第06讲 复数的四则运算（寒假预科讲义）-2025年高一数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第06讲 复数的四则运算 【人教A版2019】 模块一 复数的四则运算 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意,,∈C，有 ①交换律：+=+； ②结合律：(+)+=+(+). (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差 -对应的向量是-，即向量. 如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+ =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意,,∈C，有 ①交换律：=； ②结合律：()=()； ③分配律：(+)=+. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，,和正整数m,n，有=， =，=. 4．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (1)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 5．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 【题型1 复数的加、减运算】 【例1.1】（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的减法法则运算即可求解. 【解答过程】． 故选：C. 【例1.2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若复数满足，则（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】根据复数代数形式的加减运算法则计算可得. 【解答过程】因为， 所以. 故选：B. 【变式1.1】（2024高一下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】根据题意由复数的加减法运算法则，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 【变式1.2】（2024高一下·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【解题思路】根据题意，结合复数的加法与减法的运算法则，准确运算，即可求解. 【解答过程】（1）解：由复数的运算法则，可得. （2）解：由复数的运算法则，可得. （3）解：由复数的运算法则，可得. （4）解：由复数的运算法则，可得. 【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】 【例2.1】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【解答过程】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 【例2.2】（23-24高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数减法的几何意义求得，再根据模长公式即可求解. 【解答过程】因为，又向量分别表示复数， 所以表示复数， 所以. 故选：B. 【变式2.1】（23-24高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【解答过程】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 【变式2.2】（2024·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解. 【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形， 又因为， 所以由复数加法的几何意义可得， . 故选：C. 【题型3 复数的乘除运算】 【例3.1】（23-24高一下·福建厦门·期中）已知复数z在复平面内对应的点是，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的几何意义，写出复数，在运用复数的除法运算化简即可. 【解答过程】因为复数在复平面内对应的点为, 所以, 所以, 故选：C. 【例3.2】（24-25高一下·全国·单元测试）已知，则的值为（    ） A．i B． C． D． 【解题思路】先计算，再由幂的运算求解即可. 【解答过程】因为，所以， 所以 故选：B. 【变式3.1】（23-24高一下·山东青岛·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数除法以及共轭复数的概念直接求解. 【解答过程】由题意知， 所以. 故选：B. 【变式3.2】（23-24高一下·江苏常州·期末）已知复数满足（是虚数单位），的共轭复数为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【解题思路】由复数的除法、乘法运算，结合共轭复数的概念即可求解. 【解答过程】由，可得，所以 所以5. 故选：B. 【题型4 根据复数的四则运算结果求参数】 【例4.1】（23-24高一下·天津红桥·期末）已知 ，为虚数单位，若为实数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意得，又，求解即可. 【解答过程】由于， 因为，则，解得. 故选：C. 【例4.2】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由为实数，为纯虚数列方程求出，进而可得值. 【解答过程】因为为实数，所以，即， 又为纯虚数，所以，即且， 综上可知，所以. 故选：A. 【变式4.1】（2023·四川资阳·模拟预测）已知复数，且，则ab=（    ） A．-9 B．9 C．-3 D．3 【解题思路】由题意可得，化简后利用复数相等即可解得，，从而可解. 【解答过程】由题意可得，则， 从而，，故． 故选：D． 【变式4.2】（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【解题思路】先运用复数的四则运算法则化简，再根据等部复数的定义列方程计算即得. 【解答过程】因，依题意得，. 故选：D. 【题型5 根据复数的四则运算结果求复数特征】 【例5.1】（23-24高二下·陕西咸阳·期中）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】利用复数的运算公式，以及复数的几何意义，即可求解.S 【解答过程】由条件可知， 对应的点是，位于第一象限. 故选：A. 【例5.2】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】先将复数化为一般形式，结合的范围判断出实部和虚部的符号，从而得到答案. 