专题07 平行线的证明（9大题型）-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（北师大版）

专题07 平行线的证明 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 逻辑与推理 题型二 代数问题的证明 题型三 命题及相关概念 题型四 定理与逆定理相关概念 题型五 反证法 题型六 平行线的判定 题型七 平行线的性质 题型八 平行线的性质与判定综合 题型九 三角形内角和定理与外角定理 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 代数推理与证明 ⭐技巧积累与运用 在初中阶段几何证明题的研究煞费苦心，研究各种模型，各种大招。家长、孩子投入大量的精力，到高中发现依然是个渣，高中对初中的平面几何知识要求较低，而函数单调性，奇偶性，数列，三角函数等抽象的代数性证明，迎面而来。恰恰在初中代数证明被忽视，甚至忽略，导致了高中阶段的逻辑思维的断链，问题凸显。而成都近三年中考也破天荒的在B卷填空题（23题）中考查了纯代数类的压轴题，去年福建省也出现了代数推理的证明题。个人觉得这是一个趋势，代数推理证明势必会有一番作为！ 代数证明很有规律性可循基本步骤：①设参转化一般形式；②列式，进行计算或因式分解；③利用相关的代数性质进行讨论分析；④证明结论。 1．（23-24.成都高新区.八年级期末）定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“偶差”勾股数组．例如：，都是“偶差”勾股数组．令，将从小到大排列，分别记为，，，…，（为正整数），则的值为 ． 2．（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ． 3．（2024·福建·中考真题）已知实数满足． (1)求证：为非负数；(2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 提示：因北师大版八年级上未学因式分解，故可用乘法分配律的逆用公式，即：。 逻辑与推理 ⭐技巧积累与运用 在日常生活中，有些问题常常要求我们主要通过分析和推理，而不是计算得出正确的结论，这类判断、推理问题就叫做逻辑推理问题，简称逻辑问题，常用下列三种方法。 1）假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么其相反情况是成立的。 2）列表法：当题设条件比较多需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个矩形表格中。表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。 3）简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据,分析其中存在的规律和方法，从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。 1．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）把一副扑克牌从上到下按照大王、小王、黑桃、红桃、方块、梅花、黑桃、红桃、方块、梅花，、黑桃、红桃、方块、梅花的顺序依次叠成一叠，然后执行步骤①：把整叠牌最上面一张丢掉，再执行步骤②：把整叠牌最上面一张移到整叠牌的最下面，再执行步骤①，再执行步骤②，……，步骤①和步骤②依次执行直至整叠牌只剩下一张，则最后剩下的这张牌是 ． 2．（24-25·成都市·八年级月考）现有五名同学，他们分别来自一中、二中、三中．已知：（1）每所学校至少有他们中的一名学生；（2）在二中的联欢会上，作为被邀请的客人演奏了小提琴；（3）过去曾在三中学习，后来转学了，现在同在同一个班学习；（4）是同一所学校的三好学生．根据以上叙述，可以判断所在的学校为_________． 3．（23-24·北京·八年级阶段练习）甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级的玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的．”乙说：“不是我打破的．”丙说：“甲说谎．”三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是________打破的． 命题及相关概念 ⭐技巧积累与运用 1）命题的概念：判断一件事件的句子叫作命题 2）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题，我们称为真命题 3）假命题：如果题设成立，结论不一定成立的命题，我们称为假命题。 注：“不一定”成立，即只要有一个反例即不成立。 4）逆命题：如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题。如把其中一个称为原命题，那么另一个称为它的逆命题。 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ． 2．（24-25八年级上·湖北·期中）请你写出一个逆命题为真命题的命题 3．（23-24八年级上·重庆·期中）下列命题中原命题和逆命题都是真命题的是（　　） A．如果一个整数的个位数是5，那么这个整数能被5整除 B．如果，那么 C．如果一个三角形被一条线平分成两个面积相等的三角形，那么这条线为这个三角形的中线 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 4．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 定理与逆定理相关概念 ⭐技巧积累与运用 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。 逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它叫做原定理的逆定理。 1．（23-24八年级上·广东·月考）下列语句中属于定理的是（    ） A．在直线上任取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是同位角 C．对顶角相等 D．直线和垂直吗？ 2.（23-24·浙江·八年级专题练习）下列说法错误的是（    ） A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的 C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的 3．（23-24·上海·八年级专题练习）下列定理中，没有逆定理的是（    ）． A．两直线平行，同旁内角互补 B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 C．等腰三角形两个底角相等 D．同角的余角相等 反证法 ⭐技巧积累与运用 反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，经过推理导出矛盾，从而证明原命题。 1.（23-24·广东·普宁八年级阶段练习）用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设（    ） A．三角形中有一个内角小于60° B．三角形中有一个内角大于60° C．三角形中每个内角都大于60° D．三角形中没有一个内角小于60° 2．（23-24·浙江·八年级专题练习）反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知在△ABC中，AB=AC, 求证：∠B＜90°”时，第一步应假设_______． 3．（23-24·湖南长沙·九年级期中）人教版初中数学教科书七年级下册第18－19页告诉我们平行线所具有的3个性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的．九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了． 已知：直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF． 证明：假设 （1） ， 过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF，∴PQ//CD（   （2）  ）， ∵AB//CD，且AB也过点G，∴与（  （3） ）矛盾， 所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF． 请完成上面（1）、（2）、（3）空：(1)___________； (2)___________； (3)请选择合理的依据（    ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 平行线的判定 ⭐技巧积累与运用 平行线的判定 1）同位角相等，两直线平行；2）内错角相等，两直线平行；3）同旁内角互补，两直线平行； 4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行； 即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b； 5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2（用共面知识可证明，此处不证）。 