第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（寒假预科讲义）-2025年高一数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 2．（5分）（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知平面向量 满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 3．（5分）（23-24高一下·广东广州·期中）在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 5．（5分）（24-25高一上·广西柳州·期中）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 6．（5分）（23-24高一下·四川成都·期末）在中，分别为角所对的边，且，，则（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（23-24高一下·贵州·期中）已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（23-24高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·陕西西安·期末）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，且、、、四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则非零向量与共线 C．在中，若，则点一定在角的平分线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 10．（6分）（23-24高一下·江西宜春·期末）已知，，则正确的有（   ） A． B．与方向相反的单位向量是 C．与的夹角为 D．与平行 11．（6分）（23-24高一下·四川泸州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则是钝角三角形 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知向量的夹角为，且，则 . 13．（5分）（23-24高一下·广东广州·期中）如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则 . 14．（5分）（23-24高一下·重庆·期末）如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 16．（15分）（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 17．（15分）（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 18．（17分）（23-24高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 19．（17分）（23-24高一下·广东广州·期中）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案.问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知________. (1)求角C； (2)若，的面积，求的周长. （注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ） A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B．若，则 C．若，，则 D．对任一非零向量，是一个单位向量 【解题思路】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【解答过程】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D. 2．（5分）（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知平面向量 满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【解题思路】根据可得，利用可得结果. 【解答过程】∵，∴， ∴. ∵，∴，即， ∴，故. 故选：D. 3．（5分）（23-24高一下·广东广州·期中）在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平面向量的线性运算结合图形即可得解. 【解答过程】由D为BC的中点，E为边上的点，且， 得.    故选：C. 4．（5分）（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【解题思路】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解. 【解答过程】由， 知四边形的对角线相互平分且相等， 所以四边形为矩形. 故选：D. 5．（5分）（24-25高一上·广西柳州·期中）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据投影向量公式，与题中给出的投影向量比较，可求出, 用公式求出与夹角余弦值，确定夹角大小. 【解答过程】因为在上的投影向量为， 则，， ， 所以与的夹角为. 故选：B. 6．（5分）（23-24高一下·四川成都·期末）在中，分别为角所对的边，且，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正弦定理，将角化边，再用余弦定理的推论得到，再次用余弦定理的推论求解即可. 【解答过程】因为， 所以， 因为， 所以， 化简得， 将代入可得， 所以， 所以. 故选：C. 7．（5分）（23-24高一下·贵州·期中）已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（    ） A． B． C． D． 【解题思路】方法一：根据三点共线的结论可得，结合数量积运算即可；方法二：作投影，结合数量积的几何意义运算求解；方法三：建系，可得，结合数量积的坐标运算求解. 【解答过程】方法一：因为共线， 设， 即， 则，解得， 所以 方法二：过点连接的中点，过点分别做边的垂线，垂足分别是， 易得， 则在边上的投影是， 所以； 方法三：以边的中点为坐标原点，以边为轴建立如图所示直角坐标系，    则， 设， 因为共线可得，解得， 即，可得， 所以. 故选：A. 8．（5分）（23-24高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式即可求解. 【解答过程】因为，， 所以 即， ，解得， ， ， ， . 