第05讲 复数的概念（寒假预科讲义）-2025年高一数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第05讲 复数的概念 【人教A版2019】 模块一 数系的扩充和复数的概念 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①=-1，即i是方程+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【题型1 复数的分类及辨析】 【例1.1】（23-24高一下·江苏苏州·期中）若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高一下·河北唐山·期中）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 【变式1.1】（23-24高一下·河北沧州·期末）已知复数为纯虚数，则实数（    ） A． B．4 C．0 D．4或 【变式1.2】（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（    ） A．2 B． C．4 D． 【题型2 复数的相等】 【例2.1】（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）已知为虚数单位，，为实数，若，则（    ） A．1 B． C．5 D． 【例2.2】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 【变式2.1】（2024高一·全国·专题练习）已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式2.2】（2024高一·全国·专题练习）若，是虚数单位，，则等于（　　） A． B． C． D． 模块二 复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3) 复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①=z. ②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 4．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【题型3 复数的几何意义】 【例3.1】（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例3.2】（23-24高一下·广西桂林·期末）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3.1】（23-24高一下·广东清远·期中）已知复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点在第三象限 【变式3.2】（23-24高一下·湖北·期末）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型4 复数的向量表示】 【例4.1】（23-24高一·上海·课堂例题）如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高一下·安徽芜湖·期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）设在复平面内，复数和对应的点分别为，则向量表示的复数所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4.2】（23-24高一下·山东青岛·期中）在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【题型5 共轭复数】 【例5.1】（23-24高一下·浙江绍兴·期末）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知复数（为虚数单位），则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5.2】（24-25高二上·重庆·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【题型6 复数的模的计算】 【例6.1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知复数，则（    ） A． B．7 C．5 D．25 【例6.2】（23-24高一下·江西南昌·期末）若复数，则（    ） A．2 B． C． D．1 【变式6.1】（23-24高一下·福建厦门·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式6.2】（23-24高一下·甘肃·期末）若复数满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【题型7 复数的模的几何意义】 【例7.1】（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【例7.2】（23-24高一下·上海·期末）若复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹图形是（  ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线的一支 【变式7.1】（2024高一·上海·专题练习）已知复数且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（  ） A． B．1 C． D．3 一、单选题 1．（2024高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 2．（23-24高一下·重庆·期末）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 4．（23-24高一下·四川遂宁·阶段练习）复数，下列说法不正确的是（ ） A．的实部为2 B．的虚部为 C． D． 5．（24-25高一·全国·课后作业）若，，则复数等于（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 二、多选题 9．（23-24高一下·江苏泰州·期中）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 10．（23-24高一下·河南商丘·期中）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点可能在第三象限 11．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知复数为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B．对应的点在第一象限 C． D．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 三、填空题 12．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是纯虚数，则 . 13．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则 . 14．（23-24高一下·山东临沂·期中）若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 15．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数等于，其中、．求x、y的值． 16．（23-24高一·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 17．（23-24高一·上海·课堂例题）设在复平面上的点A与点B所对应的复数分别为与，对于下列各组复数，分别求向量和向量所对应的复数： (1)，； (2)，． 18．（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知，复数. (1)若为纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求整数的值. 19．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数与． (1)求及的值； (2)设，满足的点Z的集合是什么图形？ 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 复数的概念 【人教A版2019】 模块一 数系的扩充和复数的概念 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①=-1，即i是方程+1=0的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC. 复数z=a+bi可以分类如下： 复数， 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【题型1 复数的分类及辨析】 【例1.1】（23-24高一下·江苏苏州·期中）若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的虚部概念求解. 