专题07 二次函数（10大题型）-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（北师大版）

专题07 二次函数 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一 二次函数及相关概念 题型二 二次函数的性质-对称轴、顶点、对称性等 题型三 二次函数的性质-增减性、最值 题型四 二次函数的图象 题型五 二次函数的图象与系数综合问题 题型六 二次函数的与不等式和一元二次方程 题型七 二次函数的实际应用-拱桥、轨迹类 题型八 二次函数的实际应用-销售、周长、面积类 题型九 利用二次函数研究动态问题 题型十 二次函数与几何综合压轴 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 二次函数及相关概念 ⭐技巧积累与运用 1）二次函数定义：形如y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。 注意：等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。 2）二次函数的值:此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值. 1．（24-25九年级上·湖南·期中）下列函数中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期中）二次函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(   ) A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25九年级上·新疆·期中）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二次函数的性质-对称轴、顶点、对称性等 ⭐技巧积累与运用 一般式 顶点式 交点式 函数表达式 开口 开口方向：当时，开口 向上 ，当时，开口 向下 . 开口大小：越大，开口越小，越小，开口越大 对称轴 顶点坐标 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）下列关于二次函数的图象和性质的说法中，正确的是（   ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．在此函数图象上 2．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：关于它的图象，下列判断正确的是（   ） x 0 1 3 4 5 y --- A．开口向上 B．对称轴是直线 C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分y随x增大而减小 3.（24-25九年级上·成都市·阶段练习）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线；乙：顶点到轴的距离为2．请你写出一个符合条件的解析式_________． 二次函数的性质-增减性、最值 ⭐技巧积累与运用 增减性 及最值 在对称轴的左侧，随的增大而减小， 在对称轴的右侧，随的增大而增大， 在对称轴的左侧，随的增大而增大， 在对称轴的右侧，随的增大而减小， 函数有最小值为： 函数有最大值为： 1．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．经过第一、二、四象限 D．若点，都在抛物线上，则 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）二次函数的最大值为4，则实数的值为 ． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（   ）． A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最大值 C．m有最大值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最大值 4．（2024九年级上·上海·专题练习）点、 在二次函数 的图象上，要比较、的大小，只要把、两点的横坐标分别代入这个函数表达式进行计算即可．下面介绍另一种比较方法：在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方，由此即可比较这两点纵坐标的大小．如图，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，于是．试用上述方法解答下列问题：已知二次函数，当自变量分别取，， 时，对应的函数值分别为、、，则、、 的大小关系是 ． 二次函数的图象问题与几何变换 ⭐技巧积累与运用 1）我们都知道二次函数的图象的分布主要跟二次函数的各个系数字母有关a字母，b字母和c字母的关系都能够决定二次函数图象的位置，所以在进行函数间的相互比对，确定函数图象的位置是我们要对字母进行分类讨论，以此来进行判断所给的图象是否符合要求，这也是初中数学函数考察的一种重要方式，而且通常情况下与一次函数，反比例函数等综合进行考察。 2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式。 1．（24-25九年级上·四川南充·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是(   ) A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，将函数的图象记为，将绕原点旋转得到图象，把和合起来的图形记为图形．则当时，直线与图形的交点的个数是（    ） A．2 B．4 C．2或3 D．3或4 二次函数的图象与系数综合问题 ⭐技巧积累与运用 二次函数字母系数与图象的关系 ①抛物线开口的方向可确定a的符号：抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0 ②对称轴可确定ab的符号： 对称轴在x轴负半轴，则，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则，即ab＜0 ③与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c）， 交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0 其他辅助判定条件：④顶点坐标；⑤若与x轴交点，；确定对称轴为：x=；⑥韦达定理： 。具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。 1．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．⑤，其中正确的有（）个． A．5 B．4 C．3 D．2 2．（24-25九年级上·四川广安·期中）二次函数（，，为常数，）的图象如图所示，下列结论：①；②；③若点 在该二次函数的图象上，则； ④若方程的两根为，，则． 其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）把函数的图象在轴下方的部分沿轴向上翻折，轴上方部分图象不变，得到函数的图象，如图所示则下列结论正确的是 填序号．①；②；③；④将函数的图象向上平移个单位长度后与直线有个交点． 二次函数的与不等式和一元二次方程 ⭐技巧积累与运用 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）如下图所示： 判别式 >0 =0 <0 图像 与x轴交点 2个（2解） 1个（1解） 0个（无解） 方程的解 无解 （1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 1．（24-25九年级·河南周口·期中）二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（） A．且 B．且 C． D． 2.（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象在第一象限交于点，与轴正半轴交于点，若，则的取值范围是______． 3．（24-25九年级上·广东·阶段练习）已知二次函数的图象上部分点的坐标的对应值如表所示： x … 0 4 … y … 0.37 0.37 … 则方程的解为 ． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非．”这里一语成偈，道出了“数”和“形”不可分割的特点．仔细体会这段话所包含的数学思想方法，并解答下列问题： (1)如图1，画出了二次函数的部分图象，则关于x的方程的解为________； (2)已知关于x的方程有两个实数根m，n，且，若，求k的取值范围； (3)已知方程．①直接回答此方程有几个实数根；②探究此方程实数根的近似值（精确到0.1，只写答案不给分！）【友情提示：图2已给出函数的图象】 二次函数的实际应用-拱桥、轨迹类 ⭐技巧积累与运用 利用二次函数解决实物抛物线形问题基本步骤： (1)实际问题。（2）建立二次函数模型。（3）利用二次函数的图象和性质求解。（4）确定实际问题的解。 1．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）鄂西某高速公路上的一特长隧道是鄂西内设计施工难度最大、风险最高的公路隧道之一．如图是隧道施工时的截面图，其轮廓线可近似看作抛物线的一部分，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系，已知其跨度为16米，且抛物线过点． (1)求抛物线对应的函数解析式；(2)若两辆车在该隧道内并排行驶时，需沿中心黄线两侧行驶并间隔米（中心线宽度不计），则两辆宽为米，高为米的货车是否能并排行驶？请判断并说明理由． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图，发石车位于点处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为米，点与点的水平距离为米，垂直距离为米．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米．①求抛物线的解析式（不用写出的取值范围）；②石块能否飞越防御墙．(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（不包括端点，，直接写出的取值范围． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）综合与实践 问题背景：某校科技协会组织桥梁模型制作比赛，向全校同学征集作品．图1是某“实践小组”制作的桥梁模型，图2是该模型简化后在平面直角坐标系（以桥面所在直线为轴，上下桥拱最高点，所在直线为轴）中的截面示意图，下面是他们的设计方案． 