专题01 勾股定理及其应用（8大题型）-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（北师大版）

专题01 勾股定理及其应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一 运用勾股定理求线段长度 题型二 运用勾股定理求图形面积 题型三 勾股定理的证明 题型四 格点中的勾股定理的运用 题型五 勾股定理的逆定理的相关运用 题型六 运用勾股定理解决最短路径问题 题型七 运用勾股定理解决翻折问题 题型八 勾股定理在实际生活中的应用 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 运用勾股定理求线段长度 ⭐技巧积累与运用 法1：在直角三角形中，若已知其中两条边，则直接运用勾股定理：（c为斜边）。 法2：若图形中有较多边的长度不知道，则可以利用方程思想，设某些边为未知数，再利用勾股定理建立方程，将求解边长转化为解方程。 法3：若所求线段为垂线段（或高线），则也可使用等面积法求解。 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，，，，，，点是的中点，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，延长交于点F，然后证明，得到，然后利用勾股定理得到，然后解题即可． 【详解】解：延长交于点F， ∵点是的中点，∴，又∵，∴，， ∴，∴，∴， 又∵，∴，∴故答案为： 2．（23-24山西晋中·八年级统考期中）如图，在中，，，为的中点，于点，则的长度为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质得到，根据勾股定理求得的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵，点为中点，∴（三线合一），， ∵，，∴，在中，，， ∴根据勾股定理得： 又，∴，故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理．解题关键在于掌握直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边． 3．（23-24四川成都·八年级校考阶段练习）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，交于点E．若，则 ． 【答案】 【分析】如图所示，连接，由作图方法可知是线段的垂直平分线，则，利用勾股定理求出，设，则，在中，由勾股定理得：，即，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，由作图方法可知是线段的垂直平分线，∴， ∵在中，，∴由勾股定理得：， 设，则，在中，由勾股定理得：， ∴，解得，∴，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 运用勾股定理求图形面积 ⭐技巧积累与运用 运用勾股定理求面积，关键是注意转化思想的应用，即把所求的面积转化到的数量关系中去。 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）欧几里得《几何原本》中给出一种证明勾股定理的方法．如图，在中，，四边形、四边形、四边形和四边形都是正方形．若的面积为3，正方形的面积为13，则正方形的面积为（） A．16 B．19 C．25 D．37 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，三角形面积公式，完全平方公式的应用，熟练根据勾股定理中的边长关系进行转换代入是解题的关键． 设，，，根据三角形的面积表示出，表示出正方形的面积，然后根据勾股定理的出，然后表示出正方形的面积，然后将勾股定理中的边长关系与已知条件代入求解即可． 【详解】解：设，，．的面积为3，，即， 正方形的面积为13，，在中，， 正方形的面积为． 把与代入可得：．所以正方形的面积为25．故选：C． 2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则（   ） A． B．14 C．6 D．3 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理的应用，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 根据正方形的性质得到，，，然后证明出，得到，然后求出，由得到，然后在中利用勾股定理得到，然后利用完全平方公式的变形求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形、、均为正方形， ∴，，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵在中，，∴，∴， ∴，∴，∴，∴．故选：A． 3．（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务． 巧求三角形的面积例题：在中，三边的长分别为，，，求的面积． 解法：如果直接运用公式(a为底边，h为对应的高)求解，那么高h的求解较复杂．进一步观察可发现． 由 （依据1）可知，，1，2构成的三角形为直角三角形，所以可将转化为直角边为1和2的直角三角形的斜边；同理，可转化为直角边为1和3的直角三角形的斜边；可转化为直角边为2和3的直角三角形的斜边．由 （依据2），可把放到如图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积． 启发：如图2，的三边的长分别为，，．请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长均为1)，画出相应的． 任务：(1)材料中的依据1是指 （填“A”或“B”）．依据2是指 （填“C”或“D”）． A．两个锐角互余的三角形为直角三角形    B．勾股定理的逆定理 C．数形结合思想        D．分类讨论思想 (2)画出“启发”中的．(3)求的面积． 【答案】(1)B；C(2)见解析(3) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，网格中画三角形，割补法求面积等知识，运用数形结合思想； （1）由材料知，依据1是勾股定理的逆定理；依据2是数形结合思想； （2）由，，结合网格的特点即可画出； （3）利用割补法求解，即长宽分别为4与2的长方形面积减去三个三角形面积． 【详解】（1）解：由知，这是利用勾股定理的逆定理，即依据1是勾股定理是逆定理；依据2是数形结合思想的运用；故答案为：B；C． （2）解：补全图形如下： （3）解：． 勾股定理的证明 ⭐技巧积累与运用 勾股定理的证明主要利用等面积法解决，即把同一个图形的面积用不同的方法表示出来，最后再利用同一个图形的面积不变，得到等式，化简可得。 1．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：图1：延长，交于点F，如图所示：， ， ∴，即，故图1符合题意； 图2：补成一个边长为的大正方形，如图所示：则大正方形的面积为：，将大正方形看作边长为c的小正方形和四个直角三角形的面积之和，则大正方形的面积为：， ∴，∴，∴，故图2符合题意； 图3：，， ∴，整理得，故图3满足题意； 图4无法证明直角三角三边关系，故图4不符合题意； 综上分析可知：以用来验证勾股定理的有3个．故选：C． 2．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）把两个全等的和如图1放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．(1)连接．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； (2)如图2，在中，是边上的高，，，，设，求x的值.        【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形面积的计算公式． （1）根据，得出，求出，，，根据，即可证明结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出x的值即可． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵， ，， 又∵，∴，∴． （2）解：∵，∴，设，则， 根据勾股定理得：，∴，解得：． 3．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是多少？ (2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？