专题08 圆（10大题型）-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（北师大版）

专题08 圆 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一 圆的相关概念 题型二 圆的旋转对称性 题型三 垂径定理 题型四 圆周角与圆心角的关系 题型五 确定圆的条件 题型六 直线与圆的位置关系 题型七 切线长定理及运用 题型八 圆内接正多边形 题型九 弧长及扇形的面积 题型十 圆锥的相关计算 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 圆的相关概念 ⭐技巧积累与运用 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的圆弧记作，读作弧。 同圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；能够重合的两个圆叫做等圆．同圆或等圆的半径相等。 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离为，则有： 点在圆外；点在圆上；点在圆内。 1．（24-25·山东九年级期中）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有 。（填序号） 【答案】①③④ 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故错误；②半圆是弧，正确； ③过圆心的弦是直径，故错误；④圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误． 【点睛】本题考查了圆的认识，了解有关圆的定义及性质是解答本题的关键，难度不大． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）同一平面内，内一点到圆上的最大距离为，最小距离为，则的半径为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了点与圆上各点的距离的最大值与最小值的含义． 【详解】解：∵点P在圆内时，的直径长为，半径为； 的半径长为 ．故答案为：4． 圆的旋转对称性 ⭐技巧积累与运用 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。 推论: 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 1．（24-25九年级上·北京西城·期中）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为．下列描述正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解． 【详解】解：线段最长为圆的直径，先增加后减小； A、当时，可能大于，故不符合题意； B、当时，可能大于，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项符合题意； D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意；故选：C． 2．（2024·云南昆明·一模）如图，是的直径，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，，∴， ∴，故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点，，，在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弦与弧之间的关系．根据已知条件求得，根据弧与弦的关系即可得证． 【详解】证明：∵＝，∴＝，∴，∴． 4．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在中，为的中点，于点，于点 (1)求证：．(2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据弧、圆心角的关系得平分．进而利用角平分线的性质定理即可得证． （2）连接由，得．进而得．利用度直角三角形的性质得，进而根据勾股定理得，从而即可求得．同理，可得，于是即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接为的中点，，，平分． 又，，． （2）解：如图，连接由（1）得， ，．∵，∴，． ，在中，，， ．同理，可得，． 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质定理，勾股定理，30度直角三角形的性质及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质定理及勾股定理是解题的关键． 垂径定理 ⭐技巧积累与运用 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等。 注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量。 1．（2024·广西中考模拟预测）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ） A．两人说的都对 B．小铭说的对，小熹说的反例不存在 C．两人说的都不对 D．小铭说的不对，小熹说的反例存在 【答案】D 【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项． 【详解】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知： 小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；故选D． 【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，某铜镜残片呈圆弧型，测得圆弧的两端A，B之间的距离为，上的点到弦的最大距离为，则该铜镜所在圆的半径为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，掌握这两个定理是关键；连接，设铜镜所在圆的圆心为O，点D是到弦的距离最大的点，连接，交于点E；设圆的半径为，由垂径定理得，，则， 由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，连接，设铜镜所在圆的圆心为O，点D是到弦的距离最大的点，连接，交于点E；设圆的半径为，由垂径定理得，， ∴，在中，由勾股定理得：，解得：故答案为：． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 【答案】27cm 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离， 先根据，，可得，，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理得，即可得出答案． 【详解】∵，，分别垂直于点B，D，∴，. ∵，∴．在中，根据勾股定理得， ∴． 圆周角与圆心角的关系 ⭐技巧积累与运用 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：圆的内接四边形的对角互补。 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，内接于，连接，已知，且交于点D，下列结论不成立的是（   ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角及三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，根据圆周角定理可判定、、三项，根据举反例判定项． 【详解】解：∵，，， ∴，，故项成立，不符合题意； ∴，故项成立，不符合题意； ∵，，， ∴，故项成立，不符合题意； 由，假设，，则， ∵，∴， 此时，故项不成立，符合题意；故选：D． 