，有个； 万位数字为的偶数，有个； 万位数字为，千位数字为的偶数，有个； 万位数字为，千位数字为的偶数，有个； 万位数字为，千位数字为的偶数，有个； 万位数字为，千位数字为的偶数，有，共个； 综上可得比大的偶数一共有个. 19．（23-24高二下·广东佛山·期中）一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球． (1)从中任取4个球，红球的个数不比白球个数少的取法有多少种？ (2)将4个不同的红球，分给甲、乙两人，每人至少分得1个球，则共有多少种不同的分配方法？ 【解题思路】（1）由题意，利用分类加法计数原理即可求得取法种数； （2）依题知，可利用分类加法计数原理求得分配方法数. 【解答过程】（1）由题意得不同的取法包括：红球4个；红球3个和白球1个；红球2个和白球2个三类． 第一类，红球4个，取法有1种，第二类，红球3个和白球1个，取法有种， 第三类，红球2个和白球2个，取法有种， 由分类加法计数原理，红球的个数不比白球个数少的取法有种． （2）由题意知，共有两类分配方法： 第一类，每人分得2球，共种分配方法， 第二类，一人分得1球，另一人分得3球，共种分配方法． 由分类加法计数原理，不同的分配方法共有种． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$