设计方案：①上桥拱和下桥拱均为抛物线型，其中上桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为；②上、下桥拱最高点，之间的距离为10；③桥拱在桥面上的距离的长度为25．解决问题：请根据上述设计方案解决下面问题： (1)求下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式；(2)“实践小组”欲在上、下桥拱之间设计一个矩形牌匾，并在牌匾上将该桥命名为“智慧桥”．其中点，（点在点的左侧）均在直线上，点，在上桥拱上（点P，Q关于轴对称，且P，Q均在直线的上方），若矩形的周长为57.5，请你在图2中画出该矩形，并求出点，的坐标． 二次函数的实际应用-销售、周长、面积类 ⭐技巧积累与运用 1.利润问题中的数量关系 （1）销售额= 售价×销售量；（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；（3）单件利润=售价-进价. 2. 求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 3．实际问题中自变量的取值 1）根据二次函数的性质知：函数的顶点为，故当时，函数取得最值， ①当a＞0时，时函数有最小值，最小值y= ②当a＜0时，时函数有最大值，最大值y= 2）在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到，这是就需要根据二次函数的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑。 1．（2024九年级上·浙江·专题练习）根据以下素材，探索完成任务． 柚子季将至，某超市购进一批柚子进行销售 素材1 超市以20元千克的批发价格购进柚子，准备在销售旺季里销售．根据食品保鲜度，商家决定在整个40天的销售旺季里，前15天以32元千克的销售单价进行销售，从第16天开始每天销售单价降低0.4元千克进行降价销售． 素材2 根据往年的销售数据，柚子在销售旺季40天内的日销数量（千克）与时间第（天）的关系如表． 时间第（天） 1 2 3 10 日销售量（千克） 30 35 40 75 问题解决 任务1 小明看到柚子降价销售“26元千克”，计算这是超市卖柚子到第几天了． 任务2 利用一次函数、二次函数、反比例函数的知识，直接写出日销售量（千克）与时间（天的关系式． 任务3 请你帮助超市算一算，在销售旺季里利润最大是第几天，最大的利润是多少． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资金额成正比；乙产品的利润与投资金额成二次函数关系，其关系如图：其中点、、的坐标分别为，，．(1)分别求出甲，乙两种产品的利润与投资之间的关系式；(2)若该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入多少资金才能使企业获利；(3)该企业准备筹集万元投入甲，乙两种产品的生产，且该企业计划两种产品最小利润不低于资金额的，那么该企业至少要筹集到多少资金？ 3．（24-25九年级上·山东济宁·期中）已知：抛物线经过，与直线交x轴于点B，交y轴于点C，点P是抛物线对称轴上一动点． (1)求抛物线的解析式；(2)当的值最小时，求点P的坐标； (3)在线段下方抛物线上一点F，连接，当面积最大时，求F点坐标及面积最大值． 利用二次函数研究动态问题 ⭐技巧积累与运用 二次函数图像中的动点问题是比较难的一个考点，其在通常的考试当中作为压轴题和大体出现考验大家对图像中的动点问题进行合理的解决方法面对动点问题，我们需要根据不同状态下点的位置来确定其运动的轨迹，然后根据此来解决实际的问题。 1．（2024·湖北·校考一模）如图①，在矩形中，当直角三角板的直角顶点P在上移动时，直角边始终经过点A，设直角三角板的另一直角边与相交于点Q．在运动过程中线段的长度为x，线段的长为y，y与x之间的函数关系如图②所示．则的长为(   ) A． B．3 C．4 D．6 2．（2022·辽宁·中考真题）如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作交于点Q，将沿直线折叠得到，设动点P的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（       ） A．B．C．D． 二次函数与几何综合压轴 ⭐技巧积累与运用 中考数学压轴题类型多样化，以二次函数为背景考查过动点形成的等腰三角形、动点形成的面积问题、动点形成的相似三角形、特殊四边形、探究两条线段和的定值存在性问题等。 1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点，连接、，与轴交于点.过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，若，求的值为 . 2．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知二次函数的图象经过点，，矩形的顶点在轴上，动点从点出发沿折线运动，到达点时停止，设点运动的路程为．(1)求二次函数的解析式；(2)设在点的运动过程中直线扫过矩形的面积为，求关于的函数关系式；(3)在点的运动过程中，抛物线上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·广东东莞·期中）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标；(3)如图，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为．求证：是一个定值． 1．（24-25九年级上·河北唐山·期中）将抛物线 平移3个单位长度后得到 则方向为（    ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 3．（2024·贵州·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．二次函数图象关于直线对称 B．和3是方程的两个根 C．当时，随的增大而增大 D．二次函数图象与轴交点的纵坐标是 3．（2024广西贵港市九年级期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（　　） A．（4，3）　　　　　　B．（5，）　　　　　　C．（4，）　　　　　　D．（5，3） 4．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）为了备战云南省第二届青少年运动会，小路对自己实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小路此次实心球训练的成绩为（   ） A． B． C． D． 5．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（       ） A． B．C．D． 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）已知二次函数的部分，的对应值如下表： 根据表格可知一元二次方程的一个实数根所在的范围是 ． 7．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）若二次函数的图象经过，，三点，则关于，，的大小关系是 ． 8．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为 米． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数． (1)用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)设该函数的图象与轴交于点、，点在点左侧，与轴交于点，顶点记作，求四边形的面积． 10．（24-25九年级上·广西南宁·期中）学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性（1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号） 【任务二】研究对称性（2）函数 的对称轴是 ； 【任务三】研究最值（3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值（4） 若 ，求的最小值． 11．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）【发现问题】在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线． 【提出问题】在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关系． 【分析问题】小美完成一次试跳，记录仪记录了她运动时的竖直高度水平距离的几组数据如下： 水平距离（） 3 3.6 4.2 4.8 5.2 竖直高度（） 10 10 （1）请把上表中，的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出小美运动的抛物线草图，并求出关于的函数解析式； 【解决问题】（2）双人10米跳台要求两位运动员同步完成动作．从数学的角度分析，至少要满足竖直距离的最大值及入水时入水点距跳台的水平距离分别相等．小美和小丽完成了一次双人10米跳台训练，小美的数据如上表中所示，小丽的竖直高度与水平距离近似满足函数关系． ①用，分别表示小美，小丽在空中最高点的竖直距离，则____________（填“”“”或“”）； ②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．小美和小丽在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好都是米，她们本次训练是否会失误，请通过计算说明理由． 12．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D第一象限是抛物线上的一个动点． (1)如图1，当点A的坐标为时，①求该抛物线的解析式；②连接，当的面积最大时，求点D的坐标．(2)如图2，当点D的横坐标是1，时，过点D作y轴的平行线，交x轴于点M，过点F作y轴的平行线交抛物线于点E，连接，求证：平分． 1．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数，当时，．若，是抛物线上两点，且，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 2．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线经过点，，中的两点，且与y轴交于点D，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点在轴上，过点作轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图象(图中的实线部分)，若这十个点都在此新函数的图象上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（   ）． A． B．