【解答过程】z的虚部是. 故选：B. 【例1.2】（23-24高一下·河北唐山·期中）如果复数是纯虚数，，是虚数单位，则（    ） A． B． C．或 D．且 【解题思路】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 【解答过程】解：是纯虚数， 则，解得． 故选：B． 【变式1.1】（23-24高一下·河北沧州·期末）已知复数为纯虚数，则实数（    ） A． B．4 C．0 D．4或 【解题思路】根据纯虚数的概念列出方程组，解之即得. 【解答过程】复数为纯虚数．所以，解得. 故选：B． 【变式1.2】（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（    ） A．2 B． C．4 D． 【解题思路】利用纯虚数的定义，列关于m的方程，解方程即可求复数z，然后根据虚部的定义即可求解. 【解答过程】因为复数为纯虚数，所以，解得， 当时，，不符合题意，舍去；所以，即， 所以复数的虚部为4， 故选：C. 【题型2 复数的相等】 【例2.1】（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）已知为虚数单位，，为实数，若，则（    ） A．1 B． C．5 D． 【解题思路】根据复数相等的充要条件可得，即可求解. 【解答过程】由可得，所以5， 故选：C. 【例2.2】（23-24高一下·福建泉州·期中）已知，，且，则，的值分别为（    ） A．1， B．4，1 C．，1 D．1，3 【解题思路】利用复数相等的定义，列式求解即可. 【解答过程】因为，，且，则，，解得. 故选：C. 【变式2.1】（2024高一·全国·专题练习）已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【解题思路】根据复数相等求解即可. 【解答过程】依题意，得，解得， 所以. 故选：A. 【变式2.2】（2024高一·全国·专题练习）若，是虚数单位，，则等于（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数相等得到方程组，求出、的值，即可得解. 【解答过程】因为（）， 所以，即， 所以. 故选：D. 模块二 复数的几何意义 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3) 复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①=z. ②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 4．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【题型3 复数的几何意义】 【例3.1】（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】根据复数的几何意义判断即可. 【解答过程】在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 【例3.2】（23-24高一下·广西桂林·期末）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】由坐标判断象限即可. 【解答过程】复数在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限. 故选：B. 【变式3.1】（23-24高一下·广东清远·期中）已知复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点在第三象限 【解题思路】根据复数虚部、共轭复数、模和对应点坐标所在象限的知识，选出正确选项. 【解答过程】复数的虚部为，故A不正确； ，故B不正确； ，故C正确； 在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D不正确. 故选：C. 【变式3.2】（23-24高一下·湖北·期末）当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】根据复数的运算法则和复数的几何意义可得，结合即可下结论. 【解答过程】, 所以该复数在复平面所对应的点的坐标为， 又，所以， 所以点位于第四象限. 故选：D. 【题型4 复数的向量表示】 【例4.1】（23-24高一·上海·课堂例题）如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量、复数的坐标表示等知识求得正确答案. 【解答过程】依题意，向量所对应的复数是，对应坐标为， 所以向量对应的坐标为，对应的复数为. 故选：A. 【例4.2】（23-24高一下·安徽芜湖·期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解. 【解答过程】由题意可得，， 所以， 所以向量对应的复数为. 故选：A. 【变式4.1】（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）设在复平面内，复数和对应的点分别为，则向量表示的复数所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】由题设写出A、B的点坐标，进而得到对应的点坐标，即可判断其对应点所在象限. 【解答过程】由复数的几何意义知，，故， 所以表示的复数所对应的点位于第四象限. 故选：D. 【变式4.2】（23-24高一下·山东青岛·期中）在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量减法法则得到，求出对应的复数. 【解答过程】由题意得，故对应的复数为. 故选：B. 【题型5 共轭复数】 【例5.1】（23-24高一下·浙江绍兴·期末）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据共轭复数的定义可以求得. 【解答过程】由共轭复数的定义可得，复数的共轭复数为， 故选：B. 【例5.2】（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知复数（为虚数单位），则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用共轭复数的定义即可求解. 【解答过程】因为复数，所以的共轭复数. 故选：B. 【变式5.1】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】先求出复数的共轭复数，然后可求出共轭复数对应的点所在的象限. 【解答过程】因为，所以， 所以在复平面对应的点位于第四象限. 故选：D. 【变式5.2】（24-25高二上·重庆·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据复数的几何意义得到，再利用共轭复数的定义，即可求解. 【解答过程】因为复数对应的点的坐标是，得到，所以， 故选：B. 【题型6 复数的模的计算】 【例6.1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知复数，则（    ） A． B．7 C．5 D．25 【解题思路】利用复数的模的公式计算即可. 【解答过程】因为复数，所以. 故选：C. 【例6.2】（23-24高一下·江西南昌·期末）若复数，则（    ） A．2 B． C． D．1 【解题思路】利用求出复数，再根据模长公式即可求解. 【解答过程】复数,所以. 故选：C. 【变式6.1】（23-24高一下·福建厦门·期末）若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【解题思路】设，结合条件求出，再求模即可． 【解答过程】设，则, 又，则， 解得，即，故. 故选：A. 【变式6.2】（23-24高一下·甘肃·期末）若复数满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【解题思路】根据模的计算公式，将转化为，再通过不等式即可求解. 【解答过程】设在复平面内对应的点的坐标为，即， 则， 由，得，即， 所以. 因为，所以， 所以，所以，所以的最大值为2. 故选：C. 【题型7 复数的模的几何意义】 【例7.1】（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【解题思路】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【解答过程】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 故选：B. 【例7.2】（23-24高一下·上海·期末）若复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹图形是（  ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线的一支 【解题思路】设，根据复数的几何意义可得，结合圆的一般方程即可下结论. 【解答过程】设， 由，得， 整理得， 所以复数在复平面上对应的点的轨迹图形为圆. 故选：B. 