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知与上的点，点，现进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交第步中所画的弧于点，连接．下列结论不能由上述操作结果得出的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24·河南·郑州七年级阶段练习）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（　　） A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4 C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180° 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，平分交于点，过点作且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：；(2)若，，求的度数． 平行线的性质 ⭐技巧积累与运用 平行线的性质 1）两直线平行，同位角相等；2）两直线平行，内错角相等；3）两直线平行，同旁内角互补。 注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系。 1．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)如图1，，点在、内部，，则　　　　； (2)如图2，，点在、外部（的下方），则之间的数量关系为　　　　； (3)如图3，直接写出之间的数量关系为　　　　，并证明．    2．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）已知，平分，点，，分别是射线，，上的动点，，不与点重合），连接，连交射线于点，设． (1)如图1，若，①求的度数；②当α为何值时，D为中点，并说明理由． (2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若，延长交射线于点F，当四边形为“完美四边形”时，求α的值． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，点A在上，点B、C在上．在中，，．点M、Q在直线上，在中，，． (1)将沿直线平移，当点N在上时，请画出示意图并求的度数； (2)将沿直线平移，当以A、Q、N为顶点的三角形中，有两个角相等时，求的度数． 平行线的性质与判定综合压轴 ⭐技巧积累与运用 1. 平行+常规动角类压轴题：结合平行线和动角，要求学生运用角性质和平行线特点进行推理和证明。解答这类题可以加深对平行线性质的理解和动角运算能力。 2. 平行+旋转动角类压轴题：结合平行线和旋转动角，考察学生对旋转动角的理解和应用。需要运用平行线性质和旋转动角规律，解决与平行线相关的旋转问题。 3. 平行线的新定义压轴题：挑战性较高，要求理解并应用平行线的新定义，通过给定条件判断线段是否平行。解答这类题可以加深对平行线定义和判定方法的理解，提高思维和推理能力。 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，直线、与直线交于点M、N， (1)求证：；(2)如图2，点E在直线、之间，在直线右侧，连接、，作，，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，平分，平分，过点K作，求的大小． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，、是一条透明纸带的两边，，P是纸带上一点，连接、． (1)如图1，若，请判断和的位置关系： __________； (2)如图2，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，F是纸带上另一点，连接、，，和的平分线交于点，延长交于点G，．过点E的直线交于点M，交于点N，，直线绕点E以的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，将右侧纸带沿翻折，当和首次重合时，直线停止转动，此时直线翻折后与直线交于点．求直线停止转动时的值及的度数． 三角形内角和定理与外角定理 ⭐技巧积累与运用 1）三角形内角和定理 （1）定理：三角形三个内角和等于180度；（2）直角三角形的两个锐角互余 2）三角形的外角 （1）外角：三角形的一边和另一边的延长线组成的角（一个角的外角有2个） （2）外角性质：三角形的外角等于和它不相邻两内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角；三角形外角和为360度。 1．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（    ） A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②③④ 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点画射线交线段于点C（点C不与点O、点B重合）．若中，有一个内角度数是另一个内角度数的2倍，则的度数是 ． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，AD是的平分线，P为线段AD上一个动点，于点P，交BD的延长线于点E．(1)若，，求和；(2)若，，求的度数； 1．（23-24·河北·八年级阶段练习）在下列各原命题中，逆命题是真命题的是（　　） A．直角三角形两个锐角互余 B．对顶角相等 C．全等三角形对应角相等 D．全等的两个三角形面积相等 2．（23-24·重庆·八年级课前预习）下列结论推理合理的是（    ） A．王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等 B．因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题 C．因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好 D．因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多 3．（23-24·福建·明溪县教师进修学校八年级期中）已知△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC．若用反证法证这个结论，应首先假设(   ) A．∠B＝∠C B．∠B≠∠C C．AB＝AC D．AB≠AC 4．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图是可调躺椅示意图，与的交点为，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．减少 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，高与角平分线交于点，作的平分线分别交，于点，连接交于，若．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广西·期中）“如果，，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 7．（24-25八年级上·四川广安·期中）如图，，则的度数为 ． 8．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）命题：一定是无理数．请判断命题的真假性并说明理由． 9．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，点在边的延长线上，过点作，点是射线上一个点，满足． (1)使用尺规在射线的左侧作，与射线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在中，为最大角且，高和所在的直线交于点． 【探究】求和有什么关系，写出探究过程； 【应用】在钝角中，，高和所在的直线交于点，则的度数为_____ 11．（24-25八年级上·福建三明·期中）自行车尾灯由许多很小的角反射器组成，在汽车大灯的照射下，自行车尾灯能反射出明亮的光，为骑行者提供额外的安全保障，如图1．角反射器的基本原理是光的反射定律，即入射光线、反射光线和法线都位于同一平面内，且反射角等于入射角．根据光的反射定律，在图2中，．角反射器通常由两个相互垂直的平面镜组成，这样的结构使得无论光线从哪个方向入射，经过两次反射后，都能沿着与入射光线相反的方向反射回去，如图3． 