0 C． D． 4．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知关于的函数的图象与轴有两个不同交点．(1)求的取值范围；(2)若，是函数图象与轴两个交点的横坐标，且满足，求的值；(3)在（2）的条件下，当时，请直接写出函数的最大值和最小值． 6．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）某“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如表： … … … … 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中已经画出了函数图象的一部分，请你结合表中的数据画出该函数图象的另一部分，并观察函数图象，写出一条性质：______． (2)进一步探究函数图象发现：①方程有______个实数根； ②关于的方程有个实数根时，的取值范围是______． 7．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数（，b是实数）图象经过四点：，，，．(1)若，①求二次函数的表达式；②已知时，y随x的增大而减小，求k的最大值；(2)若m，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，求a的取值范围． 8．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值；(3)如图2，若为抛物线上一点，直线与线段交于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 9．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，且点的横坐标为． (1)直接写出抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)若，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值；(3)在第一象限的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一 二次函数及相关概念 题型二 二次函数的性质-对称轴、顶点、对称性等 题型三 二次函数的性质-增减性、最值 题型四 二次函数的图象 题型五 二次函数的图象与系数综合问题 题型六 二次函数的与不等式和一元二次方程 题型七 二次函数的实际应用-拱桥、轨迹类 题型八 二次函数的实际应用-销售、周长、面积类 题型九 利用二次函数研究动态问题 题型十 二次函数与几何综合压轴 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 二次函数及相关概念 ⭐技巧积累与运用 1）二次函数定义：形如y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。 注意：等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。 2）二次函数的值:此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值. 1．（24-25九年级上·湖南·期中）下列函数中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．我们把形如的函数叫做二次函数，解决本题的关键是根据二次函数的定义进行判断． 【详解】解：A选项：是正比例函数，故A选项不符合题意； B选项：是一次函数，故B选项不符合题意； C选项：是二次函数，故C选项符合题意； D选项：是反比例函数，故D选项不符合题意；故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期中）二次函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(   ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的一般式，解题的关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．二次函数的一般式为：（a、b、c是常数，）．其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，根据定义作答即可． 【详解】解：二次函数，∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，．故选：B． 3．（24-25九年级上·新疆省直辖县级单位·期中）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，∴，故选：3． 二次函数的性质-对称轴、顶点、对称性等 ⭐技巧积累与运用 一般式 顶点式 交点式 函数表达式 开口 开口方向：当时，开口 向上 ，当时，开口 向下 . 开口大小：越大，开口越小，越小，开口越大 对称轴 顶点坐标 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）下列关于二次函数的图象和性质的说法中，正确的是（   ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．在此函数图象上 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键． 根据二次函数的图象与性质，对每一个选项进行分析即可． 【详解】解：根据题意得，A、，二次函数图象开口向下，说法错误，该选项不符合题意； B、，对称轴是直线，说法错误，该选项不符合题意； C、，顶点坐标为，说法正确，该选项符合题意； D、当时，，不在函数图象上，说法错误，该选项不符合题意．故选： C． 2．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：关于它的图象，下列判断正确的是（   ） x 0 1 3 4 5 y --- A．开口向上 B．对称轴是直线 C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分y随x增大而减小 【答案】C 【分析】根据表格信息，先确定出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质对各选项一一判断即可．本题考查了二次函数的性质，仔细分析图表数据，判断出抛物线的开口方向、对称轴以及与轴的交点是解题的关键，也是本题的突破口． 【详解】解：由图可知，当时，所对应的的值有； ∴抛物线的对称轴为直线，故B选项不符合题意； 由图可知，越靠近对称轴直线的函数值越大，则抛物线的开口向下，故A选项不符合题意； 在对称轴左侧部分y随x增大而增大，故D选项不符合题意； 抛物线对称轴为直线，图象经过点， 图象一定也经过点，故C选项符合题意；故选：C． 3.（24-25九年级上·成都市·阶段练习）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线；乙：顶点到轴的距离为2．请你写出一个符合条件的解析式_________． 【答案】答案不唯一，如：或 【分析】根据已知对称轴是直线，顶点到轴的距离为2，可以确定抛物线的顶点坐标，由此可写出抛物线的解析式． 【详解】解：∵对称轴是直线，∴顶点坐标的横坐标为3， ∵顶点到轴的距离为2，∴顶点坐标的纵坐标为2或-2，∴抛物线的顶点坐标为（3，2）或（3，－2）， ∴抛物线的解析式可设为或， 其中的可取任意不为0的数即可，这里令，则抛物线的解析式为或， 故答案为：或，（答案不唯一） 【点睛】本题考查了根据条件写出二次函数的解析式，读懂题意是解题的关键． 二次函数的性质-增减性、最值 ⭐技巧积累与运用 增减性 及最值 在对称轴的左侧，随的增大而减小， 在对称轴的右侧，随的增大而增大， 在对称轴的左侧，随的增大而增大， 在对称轴的右侧，随的增大而减小， 函数有最小值为： 函数有最大值为： 1．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．经过第一、二、四象限 D．若点，都在抛物线上，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象与性质即可判定，解题的关键掌握二次函数的图象与性质． 【详解】解：、由，可知对称轴为直线，， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故原选项说法错误，不符合题意； 、由，可知对称轴为直线，， ∴当时，有最大值，故原选项说法错误，不符合题意； 、由，可知顶点坐标为， ∵开口向下，∴经过第三、四象限，故原选项说法错误，不符合题意； 、由二次函数，则它的对称轴为直线，开口向下， 则图象上的点离对称轴越远，则的值越小， ∵，，∴，∴，故原选项说法正确，符合题意；故选：． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）二次函数的最大值为4，则实数的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据配方法得到，即可求解． 【详解】解：∵的最大值为4， ∴解得：或故答案为：或． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（   ）． A．m有最大值，也有最小值 B．m有最小值，但没有最大值 C．m有最大值，但没有最小值 D．m没有最小值，也没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，先由题意得，进而得，进而可得结论． 【详解】解：∵点在函数的图象上，即， ∴，，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∴当时，m有最小值，但没有最大值，故选：B． 4．（2024九年级上·上海·专题练习）点、 在二次函数 的图象上，要比较、的大小，只要把、两点的横坐标分别代入这个函数表达式进行计算即可．下面介绍另一种比较方法：在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方，由此即可比较这两点纵坐标的大小．如图，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，于是．试用上述方法解答下列问题：已知二次函数，当自变量分别取，， 时，对应的函数值分别为、、，则、、 的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方；在开口向下的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的下方． 【详解】解：二次函数，二次函数对应的抛物线开口向下， 在该函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的下方， 当自变量分别取，， 时，，．