(3)图（1）“赵爽弦图”中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围（实线）周长． 【答案】(1)5(2)见解析(3)76 【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积：（1）设直角三角形的斜边为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，利用大正方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可；（2）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证；（3）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，根据风车的外围周长是，计算求解即可． 【详解】（1）解：设斜边的长为，由题意，得：， ∵，∴，∴小正方形的面积为：； （2）解：图形的总面积可以表示为，也可以表示为， ∴．∴． （3）解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴，由勾股定理得，， ∴这个风车的外围周长是． 格点中的勾股定理的运用 ⭐技巧积累与运用 法1（‌构造直角三角形）：在格点中，可以通过构造直角三角形来运用勾股定理。 法2（‌特殊角度的直角三角形）：‌在格点中，常见的特殊角度直角三角形（30°、45°、60、120°、135°等）这边特殊角的对应边有特殊的数量关系（基础较好的同学建议熟记这些数量关系）。 法3（‌数形结合）：‌在格点中，可以通过数形结合的思想来解决问题。 1．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）设正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，只用无刻度的直尺按要求画图，各顶点（端点）均在格点上．（不写画法，标上字母） (1)在图1的正方形网格中画出格点线段，并画出的中点；（保留画图痕迹） (2)在图2中画出格点，使，，； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积________，点到的距离________． 【答案】(1)图见详解(2)图见详解(3)， 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行四边形的应用，三角形的面积计算，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）根据构造直角三角形即可得出线段，再按照网格线为参考画出平行四边形，对角线的交点，即为的中点．（2）根据，，，分别构造直角三角形，即可得到．（3）根据，得出的面积，再根据，得出点到的距离． 【详解】（1）解：由勾股定理可得线段的长度为，故可画两条长度均为的线段，让其夹角为，再连接两条线段的末端即可得出线段，如图（画法不唯一）： 再分别以为对角线，沿着格点画出个平行四边形，从而连接另外两个端点，形成另一条的对角线，与的相交于点，根据平行四边形两条对角线相互平分，即可得出点即为的中点，如图： （2）解：∵，，， ∴可分别构造直角三角形，画出，，这三边，即可得到，如图： （3）在（2）的条件下，对格点进行标注，如图所示： 可得四边形为矩形，，，均为直角三角形， ∴，，，， ∴， 如图，过点作线段的垂线，垂足为点，∵，，∴， 代入数值可得，∴点到的距离为，故答案为，． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期中）小明对数学课上老师给出的一道思考题“在方格纸上画一个面积为3的三角形”产生了浓烈的兴趣，课后他想进一步探究学习，请你与他一起来完成．（注：方格纸中每个小方格的边长为1） 【思考尝试】（1）如图（1），线段的长为6，请以为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，并直接写出它的另外两边长分别为__________，__________（三角形的顶点均为格点） 【实践探究】（2）如图（2）①，小明截取出方格纸的局部，你能剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的正方形吗？请在图（2）①中画出剪切线，在图（2）②中画出拼成的正方形，并计算它的边长． 【拓展迁移】（3）如图（3），边长分别为的两个正方形和摆放到一起，剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的大正方形，请你在图（3）中画出裁剪线，并画出拼成的大正方形． 【答案】（1），；（2）图见解析，边长为；（3）见解析 【分析】本题考查了复杂作图，掌握勾股定理及正方形的面积公式是解题的关键． （1）线段为底，高为1的三角形，利用勾股定理即可求得另外两边长； （2）拼图：以图（2）①中的虚线为边，拼成一个边长为的大正方形，如图（2）②； （3）将两个正方形分割为1个边长为的正方形和4个两直角边分别为a和b的直角三角形即可． 【详解】解：（1）如图，即为所作， ，，，故答案为：，； （2）拼成的大正方形的面积是5，边长为； 剪切示意图如图（2）①：拼图如图（2）②所示： （3）拼成的大正方形的面积是，边长为； 剪切线如图（3）所示；拼成的图形如图（4）所示： ． 3．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）问题背景：如图，方格纸中每个小方格的边长为1，我们把小方格顶点处的点称为格点． 问题提出：（1）若格点是钝角三角形且面积为6，请在图1中任意画出一个符合要求的格点； 问题探究：（2）若格点满足，，，请在图2中画出一个符合要求的格点，并计算的面积； 问题解决：（3）我们将（2）中求解面积的过程称为构图法，现在有一个三角形的三条边长分别为，，，且满足，．请利用构图法求这个三角形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，；（3）画图见解析， 【分析】（1）根据三角形的面积得出底和高，画出钝角三角形即可； （2）利用数形结合的思想画出图形，再利用割补法求出三角形的面积； （2）构建长为，宽为的长方形网格图，利用数形结合的思想画出图形即可． 【详解】解：（1）如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2）如图2中，即为所求，的面积； （3）如图，网格中小长方形的长为a，宽为b， 则，，，即为所求． 则的面积． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 勾股定理的逆定理的相关运用 ⭐技巧积累与运用 运用勾股定理判定三角形的形状的方法‌：首先确认最长的边，下面我们以c边为最长边为例： 若一个三角形的三边长满足，则该三角形是直角三角形‌。 若一个三角形的三边长满足，则这个三角形是锐角三角形‌。 若一个三角形的三边长满足，则这个三角形是钝角三角形。‌ 1．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，图1是某品牌婴儿车，图是其简化结构示意图．其中与之间由一个固定为的零件连接，即，根据安全标准需满足．淇淇爸爸只有测量长度的工具，且无法直接测量，请你帮他判断该车是否符合安全标准，请说明需要测量哪些数据，并说明如何判断． 【答案】需要测量，，和的长，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，先根据勾股定理求出的长，由，然后由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，即可作判断． 【详解】解：判断该车是否符合安全标准，需要测量，，和的长， 判断如下：在中，，可计算的长，在中，根据， 可判断是直角三角形，，，该车符合安全标准． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，． (1)求小路的长；(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？    【答案】(1)(2)当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先运用勾股定理列式计算，即可作答．（2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，，∴小路的长为； （2）解：如图所示：过B作，    依题意，当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗淇淇的距离最近． ∵，．