以角反射器的直角顶点为坐标原点，两个平面镜分别为轴、轴建立平面直角坐标系如图4．已知入射光线所在直线经轴上点反射到达轴上的点，再经点反射出的光线所在直线为． (1)证明：；(2)若的函数表达式为，求的函数表达式； (3)在（2）的条件下，求直线与之间的距离． 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知： (1)如图1， 若 求证： ； (2)如图2， 若点C在下方时， 求 的度数；(3)如图3，在（2）的条件下，，平分，，若，，求的度数． 1．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ． 2．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）如图1，2，3：已知中，的n等分线与的n等分线分别相交于，试猜想：与的关系．（其中n是不小于2的整数） 首先得到：当时，如图1， ，当时，如图2， ，…如图3，猜想 ． 3．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． (1)如图，入射光线经过次反射后与反射光线交于点．若，求的度数； (2)如图，图，若，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与所在的直线相交于点，，分别写出与之间满足的等量关系是______（直接写出两个结果）． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和），(1)如图1， 求证：；(2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：；(3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数． 5．（23-24·浙江宁波·七年级校考期末）如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分．    (1)如图1，若，，则　 　°，　 　°． (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当时，若，，过点P作交的延长线于点H．将直线绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 6．（23-24·浙江金华·七年级校考阶段练习）如图，已知，P是直线，间的一点，于点F，PE交AB于点E，．    (1)求的度数；(2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当时，求的度数；②当时，求t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平行线的证明 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 逻辑与推理 题型二 代数问题的证明 题型三 命题及相关概念 题型四 定理与逆定理相关概念 题型五 反证法 题型六 平行线的判定 题型七 平行线的性质 题型八 平行线的性质与判定综合 题型九 三角形内角和定理与外角定理 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 代数推理与证明 ⭐技巧积累与运用 在初中阶段几何证明题的研究煞费苦心，研究各种模型，各种大招。家长、孩子投入大量的精力，到高中发现依然是个渣，高中对初中的平面几何知识要求较低，而函数单调性，奇偶性，数列，三角函数等抽象的代数性证明，迎面而来。恰恰在初中代数证明被忽视，甚至忽略，导致了高中阶段的逻辑思维的断链，问题凸显。而成都近三年中考也破天荒的在B卷填空题（23题）中考查了纯代数类的压轴题，去年福建省也出现了代数推理的证明题。个人觉得这是一个趋势，代数推理证明势必会有一番作为！ 代数证明很有规律性可循基本步骤：①设参转化一般形式；②列式，进行计算或因式分解；③利用相关的代数性质进行讨论分析；④证明结论。 1．（23-24.成都高新区.八年级期末）定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“偶差”勾股数组．例如：，都是“偶差”勾股数组．令，将从小到大排列，分别记为，，，…，（为正整数），则的值为 ． 【答案】1012 【分析】本题考查新定义及代数推理，完全平方公式应用，据“偶差”勾股数组找到的关系，找到规律求出即可． 【详解】∵三个正整数，，满足，，且，则称为“偶差”勾股数组， ∴，整理得，，∴必为偶数， 当时，，不合题意；当时，，不合题意；当时，，符合题意，此时， ∴当时，，，此时，故答案为：； 2．（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ． 【答案】 【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解． 【详解】解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为 当，，则第2个智慧优数为；当，，则第3个智慧优数为， 当，，则第4个智慧优数为，当，，则第5个智慧优数为 当，，则第6个智慧优数为；当，，则第7个智慧优数为…… 时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个，列表如下， 观察表格可知当时，时，智慧数为，时，智慧数为， ，时，智慧数为，，时，智慧数为， 第1至第10个智慧优数分别为：，，，，，，，，，， 第11至第20个智慧优数分别为：，，，，，，，，，， 第21个智慧优数，第22个智慧优数为，第23个智慧优数为 故答案为：，． 【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键． 3．（2024·福建·中考真题）已知实数满足． (1)求证：为非负数；(2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 提示：因北师大版八年级上未学因式分解，故可用乘法分配律的逆用公式，即：。 【答案】(1)证明见解析；(2)不可能都为整数，理由见解析． 【分析】本小题考查整式的运算、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．（1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解；（2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可． 【详解】（1）解：因为，所以． 则． 因为是实数，所以，所以为非负数． （2）不可能都为整数． 理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数． ①当都为奇数时，则必为偶数．又，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． ②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数． 又因为，所以．因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． 综上所述，不可能都为整数． 逻辑与推理 ⭐技巧积累与运用 在日常生活中，有些问题常常要求我们主要通过分析和推理，而不是计算得出正确的结论，这类判断、推理问题就叫做逻辑推理问题，简称逻辑问题，常用下列三种方法。 1）假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么其相反情况是成立的。 2）列表法：当题设条件比较多需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个矩形表格中。表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。 3）简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据,分析其中存在的规律和方法，从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。 1．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）把一副扑克牌从上到下按照大王、小王、黑桃、红桃、方块、梅花、黑桃、红桃、方块、梅花，、黑桃、红桃、方块、梅花的顺序依次叠成一叠，然后执行步骤①：把整叠牌最上面一张丢掉，再执行步骤②：把整叠牌最上面一张移到整叠牌的最下面，再执行步骤①，再执行步骤②，……，步骤①和步骤②依次执行直至整叠牌只剩下一张，则最后剩下的这张牌是 ． 【答案】红桃 【分析】本题考查逻辑与推理，理解操作方法是解决本题的突破点；得到所剩牌的规律是解决本题的难点．经过实验可知，扑克牌为张时，总能剩下牌的最后一张，那么张牌，先数出张后，还剩张，那么数出张后的最后一张牌就是所剩的牌． 