故答案为：． 二次函数的图象问题与几何变换 ⭐技巧积累与运用 1）我们都知道二次函数的图象的分布主要跟二次函数的各个系数字母有关a字母，b字母和c字母的关系都能够决定二次函数图象的位置，所以在进行函数间的相互比对，确定函数图象的位置是我们要对字母进行分类讨论，以此来进行判断所给的图象是否符合要求，这也是初中数学函数考察的一种重要方式，而且通常情况下与一次函数，反比例函数等综合进行考察。 2）由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式。 1．（24-25九年级上·四川南充·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线和抛物线解析式知与二次函数与y轴交于同一点，据此即可求得；本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质． 【详解】解：在中，当时，，∴与y轴的交点为； 在中，当时，，∴与y轴的交点为， 则与与y轴交于同一点，故选：D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，解题的关键是掌握平移的规律“左加右减，上加下减”． 先将抛物线转化成顶点式，然后利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出顶点坐标． 【详解】解：，∴先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度， 得到的新抛物线的解析式为，∴顶点坐标为．故选：A． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，将函数的图象记为，将绕原点旋转得到图象，把和合起来的图形记为图形．则当时，直线与图形的交点的个数是（    ） A．2 B．4 C．2或3 D．3或4 【答案】B 【分析】本题考查直线与坐标轴的交点，二次函数图象与性质，二次函数旋转变换．数形结合是解题关键． 由题意知，直线与轴的交点为，与轴的交点为，由：，可知的顶点坐标为，进而可求：；如图，由题意知，与直线有2个交点，当时，与轴交点为顶点，：；联立得，，则，方程有两个不相等的实数根，则与直线有2个交点，当时，的顶点在第二象限，与直线有2个交点，进而可知当时，与直线有2个交点，然后判断作答即可． 【详解】解：当时，，直线与轴的交点为， 当时，，解得，，∴直线与轴的交点为， 由题意知，：，∴的顶点坐标为， ∵，∴，如图， 由题意知，与直线有2个交点，将绕原点旋转得到图象，则的顶点坐标为， ∴：；∵，∴， 当时，与轴交点为顶点，：；联立得，， ∵，∴方程有两个不相等的实数根，∴与直线有2个交点， 当时，的顶点在第二象限，与直线有2个交点， ∴当时，与直线有2个交点， 综上所述，直线与图形的交点的个数是4个，故选：B． 二次函数的图象与系数综合问题 ⭐技巧积累与运用 二次函数字母系数与图象的关系 ①抛物线开口的方向可确定a的符号：抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0 ②对称轴可确定ab的符号： 对称轴在x轴负半轴，则，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则，即ab＜0 ③与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c）， 交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0 其他辅助判定条件：④顶点坐标；⑤若与x轴交点，；确定对称轴为：x=；⑥韦达定理： 。具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。 1．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．⑤，其中正确的有（）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小；当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；当与同号时，对称轴在轴左侧；当与异号时，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．也考查了数形结合的思想．由抛物线的开口方向得到，由抛物线的性质得到对称轴，则利用对称轴方程得到，由抛物线与轴的交点位置得，则可对①进行判断；再利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点为，即时，，则可对②进行判断；由于抛物线与轴的交点坐标为，利用抛物线的对称性得到点关于直线的对称点为，则利用函数图象，当时，，于是可对③进行判断；由于当，，加上，，所以，然后用表示，用表示，从而可对④进行判断；由题意可得二次函数的最小值为，所以，从而可对⑤进行判断， 【详解】解：抛物线开口向上，， 抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，， 抛物线与轴的交点在轴的负半轴，，，所以①正确； 抛物线与轴的一个交点为，抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点为，即时，，，所以②正确； 抛物线与轴的交点坐标为，而点关于直线的对称点为， 当时，则，所以③正确；当时，， ，，，，而，，所以④正确． 抛物线的顶点坐标为，，二次函数的最小值为， ，，∴⑤错误．故选：B． 2．（24-25九年级上·四川广安·期中）二次函数（，，为常数，）的图象如图所示，下列结论：①；②；③若点 在该二次函数的图象上，则； ④若方程的两根为，，则． 其中正确结论的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 依据题意，由抛物线开口向下，从而，又抛物线对称轴为，故，再结合抛物线与轴交于正半轴，可得，进而可以判断①；时，，又，从而可以判断②；由，，为对称轴，∴到对称轴直线的距离，比到对称轴直线的距离近，结合图象可以判断③；由图象可得为对称轴，，由于方程的两根为，，，，可得，故可以判断④． 【详解】解：由题意，∵抛物线开口向下，∴．又∵抛物线对称轴为．∴． ∵抛物线与轴交于正半轴，∴．∴，故①正确．由图象可得当时， 又∵，∴，故②正确．∵，，为对称轴， ∴到对称轴直线的距离，比到对称轴直线的距离近， 结合图象可得：，故③正确．由图象可得为对称轴，， ∵方程的两根为，，，， ∴，∴，故④正确．综上，正确的有：①②③④．故选：D． 3．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）把函数的图象在轴下方的部分沿轴向上翻折，轴上方部分图象不变，得到函数的图象，如图所示则下列结论正确的是 填序号． ①；②；③；④将函数的图象向上平移个单位长度后与直线有个交点． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据过，，，得到，则，，，即可判断前3个，由与有个交点，相当于抛物线不变，直线向下平移一个单位长度与图象有3个交点，则将图象向上平移1个单位后与直线有个交点，即可求解． 【详解】解：由图象可得：过，，， ∴设函数，将点代入可得：，解得：， ∵，∴，∴， ∴，，∴①错误；，②正确；，③错误； ∵与有个交点，即抛物线不变，直线向下平移一个单位长度与图象有3个交点， 将图象向上平移1个单位后与直线有个交点，故④正确；故答案为：②④． 二次函数的与不等式和一元二次方程 ⭐技巧积累与运用 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）如下图所示： 判别式 >0 =0 <0 图像 与x轴交点 2个（2解） 1个（1解） 0个（无解） 方程的解 无解 （1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 1．（24-25九年级·河南周口·期中）二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数是常数，，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点，根据二次函数的定义得到，根据决定抛物线与x轴的交点个数可得到，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：二次函数的图象与x轴有交点，且， 且，故选：A 2.（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象在第一象限交于点，与轴正半轴交于点，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求得点A的坐标，再利用已知函数图象得出y1在y2下方时，x的取值范围即可． 【详解】解：解方程，得，当时，，∴点A的坐标为(，4)， 如图所示：若y1＜y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面， 此时x的取值范围是：0＜x＜4．故答案为：0＜x＜4． 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合求出是解题关键． 3．（24-25九年级上·广东·阶段练习）已知二次函数的图象上部分点的坐标的对应值如表所示： x … 0 4 … y … 0.37 0.37 … 则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根据抛物线经过点得到，再根据抛物线经过点，求出对称轴，进而求出函数值为所对应的自变量的值，根据二次函数与一元二次方程的关系即可得出答案． 【详解】解：由抛物线经过点得到， 因为抛物线经过点，，所以抛物线的对称轴为直线， 而抛物线经过点，所以抛物线经过点， 因为二次函数解析式为，方程变形为， 所以方程的根理解为函数值为所对应的自变量的值， 所以方程的根为，．故答案为：，． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非．”这里一语成偈，道出了“数”和“形”不可分割的特点．仔细体会这段话所包含的数学思想方法，并解答下列问题： (1)如图1，画出了二次函数的部分图象，则关于x的方程的解为________； (2)已知关于x的方程有两个实数根m，n，且，若，求k的取值范围； (3)已知方程．①直接回答此方程有几个实数根；②探究此方程实数根的近似值（精确到0.1，只写答案不给分！）【友情提示：图2已给出函数的图象】 【答案】(1)，(2)(3)①有1个实数根；②1.2 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，利用数形结合的思想是解题关键．（1）由图象可得出该抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，进而得出与x轴的另一个交点为，即得出其相关一元二次方程的解；（2）根据二次函数解析式可得出其对称轴为直线，根据该方程的两个实数根为m，n，且，，画出其大致图象，即可的解；（3）①由，得出，令，，画出大致图象，即得出方程有1个实数根；②由图象法确定方程的近似根即可． 