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，为直径，点，在上，如果，那么的度数为（   ） A．20° B．30° C．35° D．70° 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理,掌握直径所对的圆周角为直角以及同弧所对的圆周角相等成为解题的关键． 由直径所对的圆周角为直角可得，进而得到，根据同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：∵为直径，∴， ∴，∴．故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处对读数分别为，，则的度数是 °． 【答案】28 【分析】本题主要考查了圆周角定理．先根据A、B的度数得到，再根据同圆中同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设量角器的中心为O，连接， ∵点A，B的读数分别为，，∴，∴，故答案为：． 确定圆的条件 ⭐技巧积累与运用 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。 三角形的外接圆的圆心是三角形三边中垂线的交点。 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得，解题的关键是熟练掌握圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，只要有一段弧，即可确定圆心和半径， ∴小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆，根据三角形的外接圆的圆心是三角形三边中垂线的交点，结合网格的特点，画出圆心，即可． 【详解】解：如图，点即为外接圆的圆心；故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，该圆弧所在圆记为，圆心记为 (1)请在图中画出圆心的位置；圆心的坐标为_____ (2)该圆的半径为_____ (3)若点为上一点，且点在轴的正半轴上，则点的坐标为_____ 【答案】(1)画图见解析，(2)(3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，确定圆心的位置，圆的基本性质等等：（1）如图所示，连接，作的垂直平分线，交垂直平分线于P，P即为圆心，据此求出点P的坐标即可；（2）利用勾股定理求出的长即可得到答案；（3）根据的长为的半径长结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接，作的垂直平分线，交垂直平分线于P，P即为圆心， ∴圆心的坐标为； （2）解：∵，∴，∴该圆的半径为； （3）解：设，∵点为上一点，∴， ∴，解得或（舍去），∴． 直线与圆的位置关系 ⭐技巧积累与运用 直线与圆的位置关系: 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下：直线与相离； 直线与相切； 直线与相交。 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）。 和圆心距离等于半径的直线是圆的切线（距离法）。 1．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）已知圆心A到直线m的距离为d，的半径为r，若d、r是方程的两个根，则直线m和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交或相离 D．相切或相交 【答案】C 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，因式分解法解一元二次方程，理解圆与直线的位置关系，掌握因式分解法求一元二次方程的根是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，再根据圆半径与圆心到直线的距离的关系“，相离；，相切；，相交”进行判定即可求解． 【详解】解：，∴，解得，， ∵d、r是方程的两个根，当时，直线和的位置关系是相交； 当时，直线和的位置关系是相离；故选：C ． 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，交于点B，切于点C，D点在上，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，根据圆周角定理，切线的性质定理以及三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵切于点C，∴， ∵，∴，∴，故选：D． 3．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，与相切于点A，与弦相交于点C，，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了切线的性质，连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，设，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可，熟知切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， 与相切于点，，， ，，，， ，，， ，，，设，则，， ，，解得，即的长为4．故答案为：4． 切线长定理及运用 ⭐技巧积累与运用 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和该点的连线平分两条切线的夹角。 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。 直角三角形内切圆的半径与三边的关系： 设、、分别为中、、的对边，面积为，则内切圆半径为，其中．若，则。 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，是正方形的内切圆，点E，F，G，H 分别在正方形的四条边上，和分别为的切线．设和的周长分别为a和b，则下列说法正确的是（　　） A． 　　　B． 　　　　　C． 　　　D．无法比较a与b的大小 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，正方形的性质，依题意，连接各个切点与圆心，结合切线长定理得，则的周长是，的周长是，即可作答． 【详解】解：∵是正方形的内切圆，点E，F，G，H 分别在正方形的四条边上，和分别为的切线．∴连接各个切点与圆心，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形，∴，即， 结合切线长定理得， ∴的周长是， ∴的周长是， ∵和的周长分别为a 和b，∴，故选：C． 2．（24-25九年级上·天津河北·期中）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质，设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论．，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 【详解】解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示： 由切线长定理可知：，，，，， ，，，， ，故选：D． 3．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的面积等于，设，，．    (1)用直尺和圆规作，使点在边上，且与边，都相切；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)计算（1）中所作的的半径等于（    ） A．