【详解】解：将54张牌按照上述顺序依次标号为， ∵步骤①：把整叠牌最上面一张丢掉，再执行步骤②：把整叠牌最上面一张移到整叠牌的最下面， ∴如果扑克牌的张数为、、……，依照上述操作方法，剩下的一张牌就是这些牌的最后一张， ∵比小的最大的的幂次方是，， ∴第一轮先丢掉张牌，此时放到牌堆最底下的是原第张牌红桃，牌堆剩下张牌， ∴经过题中步骤最后留下的就是红桃 故答案为：红桃． 2．（24-25·成都市·八年级月考）现有五名同学，他们分别来自一中、二中、三中．已知：（1）每所学校至少有他们中的一名学生；（2）在二中的联欢会上，作为被邀请的客人演奏了小提琴；（3）过去曾在三中学习，后来转学了，现在同在同一个班学习；（4）是同一所学校的三好学生．根据以上叙述，可以判断所在的学校为_________． 【答案】一中 【分析】通过分析题意可知：B与D在同一个班学习，D和E是同一所学校的三好学生，证明B、D、E为同一所学校的人；在二中的晚会上，A、B、E作为被邀请演奏了小提琴，证明他们都不是二中的；B过去曾经在三中学习，后来转学了，证明B不是三中的，所以B只能是一中，D、E也只能是一中． 【详解】解：由B与D在同一个班学习，D和E是同一所学校的三好学生可知： B、D、E为同一所学校的人； 由中的晚会上，A、B、E作为被邀请演奏了小提琴可知：A、B、E都不是二中的； 由B过去曾经在三中学习，后来转学了可知B不是三中的，所以B只能是一中，D、E也只能是一中， 故答案为一中． 【点睛】本题考查推理与论证，完成此类题目思路要清晰，在认真分析题意的基础上找出所给条件中的逻辑关系进行推理，从而得出正确结论． 3．（23-24·北京·八年级阶段练习）甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级的玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的．”乙说：“不是我打破的．”丙说：“甲说谎．”三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是________打破的． 【答案】乙 【分析】本题须分别分析甲、乙、丙三人说的话，再根据三人中只有一人说的是真话，进行推理即可得出结论． 【详解】解：根据题意可得：玻璃是乙打破的 ∵此时乙说：“不是我打破的”则乙说的是假话 甲说：“是丙打破的”也是假话，则丙说：“甲说谎”是真话，∴玻璃是乙打破的符合题意 故答案为乙 【点睛】本题考查推理与论证，在解题时要能根据题意进行推理与论证得出正确答案是本题的关键． 命题及相关概念 ⭐技巧积累与运用 1）命题的概念：判断一件事件的句子叫作命题 2）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题，我们称为真命题 3）假命题：如果题设成立，结论不一定成立的命题，我们称为假命题。 注：“不一定”成立，即只要有一个反例即不成立。 4）逆命题：如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题。如把其中一个称为原命题，那么另一个称为它的逆命题。 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可． 【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 2．（24-25八年级上·湖北·期中）请你写出一个逆命题为真命题的命题 【答案】两直线平行，同位角相等（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题． 根据题意求解即可． 【详解】解：如命题：同位角相等，两直线平行； 逆命题是：两直线平行，同位角相等，真命题． 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）． 3．（23-24八年级上·重庆·期中）下列命题中原命题和逆命题都是真命题的是（　　） A．如果一个整数的个位数是5，那么这个整数能被5整除 B．如果，那么 C．如果一个三角形被一条线平分成两个面积相等的三角形，那么这条线为这个三角形的中线 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】C 【分析】本题考查了整除、绝对值、三角形中线的性质及三角形的外角的性质，命题与定理的知识，解题的关键是掌握以上知识点. 利用整除、绝对值、三角形中线的性质及三角形的外角的性质分别判断即可． 【详解】解：A、如果一个整数的个位数是5，那么这个整数能被5整除，是真命题， 逆命题为如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数是5，是假命题，，不符合题意； B、如果，那么，是假命题，不符合题意； C、如果一个三角形被一条线平分成两个面积相等的三角形，那么这条线为这个三角形的中线，是真命题， 逆命题为如果一条线是三角形的中线，那么这条线把这个三角形平分成两个面积相等的三角形，是真命题，符合题意； D、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C． 4．（23-24八年级下·重庆南岸·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了命题与定理的知识，能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子． 【详解】解：A、满足条件，也满足结论，故A不符合题意； B、不满足条件，故B不符合题意；C、不满足条件，也不满足结论，故C不符合题意； D、满足条件，不满足结论，故D符合题意．故选：D． 定理与逆定理相关概念 ⭐技巧积累与运用 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。 逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它叫做原定理的逆定理。 1．（23-24八年级上·广东·月考）下列语句中属于定理的是（    ） A．在直线上任取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是同位角 C．对顶角相等 D．直线和垂直吗？ 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，同位角、内错角、同旁内角，垂线，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据定理的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、在直线上任取一点E，不是命题，所以不是定理，故A不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是同位角，是假命题，故B不符合题意； C、对顶角相等，是定理，故C符合题意； D、直线和垂直吗？不是命题，所以不是定理，故D不符合题意；故选：C． 2.（23-24·浙江·八年级专题练习）下列说法错误的是（    ） A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的 C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的 【答案】C 【分析】根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】A．任何命题都有逆命题，故A正确，不符合题意； B．真命题的逆命题不一定为真，故B正确，不符合题意； C．任何定理不一定都有逆定理，故C错误，符合题意；D．定理一定是正确的，一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的，故D正确，不符合题意．故选：C． 【点睛】本题考查了命题，定理的相关定义． 3．（23-24·上海·八年级专题练习）下列定理中，没有逆定理的是（    ）． A．两直线平行，同旁内角互补 B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 C．等腰三角形两个底角相等 D．同角的余角相等 【答案】D 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题． 【详解】解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故本选项不符合题意； B、逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项不符合题意；C、逆命题是：如果三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项不符合题意；D、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，是假命题，故本选项符合题意．故选：D． 【点睛】本题主要考查互逆定理的知识，如果一个定理的逆命题是假命题，那这个定理就没有逆定理． 反证法 ⭐技巧积累与运用 反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，经过推理导出矛盾，从而证明原命题。 1.