，∴， 即，∴，则， 即，∴ ∵小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑， ∴，则 当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）【问题背景】在中，，，，且．若为直角，则；若为锐角或钝角，则与之间有怎样的大小关系呢？ 【探究结论】（1）当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 如图1，过点A作，垂足为D．设． ∵在中，，在中，①，①． 化简得，．，，∴②．．． 其中，①是 ；②是 ． （2）如图2，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并证明． 【拓展应用】（3）如图3，在中，为锐角，点D是的中点，点E在上，点F在上．若，，，求长的最大整数值． 【答案】（1）①；②；（2）证明过程见详解；（3）9 【分析】（1）观察推理过程可得答案；（2）仿照（1）可得；（3）延长到，使，连接，，可得，证明，知，，由为锐角，可得，故，从而得长的最大整数值为9． 【详解】解：（1）如图1，过点作，垂足为，设， 在中，，在中，， ，化简得，， ，，，，；故答案为：；； （2）；证明如下：过点作交延长线于，设， 在中，，在中，， ，化简得，， ，，，； （3）延长到，使，连接，， 如图：，，是的垂直平分线，， 为中点，，又，， ，， 为锐角，，即为钝角， 由（2）的结论得：，，，长的最大整数值为9． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及勾股定理及应用，全等三角形判定与性质，垂直平分线的判定与性质等，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 运用勾股定理解决最短路径问题 ⭐技巧积累与运用 最短路径问题我们常借助勾股定理，将军饮马模型，垂线段最短，两点之间线段最短等知识点进行解题。常用方法有下面三种： 法1（用平移法求最值）：平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决。 法2（用对称法求最值）：即运用将军饮马模型解决最值问题。 法3（用展开法求立体图形中最值）：将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)。 1．（24-25八年级上·山西太原·期中）如图1是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均是边长为的正方形，且深为，两个格子之间的隔断厚．图2是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的应用．先根据题意展开得到平面图形，利用根据两点之间线段最短和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：把托盘的隔断和托盘底层展开得到如下图形： 则，，， ∴，即蚂蚁爬行的最短距离为，故选：D 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 【答案】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，解答中涉及勾股定理，将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长， ∴，则，连接，在长方形中，，， 由勾股定理，得， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程．故答案为：． 3．（23-24九年级上·江西南昌·开学考试）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： （1）【提出问题】已知，求的最小值 （2）【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段__________线段__________； ②在（1）的条件下，已知，求的最小值； （3）【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值．    【答案】[解决问题]①、；②；[应用拓展] 【分析】[解决问题]①根据题意，设，则．将和转化为、，即可求解；②如图，作点关于的对称点，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解；[应用拓展] 在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，，勾股定理分别求得，进而根据当、、共线时，最大，勾股定理，即可求解． 【详解】[解决问题]①解：由题意得，，故答案为：、；      ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P，      此时，最小，即和最小，由题意得：，， 则，即的最小值为：；      [应用拓展]如图，在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，， 则，， 当、、共线时，最大，即最大， 且的最大值， 即的最大值为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． 运用勾股定理解决翻折问题 ⭐技巧积累与运用 折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题的关键是巧用轴对称及全等的性质探索折叠中的变化规律，再结合方程思想求折叠中线段的长。 1．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，在直角坐标系中，C点在线段上，D点在线段上，将沿直线折叠后，B点与A重合，则点C坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的折叠问题，设，由折叠可知，，在中，根据列出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设，则，由折叠可知，， 在中，，即：， 解得：，即，∴点坐标是，故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）同学们，我们经常用翻折的方法验证两个图形是否是轴对称，并研究其相关性质，请你用翻折的性质解决下列问题： (1)如图1，将沿着翻折到，则 ， ； (2)如图2，将长方形对折，使得边、边重合，折痕与边、边交于点、点，，，点是边上一点，将沿着折叠得到，线段、线段分别交边于点、点．①当、重合时，线段的长是多少②当点与点重合时，点是边上一点，将沿着线段折叠，使得点落在边上的点，线段的长是多少? 【答案】(1)(2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；（1）根据折叠的性质即可求解；（2）①勾股定理求得，进而求得，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；②设，在中勾股定理求得，进而在中，求得，进而根据线段的和差，即可求解． 【详解】（1）解：将沿着翻折到，则， 故答案为：． （2）（2）①如图所示，设，则，，， 在中， ∴， 在中， ∴解得： ∴， ②如图所示，设，∵折叠，∴ ∵∴∴ ∴ ∴ 在中，，解得： ∴， ∵在中， ∴。 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知，，，点为射线上一点，将沿折叠得，过点作的平行线交所在直线于点，作，垂足为． (1)如图（1），若，求的长；(2)如图（2），若，设，求的值． 【答案】(1)(2)或 【分析】本题考查折叠的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握数形结合的数学思想是解题的关键；（1）根据题意，证明，从而证明，在中，求出的长度，进而求解即可；（2）分两中情况，分别讨论，利用全等三角形的性质和判定，结合勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：将沿折叠得，，， ，，， ，， 在和中，，， 设，在中，，解得：，； （2）解：根据题意，作图如下：设，则 ， 在中， ，解得：， 第二种情况：根据题意作图如下： ，，， ，，，， ，，在中，，解得：， 综上所述：的值为或 勾股定理在实际生活中的应用 ⭐技巧积累与运用 ‌勾股定理在实际生活中的应用非常广泛，主要包括以下几个方面‌： ‌测量问题‌：勾股定理常用于测量某些建筑物的高度‌。 ‌建筑问题‌：在建筑验收时，可以利用勾股定理检测建筑物墙角是否是直角。 ‌航海问题‌：在航海中，可以利用勾股定理确定船只与陆地的距离。‌。 ‌其他实际问题‌：勾股定理还应用于求河宽、求台阶上的地毯长度、判断电视机屏幕尺寸等问题‌。‌设立直角三角形‌：在解决实际问题时，首先要确定是否存在直角三角形，或者通过构造直角三角形来应用勾股定理，当无法得出直角三角形的两条边的长度时，还需要利用方程思想辅助解决。 1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则，由题意，得：， 解得：，即，故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）小明在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置A处，荡绳与地面垂直，荡至右侧最高位置为，荡至左侧最高位置为．已知起始位置A离地面垂直距离为，点B离地面垂直距离为．点B到的水平距离为，．则点C离地面的垂直距离为 m． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，过点作，证明，得到，，设，在中利用勾股定理求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：过点作，由题意，得：，，， ∵，∴，∴，∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：，解得：，∴， ∴； 即：点C离地面的垂直距离为；故答案为：． 3．（24-25七年级上·山东烟台·期中）课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．（1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题：(1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 【答案】(1)24；不会(2)27米(3)25米 【分析】此题考查勾股定理的实际应用．（1）直接用勾股定理求得直角边的长即可；首先求得的长，然后用勾股定理求得线段的长，最后求得线段的长即可；（2）由勾股定理得米，再由即可得出答案；（3）先由题意得米，设米，则米，再根据列关于a的等式方程，解方程得出a，再由勾股定理得出即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，米，米，米， ∴，∴， ∴，， ∴梯子底部不会在水平方向也滑动4米；故答案为：24；不会； （2）解：由题意可得，，，米，米，米， ∴，∴米， ∴米，∴这两面墙之间的距离为27米； （3）解：由题意得，米，米，米，∴米， 设米，则米， 又∵，∴，即，解得：， ∴米，∴梯子的长度是25米． 1．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，学校有一块直角三角形菜地，，．为方便劳作，准备在菜地中间修建一条小路．测量发现，，，，则的长为（    ） A．3m B．4m C．5m D．6m 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理；由得，设，则可得，利用勾股定理建立方程求得x的值，即可得结果． 【详解】解：，； 设，则，， 在中，由勾股定理有：， 即，解得；即．故选：B． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的至少为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，连接，过点A作交的延长线于点C，利用勾股定理即可求得答案，理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】连接，过点A作交的延长线于点C，∴，， 在中，， ∴，∴，故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西·阶段练习）【项目介绍】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统象具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示． 板凳的结构设计体现了数学的对称美． 现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳． 【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④ 【驱动任务二】若A、B、C在同一条直线上，且与地面垂直，如图⑤，小组同学选取的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面与地面距离为，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移 时可将凳高调整为20cm． 【驱动任务三】根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面的边长为，长的木棒恰好能截成 和， 则成品桌子的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，驱动任务二：根据题意先根据勾股定理求出长和重新调整打孔位置后榫眼离点距离然后求差即可解题；驱动任务三：利用列出关于的方程解题即可． 【详解】解：驱动任务二：， 重新调整打孔位置后榫眼离点距离为，∴将榫眼外移距离为：； 驱动任务三：∵长的木棒恰好能截成 和，∴， ∵，∴，解得：，故答案为：；． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，延长至点E，使，则，由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再由勾股定理得，然后证明，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至点E，使， 则，∵，，∴， ∵，∴，，∴， ∴是直角三角形，且，∴， 在和中，，∴，∴，故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数．小明根据自己探究勾股数的过程，列成下表： a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 (1)小明发现：，，，请你根据小明发现的规律写出下一组勾股数：__________； (2)若用（为整数，且）表示，那么、用含的代数式分别表示为__________和_____，请用所学知识说明它们是一组勾股数． 【答案】(1)24，10，26(2)，，证明见解析 【分析】本题考查勾股数，找数字的规律．（1）观察各行勾股数的规律，即可解答； （2）根据（1）中的规律即可得到表示a，c的代数式，并证明即可解答． 【详解】（1）解：∵第一行：，，，第二行：，，， 第三行：，，，∴第四行：，，， 即下一组勾股数是：24，10，26；故答案为：24，10，26 （2）解：∵，∴，， ∵，，， ∴，∴，，是一组勾股数．故答案为：， 6．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）【问题解决】 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高，救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两处个求救点的救援． 【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，． 【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离为多少米才能把完成处救援任务？   【答案】消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：过点作，由题意，得， A，B，D三点在同一直线上． ，，． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得 ． 答：消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务． 7．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，沿海城市测得台风中心在东南方向的处，该台风中心始终以的速度沿北偏西的方向移动． (1)填空：，； (2)当台风中心移动到市正东方向的处时，求、之间的距离？(结果保留根号) (3)距台风中心的圆形区域包括边界都属台风影响区，求市受台风影响的时长？ 