；B．；C．；D． 【答案】(1)作图见解析； (2) 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，尺规作角平分线，切线的判定及性质，熟练掌握尺规作垂线及切线的判定是解题的关键．（1）作的平分线交于点，过点作于点，以为圆心，的长为半径作图即可；（2）设与相切于点，连接，设的半径为，由，，得，从而即可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求；       （2）解：如图，设与相切于点，连接，设的半径为， ∵、分别切于、，∴，， ∴∴，故选：． 圆内接正多边形 ⭐技巧积累与运用 1）设正多边形的边长为，半径为R，边心距为，中心角为；则有关系：。 2）正多边形的一些关系：①正n边形的中线角；②正n边形的周长； ③正n边形的面积。 1．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约为，则的长约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆的性质和等边三角形的判定与性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键． 连接与交于点，证明为等边三角形，从而，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接与交于点， ∵为正六边形，，∴为等边三角形，， ∵正六边形的周长约为，，，故选：A． 2．（2024·浙江·模拟预测）2023年8月24日，金砖国家宣布扩容，新增六个国家，使金砖国家数量变为十一个．如图是金砖国家的图标，其可近似看作一个圆内接正五边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，由是正五边形可得，，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求出，从而得解． 【详解】解：五边形是正五边形，，， ，，故选：C． 3．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）正六边形是所有边相等、所有内角相等的六边形．在正六边形的边上取三点，若三点构成的三角形为等边三角形，则称该组成的图形为“优美图形”，等边三角形的边长为“优美边长”．如图，“优美图形”中正六边形的边长为3，则“优美边长”的取值范围为 ． 【答案】（表示“优美边长”） 【分析】本题主要考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，确定“优美边长”最值点的位置成为解题的关键． 根据题意确定“优美边长”最值点的位置，然后分别画出图形，根据正六边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质求解即可解答． 【详解】解：如图：当等边三角形是正六边形内切圆的内接三角形时，等边三角形的边长为“优美边长”有最小值，由正六边形的性质可得：，∴． 如图：当等边三角形是正六边形外接圆的内接三角形时，等边三角形的边长为“优美边长”有最大值，由正六边形的性质可得：， ∴，∴，∴， ∴“优美边长”的取值范围为（表示“优美边长”）．故答案为：（表示“优美边长”）． 弧长及扇形的面积 ⭐技巧积累与运用 与圆有关的面积、长度计算：设的半径为，圆心角所对弧长为， 圆的周长公式： 圆的面积公式： 扇形弧长公式： 扇形面积公式： 1．（2024·山西·模拟预测）如图，与相切于点A，点E在上，连接，与相交于点C，与相交于点D，已知，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接．证明得，求出，然后根据阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：如图，连接． 是的切线， ．．，， 阴影部分的面积．故选A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质， 扇形的面积公式，证明相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在等腰直角中，已知，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到．则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，扇形的面积，等腰直角三角形的性质，由等腰直角三角形的性质得，，由旋转得，，，即得，再根据计算即可求解，掌握扇形的面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵等腰直角中，，， ∴，，由旋转可得，，， ∴， ∴，故选：． 3．（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）如图正三角形的边长为1，将线段绕点逆时针旋转至，形成第一个扇形；将线段绕点逆时针旋转至，形成第二个扇形；将线段绕点逆时针旋转至，形成第三个扇形；将线段绕点逆时针旋转至，形成第四个扇形……设为第个扇形的弧，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，涉及弧长公式，从图中可以找出规律，弧长的圆心角不变都是，变化的是半径，而且第一次是1，第二次是2，第三次是3，……依此下去，然后按照弧长公式计算．数形结合，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意，从图中可以找出规律：弧长的圆心角不变都是，变化的是半径，第一次是半径1，第二次半径是2，第三次半径是3，……第次半径是， 根据弧长公式得：，，，， ，当时，，故答案为：． 圆锥的相关计算 ⭐技巧积累与运用 1）圆锥侧展开图与扇形的关系：圆锥的侧面展开是一个扇形，其半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。 2）圆锥高h，母线与半径r关系：。 3）圆锥底面半径为r，母线长为，底面周长为C，则侧面积S=。 4）圆锥全面积=侧面积+底面积=。 注：圆锥的相关公式难以记忆，建议牢记圆锥与侧面展开图的图形形式，并理解侧面展开图与扇形之间的关系。相关公式在解题过程中进行推导。 1．（2024·湖北十堰·三模）如图，正六边形的边长为6，点B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角，圆锥的侧面展开图的弧长与底面圆的关系，母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形的关系，弄清弧长与圆锥的底面圆的周长的关系及母线、底面圆的半径和高的关系是解题的关键． 根据正六边形的内角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长就是弧的长，求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，求解． 【详解】解：∵正六边形的边长为6， ∴，∴弧的长为：， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图．∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则，解得：， ∴圆锥的高，故答案为：． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1)15； (2)所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长和面积． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出即可． 