【详解】（1）解：由图可知该抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴与x轴的另一个交点为，∴关于x的方程的解为，； （2）解：设，则此抛物线的对称轴为直线， ∵关于x的方程有两个实数根m，n，且， 的图象与x轴有两个不同交点，如图： ∵，∴时，；时，，    ∴且，∴； （3）解：①∵，∴，令，，画出大致图象如下， ∴的图象与的图象有一个交点，∴方程有1个实数根； ②由图象可知：直线与函数的图象交点的横坐标t就是方程的解， 由图象可知：当时，当时． 当时，，，，当时，，，，∴．     当时，，，，当时，，，，∴． 当时，，，，∴．     当时，，，，∴，∴，故方程的近似解为1.2． 二次函数的实际应用-拱桥、轨迹类 ⭐技巧积累与运用 利用二次函数解决实物抛物线形问题基本步骤： (1)实际问题。（2）建立二次函数模型。（3）利用二次函数的图象和性质求解。（4）确定实际问题的解。 1．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）鄂西某高速公路上的一特长隧道是鄂西内设计施工难度最大、风险最高的公路隧道之一．如图是隧道施工时的截面图，其轮廓线可近似看作抛物线的一部分，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系，已知其跨度为16米，且抛物线过点． (1)求抛物线对应的函数解析式；(2)若两辆车在该隧道内并排行驶时，需沿中心黄线两侧行驶并间隔米（中心线宽度不计），则两辆宽为米，高为米的货车是否能并排行驶？请判断并说明理由． 【答案】(1)(2)能，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用；（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）由题意可知中心线左侧货车需距离中心线最远米，货车宽为米，此时货车距离隧道左侧路边缘米，计算当时的函数值与比较，即可求解． 【详解】（1）由题意得抛物线过原点设抛物线的函数表达式为， 把，代入表达式，得，解得：．抛物线的表达式为：； （2）能，理由如下：由（1）可知：； 如图，由题意可知中心线左侧货车需距离中心线最远米，货车宽为米，此时货车距离隧道左侧路边缘米，当时，，米，这辆货车能并排行驶． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图，发石车位于点处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为米，点与点的水平距离为米，垂直距离为米．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米．①求抛物线的解析式（不用写出的取值范围）；②石块能否飞越防御墙．(2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（不包括端点，，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②不能(2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用；（1）①根据题意，设石块运行的函数关系式为，将代入解析式，待定系数求得；②将代入，得出，将代入，得出，即可求解．（2）根据抛物线过原点，可得，将分别代入求得的值，进而结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：①设石块运行的函数关系式为， 将代入，得，解得．所以抛物线的解析式为． ②石块不能飞跃防御墙．理由如下：将代入，； 将代入，．所以石块不能飞跃防御墙． （2）解：∵过点∴∴∴ 依题意分别代入，即或 解得： 或∴． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）综合与实践 问题背景：某校科技协会组织桥梁模型制作比赛，向全校同学征集作品．图1是某“实践小组”制作的桥梁模型，图2是该模型简化后在平面直角坐标系（以桥面所在直线为轴，上下桥拱最高点，所在直线为轴）中的截面示意图，下面是他们的设计方案． 设计方案：①上桥拱和下桥拱均为抛物线型，其中上桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为；②上、下桥拱最高点，之间的距离为10；③桥拱在桥面上的距离的长度为25．解决问题：请根据上述设计方案解决下面问题： (1)求下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式；(2)“实践小组”欲在上、下桥拱之间设计一个矩形牌匾，并在牌匾上将该桥命名为“智慧桥”．其中点，（点在点的左侧）均在直线上，点，在上桥拱上（点P，Q关于轴对称，且P，Q均在直线的上方），若矩形的周长为57.5，请你在图2中画出该矩形，并求出点，的坐标． 【答案】(1) (2)见解析，点的坐标为，点的坐标为 【分析】本题考查二次函数的应用．得到二次函数中几个关键点的坐标并选择合适的函数解析式代入计算是解决本题的关键．（1）由得A、B、E的坐标，从而得出点F、点C、点D的坐标，设下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为，再运用待定系数法求解即可； （2）先画出图形，设点的坐标为，得点的坐标为．点的坐标为，可得，，由矩形的周长为57.5可得方程，解方程求出m的值可得结论． 【详解】（1）解：由题意，得，．，，． 当时，，解方程，得，，，，， 又，，，． 设下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为， 由图象经过点，可得，解方程，得． 下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为； （2）解：矩形如图所示． ，（点在点的左侧）均在直线上，设点的坐标为，则点的坐标为． 由矩形，得轴，点的坐标为，，， 由矩形的周长为57.5，得，解得：，（不合题意，舍去）， 点的坐标为，点的坐标为． 二次函数的实际应用-销售、周长、面积类 ⭐技巧积累与运用 1.利润问题中的数量关系 （1）销售额= 售价×销售量；（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；（3）单件利润=售价-进价. 2. 求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 3．实际问题中自变量的取值 1）根据二次函数的性质知：函数的顶点为，故当时，函数取得最值， ①当a＞0时，时函数有最小值，最小值y= ②当a＜0时，时函数有最大值，最大值y= 2）在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到，这是就需要根据二次函数的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑。 1．（2024九年级上·浙江·专题练习）根据以下素材，探索完成任务． 柚子季将至，某超市购进一批柚子进行销售 素材1 超市以20元千克的批发价格购进柚子，准备在销售旺季里销售．根据食品保鲜度，商家决定在整个40天的销售旺季里，前15天以32元千克的销售单价进行销售，从第16天开始每天销售单价降低0.4元千克进行降价销售． 素材2 根据往年的销售数据，柚子在销售旺季40天内的日销数量（千克）与时间第（天）的关系如表． 时间第（天） 1 2 3 10 日销售量（千克） 30 35 40 75 问题解决 任务1 小明看到柚子降价销售“26元千克”，计算这是超市卖柚子到第几天了． 任务2 利用一次函数、二次函数、反比例函数的知识，直接写出日销售量（千克）与时间（天的关系式． 任务3 请你帮助超市算一算，在销售旺季里利润最大是第几天，最大的利润是多少． 【答案】任务1：超市卖柚子到第30天了；任务2：；任务3：在销售旺季里利润最大是第15天，最大的利润是1200元 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，同时本题还考查了待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程等知识点，明确二次函数的相关性质并会数形结合是解题的关键． 任务1：由题意得，第柚子的价格为：，即可求解； 任务2：由待定系数法即可求解； 任务3：当时，则，当时，则，分别求出最大值，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得，第柚子的价格为：， 则，解得：，即超市卖柚子到第30天了； 任务2：由表格知，日销售量（千克）是时间（天的一次函数， 设函数的表达式为：，将代入上式得：，解得：， 故一次函数的表达式为：； 任务3：设销售旺季里利润为元，当时，则， 当时，取得最大值为（元； 当时，则， 则函数的对称轴为，故当时，函数取得最大值为：798元， 综上所述：当时，函数取得最大值为1200元， 即在销售旺季里利润最大是第15天，最大的利润是1200元． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资金额成正比；乙产品的利润与投资金额成二次函数关系，其关系如图：其中点、、的坐标分别为，，．(1)分别求出甲，乙两种产品的利润与投资之间的关系式；(2)若该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入多少资金才能使企业获利；(3)该企业准备筹集万元投入甲，乙两种产品的生产，且该企业计划两种产品最小利润不低于资金额的，那么该企业至少要筹集到多少资金？ 【答案】(1)；(2)该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入超过12万元资才能使企业获利(3)该企业至少要筹集到80万元资金 【分析】本题考查了正比例函数、二次函数的应用；（1）由待定系数法即可求解；（2）当时，解方程，即可求解；（3）设该企业准备筹集万元投入乙两种产品的生产，则投入甲种产品的资金为万元，设总利润为万元，进而求得，据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，设甲产品的利润为：， ∵在函数图象上，∴，解得：，∴甲产品的利润与投资之间的关系式为； 设乙产品的利润与投资金额的函数关系为： 将代入得，解得：∴， （2）当时，，解得：． ∴该企业将资金全力投入乙产品的生产，至少要投入超过万元资金才能使企业获利； （3）设该企业准备筹集万元投入乙两种产品的生产，则投入甲种产品的资金为万元，设总利润为万元，∴ 函数y的对称轴为直线，当时，， ∴，解得：，答：该企业至少要筹集到80万元资金． 3．