【变式7.1】（2024高一·上海·专题练习）已知复数且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点的距离的最小值即可. 【解答过程】设， ， 则复数对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上， 如图， 的几何意义是点到点的距离， 的最小值是复数对应的点到原点的距离减去半径1， 即. 故选：B. 【变式7.2】（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（  ） A． B．1 C． D．3 【解题思路】利用复数的几何意义及圆中最值问题数形结合计算即可. 【解答过程】的几何意义是复数z对应的点Z到点的距离为1， 即点Z在以点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义是点Z到点的距离． 如图所示，故． 故选：B． 一、单选题 1．（2024高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【解题思路】根据虚数单位的性质判断①，根据虚数不能比较大小判断②④，举反例判断③. 【解答过程】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B. 2．（23-24高一下·重庆·期末）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】根据虚部定义即可求解. 【解答过程】由于，故虚部为. 故选：A. 3．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，复数z对应的向量为 ， 且|z-i|=5， 则向量在向量 上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C．(6.5) D． 【解题思路】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解. 【解答过程】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为． 故选：D. 4．（23-24高一下·四川遂宁·阶段练习）复数，下列说法不正确的是（ ） A．的实部为2 B．的虚部为 C． D． 【解题思路】根据复数的实部、虚部、共轭复数、模等知识确定正确答案 【解答过程】因为，所以实部为2，虚部为3，，. 故选：B. 5．（24-25高一·全国·课后作业）若，，则复数等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用复数相等的条件即可得解. 【解答过程】由，得，则， 根据复数相等的充要条件得，解得， 故． 故选：B． 6．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由复数确定点的坐标，再根据第二象限坐标的特点，解关于的一元一次不等式组即可求出的范围. 【解答过程】复数在复平面上对应的点的坐标为， 根据第二象限坐标的特点可得，从而可得. 故选：D. 7．（23-24高一下·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可. 【解答过程】由题，所以为实数，即， 则有，解得，即a的取值范围为. 故选：A. 8．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【解题思路】设，代入代简可得，则，然后利用二次函数的性质可求出其最小值. 【解答过程】设，则，得 ， 所以，化简得， 所以， 所以 ，当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高一下·江苏泰州·期中）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 【解题思路】A.由判断；B.由复数的实部和虚部判断；C.复数的分类判断；D.由复数的分类判断. 【解答过程】A.当时，为实数，故错误； B.若，则，故错误； C.若，则为实数，故正确； D.若，则是实数，故错误； 故选：ABD. 10．（23-24高一下·河南商丘·期中）已知复数，则下列命题正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．若在复平面内对应的点在直线上，则 D．在复平面内对应的点可能在第三象限 【解题思路】根据复数的分类，即可列出方程或不等式，进而判断A,B;根据复数的几何意义，即可列出方程或不等式，进而可以判断C,D. 【解答过程】对于A，若为纯虚数，则，解得，A正确； 对于B，若为实数，则，所以，此时，B正确； 对于C，在复平面内对应的点为， 所以，即，解得或，C错误； 对于D，若在复平面内对应的点在第三象限，则无解， 所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，D错误. 故选：AB. 11．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知复数为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（    ） A．的虚部为 B．对应的点在第一象限 C． D．若，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 【解题思路】根据复数的性质和对应复平面内对应的点以及复数的几何意义依次判断即可. 【解答过程】对于A：，所以的虚部为，A错误； 对于B：对应的点为，位于第一象限，所以B正确； 对于C：，所以，C正确； 对于D：在复平面内表示到点距离小于等于1的所有的点， 所以形成的图形为以为圆心1为半径的圆，所以面积为，D正确， 故选：BCD. 三、填空题 12．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数是纯虚数，则 4 . 【解题思路】根据纯虚数的定义列出方程组，解出a的值即可. 【解答过程】解：复数是纯虚数， 则，解得. 故答案为：4. 13．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则 . 【解题思路】先利用待定系数法、纯虚数的概念求出，然后根据模的计算公式求解即可. 【解答过程】由题意设， 则是纯虚数当且仅当， 解得，所以. 故答案为：. 14．（23-24高一下·山东临沂·期中）若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 【解题思路】根据对应的点在第三象限，则实部虚部均小于列不等式即可求解. 【解答过程】由题意得，解得， 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【解题思路】根据复数相等列出方程组，解出，的值． 【解答过程】解：由题意，， 可得， 由，解得， 则， 解得，． 故、的值分别为4，3． 16．（23-24高一·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 【解题思路】（1）由虚部为0，求解的值； （2）由虚部不为0求解值； （3）由实部为0且虚部不为0，求解值. 【解答过程】（1）若为实数，则，即； （2）若为虚数，则，即； （3）若为纯虚数，则且，即. 17．（23-24高一·上海·课堂例题）设在复平面上的点A与点B所对应的复数分别为与，对于下列各组复数，分别求向量和向量所对应的复数： (1)，； (2)，． 【解题思路】根据复数的几何意义及向量的运算法则即可求解 . 【解答过程】（1）因为 所以, 所以, 对应复数为 ; , 对应复数为 . （2）因为 所以， 所以, 对应复数为 ， , 对应复数为 . 18．（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知，复数. (1)若为纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求整数的值. 【解题思路】（1）由为纯虚数，求出的值，从而得到复数，求解模长即可； （2）在复平面内对应的点位于第二象限，求出的取值范围，进而得到整数的值即可. 【解答过程】（1）由于复数为纯虚数， 所以，解得，此时， （2）若在复平面内对应的点位于第二象限， 则，解得， 故整数的值有. 19．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数与． (1)求及的值； (2)设，满足的点Z的集合是什么图形？ 【解题思路】（1）利用求复数模的公式求解即可； （2）利用复数的几何意义，确定出点的集合即可判断． 【解答过程】（1），； （2）由（1）知，设（x、）． 因为不等式的解集是以为圆心，1为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合， 不等式的解集是以O为圆心，2为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合， 所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．    第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$