【详解】（1）解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为，侧面积为， 故答案为：15；； （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为，由题意得，∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 3．（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可；（2）连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解． 【详解】（1），， ，，扇形纸板的圆心角度数为； （2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值， 由（1）得， , 彩带长度的最小值为． 1．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）在中，，，，以点C为圆心，6为半径作圆，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在上 B．点A在内 C．点A在外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及点与圆的关系，根据勾股定理求出，根据点与圆的位置关系得到与半径大小关系判断即可得到答案； 【详解】解：∵，，，∴， ∵的半径为6，∴，∴点A在内，故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、三角形的外心等弧定义进行判断即可得到正确结论． 【详解】解：（1）不共线的三点确定一个圆，故不符合题意； （2）平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故不符合题意； （3）三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故符合题意； （4）在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧，故不符合题意．故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，熟练掌握定义与性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，半径为10的⊙中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则点到的距离等于（   ） A．8 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的相等关系，垂径定理和三角形中位线性质．作于，作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，再利用圆心角、弧、弦的关系得到，由，根据垂径定理得，可证为的中位线，然后根据三角形中位线性质得到． 【详解】解：作于，作直径，连接，如图， ，， ，，，，， 又，为的中位线，，故选B． 4．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，，是的切线，A，B是切点，点C为上一点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，连接、，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，，根据四边形内角和等于计算，得到答案． 【详解】解：连接、，∵，∴， ∵，是的切线，∴，，∴，故选：C． 5．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）一个半径为的圆内接正六边形的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的内接正多边形的性质，等边三角形的判定及性质，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键．过作于，根据圆内接正多边形的特点，求半径为的圆内接正六边形的面积等于求六个与该圆半径为边长的六个等边三角形的面积，先利用等边三角形的判定及性质得，再利用勾股定理先求出，进而求得三角形的面积从而即可求解． 【详解】解：如图：过作于， 由题意可知，求半径为的圆内接正六边形的面积等于求六个与该圆半径为边长的六个等边三角形的面积，，，∴是等边三角形∴ ∵∴∴ ∵∴， ∴该正六边形的面积为：，故选：． 6．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，经过点，交y轴于点B，若，则点B的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．作轴交y轴于点C，由可得，再由图可知点B在y轴的负半轴上，即可解答． 【详解】解：如图，作轴交y轴于点C， ，轴，，，， 由图可知，点B在y轴的负半轴上，则点B的纵坐标是．故选：C． 7．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，，，一条圆弧经过，，三点，则下列说法中正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为　　　　　B．这条圆弧所在圆的圆心为 C．原点在这条圆弧所在圆上　　　D．点在这条圆弧所在圆外 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，圆的基本概念等知识，设圆心坐标为，根据A、B、C在圆上，可得方程，解方程求出x、y的值，即可得出圆心坐标，半径，然后根据点与圆的位置关系判断选项C、D即可． 【详解】解：设圆心坐标为，∵圆弧经过，，三点， ∴，解得，∴这条圆弧所在圆的圆心为，故选项B正确， ∴这条圆弧所在圆的半径为，故选项A错误； ∵原点到圆心的距离为，∴原点不在这条圆弧所在圆上，故选项C错误； ∵点到圆心的距离为， ∴点在这条圆弧所在圆上，故选项D错误，故选：B． 8．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误B．嘉嘉错误，淇淇正确C．嘉嘉正确，淇淇也正确D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接， ∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴； 同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确； 如图所示，过点O作于D，连接，∴，∴，∵，∴点B到的距离为，故淇淇说法错误，故选：A． 9．（2024·河北石家庄·一模）对于题目“已知⊙O及圆外一点P，如何过点P作出⊙O的切线?”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点G，以点G为圆心，长为半径画弧交于M，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于B，C两点，分别，以P，O为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交于点M，作直线．直线即为所求．    下列说法正确的是（    ） A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误 【答案】A 【分析】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．对于甲的作法，连接，利用基本作图得到垂直平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到，，由于，所以，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断乙的作法正确． 【详解】解：对于甲的作法： 连接 由作法得垂直平分，∴，∴点为以为直径的圆与的交点， ∴，∴，∴为的切线，所以甲的作法正确； 对于乙的作法：由作法得，， ∵，∴，∴，∴为的切线，所以乙的作法正确；故选：A． 