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（23-24高一下·陕西西安·期末）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，且、、、四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则非零向量与共线 C．在中，若，则点一定在角的平分线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 【解题思路】利用向量得定义、共线向量得概念判断A、B、D，利用单位向量得定义与加法得平行四边形法则判断与的角平分线的关系，即可判断C. 【解答过程】对于A，如果在线段上，，为线段的四等分点，满足，且，但、、、四点不能构成平行四边形，故A错误； 对于B，设为非零实数，且，则非零向量与共线，故B正确； 对于C，因为，分别为向量，方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线重合， 又，可得向量所在直线与的角平分线重合，所以点一定在角的平分线上，故C正确； 对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，故D错误. 故选：BC. 10．（6分）（23-24高一下·江西宜春·期末）已知，，则正确的有（   ） A． B．与方向相反的单位向量是 C．与的夹角为 D．与平行 【解题思路】对于A，直接求出，判断答案即可；对于B，先求出与同向的单位向量，再求得方向相反的单位向量即可判断；对于C，直接求出夹角的余弦值即可判断；对于D，由是否符合共线的坐标表示即可判断. 【解答过程】对于A，由，，则， 故选项A正确； 对于B，与同向的单位向量， 则与方向相反的单位向量是，故选项B错误； 对于C，设与的夹角为，则， 再由，则，故选项C正确； 对于D，由， 所以与不平行，故选项D错误. 故选：AC. 11．（6分）（23-24高一下·四川泸州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则是钝角三角形 【解题思路】A中，由三角形内角和定理及诱导公式，可得，判断出A的真假；B中，由角的比值及三角形内角和定理，可得的大小，由正弦定理可得的值，判断出B的真假；C中，由正弦定理及三角形中大边对大角的性质可得，判断出C的真假；D中，由正弦定理及余弦定理可得角C为钝角，即判断出三角形的形状，可得D的真假. 【解答过程】A中，在三角形中，，所以A不正确； B中，，又因为，可得， 由正弦定理可得：，所以B不正确； C中，在三角形中，，由正弦定理可得，由大边对大角，可得，所以C正确； D中，因为， 由正弦定理可得，所以， 因为，所以C为钝角，即该三角形为钝角三角形，所以D正确. 故选：CD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知向量的夹角为，且，则 1 . 【解题思路】先利用向量数量积运算法则计算出，从而得到模长. 【解答过程】 ， 故. 故答案为：1. 13．（5分）（23-24高一下·广东广州·期中）如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则 . 【解题思路】令，作为基底，将表示出来，再根据向量的数量积公式求夹角即可. 【解答过程】设，，则， ，又，， 所以 ． 故答案为：. 14．（5分）（23-24高一下·重庆·期末）如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高 15米 ． 【解题思路】由题意可得，，在中，由余弦定理可得的大小． 【解答过程】由题意可得，则， 因为，所以， 在中，，米， 由余弦定理可得， 即， 整理可得， 可得或（舍． 故答案为：15米． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【解题思路】运用相等向量，相反向量概念可解. 【解答过程】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有，，；与相反的向量有，. （2）方向相同，大小相等的向量是相等向量. 则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 16．（15分）（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【解题思路】（1）应用向量的线性运算计算即可； （2）应用向量的线性运算计算即可； （3）应用向量的线性运算计算即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 17．（15分）（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 【解题思路】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出，进而得到； （2）计算出，结合（1）可得，证明出结论. 【解答过程】（1）由题可知， ， （2） ，且有公共点M ，，三点共线. 18．（17分）（23-24高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 【解题思路】（1）利用向量的加减运算法则，以为基底表示出得出的取值可得结论； （2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出的取值范围； 法2：利用极化恒等式得出，即可得出结果. 【解答过程】（1）如下图所示： 由可得， 所以， 又，可得 所以； （2）法1：以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，则， 由点是线段上的动点（含端点），可令， 所以，则， 所以， 由二次函数性质可得当时取得最小值； 当时取得最大值； 可得 法2：取中点，作垂足为，如下图所示： 则 显然当点位于点时，取到最大值3，当点位于点时，取到最小值， 可得. 19．（17分）（23-24高一下·广东广州·期中）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案.问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知________. (1)求角C； (2)若，的面积，求的周长. （注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.） 【解题思路】（1）选择条件①②，利用正弦定理边化角，再借助和角的正弦公式计算角C. （2）由（1）及三角形面积求出，利用余弦定理求出c，即可求出周长. 【解答过程】（1）选择条件①，，由正弦定理得， 则， 整理得，又，则，而， 所以. 选择条件②，， 由正弦定理得， 则， 整理得，而，则，而， 所以. （2）由（1）知，由的面积，得， 即， 解得，由余弦定理得， 所以的周长为. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$