【答案】(1)；；(2)、之间的距离为 (3)市受台风影响的时长为 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形的应用，方位角的应用；（1）根据题意，即可得到答案； （2）过作于，设，用表示，，再根据列方程，即可求出从而解决问题；（3）过作于，设台风中心移动到点处时，城市开始受影响；移动到点处时，城市正好结束影响，即在中，求出，从而得到，进一步求出市受台风影响的时长． 【详解】（1）解：由题意知，．故答案为：，； （2）如图，过作于， 由题可得，，， 在中，，设， ∵在中，，∴，∴， ∵，∴解得，∴， 答：、之间的距离为； （3）如图，过作于，在中，，∴km，设台风中心移动到点处时，城市开始受影响；移动到点处时，城市正好结束影响，即． 于点，， 在中，， ， 答：市受台风影响的时长为． 8．（24-25八年级上·广东深圳·期中）为测量学校旗杆的高度，八年级1班的学习小组设计了多种方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题： 测量工具 含45°角的直角三角板、足够长的皮尺 方案一 方案二 方案三 测量方案示意图 设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得 小明站在距离旗杆2.4m的点D处，眼睛距离地面1.6m，视线沿着三角板的一直角边落在旗杆顶部A处，小亮沿着直线垂直移动一高为4m的竹竿，直到小明视线沿着三角板的另一直角边恰好落在竹竿顶部E处，此时测得竹竿距离旗杆12.8m． 如图，旗杆顶端的绳子垂落地面后还多出1m，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． 任务一 判断分析 （1）在方案一中，要确定旗杆的高度应测量_________的长度，请说明理由：_________； 任务二 推理计算 （2）请在方案二或方案三中任选一个方案，并根据测量数据，求旗杆的高度． 【答案】（1）；为等腰直角三角形，；（2）12米 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 对于（1），根据题意及等腰直角三角形的性质解答； 对于选择方案二，作，根据直角三角形的性质得，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案； 选择方案三：设米，则米，根据勾股定理列出方程，求出解即可. 【详解】（1）要确定旗杆的高度应测量的长度； ∵，∴为等腰直角三角形，∴. 故答案为：；为等腰直角三角形，； （2）选择方案二：过点C作分别交于点M，交于点N， 则，∴.∵，∴，∴. 由题可知，米，米，米，米， ∴米，米 ∵，，∴， ∴，∴米.故旗杆的高度为12米. 选择方案三：由题可知，，，， 设米，则米，在中，， 即，解得：，故旗杆的高度为12米. 9．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1．(1)在图①中，A，B，C在格点上，则的度数为__________； (2)在（1）的条件下，连接，请判断的形状，并说明理由； (3)从数据，，，4中选三个数据作为三角形的三边长，在图②中画出此三角形，使三角形的顶点均在格点上． 【答案】(1)(2)是等腰直角三角形，理由见解析(3)见解析 【分析】（1）根据勾股定理逆定理推出是直角三角形，再结合，得到，从而可求出的度数； （2）根据勾股定理逆定理推出是直角三角形，再结合，即可判定是等腰直角三角形； （3）选数据，，，作出即可． 【详解】（1）解：连接，∵，，，∴， ，∴，∴故答案为：． （2）解：是等腰直角三角形． 理由：如图，∵，，， ∴，，∴，∴是等腰直角三角形． （3）解：选数据，，，就是所求． 10．（24-25八年级上·山西运城·期中）阅读与思考：下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． 年月××日　　星期三 巧用方程解决三角形求高问题 法国数学家笛卡尔在《指导思维的法则》一书中写道：“一切问题可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数学问题，而一切代数学问题又都可以转化为方程问题”．可见方程思想对于数学学习的重要性． 今天数学课上，老师提出问题：在中，已知边的长，求点到边的距离． 小亮画出的图形如图①所示：在中，已知：，小亮的同桌小明思索片刻就得出：点到边的距离为5； 小明画出的图形如图②所示：在中，已知：，经过小组讨论，大家得出了如下的解题思路： 请你根据小亮的日记内容完成下列各题：(1)写出小明得出图①中点到距离为5的理由； (2)根据小亮小组讨论的思路，写出图②中点到的距离为 ； (3)根据（2）的解题思路解决下面的问题：如图③，某商场楼梯长，商场准备改善原有楼梯的安全性能，将楼梯长度加长，调整后的楼梯如图所示，占地面的长度增加了，求此楼梯的高度． 【答案】(1)见解析(2)12(3) 【分析】题目考查勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，理解题意，作出辅助线，熟练掌握勾股定理是解题关键．（1）根据勾股定理逆定理确定是直角三角形，即可求解；（2）根据题干思路，利用勾股定理代入求解即可；（3）作交的延长线于D，根据题意得出，设，，然后结合图形利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴，∴是直角三角形，，∴， ∴是点到边的距离，即点到边的距离为5； （2）解：如图②，作于D，设，则， ∵中，，中，， ∴，∴，解得：，即， ∴，∴点到的距离为12，故答案为：12； （3）解：作交的延长线于D， ∵，∴，设，，则， ∵中，，中，， ∴，∴，解得：，即， ∴，∴楼梯的高度为． 1．（2024·重庆·校考一模）如图为一块光学直棱镜，其截面为，所在的面为不透光的磨砂面，，，现将一束单色光从边上的点射入，折射后到达边上的点处，恰有，再经过反射后（即），从点垂直于射出，则光线在棱镜内部经过的路径的总长度为（   ）    A． B． C．（） D． 【答案】B 【分析】由，，得，又，勾股定理可得而，然后求得，证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：，，， ，，，， 在中， ，，，，， ，，是等边三角形， ，，故选：B． 【点睛】本题考查含角的直角三角形三边的关系，等边三角形判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握含角的直角三角形三边的关系． 2．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图1），将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图2），继续折叠纸片，使得点与点重合，折痕是，得到多边形（如图3），将若干个全等的多边形交叉重叠便可得到棒棒糖的糖果部分（如图4）．      （1）图1中的长为 ．（2）图3中的长为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）在直角三角形纸片中，，勾股定理求得，如图1中，设，则，，在中，勾股定理即可求解； （2）设交于点，根据折叠可得，证明，在中，勾股定理求得，进而证明，即可求解． 【详解】解：（1）在直角三角形纸片中，，∴， 如图1中，设，则，， 根据折叠可得，， 在中，，即，解得：，∴，故答案为：． （2）∵折叠，∴，，∴； 在图2中，设交于点，根据折叠可得，∴，    又∵，∴，∴，∴； ∴设，则，在中，， ∴，解得：，∴； 在图3中，∵，∴，∴； 在中，，∴，∴， ∴，∴； ∵，∴；故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）综合与实践：拼搭现代七巧板 素材：如图1是一副现代七巧板，它由七块不规则板块构成，其中有等腰直角三角形，直角梯形，且，半圆与圆的半径相等． 链接：如图2，是小清用现代七巧板拼出的一个人型图案． 问题1：一副现代七巧板各板块的面积和是多少？问题2：图2中人型图案的身高是多少？ 【答案】问题1：；问题2：8 【分析】本题考查勾股定理，线段的和差，理解现代七巧板的组成是解题的关键． 问题1：由得到，，在等腰直角三角形中，根据勾股定理求得，而七巧板的面积等于中间长方形的面积加上三个半圆的面积即可求解； 问题2：如图，过点作于点，得到，证明为等腰直角三角形得到，从而，根据人型的高度为即可解答． 【详解】解：问题1：，，， 是等腰直角三角形，，，， 七巧板各板块的面积和为； 问题2：过点作于点， 由图知，，，即为等腰直角三角形， ，， 人型的高度为：． 4．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）项目主题：监控器最优布设方式 项目背景：台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河流决堤，危害当地居民的生命财产安全． 