10．（24-25九年级上·北京·期中）工人师傅对残破的圆形古画进行修复，将直角尺的三个顶点A，C，B落在圆上，测得，，则这幅圆形古画的半径是 ． 【答案】5 【分析】本题考查圆周角定理和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握圆周角定理推论和勾股定理． 根据圆周角定理可得：是圆的直径，进而直接根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：∵，∴是圆的直径， 在中，，∴， ∴这幅圆形古画的半径是，故答案为：5． 11．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，中，，，，，是的内切圆，求的半径（用含、、的代数式表示）． （1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． 小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． （2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明． 【答案】（1）；；；；（2）相等，证明见解析 【分析】（1）方法一：利用面积法求解；方法二：根据切线长定理，找出、、、的关系，可得答案； （2）利用平方差公式证明即可得到相等． 【详解】解：（1）在中，，，，，是的内切圆，，，分别为切点，的半径为， 方法一：如图，连接，，，，，，∴，，， ∵，∴，∴； 方法二：∵是的内切圆，，，分别为切点，的半径为， ∴，∴四边形是矩形， ∵，∴四边形是正方形，∴， ∵是的内切圆，∴、、都是的切线，切点分别为点，，， ∴，，∴，，， ∴，，∴，∴； 故答案为：；；；； （2）相等．证明：∵，∴， ∵∴． 【点睛】本题考查三角形内切圆，切线的性质，切线长定理，矩形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，等积法，平方差公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，为的内接三角形，，以为边作矩形，使边过点C，交于点 F，连接． (1)当时，求的度数．(2)求证：． 【答案】(1)(2)见解析 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，圆内接四边形，矩形的性质，熟练掌握等弧对等弦，是解题的关键：（1）先证明为等边三角形，得到，再根据圆内接四边形的对角互补，求出的度数即可；（2）证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∴为等边三角形，∴， ∵四边形为圆内接四边形，∴； （2）证明：∵，∴， ∵矩形，∴，∴，∴． 13．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）的半径⊥弦，点D在上（不与点A、B、C重合），．(1)如图，当点D在优弧上时，求的度数； (2)若点D在劣弧上，则的度数为________． 【答案】(1)(2)或 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是：（1）连接，根据垂径定理得出，根据圆心角与等弧的关系可求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可；（2）分点D在上和点D在上讨论，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵半径⊥弦，∴，∴，∴ （2）解：当点D在上时，由（1）知∶， ∵四边形是圆的内接四边形，∴， 当点D在上时，则， 综上，的度数为或．故答案为：或． 1．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，是的直径，弦分别是的内接正六边形和内接正方形的一边．若，下列结论中错误的是（    ） A．的直径为2 B．连接，则 C． D．连接，则 【答案】D 【分析】题目主要考查正多边形的性质及圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．连接，根据正多边形的性质及圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质依次判断即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， A、∵弦是的内接正六边形的一边，， ∵，， ∵是的直径，，∵，， ∴，即的直径为2，选项正确，不符合题意； B、∵是的内接正方形的一边，∴，即，选项正确，不符合题意； C、∵，，，， ∴，∴，选项正确，不符合题意； D、如图，作的角平分线交于点E，连接， ，， ，∴，故选项错误，符合题意；故选：D 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，以第三象限内一点P为圆心，大于的长为半径作，分别交x轴于点A，B，交y轴于点C，D，记该圆面在第一，二，三，四象限内各部分的面积分别为，，，，若是一个定值，则（    ） A．的半径是一个定值 B．是一个定值 C．点P是一个定点 D．点P在一个确定的函数图象上 【答案】D 【分析】该题主要考查了轴对称的性质，圆的相关性质，解题的关键是确定是阴影部分的面积．作关于的对称线段，作关于的对称线段，根据由轴对称性得出是一个定值，即可解答． 【详解】解：如图，作关于的对称线段，作关于的对称线段， 根据对称的性质可得：部分1的面积部分2的面积部分3的面积部分4的面积，部分5的面积部分6的面积，部分7的面积部分8的面积，阴影部分的面积． ∴，设点P的坐标为，∴， ∵是一个定值，∴是一个定值，∴点P在一个确定的函数图象上，故选：D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知为的外接圆，．过作的垂线交延长线于点，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，连接，根据得到垂直平分，据此逐个判断即可． 【详解】解：连接交于，延长交于，连接， ∵，∴，，∴垂直平分， ∴，，设， ∴，∴， ∴当时成立，故A选项不一定成立； ∵过作的垂线交延长线于点，∴，， ∴，，， ∴，故B选项一定成立； ∵所对圆周角，对圆周角，与大小不确定， ∴与大小不确定，即与大小不确定，故C选项不一定成立， ∵中，∴， ∵中，∴，故D选项一定不成立， 综上所述，选项一定成立的是B，故选：B． 4．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，是一个黄金三角形（顶角为的等腰三角形），，作的外接圆．作的平分线交于点，延长交于点；作的平分线分别交，于点，，延长交于点；连接，分别交，于点，．依次连接，，，．以下说法中不正确的是（   ） A．五边形和五边形都是正五边形 B． C．、分别是的三等分点 D． 【答案】C 【分析】先根据是一个黄金三角形，，得，由三角形的内角和性质得，结合的外接圆O，得，再因为的平分线交于点F，延长交于点E，得出，等角对等边，判断A选项是正确的；再证明，则即可判定B选项是正确的；然后根据圆周角定理，得出，证明，即可判定D选项是正确的，据此即可作答． 【详解】解：∵是一个黄金三角形，，∴，∴， ∵的外接圆O，∴， ∵的平分线交于点F，延长交于点E，∴，∴同理， ∵B，D点在角平分线上，∴∴五边形是正五边形，∴， ∴，，∴， ∵，∴，∴，， 同理，,,，， ∴， ∵，∴， ∵对顶角相等，∴， ∵∴，∴， 同理得，，，， ∴∵∴ ∴五边形是正五边形，A选项不符合题意； ∵五边形是正五边形， ∴，∴ 即∴，∴即， ∵外项之积等于内项之积，∴，即，故B选项不符合题意； ∵五边形是正五边形，∴∴ ∵，∴，则， ∵，∴，∴，故D选项不符合题意， 根据已有条件，无法证明、分别是的三等分点，故C选项符合题意，故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点C关于直线的对称点不在外，且此时，则称点C是弦的“点”． 