【解答过程】 又，故 故该复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A 【变式5.1】（23-24高二下·江西九江·阶段练习）设复数z的共轭复数为、复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为（    ） A．3 B． C． D． 【解题思路】求出复数z，进而求出复数z的共轭复数为，即可得到答案. 【解答过程】，则.则的虚部为3. 故选：A. 【变式5.2】（23-24高一下·河北·期中）在复平面内，设i是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】由，得，然后根据共轭复数的定义，再确定在复平面内对应的点所在的象限． 【解答过程】由题意知， ， 其共轭复数为， 所以在复平面内对应的点为，位于第三象限． 故选：C． 模块二 复数范围内方程的根 1．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当>0时，方程有两个不相等的实根 ，=； 当=0时，方程有两个相等的实根==-； 当<0时，方程有两个虚根=，=，且两个虚数根互为共轭复 数. 【题型6 复数范围内分解因式】 【例6.1】（24-25高一上·上海·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【解题思路】（1）根据，利用平方差公式即可得解； （2）将原式配成完全平方式，再根据，利用平方差公式即可得解； 【解答过程】（1） （2） . 【例6.2】（24-25高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【解题思路】（1）（2）结合复数运算求得正确答案. 【解答过程】（1）由于， 所以. （2）由于， 所以. 【变式6.1】（24-25高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 【解题思路】将原式配成完全平方式，再根据，即可得解； 【解答过程】（1） . （2）. 【变式6.2】（23-24高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （2）直接根据复数范围的要求分解因式即可. （3）先应用求根公式再写成两个因式相乘； 【解答过程】（1） ； （2）； （3）令，， 解方程可得：，， 所以. 【题型7 复数范围内方程的根】 【例7.1】（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）在复数范围内，方程的根是（    ） A． B． C． D．无解 【解题思路】利用根与系数关系求复数范围内方程的根即可. 【解答过程】由，则方程的根为. 故选：C. 【例7.2】（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知是关于复数的方程的一根，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【解题思路】根据虚根成对原理可得也是方程的根，再由韦达定理计算可得. 【解答过程】因为是关于复数的方程的一根， 所以也是关于复数的方程的一根， 所以， 所以. 故选：C. 【变式7.1】（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. 【解题思路】（1）由已知条件得是方程的另一复数根，再结合韦达定理即可得解. （2）先设，再结合韦达定理和复数模长公式即可求解. 【解答过程】（1）由题意可知是方程的另一复数根， 所以， 所以. （2）设， 则由题意且， 所以， 所以， 解得. 【变式7.2】（23-24高一下·四川雅安·期末）已知复数，（其中）. (1)若为实数，求的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数的值. 【解题思路】（1）利用复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的类型得到方程，解得即可； （2）首先求出，代入方程，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解得即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以， 因为为实数，所以，解得． 故为实数时，的值为． （2）当时，，， 则复数， 因为是方程（，为实数）的一个根， 所以， 化简得， 由，解得. 一、单选题 1．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）若（i为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数运算和共轭复数定义进行计算，求解虚部. 【解答过程】，故的虚部为2. 故选：B. 2．（23-24高一下·辽宁·期末）如果复数满足：，那么 （   ） A． B． C． D． 【解题思路】先设复数,再计算即可求出复数. 【解答过程】设，则, 所以, 所以, 所以. 故选：A. 3．（24-25高一·全国·课后作业）已知、，且，若，则的最大值是（    ）． A．6 B．5 C．4 D．3 【解题思路】设，得到，，计算得到，根据范围得到最值. 【解答过程】设，，故，，则， ， ，当时，有最大值为4. 故选：C. 4．（23-24高一下·江苏·期末）已知复数，则的实部是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用复数的乘方及除法运算求出，进而求出其实部. 【解答过程】依题意，， 所以的实部为. 故选：A. 5．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】根据复数的除法运算化简复数，进而求解其共轭复数，最后求出对应点的坐标即可得解. 【解答过程】由题意，所以， 则复数在复平面内对应的点在第四象限. 故选：D. 6．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是关于x的一元二次方程的一个根，则（    ） A． B． C．4 D．8 【解题思路】根据已知条件，复数和是关于x的一元二次方程的两个根，结合方程的根与系数关系即可求解. 【解答过程】复数是关于x的一元二次方程的一个根， 则方程的另一根为， 故，解得. 故选：A. 7．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 【解题思路】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的模长加减运算数形结合求解即可. 【解答过程】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且，由勾股定理逆定理知道， 为直角三角形，且. 作长方形，如图所示， 则对应的复数为，故. 故选：C. 8．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 【解题思路】根据虚数运算法则和复数的分类，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B错误；根据复数模的计算公式，可判定C正确；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，可判定D正确. 