已知监控器有效监测距离，最大旋转角度；如图所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长度；监控布设线距离河流，任意两个监控器布设点之间的距离相等． 项目方案1：如图2所示，从河流南岸与村落边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；从点处起，使，，即为监控器监测范围． （1）若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案2：为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时； （2）若按方案2进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案3：如图4所示，此时，，且，，则监控器监测范围的距离为． 反思提升：我认为方案_________是最优化方案，原因是__________． 【答案】（1）该水利部门至少需要布设个监控器；（2）该水利部门至少需要布设个监控器；项目方案3：；反思提升：2；理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用；（1）勾股定理求得的长，进而根据河流长度除以的长得出监控器的个数，即可求解；（2）过点作于点，依题意，进而勾股定理求得，设，则，在，中，勾股定理求得，同（1）求得监控器的个数；项目方案3：根据题意得出是等腰直角三角形，即可求解； 反思提升：结合三个方案，得出监控器布置少的方案，即可求解． 【详解】解：（1）在中，∴， ∵村落与河流邻接长度；，∴该水利部门至少需要布设个监控器； 答：该水利部门至少需要布设个监控器； （2）解：如图所示，过点作于点，依题意， 在中， ，∴， 设，则，在中，， 在中， ∴解得：，∴，在中，， ∵监控器有效监测距离，∴符合题意，∴ ∵村落与河流邻接长度；，∴该水利部门至少需要布设个监控器； 答：该水利部门至少需要布设个监控器； 项目方案3：∵，且，∴是等腰直角三角形， 如图所示，过点作于点，∴ 即监控器监测范围的距离为 反思提升：我认为方案二是最优化方案，原因是监控器监测范围的距离最大，则水利部门布设监控器个数少． 5．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【问题背景】如图1，深圳市洪湖公园内有一大湖，湖心有一人造小岛，那是鸟儿们的乐园，湖四周各有一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P，首先在笔直的步道上找一处A（），一工人沿步道从点A出发直走80米到达B处，又继续前行80米到达点C处，接着从C处沿与步道垂直的方向行走，当到达D处时，P、B、D刚好在同一直线上，最后工人测得的长为75米． 请根据以上信息，回答下面的问题： 【问题探究】（1）求小岛离步道的垂直距离． 【问题拓展】（2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道，小岛P到的距离米，点A到的距离米，在之间有一任意点E，当的最小值为100米时， ① 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因． 【方法迁移】（3）若将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）． 【答案】（1）75米；（2）①60米；②不符合，理由见解析；（3）5 【分析】本题考查三角形全等的应用，求最小距离，灵活构造几何图形，借助三角形全等、勾股定理是正确解决本题的关键．（1）根据题意，证明，即可得出结论； （2）①延长至Q，使米，连接．过Q作交AN的延长线于H，过P作于G，当A、Q、E三点共线时有最小值，利用勾股定理即可求出；②由①可知，米，用勾股定理计算出米，，即可判断步道不符合要求；（3）将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造对应的几何图形即可求出代数式的最小值． 【详解】解：（1）由题可知，，，， 又∵P、B、D三点在同一条直线上，， 又米，，米 （2）①米 如图3，延长至Q，使米，连接． 过Q作交AN的延长线于H，过P作于G， ∵，即垂直平分，，， 当A、Q、E三点共线时有最小值，即米 ∵，即，∴四边形和四边形均为长方形， 米，，∴米 ∴在中，即米，米， ②，，由①可知，米， ∴在中，，米， 米，米，∴米， 显然，，∴步道不符合要求． （3）由（2）同理可得，， 的最小值为5． 6．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）综合与应用 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）就巧妙地利用面积法证明了勾股定理．运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下： 如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，则：，化简得．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【类比探究】（1）数学兴趣小组的同学也对勾股定理的证明进行了探究，他们惊喜地发现：将两个全等的直角三角形纸片如图2方式摆放，并连接，利用两种方法表示四边形的面积，也可以证明勾股定理，请你利用图2写出证明过程； 【应用拓展】（2）兴趣小组的同学继续大胆探究，他们在几何图形中，通过构造直角三角形，并应用勾股定理，来研究一些线段之间的数量关系．如图3，是边上的高． ①请你证明：； ②在图3中，若，，M是上的任意一点，直接写出的值； （3）兴趣小组的同学进一步探究猜想：如图4，在四边形中，若，垂足为点P，则四条线段，，，之间也存在着等量关系，请你用式子表示这个等量关系（不用证明）． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析，②28；（3） 【分析】（1）连接，过点作边上的高，则由．，则，化简即可求证； （2）①在及中，，，等量代换即可求证；②，同①可得即可求解； （3）同上可得：,变形即可求证． 【详解】解：（1）证明：连接，过点作边上的高，则． ∵，∴，∵，∴，即， ．又 ； （2）①证明：是边上的高，在及中， ，，，即 ②解：∵，∴， 同①可得，∴； （3）∵，同上可得：,∴． 【点睛】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用，全等三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 7．（24-25八年级上·四川成都·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长：(3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)(2)(3)的最小值为，最大值为 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定； （1）设，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示；此时最小；当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，，，， 在中，由勾股定理得：，解得：，； （2）解：设，由折叠的性质得：， 在和中，，，， ，，，， 在中，由勾股定理得：，解得：，． （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示：此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，， 由勾股定理得：；综上所述，的最小值为，最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理及其应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一 运用勾股定理求线段长度 题型二 运用勾股定理求图形面积 题型三 勾股定理的证明 题型四 格点中的勾股定理的运用 题型五 勾股定理的逆定理的相关运用 题型六 运用勾股定理解决最短路径问题 题型七 运用勾股定理解决翻折问题 题型八 勾股定理在实际生活中的应用 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 运用勾股定理求线段长度 ⭐技巧积累与运用 法1：在直角三角形中，若已知其中两条边，则直接运用勾股定理：（c为斜边）。 