如图，已知点，点，在点，，中，点 是弦的“点”；若点F是弦的“点”，则点F的横坐标的最大值为 ． 【答案】 D 【分析】本题考查了新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理； ①取点，连接，，根据新定义得到点都在的圆内或圆上，对称点都在对称圆的圆内或圆上，据此求解即可；②根据新定义得到，点在的内或圆上，取中点为，连接，，，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，且位于上方，当轴时，点横坐标最大，再进行计算即可． 【详解】解：①取点，连接，， ∵点，点，∴，四边形是正方形， ∴点和关于直线对称，∴和关于直线对称， ∵若点C关于直线的对称点不在外，且此时，则称点C是弦的“点”， ∴点都在的圆内或圆上，对称点都在对称圆的圆内或圆上， ∵点到距离，即，点在外，不合题意； 点到距离，即，点在上，符合题意； 点到距离，即，点在外，不合题意； ∴点是弦的“点”,故答案为：D； ②∵点F是弦的“点”，∴，点在的内或圆上， 取中点为，连接，，，则， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，且位于上方，∴当轴时，点横坐标最大， ∵，，∴，，中点， ∴，∴，∴当轴时，点的横坐标， ∴点的横坐标的最大值为，故答案为：； 6．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【答案】(1)能，见解析(2) 【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用．（1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论；（2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积． 【详解】（1）解：如图所示： ∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形， ∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等． 由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系．将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆， 则围成的圆锥形的侧面积．∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度， 如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：， 该侧面展开图的圆心角为． 由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等． ∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁． （2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为，圆心角为， 滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为， 又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半， ∴滤纸重叠部分每层面积． 7．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）是的内接三角形，是的内心，连接交于点，连接、，根据内心的定义，我们很容易证明，根据题设回答以下问题． (1)如图，若关于的对称点恰巧落在上，连接、，则的度数是________． (2)如图，若点、、在一条直线上，且，，求的内心和外心之间的距离． (3)如图，在（）的条件下，是弦弦长线上的一个动点，连接交于点，若，是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)(2)的内心和外心之间的距离(3)为定值，，理由见解析． 【分析】（）根据题意得，又四边形是圆内接四边形，则，再通过即可求解；（）连接，过作于点，过作于点，设与交于点，则，再通过垂径定理得，设半径为，则，又是的内心，则，通过，求出，最后由线段和差即可求解；（）连接，，，，，设与交于点，证明是等边三角形，，在中，由勾股定理得，求出，，然后根据圆内接四边形和邻补角定义得出，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的对称点恰巧落在圆上，∴， ∵四边形是圆内接四边形，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）解：如图，连接，过作于点，过作于点，设与交于点， ∵点、、在一条直线上，∴，∴，， ∴由勾股定理得：，设半径为， 由勾股定理定理：，∴，∴，∴， ∵是的内心，∴，∴， ∴，∴的内心和外心之间的距离； （3）解：为定值，，理由， 如图，连接，，，，，设与交于点，由（）得：， ∵是的内心，∴平分，∴， ∴，∴，，∴是等边三角形，， ∴，，，∴， ∴在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴， ∵四边形是圆内接四边形，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴为定值，． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，三角形的内心和外心，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 8．（2024·河北邯郸·模拟预测）是半圆O的直径，，C为弧上的一个动点． (1)连接，，如图1，求阴影部分面积和的最小值（结果保留π）； (2)如图2，在半圆O的右侧有一，点P在射线上，，，，当与半圆O切于点Q时，求点H到射线的距离；(3)如图3，在点C的运动过程中，将半圆O沿折叠，弧与交于点D，连接．若，直接写出的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查圆的综合，勾股定理，三角形的相似，圆内接四边形的知识；解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．（1）设，，根据可求出，利用求出，然后利用不等式的性质求解即可；（2）过点作于，连接，利用勾股定理求出，证明，得出，即可求解；（3）设点在弧上的对应点为，连接，，，利用三角形内角和定理求出，利用圆内接四边形的性质求出，利用折叠的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解即可； 【详解】（1）解：设，， 是半圆的直径，，，， ，即，， 即，阴影部分面积和的最小值为； （2）过点作于，连接， 是切线，，， ，，，， ∴，，，即， ，故点H到射线AB的距离为； （3）如图，设点在弧上的对应点为，连接，，， ，，，， 折叠，，； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 圆 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一 圆的相关概念 题型二 圆的旋转对称性 题型三 垂径定理 题型四 圆周角与圆心角的关系 题型五 确定圆的条件 题型六 直线与圆的位置关系 题型七 切线长定理及运用 题型八 圆内接正多边形 题型九 弧长及扇形的面积 题型十 圆锥的相关计算 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 圆的相关概念 ⭐技巧积累与运用 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的圆弧记作，读作弧。 同圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；能够重合的两个圆叫做等圆．同圆或等圆的半径相等。 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离为，则有： 点在圆外；点在圆上；点在圆内。 1．（24-25·山东九年级期中）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有 。（填序号） 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）同一平面内，内一点到圆上的最大距离为，最小距离为，则的半径为 ． 圆的旋转对称性 ⭐技巧积累与运用 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。 推论: 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 1．（24-25九年级上·北京西城·期中）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为．下列描述正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（2024·云南昆明·一模）如图，是的直径，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点，，，在上，．求证：． 4．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在中，为的中点，于点，于点 (1)求证：．(2)若，，求四边形的面积． 垂径定理 ⭐技巧积累与运用 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等。 注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量。 1．（2024·广西中考模拟预测）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ） A．两人说的都对 B．小铭说的对，小熹说的反例不存在 C．两人说的都不对 D．小铭说的不对，小熹说的反例存在 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，某铜镜残片呈圆弧型，测得圆弧的两端A，B之间的距离为，上的点到弦的最大距离为，则该铜镜所在圆的半径为 ． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 圆周角与圆心角的关系 ⭐技巧积累与运用 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：圆的内接四边形的对角互补。 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，内接于，连接，已知，且交于点D，下列结论不成立的是（   ） A．　　B．　　C．　　D． 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，为直径，点，在上，如果，那么的度数为（   ） A．20° B．30° C．35° D．70° 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处对读数分别为，，则的度数是 °． 确定圆的条件 ⭐技巧积累与运用 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。 三角形的外接圆的圆心是三角形三边中垂线的交点。 1．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，外接圆的圆心坐标是 ． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，该圆弧所在圆记为，圆心记为 (1)请在图中画出圆心的位置；圆心的坐标为_____ (2)该圆的半径为_____ (3)若点为上一点，且点在轴的正半轴上，则点的坐标为_____ 直线与圆的位置关系 ⭐技巧积累与运用 直线与圆的位置关系: 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下：直线与相离； 直线与相切； 直线与相交。 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）。 和圆心距离等于半径的直线是圆的切线（距离法）。 1．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）已知圆心A到直线m的距离为d，的半径为r，若d、r是方程的两个根，则直线m和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交或相离 D．相切或相交 2．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，交于点B，切于点C，D点在上，若，则为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，与相切于点A，与弦相交于点C，，若，，则的长为 ． 切线长定理及运用 ⭐技巧积累与运用 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和该点的连线平分两条切线的夹角。 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。 直角三角形内切圆的半径与三边的关系： 设、、分别为中、、的对边，面积为，则内切圆半径为，其中．若，则。 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，是正方形的内切圆，点E，F，G，H 分别在正方形的四条边上，和分别为的切线．设和的周长分别为a和b，则下列说法正确的是（　　） A． 　　　B． 　　　　　C． 　　　D．无法比较a与b的大小 2．（24-25九年级上·天津河北·期中）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的面积等于，设，，．    (1)用直尺和圆规作，使点在边上，且与边，都相切；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)计算（1）中所作的的半径等于（    ） A．；B．；C．；D． 圆内接正多边形 ⭐技巧积累与运用 1）设正多边形的边长为，半径为R，边心距为，中心角为；则有关系：。 2）正多边形的一些关系：①正n边形的中线角；②正n边形的周长； ③正n边形的面积。 1．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约为，则的长约为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·模拟预测）2023年8月24日，金砖国家宣布扩容，新增六个国家，使金砖国家数量变为十一个．如图是金砖国家的图标，其可近似看作一个圆内接正五边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）正六边形是所有边相等、所有内角相等的六边形．在正六边形的边上取三点，若三点构成的三角形为等边三角形，则称该组成的图形为“优美图形”，等边三角形的边长为“优美边长”．如图，“优美图形”中正六边形的边长为3，则“优美边长”的取值范围为 ． 弧长及扇形的面积 ⭐技巧积累与运用 与圆有关的面积、长度计算：设的半径为，圆心角所对弧长为， 圆的周长公式： 圆的面积公式： 扇形弧长公式： 扇形面积公式： 1．（2024·山西·模拟预测）如图，与相切于点A，点E在上，连接，与相交于点C，与相交于点D，已知，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在等腰直角中，已知，．如图所示，将绕点按逆时针方向旋转后得到．