【解答过程】对于A中，由，不是纯虚数，所以A不正确； 对于B中，由，可得， 因为， 所以不是方程的一个复根，所以B不正确； 对于C中，设复数，可得， 所以， 又由，所以，所以C正确； 对于D中，设，由，可得， 所以复数在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环， 其中小圆的半径为，大圆的半径为，其面积为，所以D错误. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高一下·福建厦门·期中）下列命题正确的（    ） A．若复数，则 B．若，，则复数的虚部是2i C．若是关于x的实系数方程的根，则 D．若，则的最小值为1 【解题思路】根据复数运算、复数的模、虚部、方程的根、复数模的几何意义对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】A选项，，A选项正确. B选项，，，，虚部为，B选项错误. C选项，由于是关于x的实系数方程的根， 则是关于x的实系数方程的根， 所以，解得，所以，C选项正确. D选项，表示对应点与点的距离为， 表示对应点与点的距离，结合图象可知，的最小值为， 所以D选项正确. 故选：ACD.    10．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【解题思路】利用复数的除法运算化简可得，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】由可得， 对于A，，故A错误， 对于B，的虚部为，故B正确， 对于C, ，故C正确， 对于D，在复平面内对应的点为，它在第一象限，故D正确， 故选：BCD. 11．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知复数满足，则下列命题是真命题的是（    ） A．的虚部为 B．为纯虚数 C．若与复数 相等，则 D．在复平面内对应的点位于第一象限 【解题思路】首先化简复数，再根据复数的概念及复数的几何意义判断即可. 【解答过程】因为，所以， 所以，则的虚部为，故A正确； 又，所以不是纯虚数，故B错误； 若与复数 相等，则，解得，故C错误； 复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（23-24高一下·新疆·期末）已知，方程的一个根为，则 . 【解题思路】根据复数的乘法运算和复数相等的概念求解. 【解答过程】因为的一个根为， . 故答案为：. 13．（23-24高一下·四川乐山·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 【解题思路】运用复数几何意义，结合平面向量减法运算可解. 【解答过程】复数对应的向量分别是,则 .则向量对应的复数为. 故答案为：. 14．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，则 1 . 【解题思路】设出复数的代数形式，结合复数模的意义列式求解即得.. 【解答过程】设， 由，得，即， 由，，得， 有，整理得， 而， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3) . 【解题思路】（1）利用复数的四则运算法则求解即可. （2）利用复数的四则运算法则求解即可. （3）利用复数的四则运算法则求解即可. 【解答过程】（1） . （2） . （3） . 16．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）已知复数，. (1)求， (2)比较与的大小. 【解题思路】（1）根据给定条件，利用复数加减法计算作答. （2）由（1）的结论，利用复数模的定义计算，再比较大小作答. 【解答过程】（1）复数，， 所以，. （2）由（1）知，，， 而，所以. 17．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）已知复数，i为虚数单位． (1)求的值； (2)求的值． 【解题思路】（1）根据复数的代数形式的乘法与乘方运算化简得解； （2）根据（1）可得，利用周期可求解. 【解答过程】（1）复数(i为虚数单位)， ， ； （2）由（1）可得， 且2019=3673， 所以. 18．（23-24高一下·贵州·期中）已知复数的共轭复数为在复平面上对应的点在第一象限，且满足， (1)求复数； (2)求复数的模长． 【解题思路】（1）设，则，结合题意列式求解即可； （2）由（1）可得，进而可得模长. 【解答过程】（1）设，则， 由题意可得，解得， 又因为在复平面上对应的点在第一象限，即，所以. （2）由（1）可知，则， 所以 . 19．（23-24高一下·湖北武汉·期中）知复数，复数在复平面内对应的点为 (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数. 【解题思路】（1）将代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可； （2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案. 【解答过程】（1）由题意得， 因为复数是关于的方程的一个根， 所以， ， ， 解得，所以. （2）， . 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 复数的四则运算 【人教A版2019】 模块一 复数的四则运算 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意,,∈C，有 ①交换律：+=+； ②结合律：(+)+=+(+). (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差 -对应的向量是-，即向量. 如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+ =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意,,∈C，有 ①交换律：=； ②结合律：()=()； ③分配律：(+)=+. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，,和正整数m,n，有=， =，=. 4．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (1)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 5．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 【题型1 复数的加、减运算】 【例1.1】（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若复数满足，则（    ）． A． B． C． D． 