法2：若图形中有较多边的长度不知道，则可以利用方程思想，设某些边为未知数，再利用勾股定理建立方程，将求解边长转化为解方程。 法3：若所求线段为垂线段（或高线），则也可使用等面积法求解。 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，，，，，，点是的中点，则的长为 ． 2．（23-24山西晋中·八年级统考期中）如图，在中，，，为的中点，于点，则的长度为（    ） A．3 B． C． D． 3．（23-24四川成都·八年级校考阶段练习）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，交于点E．若，则 ． 运用勾股定理求图形面积 ⭐技巧积累与运用 运用勾股定理求面积，关键是注意转化思想的应用，即把所求的面积转化到的数量关系中去。 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）欧几里得《几何原本》中给出一种证明勾股定理的方法．如图，在中，，四边形、四边形、四边形和四边形都是正方形．若的面积为3，正方形的面积为13，则正方形的面积为（） A．16 B．19 C．25 D．37 2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则（   ） A． B．14 C．6 D．3 3．（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务． 巧求三角形的面积例题：在中，三边的长分别为，，，求的面积． 解法：如果直接运用公式(a为底边，h为对应的高)求解，那么高h的求解较复杂．进一步观察可发现． 由 （依据1）可知，，1，2构成的三角形为直角三角形，所以可将转化为直角边为1和2的直角三角形的斜边；同理，可转化为直角边为1和3的直角三角形的斜边；可转化为直角边为2和3的直角三角形的斜边．由 （依据2），可把放到如图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积． 启发：如图2，的三边的长分别为，，．请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长均为1)，画出相应的． 任务：(1)材料中的依据1是指 （填“A”或“B”）．依据2是指 （填“C”或“D”）． A．两个锐角互余的三角形为直角三角形    B．勾股定理的逆定理 C．数形结合思想        D．分类讨论思想 (2)画出“启发”中的．(3)求的面积． 勾股定理的证明 ⭐技巧积累与运用 勾股定理的证明主要利用等面积法解决，即把同一个图形的面积用不同的方法表示出来，最后再利用同一个图形的面积不变，得到等式，化简可得。 1．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）把两个全等的和如图1放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．(1)连接．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； (2)如图2，在中，是边上的高，，，，设，求x的值.        3．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为b，较短直角边长为a，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是多少？ (2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？(3)图（1）“赵爽弦图”中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围（实线）周长． 格点中的勾股定理的运用 ⭐技巧积累与运用 法1（‌构造直角三角形）：在格点中，可以通过构造直角三角形来运用勾股定理。 法2（‌特殊角度的直角三角形）：‌在格点中，常见的特殊角度直角三角形（30°、45°、60、120°、135°等）这边特殊角的对应边有特殊的数量关系（基础较好的同学建议熟记这些数量关系）。 法3（‌数形结合）：‌在格点中，可以通过数形结合的思想来解决问题。 1．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）设正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，只用无刻度的直尺按要求画图，各顶点（端点）均在格点上．（不写画法，标上字母） (1)在图1的正方形网格中画出格点线段，并画出的中点；（保留画图痕迹） (2)在图2中画出格点，使，，； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积________，点到的距离________． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期中）小明对数学课上老师给出的一道思考题“在方格纸上画一个面积为3的三角形”产生了浓烈的兴趣，课后他想进一步探究学习，请你与他一起来完成．（注：方格纸中每个小方格的边长为1） 【思考尝试】（1）如图（1），线段的长为6，请以为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，并直接写出它的另外两边长分别为__________，__________（三角形的顶点均为格点） 【实践探究】（2）如图（2）①，小明截取出方格纸的局部，你能剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的正方形吗？请在图（2）①中画出剪切线，在图（2）②中画出拼成的正方形，并计算它的边长． 【拓展迁移】（3）如图（3），边长分别为的两个正方形和摆放到一起，剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的大正方形，请你在图（3）中画出裁剪线，并画出拼成的大正方形． 3．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）问题背景：如图，方格纸中每个小方格的边长为1，我们把小方格顶点处的点称为格点． 问题提出：（1）若格点是钝角三角形且面积为6，请在图1中任意画出一个符合要求的格点； 问题探究：（2）若格点满足，，，请在图2中画出一个符合要求的格点，并计算的面积； 问题解决：（3）我们将（2）中求解面积的过程称为构图法，现在有一个三角形的三条边长分别为，，，且满足，．请利用构图法求这个三角形的面积． 勾股定理的逆定理的相关运用 ⭐技巧积累与运用 运用勾股定理判定三角形的形状的方法‌：首先确认最长的边，下面我们以c边为最长边为例： 若一个三角形的三边长满足，则该三角形是直角三角形‌。 若一个三角形的三边长满足，则这个三角形是锐角三角形‌。 若一个三角形的三边长满足，则这个三角形是钝角三角形。‌ 1．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，图1是某品牌婴儿车，图是其简化结构示意图．其中与之间由一个固定为的零件连接，即，根据安全标准需满足．淇淇爸爸只有测量长度的工具，且无法直接测量，请你帮他判断该车是否符合安全标准，请说明需要测量哪些数据，并说明如何判断． 2．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，． (1)求小路的长；(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？    3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）【问题背景】在中，，，，且．若为直角，则；若为锐角或钝角，则与之间有怎样的大小关系呢？ 【探究结论】（1）当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 如图1，过点A作，垂足为D．设． ∵在中，，在中，①，①． 化简得，．，，∴②．．． 其中，①是 ；②是 ． （2）如图2，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并证明． 【拓展应用】（3）如图3，在中，为锐角，点D是的中点，点E在上，点F在上．若，，，求长的最大整数值． 运用勾股定理解决最短路径问题 ⭐技巧积累与运用 最短路径问题我们常借助勾股定理，将军饮马模型，垂线段最短，两点之间线段最短等知识点进行解题。常用方法有下面三种： 法1（用平移法求最值）：平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决。 法2（用对称法求最值）：即运用将军饮马模型解决最值问题。 