（23-24·广东·普宁八年级阶段练习）用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设（    ） A．三角形中有一个内角小于60° B．三角形中有一个内角大于60° C．三角形中每个内角都大于60° D．三角形中没有一个内角小于60° 【答案】C 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时， 第一步先假设三角形中每个内角都大于60°．故选：C 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 2．（23-24·浙江·八年级专题练习）反证法是数学中经常运用的一类“间接证明法”．用反证法证明：“已知在△ABC中，AB=AC, 求证：∠B＜90°”时，第一步应假设_______． 【答案】∠B≥90° 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明：“已知在△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°．”时， 第一步应假设：∠B≥90°，故答案为：∠B≥90°． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 3．（23-24·湖南长沙·九年级期中）人教版初中数学教科书七年级下册第18－19页告诉我们平行线所具有的3个性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的．九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了． 已知：直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF． 证明：假设 （1） ， 过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF，∴PQ//CD（   （2）  ）， ∵AB//CD，且AB也过点G，∴与（  （3） ）矛盾， 所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF． 请完成上面（1）、（2）、（3）空：(1)___________； (2)___________； (3)请选择合理的依据（    ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】(1)∠BGF≠∠DHF(2)同位角相等，两直线平行(3)C 【分析】（1）根据反证法先假设结论不成立，即∠BGF≠∠DHF； （2）根据平行线的判定条件即可填写；（3）根据平行公理即可选择． (1)解：用反证法证明问题，先假设结论不成立，即∠BGF≠∠DHF (2)同位角相等，两直线平行 (3)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 故选C 【点睛】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证的结果相反的命题，再根据已知条件进行证明，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确． 平行线的判定 ⭐技巧积累与运用 平行线的判定 1）同位角相等，两直线平行；2）内错角相等，两直线平行；3）同旁内角互补，两直线平行； 4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行； 即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b； 5）平行线的传递性：若l1∥l3，l2∥l3，则l1∥l2（用共面知识可证明，此处不证）。 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知与上的点，点，现进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交第步中所画的弧于点，连接．下列结论不能由上述操作结果得出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，尺规作图，全等三角形的判定与性质，根据图形的作法得到相等的线段，证明是关键．证明，根据全等三角形的性质以及平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：由题意可得：，， ，故B正确，不符合题意； ，，故A错误，符合题意；C正确，不符合题意； ，故D正确，不符合题意；故选：A． 2．（23-24·河南·郑州七年级阶段练习）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（　　） A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4 C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180° 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答． 【详解】A、 当∠1=∠2时，内错角相等，两直线平行，所以； B、由∠1=∠2且∠3=∠4可得∠1=∠2=∠3=∠4=90∘，所以； C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行； D、∠1+∠2=180°时，同旁内角互补，两直线平行，所以．故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理是解题的关键．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，平分交于点，过点作且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：；(2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即得，进而得到，据此即可求证； （）由平行线的性质可得，进而得到，再根据三角形外角性质即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，∴ ∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴； （2）解：∵，∴， ∵，∴，∵是的一个外角， ∴． 平行线的性质 ⭐技巧积累与运用 平行线的性质 1）两直线平行，同位角相等；2）两直线平行，内错角相等；3）两直线平行，同旁内角互补。 注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系。 1．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．    (1)如图1，，点在、内部，，则　　　　； (2)如图2，，点在、外部（的下方），则之间的数量关系为　　　　； (3)如图3，直接写出之间的数量关系为　　　　，并证明． 【答案】(1)(2)(3)，证明见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，掌握相关知识并结合题意正确做出辅助线是解题的关键．（1）延长交于点，根据平行线的性质、三角形外角的性质即可求解；（2）根据，得，再由三角形外角的性质即可求证；（3）连接，由，，即可求解． 【详解】（1）解：延长交于点，    ，，， ，，故答案为；； （2）解： ，， ，； （3）证明：，证明：连接并延长，   ，， ，． 2．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）已知，平分，点，，分别是射线，，上的动点，，不与点重合），连接，连交射线于点，设． (1)如图1，若，①求的度数；②当α为何值时，D为中点，并说明理由． (2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若，延长交射线于点F，当四边形为“完美四边形”时，求α的值． 【答案】(1)①；②当时，D为中点，理由见解析 (2)当四边形为“完美四边形”时，α的值是或或 【分析】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得①的度数；②根据可得，，由为中点，根据等腰三角形的性质可得，，可得的值；（2）分两种情况进行讨论：①当时，②当时，分别根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理，直角的度数，可得的值． 【详解】（1）解：如图，①，平分，， ，； ②当时，为中点，理由如下：，，， 为中点，，，，时，为中点； （2）①当时，如图，，，，， ，，； ②当时，，，， ，，， ，． ③当在右边，时， ，，，，， ，，，． 综上所述，当四边形为“完美四边形”时，的值是或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．利用角平分线的性质求出的度数是关键，注意分类讨论思想的运用． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，点A在上，点B、C在上．在中，，．点M、Q在直线上，在中，，． (1)将沿直线平移，当点N在上时，请画出示意图并求的度数； (2)将沿直线平移，当以A、Q、N为顶点的三角形中，有两个角相等时，求的度数． 【答案】(1)图见解析，(2)或或或 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和与外角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）先根据三角形的内角和得到，，然后利用平行线的性质得到，然后在中运用三角形的内角和解题即可； （2）分、、，三种情况分别画图计算即可解题． 【详解】（1）解：如图，∵，，∴， ∵，∴，又∵，，∴， ∴； （2）解：如图，当，则； 如图，当时，则； 如图，当时，∵，∴； 如图，当时，∵，∴； 综上所述，以A、Q、N为顶点的三角形中，有两个角相等时，为或或或． 平行线的性质与判定综合压轴 ⭐技巧积累与运用 1. 平行+常规动角类压轴题：结合平行线和动角，要求学生运用角性质和平行线特点进行推理和证明。解答这类题可以加深对平行线性质的理解和动角运算能力。 2. 平行+旋转动角类压轴题：结合平行线和旋转动角，考察学生对旋转动角的理解和应用。需要运用平行线性质和旋转动角规律，解决与平行线相关的旋转问题。 3. 平行线的新定义压轴题：挑战性较高，要求理解并应用平行线的新定义，通过给定条件判断线段是否平行。解答这类题可以加深对平行线定义和判定方法的理解，提高思维和推理能力。 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，直线、与直线交于点M、N， (1)求证：；(2)如图2，点E在直线、之间，在直线右侧，连接、，作，，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，平分，平分，过点K作，求的大小． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【分析】本题考查平行的判定及基本性质，角度计算，三角形内角和定理，能够在复杂图形中找到对应角度是解题关键．（1）通过对顶角相等及等量代换可知，即可证得平行； （2）根据平行线性质得到，再通过等量代换即可得证； （3）设与交于点，令，，，，，，，，先通过平分线性质，平行线中同旁内角互补得到与的关系，再通过三角形内角和计算得到，再通过圆周角计算即可． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴． （2）证明：∵，，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴． （3）解：如图，设与交于点，令，，，，，，，， ∵平分，平分，∴，， 又∵，∴，，∴，， 又由（2）可知，，∴，∴， 在中，，在中，， 又∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，、是一条透明纸带的两边，，P是纸带上一点，连接、． (1)如图1，若，请判断和的位置关系： __________； (2)如图2，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，F是纸带上另一点，连接、，，和的平分线交于点，延长交于点G，．过点E的直线交于点M，交于点N，，直线绕点E以的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，将右侧纸带沿翻折，当和首次重合时，直线停止转动，此时直线翻折后与直线交于点．求直线停止转动时的值及的度数． 【答案】(1)(2)证明见详解(3)， 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和，翻转的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键；（1）过点作，进而证明，即可求解； （2）过点作，如图2，设与的补角为，，，，进而证明出，即可求证； （3）根据对称性，当时，与会重合，转动速度为，此时，根据在四边形中，且，再列出有关于t的方程，求解的值，进而求出的度数； 【详解】（1）解：过点作，如图1， ，，，， ，，即，， （2）解：过点作，如图2，设与的补角为，， ，，，， ，，，， 即， ，，， （3）解：根据对称性，当时，与会重合，如图，转动速度为，此时， ，，， ，， 在四边形中，且， ， ，， 平分，平分，，， 由（2）可知且， ，， ，， 在四边形中，， ，解得：， 作关于对称点，，，， ，，， ， 三角形内角和定理与外角定理 ⭐技巧积累与运用 1）三角形内角和定理 （1）定理：三角形三个内角和等于180度；（2）直角三角形的两个锐角互余 2）三角形的外角 （1）外角：三角形的一边和另一边的延长线组成的角（一个角的外角有2个） （2）外角性质：三角形的外角等于和它不相邻两内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻内角；三角形外角和为360度。 1．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键； 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④； 【详解】解：，的平分线交于点， ，， ， ，故①正确，符合题意； 平分，，，， ，，故②正确，符合题意； 如图，，，， ， 平分，平分，，， ，， ，故③错误，不符合题意； ，， ，，故④正确，符合题意；综上正确的有：①②④；故选：C 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（    ） A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据是的高，，结合是的角平分线， 平分，得到即可得到，判断①正确；先证明，再证明，可判定②正确；根据得到，结合得到，结合，等量代换即可得到，可判定③正确；延长交于点N，得到，得到，可以判断④错误． 【详解】解：∵是的高，∴，∴， ∵是的角平分线， 平分，∴ ∴，∴，故①正确； ∵是的高，，∴，∵，∴， ∵平分，是的角平分线，∴，，∴， 又∵，∴，∴，∴，故②正确； ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，故③正确；延长交于点N， 在和中，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，故④错误，故选：B 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角的平分线的定义，同一三角形中，大角对大边，直角三角形的特征量，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，三角形内角和定理是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点画射线交线段于点C（点C不与点O、点B重合）．若中，有一个内角度数是另一个内角度数的2倍，则的度数是 ． 【答案】或1或 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，根据题意，对“有一个内角度数是另一个内角度数的2倍”这个条件进行分类讨论，结合三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：∵，∴， ①当是的2倍时，则， ∴，∴； ②当是的2倍时，则点C与点B重合，不符合题意； ③当是的2倍时，则， ∴，∴； ④当是的2倍时，则， ∴，∴； 综上所述，的度数为：或1或．故答案为：或1或． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，AD是的平分线，P为线段AD上一个动点，于点P，交BD的延长线于点E．(1)若，，求和；(2)若，，求的度数； 【答案】(1)，(2)的度数为． 【分析】本题考查了三角形内角定理和三角形外角的性质，角平分线的定义，解题关键是熟记三角形内角和定理，准确进行计算；（1）先求出，再根据角平分线的定义和三角形外角性质求解即可；（2）利用三角形内角和得出，再求出即可． 【详解】（1）解：在中，， ∵AD平分，∴ ． ∵是的外角，∴ ． （2）解：∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵AD平分，∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴，∴的度数为． 1．（23-24·河北·八年级阶段练习）在下列各原命题中，逆命题是真命题的是（　　） A．直角三角形两个锐角互余 B．对顶角相等 C．全等三角形对应角相等 D．全等的两个三角形面积相等 【答案】A 【分析】写出个命题的逆命题，再逐项判断即可求解． 