【变式1.1】（2024高一下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1.2】（2024高一下·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【题型2 复数加、减法的几何意义的应用】 【例2.1】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2024·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【题型3 复数的乘除运算】 【例3.1】（23-24高一下·福建厦门·期中）已知复数z在复平面内对应的点是，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（24-25高一下·全国·单元测试）已知，则的值为（    ） A．i B． C． D． 【变式3.1】（23-24高一下·山东青岛·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高一下·江苏常州·期末）已知复数满足（是虚数单位），的共轭复数为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【题型4 根据复数的四则运算结果求参数】 【例4.1】（23-24高一下·天津红桥·期末）已知 ，为虚数单位，若为实数，则（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2023·四川资阳·模拟预测）已知复数，且，则ab=（    ） A．-9 B．9 C．-3 D．3 【变式4.2】（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【题型5 根据复数的四则运算结果求复数特征】 【例5.1】（23-24高二下·陕西咸阳·期中）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例5.2】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5.1】（23-24高二下·江西九江·阶段练习）设复数z的共轭复数为、复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为（    ） A．3 B． C． D． 【变式5.2】（23-24高一下·河北·期中）在复平面内，设i是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 模块二 复数范围内方程的根 1．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当>0时，方程有两个不相等的实根 ，=； 当=0时，方程有两个相等的实根==-； 当<0时，方程有两个虚根=，=，且两个虚数根互为共轭复 数. 【题型6 复数范围内分解因式】 【例6.1】（24-25高一上·上海·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【例6.2】（24-25高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式： (1)； (2)． 【变式6.1】（24-25高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2). 【变式6.2】（23-24高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【题型7 复数范围内方程的根】 【例7.1】（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）在复数范围内，方程的根是（    ） A． B． C． D．无解 【例7.2】（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知是关于复数的方程的一根，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式7.1】（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. 【变式7.2】（23-24高一下·四川雅安·期末）已知复数，（其中）. (1)若为实数，求的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数的值. 一、单选题 1．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）若（i为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·辽宁·期末）如果复数满足：，那么 （   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·全国·课后作业）已知、，且，若，则的最大值是（    ）． A．6 B．5 C．4 D．3 4．（23-24高一下·江苏·期末）已知复数，则的实部是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是关于x的一元二次方程的一个根，则（    ） A． B． C．4 D．8 7．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 8．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 二、多选题 9．（23-24高一下·福建厦门·期中）下列命题正确的（    ） A．若复数，则 B．若，，则复数的虚部是2i C．若是关于x的实系数方程的根，则 D．若，则的最小值为1 10．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第一象限 11．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知复数满足，则下列命题是真命题的是（    ） A．的虚部为 B．为纯虚数 C．若与复数 相等，则 D．在复平面内对应的点位于第一象限 三、填空题 12．（23-24高一下·新疆·期末）已知，方程的一个根为，则 . 13．（23-24高一下·四川乐山·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 14．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知，，，则 . 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3) . 16．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）已知复数，. (1)求， (2)比较与的大小. 17．（23-24高一下·山东泰安·阶段练习）已知复数，i为虚数单位． (1)求的值； (2)求的值． 18．（23-24高一下·贵州·期中）已知复数的共轭复数为在复平面上对应的点在第一象限，且满足， (1)求复数； (2)求复数的模长． 19．（23-24高一下·湖北武汉·期中）知复数，复数在复平面内对应的点为 (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数. 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$