则图中阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）如图正三角形的边长为1，将线段绕点逆时针旋转至，形成第一个扇形；将线段绕点逆时针旋转至，形成第二个扇形；将线段绕点逆时针旋转至，形成第三个扇形；将线段绕点逆时针旋转至，形成第四个扇形……设为第个扇形的弧，则 ． 圆锥的相关计算 ⭐技巧积累与运用 1）圆锥侧展开图与扇形的关系：圆锥的侧面展开是一个扇形，其半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。 2）圆锥高h，母线与半径r关系：。 3）圆锥底面半径为r，母线长为，底面周长为C，则侧面积S=。 4）圆锥全面积=侧面积+底面积=。 注：圆锥的相关公式难以记忆，建议牢记圆锥与侧面展开图的图形形式，并理解侧面展开图与扇形之间的关系。相关公式在解题过程中进行推导。 1．（2024·湖北十堰·三模）如图，正六边形的边长为6，点B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 3．（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 1．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）在中，，，，以点C为圆心，6为半径作圆，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在上 B．点A在内 C．点A在外 D．不能确定 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，半径为10的⊙中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则点到的距离等于（   ） A．8 B．6 C． D． 4．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，，是的切线，A，B是切点，点C为上一点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）一个半径为的圆内接正六边形的面积等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，经过点，交y轴于点B，若，则点B的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，，，一条圆弧经过，，三点，则下列说法中正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为　　　　　B．这条圆弧所在圆的圆心为 C．原点在这条圆弧所在圆上　　　D．点在这条圆弧所在圆外 8．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误B．嘉嘉错误，淇淇正确C．嘉嘉正确，淇淇也正确D．嘉嘉错误，淇淇也错误 9．（2024·河北石家庄·一模）对于题目“已知⊙O及圆外一点P，如何过点P作出⊙O的切线?”甲乙的作法如图： 下列说法正确的是（    ） 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点G，以点G为圆心，长为半径画弧交于M，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于B，C两点，分别，以P，O为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点D，连接，交于点M，作直线．直线即为所求．    A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误． C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误 10．（24-25九年级上·北京·期中）工人师傅对残破的圆形古画进行修复，将直角尺的三个顶点A，C，B落在圆上，测得，，则这幅圆形古画的半径是 ． 11．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，中，，，，，是的内切圆，求的半径（用含、、的代数式表示）． （1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． 小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． （2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明． 12．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，为的内接三角形，，以为边作矩形，使边过点C，交于点 F，连接．(1)当时，求的度数．(2)求证：． 13．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）的半径⊥弦，点D在上（不与点A、B、C重合），．(1)如图，当点D在优弧上时，求的度数； (2)若点D在劣弧上，则的度数为________． 1．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，是的直径，弦分别是的内接正六边形和内接正方形的一边．若，下列结论中错误的是（    ） A．的直径为2 B．连接，则 C． D．连接，则 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，以第三象限内一点P为圆心，大于的长为半径作，分别交x轴于点A，B，交y轴于点C，D，记该圆面在第一，二，三，四象限内各部分的面积分别为，，，，若是一个定值，则（    ） A．的半径是一个定值 B．是一个定值 C．点P是一个定点 D．点P在一个确定的函数图象上 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知为的外接圆，．过作的垂线交延长线于点，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，是一个黄金三角形（顶角为的等腰三角形），，作的外接圆．作的平分线交于点，延长交于点；作的平分线分别交，于点，，延长交于点；连接，分别交，于点，．依次连接，，，．以下说法中不正确的是（   ） A．五边形和五边形都是正五边形 B． C．、分别是的三等分点 D． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于的弦和不在直线上的点C，给出如下定义：若点C关于直线的对称点不在外，且此时，则称点C是弦的“点”． 如图，已知点，点，在点，，中，点 是弦的“点”；若点F是弦的“点”，则点F的横坐标的最大值为 ． 6．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 7．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）是的内接三角形，是的内心，连接交于点，连接、，根据内心的定义，我们很容易证明，根据题设回答以下问题． (1)如图，若关于的对称点恰巧落在上，连接、，则的度数是________． (2)如图，若点、、在一条直线上，且，，求的内心和外心之间的距离． (3)如图，在（）的条件下，是弦弦长线上的一个动点，连接交于点，若，是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 8．（2024·河北邯郸·模拟预测）是半圆O的直径，，C为弧上的一个动点． (1)连接，，如图1，求阴影部分面积和的最小值（结果保留π）； (2)如图2，在半圆O的右侧有一，点P在射线上，，，，当与半圆O切于点Q时，求点H到射线的距离；(3)如图3，在点C的运动过程中，将半圆O沿折叠，弧与交于点D，连接．若，直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$