【详解】解：A、逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角三角形，是真命题，故此选项正确，符合题意；B、逆命题是：相等的角是对顶角，是假命题，故此选项错误，不符合题意； C、逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，是假命题，故此选项错误，不符合题意； D、逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题，故此选项错误，不符合题意．故选：A． 【点睛】本题考查了逆命题的真假性，是易错题．易错易混点：本题要求的是逆命题的真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真． 2．（23-24·重庆·八年级课前预习）下列结论推理合理的是（    ） A．王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等 B．因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题 C．因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好 D．因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多 【答案】D 【分析】需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：A. 王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等，不合理； B. 因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题，不合理； C. 因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好，不合理； D. 因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多，合理．故选D． 【点睛】本题考查推理与论证，在解题时要能根据题意进行推理与论证得出正确答案是本题的关键． 3．（23-24·福建·明溪县教师进修学校八年级期中）已知△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC．若用反证法证这个结论，应首先假设(   ) A．∠B＝∠C B．∠B≠∠C C．AB＝AC D．AB≠AC 【答案】C 【分析】根据反证法的步骤，直接选择正确答案得出即可． 【详解】解：若用反证法证这个结论，应首先假设AB＝AC．故选：C 【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 4．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图是可调躺椅示意图，与的交点为，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．减少 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理及外角性质，由内角和定理可得，即得，再根据三角形外角性质可得，进而得，据此即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，如图， ∵，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∴增加，故选：． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，高与角平分线交于点，作的平分线分别交，于点，连接交于，若．下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据角平分线的性质，三角形内角和定理可得，可判定A选项；由此可得，可证，得到，，可判定B选项；根据题意可得，得到，无法判定，可判定C选项；根据，得到，得到，结合可判定D选项；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵，∴，∴， ∵平分，平分，∴， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴，在和中，， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴， 根据已知条件无法判定，故C选项错误，符合题意； ∵，∴，∴， 又∵，∴，故D选项正确，不符合题意；故选：C ． 6．（24-25八年级上·广西·期中）“如果，，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题考查命题真假的判断，写逆命题；先写出命题的逆命题，再判断即可． 【详解】解：命题“如果，，那么”的逆命题是：如果，那么，； 当，那么，或，；故逆命题错误；故答案为：假． 7．（24-25八年级上·四川广安·期中）如图，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解决问题的关键． 先根据三角形内角和定理分别求出，，进而可得答案． 【详解】解：在中，，∴ 在中，，∴， ∴，故答案为：． 8．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）命题：一定是无理数．请判断命题的真假性并说明理由． 【答案】假命题，理由见解析 【分析】本题考查了真假命题的判断，无理数的定义，理解命题的条件与结论的含义是解本题的关键． 假命题，只需举反例就可以，故当时，是有理数，继而得到为假命题． 【详解】解：假命题 当时，是有理数，故命题为假命题． 9．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，点在边的延长线上，过点作，点是射线上一个点，满足． (1)使用尺规在射线的左侧作，与射线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题考查了基本作图，平行线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点，，再以为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧，交前弧于，作射线交射线于点，即可； （2）根据平行线的性质可知，易证，推出，得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的角 （2）证明：，， 在和中，， ，，． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在中，为最大角且，高和所在的直线交于点． 【探究】求和有什么关系，写出探究过程； 【应用】在钝角中，，高和所在的直线交于点，则的度数为_____ 【答案】【探究】或，见解析； 【应用】 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理，理解三角形的高的定义是解决问题的关键．依题意有以下两种情况：①当是锐角三角形时，根据四边形的内角和定等于得，再根据得；②当是钝角三角形时，根据得；综上所述可得出和之间的关系；依题意有以下两种情况：①当是钝角时，由【探究】可知：，②当是钝角时，根据得，综上所述可得出的度数 【详解】和的关系是：或， 探究过程如下：∵在中，为最大角且， ∴有以下两种情况：①当是锐角三角形时，如图1所示： ∵是的高，∴， 根据四边形的内角和定等于得：， ∴，∴， 又∵，∴； ②当是钝角三角形时，如图2所示： ∵是的高，∴，∴， 又∵，∴；∵在钝角中，， ∴有以下两种情况：①当是钝角时，如图3所示： 由【探究】可知：， ②当是钝角时，如图4所示： ∵是的高，∴，∴， 又∵，∴，综上所述：的度数为． 11．（24-25八年级上·福建三明·期中）自行车尾灯由许多很小的角反射器组成，在汽车大灯的照射下，自行车尾灯能反射出明亮的光，为骑行者提供额外的安全保障，如图1．角反射器的基本原理是光的反射定律，即入射光线、反射光线和法线都位于同一平面内，且反射角等于入射角．根据光的反射定律，在图2中，．角反射器通常由两个相互垂直的平面镜组成，这样的结构使得无论光线从哪个方向入射，经过两次反射后，都能沿着与入射光线相反的方向反射回去，如图3． 以角反射器的直角顶点为坐标原点，两个平面镜分别为轴、轴建立平面直角坐标系如图4．已知入射光线所在直线经轴上点反射到达轴上的点，再经点反射出的光线所在直线为． (1)证明：；(2)若的函数表达式为，求的函数表达式； (3)在（2）的条件下，求直线与之间的距离． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】（1）根据，得，，再根据直角三角形的性质推出，再利用平角的定理即可证明；（2）延长与轴负半轴交于点，先证得，推出，得，再根据一次函数的性质即可求解；（3）先求得，再根据勾股定理得，然后利用即可求解． 