（24-25九年级上·山东济宁·期中）已知：抛物线经过，与直线交x轴于点B，交y轴于点C，点P是抛物线对称轴上一动点． (1)求抛物线的解析式；(2)当的值最小时，求点P的坐标； (3)在线段下方抛物线上一点F，连接，当面积最大时，求F点坐标及面积最大值． 【答案】(1)(2)(3)，4 【分析】（1）先求出点，然后用待定系数法求解即可；（2）求出抛物线对称轴为直线，可得点A关于对称轴直线对称点B点坐标为，则与对称轴为直线的交点即为点P，此时，的值最小，进而可求出点P的坐标为；（3）过F作轴于点H，交于点G，设，则G为，根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线，令，得∴ 把点和C为代入抛物线 得解得∴抛物线的解析式为 （2）解：由抛物线的对称轴为直线， ∴点A关于对称轴直线对称点B点坐标为 把点B点坐标为代入得，∴直线解析式为 ∵抛物线对称轴为直线，点A与点B关于对称轴直线对称， 则与对称轴为直线的交点即为点P，此时，的值最小． ∵直线，当时，，∴点P为． ∴当的值最小时，点P的坐标为 （3）解：过F作轴于点H，交于点G， 设，则G为， ∴ ∵，∴当m=2时，为最大值为4，，∴ ∴为最大值为4时，F坐标为 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，轴对称的性质，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 利用二次函数研究动态问题 ⭐技巧积累与运用 二次函数图像中的动点问题是比较难的一个考点，其在通常的考试当中作为压轴题和大体出现考验大家对图像中的动点问题进行合理的解决方法面对动点问题，我们需要根据不同状态下点的位置来确定其运动的轨迹，然后根据此来解决实际的问题。 1．（2024·湖北·校考一模）如图①，在矩形中，当直角三角板的直角顶点P在上移动时，直角边始终经过点A，设直角三角板的另一直角边与相交于点Q．在运动过程中线段的长度为x，线段的长为y，y与x之间的函数关系如图②所示．则的长为(   ) A． B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据条件先推出，设，，利用对应边成比例列出函数关系式，结合抛物线对称轴即可求出，将顶点坐标代入解析式，从而求出的长． 【详解】解：，， ，，在和中，， ，，设，，则， ，整理得，对称轴为，则，， 即，将点代入得，解得，故选 C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定、求二次函数解析式，采用数形结合列出函数关系是解题关键． 2．（2022·辽宁·中考真题）如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作交于点Q，将沿直线折叠得到，设动点P的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（       ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】由题意易得，，则有，进而可分当点P在AB中点的左侧时和在AB中点的右侧时，然后分类求解即可． 【详解】解：∵，∴，由题意知：，∴， 由折叠的性质可得：， 当点P与AB中点重合时，则有，当点P在AB中点的左侧时，即， ∴与重叠部分的面积为； 当点P在AB中点的右侧时，即，如图所示： 由折叠性质可得：，， ∴，∴，∴， ∴与重叠部分的面积为； 综上所述：能反映与重叠部分的面积S与t之间函数关系的图象只有D选项；故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键． 二次函数与几何综合压轴 ⭐技巧积累与运用 中考数学压轴题类型多样化，以二次函数为背景考查过动点形成的等腰三角形、动点形成的面积问题、动点形成的相似三角形、特殊四边形、探究两条线段和的定值存在性问题等。 1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点，连接、，与轴交于点.过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，若，求的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解方程，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质是解题的关键。先求抛物线的解析式，再利用等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，列出比例式，转化为方程解答即可 【详解】解：∵抛物线与轴交于点、，与轴交于点， ∴，∴，∴抛物线解析式为， ∵，，∴ ∵∴∴∴是等腰三角形，∴； 设，∴，， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，解得（舍去）， ∴，∴，∵，∴，故答案为： 2．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知二次函数的图象经过点，，矩形的顶点在轴上，动点从点出发沿折线运动，到达点时停止，设点运动的路程为． (1)求二次函数的解析式；(2)设在点的运动过程中直线扫过矩形的面积为，求关于的函数关系式；(3)在点的运动过程中，抛物线上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在．，， 【分析】把点，代入函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式； 这是一个分段函数，分点在边上和点在边上两种情况求函数关系式； 分三种情况求解：当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边；当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边；当点在边上时，为等腰直角三角形的直角边． 【详解】（1）解：把点，代入函数解析式， 得：，解得：，二次函数的解析式为； （2）解：点，，,，四边形是矩形，， 当时，点在上运动，此时扫过的图形是，， 当点运动到边上时，如下图所示， 此时扫过的图形是四边形，， ，； （3）解：当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边时， 如下图所示，过点作轴于点，延长交的延长线于点， 则，， ，，， 在和中，，，， 设点的坐标为则，， ，，整理得：，解得:，， 当时，，此时点的坐标为与点重合，故应舍去， 当时， 此时点的坐标为； 当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边时， 如下图所示， 点的坐标为，则点的坐标为， ，，整理得：，解得：，， 当时，，此时点的坐标为，与点重合，故应舍去， 当时，，此时点的坐标为；如下图所示， 当点在边上时，为等腰直角三角形的斜边时，过点作轴于点，则， 又，则， 在和中，，， ，，点的纵坐标为，解方程， 整理得：，解得：，， 当时，此时点与不能构成直角三角形，故应舍去， 当时，对应的纵坐标为，综上所述点的坐标为，，； 【点睛】本题是二次函数和动点问题的综合题，考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，注意分类讨论思想和方程思想的运用． 3．（24-25九年级上·广东东莞·期中）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． (1)求抛物线的解析式；(2)如图，动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标；(3)如图，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为．求证：是一个定值． 【答案】(1)；(2)，；(3)见解析． 【分析】利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式；过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为；设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 得到：，解得：，抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为，把点和点的坐标代入， 可得：，解得：，直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为，点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，，此时点的坐标为； （3）证明：设直线的解析式为， 解方程组，可得：，整理得：， 一元二次方程中，， 一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个不相等的实数根分别为、， 则有，是一个定值． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． 1．（24-25九年级上·河北唐山·期中）将抛物线 平移3个单位长度后得到 则方向为（    ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键；观察函数式中的变化，由变为，表明是向左平移了3个单位长度，从而得解． 【详解】解：由得， 所以图象向左平移了3个单位长度，故选：C． 3．（2024·贵州·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．二次函数图象关于直线对称 B．和3是方程的两个根 C．当时，随的增大而增大 D．二次函数图象与轴交点的纵坐标是 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象逐一进行判断即可． 【详解】解：观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线，开口向上，故A选项正确，不符合题意； 观察图象得：二次函数图象与x轴交于点， ∵二次函数的图象的对称轴为直线，∴二次函数图象与x轴的另一个交点为， ∴和3是方程的两个根，故B选项正确，不符合题意； 观察图象得：二次函数的图象的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，故C选项错误，符合题意； ∵抛物线经过点∴，解得，，∴， 当时，，∴二次函数图象与轴交点的纵坐标是，故D选项正确，不符合题意；故选：C． 3．（2024广西贵港市九年级期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（　　） A．（4，3）　　　　　　B．（5，）　　　　　　C．（4，）　　　　　　D．（5，3） 【答案】C． 【分析】连接PC、PO、PA，设点P坐标（m，），根据S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC构建二次函数，利用函数性质即可解决问题． 