【详解】（1）证明：依题意得：，，， ∴，∴， ∵，∴，∴ （2）解：延长与轴负半轴交于点，如图所示： ∵解析式为，当时，，∴，， ∵，，∴，又∵，， ∴，∴，∴，由（1）得，，∴的函数表达式为：． （3）解：过点作，交于点， ∵解析式为，当时，，解得， ∴，，中，， ∵，∴，∴，∴， 即直线与之间的距离为． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，直角三角形的两锐角互余，平行线的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定以及一次函数的图象与性质是解题的关键． 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知： (1)如图1， 若 求证： ； (2)如图2， 若点C在下方时， 求 的度数；(3)如图3，在（2）的条件下，，平分，，若，，求的度数． 【答案】(1)见详解(2)(3) 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和判定． （1）根据题意得出，即可得，，即可证明． （2）根据三角形外角的性质得出，再根据平行线的性质即可求解． （3）由（2）知，设，得出，设，根据，得出．根据三角形外角的性质得出，即可得出，再根据，，得出，即，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ，，∴． （2）解：，， ，，． （3）解：由（2）知，设， ∵，平分，∴， 设，∵，．即． ∵是的一个外角， ∴． ∴，∴．， ∵，，∵，， ，即，即， ，，． 1．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ． 【答案】 9 144 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可． 【详解】解：当时，只有一种取法，则；当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，四种取法，则； 故当时，有，，，，，六种取法，则； 当时，有，，，，，，，，九种取法，则； 依次类推，当n为偶数时，， 故当时，，故答案为：9，144． 2．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）如图1，2，3：已知中，的n等分线与的n等分线分别相交于，试猜想：与的关系．（其中n是不小于2的整数） 首先得到：当时，如图1， ，当时，如图2， ，…如图3，猜想 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，当时，用表示出的度数，再由三角形内角和定理即可得出的度数；当时，用表示出的度数，再由三角形内角和定理即可得出的度数，根据与的结论可得出猜想． 【详解】解：∵当时，， ∴； ∵当时，， ∴． 由可知，． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． (1)如图，入射光线经过次反射后与反射光线交于点．若，求的度数； (2)如图，图，若，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与所在的直线相交于点，，分别写出与之间满足的等量关系是______（直接写出两个结果）． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（）由，根据三角形的内角和定理得，又，，则有，最后根据三角形的内角和定理即可求解； （）图同（）理可得，图中 ，， 由内角和定理得，再由三角形外角性质，从而求解； 本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，三角形外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，，∴， ∴； （2）解：如图，∵，∴， ∵，，∴， ∴，∴； 如图，∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故答案为：，． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：平分， （本题不能直接用三角形内角和），(1)如图1， 求证：；(2)如图2， 点K、F分别在 的延长线上， 点C在线段上， 且满足，求证：；(3)如图3， 在（2）的条件下，，且平分，求 的度数． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，等量代换得出，根据内错角相等、两直线平行，可得结论；（2）过点F作，则，由平行线的性质得出，，等量代换可得结论；（3）作，，由平行线的性质推出，设，则，进而得出，结合（2）中结论得出，将代入，可得，进而可得． 【详解】（1）证明：平分，， ，，； （2）证明：如图，过点F作， ，，，， ，，又， ，即； （3）解：如图，作，，由（1）知，， 平分，平分，，，，又，，，； ，，，， 设，则，， ，，， ； 由（2）知，， 即，又，， 整理得，． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差关系，第3问难度较大，解题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质熟练进行等量代换． 5．（23-24·浙江宁波·七年级校考期末）如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分．    (1)如图1，若，，则　 　°，　 　°． (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当时，若，，过点P作交的延长线于点H．将直线绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)27，135(2)(3)或或或或 【分析】（1）延长交于点G，设、交于点H，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和内角和得出关系式，进一步得出结果； （2）类比（1）的方法过程求解即可；（3）分为的三边分别与平行，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长交于点G，设、交于点H， 设，则，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∵，∴，∴， 在和中，，，， ∴，即，∴，故答案为：27，135；       （2）解：如图，延长交于点G，设、交于点H， 设，则，∵，∴， ∵，∴， ∴，在和中， ∵，，， ∴，即，∴； （3）根据题意，需要分三种情况：如图1，当时， ，∴，    如图2，当时，，∴， 如图3，当时，，∴， 如图4，当时，，∴， 如图5，当时，，∴（舍）， 如图6，当时，，∴， 综上所述，或或或或．      【点睛】本题考查平行线的判定、三角形内角和定理及其推论、旋转的性质、四边形内角和，解题的关键是正确分类，找出相等关系列方程． 6．（23-24·浙江金华·七年级校考阶段练习）如图，已知，P是直线，间的一点，于点F，PE交AB于点E，．    (1)求的度数；(2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当时，求的度数；②当时，求t的值． 【答案】(1)(2)①或；②秒或秒或秒 【分析】（1）延长与相交于点G，根据平行线的性质，得到，再根据外角的性质可计算得到结果；（2）①当时，分两种情况，Ⅰ当在和之间，Ⅱ当在和之间，由，计算出的运动时间t，根据运动时间可计算出，由已知（1）的可计算出的度数；②根据题意可知，当时，分三种情况， Ⅰ射线由逆时针转动，，根据题意可知，，，再平行线的性质可得，再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结论； Ⅱ射线垂直后，再顺时针向运动时，，根据题意可知，，，，可计算射线的转动度数，再根据转动可列等量关系，即可求出答案； Ⅲ射线垂直时，再顺时针向运动时，，根据题意可知，，，根据（1）中结论，，可计算出与代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论． 【详解】（1）解：延长与相交于点G，如图1，          ∵，∴， ∵，∴； （2）解：①Ⅰ如图2， ∵，，∴， ∴射线的运动时间，∴射线PN旋转的角度， 又∵，∴； Ⅱ如图3所示，∵，，∴， ∴射线运动的时间，∴射线旋转的角度： 又∵，∴；∴的度数为或； ②Ⅰ当从出发，运动如图4时，，与相交于点H，        根据题意可知，经过t秒，，， ∵，∴， 又∵，∴，解得； Ⅱ射线垂直后，再顺时针向运动时，运动如图5时，， 根据题意可知，，，，射线的转动度数为， 则，又∵，∴，∴，解得； Ⅲ当从出发，运动如图6时，此时垂直后立刻按原速返回的过程中，， 根据题意可知，经过t秒，，， ∵，，∴，， 又∵，∴，∴，解得， 综上所述：满足条件的t的值为秒或秒或秒． 【点睛】本题主要考查平行线性质，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$