【解析】连接PC、PO、PA，设点P坐标（m，） 令x=0，则y=，点C坐标（0，），令y=0则，解得x=﹣2或10， ∴点A坐标（10，0），点B坐标（﹣2，0）， ∴S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC==， ∴x=5时，△PAC面积最大值为，此时点P坐标（5，）．故选C． 考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的最值；最值问题；动点型． 4．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）为了备战云南省第二届青少年运动会，小路对自己实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小路此次实心球训练的成绩为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，小路此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当时，即，解得：（舍去），， 所以小宇此次实心球训练的成绩为．故选：B． 5．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（       ） A． B．C．D． 【答案】A 【分析】分0≤x≤1，1<x<2，2≤x≤3三种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：当0≤x≤1时，过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠A=60°，AE=AF=x，∴AG=x，由勾股定理得FG=x， ∴y=AE×FG=x2，图象是一段开口向上的抛物线；当1<x<2时，过点D作DH⊥AB于点H， ∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，DF= x-1，∴AH=，由勾股定理得DH=， ∴y=(DF+AE)×DH=x-，图象是一条线段； 当2≤x≤3时，过点E作EI⊥CD于点I，∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x，同理求得EI=(3-x)， ∴y= AB×DH -CF×EI=-(3-x)2=-x2+x-，图象是一段开口向下的抛物线； 观察四个选项，只有选项A符合题意，故选：A． 【点睛】本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象． 6．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）已知二次函数的部分，的对应值如下表： 根据表格可知一元二次方程的一个实数根所在的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据函数与x轴交点的纵坐标为零求解即可． 【详解】解：∵时，；时，； ∴一元二次方程的一个实数根所在的范围是，故答案为：． 7．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）若二次函数的图象经过，，三点，则关于，，的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握比较二次函数的函数值大小是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：由抛物线的解析式可知：抛物线的开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，，，故答案为：． 8．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，利用待定系数法可得抛物线解析式为，把代入可得，据此即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为，将点代入得，，解得， ∴抛物线解析式为，当时，，解得， ∴当水面上升米后水面宽度为米，故答案为：． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知二次函数． (1)用配方法将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)设该函数的图象与轴交于点、，点在点左侧，与轴交于点，顶点记作，求四边形的面积． 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标；(2)． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．（1）利用配方法把二次函数的一般形式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）令求出与轴交点坐标，令求出与轴交点坐标，然后求面积即可； 【详解】（1）解：由题意得：，∴对称轴为直线，顶点坐标； （2）解：根据题意画图， 令，则，∴点，则，令，则，解得，， ∴，，∴，由（）得：，∴． 10．（24-25九年级上·广西南宁·期中）学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性（1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号） 【任务二】研究对称性（2）函数 的对称轴是 ； 【任务三】研究最值（3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值（4） 若 ，求的最小值． 【答案】（1）①③；（2）直线；（3）时，最小值为；（4） 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，（1）分别求出每一个函数的对称轴，再结合函数的性质确定即可；（2）根据二次函数的性质，直接求对称轴即可；（3）将代入函数的解析式，即可求最小值； （4）先求出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）①的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ②的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ③的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； 故答案为：①③． （2）函数 的对称轴是直线；故答案为：直线． （3）当时，函数 有最小值 （4）∵，，． ∴ ∴当时，的最小值为． 11．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）【发现问题】在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线． 【提出问题】在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关系． 【分析问题】小美完成一次试跳，记录仪记录了她运动时的竖直高度水平距离的几组数据如下： 水平距离（） 3 3.6 4.2 4.8 5.2 竖直高度（） 10 10 （1）请把上表中，的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出小美运动的抛物线草图，并求出关于的函数解析式； 【解决问题】（2）双人10米跳台要求两位运动员同步完成动作．从数学的角度分析，至少要满足竖直距离的最大值及入水时入水点距跳台的水平距离分别相等．小美和小丽完成了一次双人10米跳台训练，小美的数据如上表中所示，小丽的竖直高度与水平距离近似满足函数关系． ①用，分别表示小美，小丽在空中最高点的竖直距离，则____________（填“”“”或“”）； ②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．小美和小丽在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好都是米，她们本次训练是否会失误，请通过计算说明理由． 【答案】（1）作图见解析；抛物线为； （2）①；②她们本次训练不会失误，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，根据表格数据即可作图；又图象过，故抛物线的对称轴是直线，从而顶点为，可设抛物线为，再结合抛物线过，可得，求出即可判断得解； (2)①依据题意，由小丽的竖直高度y与水平距商x近似满足函数关系为，从而，结合，进而可以判断得解；②依据题意，对于小美而言，其对应抛物线为，再令，则，又对于小丽而言，其对应抛物线为，再令，则，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，根据表格数据可以作图如下 图象过，，抛物线的对称轴为直线，顶点为， 可设抛物线为，又抛物线过，，， 抛物线为； （2）①由题意，小丽的竖直高度与水平距离近似满足函数关系为，，又，，故答案为：； ②由题意，对于小美而言，其对应抛物线为，令，则， 又对于小丽而言，其对应抛物线为，令，则，她们本次训练不会失误． 12．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D第一象限是抛物线上的一个动点． (1)如图1，当点A的坐标为时，①求该抛物线的解析式；②连接，当的面积最大时，求点D的坐标．(2)如图2，当点D的横坐标是1，时，过点D作y轴的平行线，交x轴于点M，过点F作y轴的平行线交抛物线于点E，连接，求证：平分． 【答案】(1)①；②；(2)见解析 【分析】（1）①利用待定系数法解答即可；②连接，先求出，，设点的坐标为，利用进行求解即可； （2）连接，过点作于点，设点的坐标为，利用，求得的面积关于的函数关系式，利用配方法和二次函数的性质解答即可； （3）过点D作，先求出，，可得，再由勾股定理求出，从而得出，可得到，再由平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：①将点A代入得：， 解得：．抛物线的解析式为； ②连接，如图，在二次函数中，令，得， 解得：，，在二次函数中，令，得， ，设点的坐标为，， ， ，当时，的面积最大，此时点的坐标为； （2）解：如图，过点D作， 将代入，得，， 将代入，得，， ， ，，， 由题意得：，，，平分． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质及勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 1．（24-25九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数，当时，．若，是抛物线上两点，且，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，当时，．得出二次函数的开口向下，且对称轴对称轴，即越靠近对称轴的所对应的函数值越大，又因为，是抛物线上两点，且，列式，解出或，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，当时，． ∴二次函数的开口向下，且对称轴， 则越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵，是抛物线上两点，且， ∴，整理得，∴， 则或，解得或，故选：D． 2．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线经过点，，中的两点，且与y轴交于点D，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线的解析式得到对称轴为直线，然后判断抛物线过的两点为，，即可求出，代入计算得到，然后得到点D的坐标为，点B的坐标为，，，再求出直线的解析式，然后表示，，利用比差法解题即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 当抛物线经过点，，则，解得， 即过点，代入得，解得，不符合题意； 当抛物线经过点，，则，解得， 即过点，代入得，解得，不符合题意； ∴抛物线经过点，， 则，解得，故B错误；∴，，代入得： ，解得，故C错误； ∵，∴，故A错误；∴抛物线解析式为， ∵点D的坐标为，点B的坐标为，，， 设直线的解析式为，则，解的，∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为与y轴交点坐标为， ∴，， ∴，∴，故D正确；故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数图像上点的坐标，求直线解析式，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点在轴上，过点作轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图象(图中的实线部分)，若这十个点都在此新函数的图象上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（   ）． A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、轴对称变换、中心对称变换，理解题意，得到根据二次函数的性质及轴对称性质可得到与，与、与、与都关于点A对称，根据中心对称性质可得，进而可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，对称轴为y轴，根据题意，与点A重合，即， ∴根据对称性质可得与，与、与、与都关于点A对称， ∴，∴， 又，，∴，故选：C． 4．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是关键． 根据抛物线与x轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点，利用待定系数法得到，，再根据抛物线开口方向向下，即可判断②正确，①错误，根据．，，，可以得到，从而得到③正确；根据抛物线的增减性可以判断出④错误，问题得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，把，代入， 可得：，解得，∴，故②正确； ∵抛物线开口方向向下，∴，∴，，∴，故①错误； ∵，，∴， 又∵，，∴，即（其中），故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，∴当时，随的增大而减小， ∵，∴，故④错误，故选：B． 5．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知关于的函数的图象与轴有两个不同交点．(1)求的取值范围；(2)若，是函数图象与轴两个交点的横坐标，且满足，求的值；(3)在（2）的条件下，当时，请直接写出函数的最大值和最小值． 【答案】(1)且(2)(3)最大值为，最小值为 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值以及函数顶点坐标的求法，正确根据函数图象确定最值，利用数形结合思想是关键． （1）由函数的图象与轴有两个不同交点可知该函数为二次函数，且当时，据此解答即可；（2）根据题意列出方程，解方程求得的值； （3）把函数式化为顶点式，画出函数图象，根据函数图象确定最值． 【详解】（1）解：∵函数的图象与轴有两个不同交点， 该函数为二次函数，且当时，， ，解得，即且．综上所述，的取值范围是且． （2）解：，是函数图象与轴两个交点的横坐标，，， ．， 且．，解得：， 不合题意，舍去．所求值为． （3）解：如图，，，且． 由图象知：当时，；当时，．的最大值为，最小值为． 6．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）某“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如表： … … … … 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中已经画出了函数图象的一部分，请你结合表中的数据画出该函数图象的另一部分，并观察函数图象，写出一条性质：______． (2)进一步探究函数图象发现：①方程有______个实数根； ②关于的方程有个实数根时，的取值范围是______． 【答案】(1)图见解析，性质：其图象关于轴对称（答案不唯一） (2)① ；② 或 【分析】本题考查了抛物线图象与性质，掌握函数图象上点的坐标特征并数形结合是解题的关键． （1）描点、连线即可画出函数图象，观察函数图象，写出一条性质即可； （2）①从图象上看函数与直线有个交点，即可求解；②当或时，直线与函数的图象有两个交点，即关于的方程有个实数根． 【详解】（1）解：画出函数图像如下： 性质：其图象关于轴对称（答案不唯一）； （2）①如图，直线与函数的图象有两个交点， 方程有个实数根，故答案为：； ②如图，当或时，直线与函数的图象有两个交点， 即关于的方程有个实数根，故答案为：或． 7．（24-25九年级上·浙江·期中）已知二次函数（，b是实数）图象经过四点：，，，．(1)若，①求二次函数的表达式；②已知时，y随x的增大而减小，求k的最大值；(2)若m，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，求a的取值范围． 【答案】(1)①；②2；(2)或． 【分析】本题考查二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）①运用待定系数法解二次函数的解析式，则；②由得开口方向向上，且对称轴为直线，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，列式，进行计算，即可作答．（2）先整理，再得出，，，然后进行分类讨论，分别列式，再解出a的解集，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，当时，图象经过点， ①把，分别代入， 得，解得：，，． ②∵∴开口方向向上，且对称轴为直线， 时，y随x的增大而减小，，解得：，∴k的最大值为2． （2）解：把分别代入，得，，， ∵二次函数图象经过，，这三个点， 时，；∴时，； ∴时，；当时，则， ∴，，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，，即，解得， 当时，则 即， ，n，p这三个实数中，有且只有一个是负数，，即，解得：， 综上所述，a的取值范围是：或． 8．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值；(3)如图2，若为抛物线上一点，直线与线段交于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在，点的横坐标为或 【分析】（1）把和的坐标代入抛物线解析求出a和b即可求解； （2）求出直线的解析式为，设，则，进而求得的表达式，根据二次函数的性质，即可得出答案； （3）分两种情况，①若，②若，由相似三角形的性质可求出的长，求出点坐标，联立直线和抛物线的解析式可求出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴ ，解得，∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为，∴时，，∴，∴． ∵，∴．∵，，∴， 设直线的解析式为，∴ ，∴，∴直线的解析式为， 设，则，则 ∵，∴时，有最大值，∴的最大值为． （3）解：∵，，，∴，，， 若以为顶点的三角形与相似，可分两种情况： ①若，∴，∴，∴，过点作于点， ∴，∴，∴，∴直线的解析式为， ∴ ，∴， ②若，∴，∴，∴，∴， 同理的解析式为，∴ ，∴， 综上所述，点Q的坐标为点Q的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质，相似三角形的性质等相关知识是解题关键． 9．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，且点的横坐标为． (1)直接写出抛物线的解析式及顶点的坐标；(2)若，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值；(3)在第一象限的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，顶点D坐标为(2)m＝或(3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）首先求出，然后表示出P的坐标为，然后分三种情况：①当点P在x轴上方时；②当点P在x轴下方时；③当点P在x轴上时，然后根据题意分别列方程求解即可；（3）如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P，根据题意得到，然后求出直线的解析式为，直线的解析式为，然后和抛物线联立求解即可． 【详解】（1）将点代入抛物线中得解得： ∴抛物线解析式为∴顶点D坐标为； （2）令解得，∴ ∵P的横坐标为且∴ ∴将代入 ∴点P一定在对称轴右侧，且P的坐标为； ①如右图所示，当点P在x轴上方时， 则，即此时：，解得：，符合题意； ②如右图所示，当点P在x轴下方时， 则，即此时： 解得：，（舍去） ③当点P在x轴上时，则，即此时：（或），解得：（舍去）综上所述，或； （3）存在点P，使，点P的坐标为 理由如下： 如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P ∵，，∴∵，∴， ∴∵， ∴∴设直线的解析式为，过， ∴直线的解析式为∵∴设直线的解析式为 将代入得解得：∴直线的解析式为 由解得：，（舍去）∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与角度综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$