法3（用展开法求立体图形中最值）：将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)。 1．（24-25八年级上·山西太原·期中）如图1是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均是边长为的正方形，且深为，两个格子之间的隔断厚．图2是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 3．（23-24九年级上·江西南昌·开学考试）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： （1）【提出问题】已知，求的最小值 （2）【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段__________线段__________； ②在（1）的条件下，已知，求的最小值； （3）【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值．    运用勾股定理解决翻折问题 ⭐技巧积累与运用 折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题的关键是巧用轴对称及全等的性质探索折叠中的变化规律，再结合方程思想求折叠中线段的长。 1．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图，在直角坐标系中，C点在线段上，D点在线段上，将沿直线折叠后，B点与A重合，则点C坐标是 ． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）同学们，我们经常用翻折的方法验证两个图形是否是轴对称，并研究其相关性质，请你用翻折的性质解决下列问题： (1)如图1，将沿着翻折到，则 ， ； (2)如图2，将长方形对折，使得边、边重合，折痕与边、边交于点、点，，，点是边上一点，将沿着折叠得到，线段、线段分别交边于点、点．①当、重合时，线段的长是多少②当点与点重合时，点是边上一点，将沿着线段折叠，使得点落在边上的点，线段的长是多少? 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知，，，点为射线上一点，将沿折叠得，过点作的平行线交所在直线于点，作，垂足为． (1)如图（1），若，求的长；(2)如图（2），若，设，求的值． 勾股定理在实际生活中的应用 ⭐技巧积累与运用 ‌勾股定理在实际生活中的应用非常广泛，主要包括以下几个方面‌： ‌测量问题‌：勾股定理常用于测量某些建筑物的高度‌。 ‌建筑问题‌：在建筑验收时，可以利用勾股定理检测建筑物墙角是否是直角。 ‌航海问题‌：在航海中，可以利用勾股定理确定船只与陆地的距离。‌。 ‌其他实际问题‌：勾股定理还应用于求河宽、求台阶上的地毯长度、判断电视机屏幕尺寸等问题‌。‌设立直角三角形‌：在解决实际问题时，首先要确定是否存在直角三角形，或者通过构造直角三角形来应用勾股定理，当无法得出直角三角形的两条边的长度时，还需要利用方程思想辅助解决。 1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）小明在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置A处，荡绳与地面垂直，荡至右侧最高位置为，荡至左侧最高位置为．已知起始位置A离地面垂直距离为，点B离地面垂直距离为．点B到的水平距离为，．则点C离地面的垂直距离为 m． 3．（24-25七年级上·山东烟台·期中）课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．（1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题：(1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 1．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，学校有一块直角三角形菜地，，．为方便劳作，准备在菜地中间修建一条小路．测量发现，，，，则的长为（    ） A．3m B．4m C．5m D．6m 2．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的至少为 ．（结果保留根号） 3．（24-25八年级上·山西·阶段练习）【项目介绍】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统象具，图②是四脚八叉凳的几何示意图．四脚八叉凳的榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图③所示． 板凳的结构设计体现了数学的对称美． 现在老师给同学们准备了凳面的木板和凳腿的木棒，请同学们根据要求准确找到榫眼的位置，安装板凳． 【驱动任务一】根据“四脚八叉凳”的几何示意图画出它的主视图，如图④ 【驱动任务二】若A、B、C在同一条直线上，且与地面垂直，如图⑤，小组同学选取的木棒作为凳脚进行制作，成品凳面与地面距离为，但是同学们发现此高度缺乏舒适感，所以决定重新调整打孔位置，经过计算发现，将榫眼外移 时可将凳高调整为20cm． 【驱动任务三】根据做板凳的经验和对剩余材料的整理，同学们打算制作如图⑥所示的简易桌子，桌子的主视图如图⑦所示，正方形桌面的边长为，长的木棒恰好能截成 和， 则成品桌子的高度为 ． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知，，，则的长为 ． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数．小明根据自己探究勾股数的过程，列成下表： a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 (1)小明发现：，，，请你根据小明发现的规律写出下一组勾股数：__________； (2)若用（为整数，且）表示，那么、用含的代数式分别表示为__________和_____，请用所学知识说明它们是一组勾股数． 6．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）【问题解决】 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高，救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两处个求救点的救援． 【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，． 【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离为多少米才能把完成处救援任务？   7．（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，沿海城市测得台风中心在东南方向的处，该台风中心始终以的速度沿北偏西的方向移动． (1)填空：，； (2)当台风中心移动到市正东方向的处时，求、之间的距离？(结果保留根号) (3)距台风中心的圆形区域包括边界都属台风影响区，求市受台风影响的时长？ 8．（24-25八年级上·广东深圳·期中）为测量学校旗杆的高度，八年级1班的学习小组设计了多种方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题： 测量工具 含45°角的直角三角板、足够长的皮尺 方案一 方案二 方案三 测量方案示意图 设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得 小明站在距离旗杆2.4m的点D处，眼睛距离地面1.6m，视线沿着三角板的一直角边落在旗杆顶部A处，小亮沿着直线垂直移动一高为4m的竹竿，直到小明视线沿着三角板的另一直角边恰好落在竹竿顶部E处，此时测得竹竿距离旗杆12.8m． 如图，旗杆顶端的绳子垂落地面后还多出1m，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． 任务一 判断分析 （1）在方案一中，要确定旗杆的高度应测量_________的长度，请说明理由：_________； 任务二 推理计算 （2）请在方案二或方案三中任选一个方案，并根据测量数据，求旗杆的高度． 9．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1．(1)在图①中，A，B，C在格点上，则的度数为__________； (2)在（1）的条件下，连接，请判断的形状，并说明理由；(3)从数据，，，4中选三个数据作为三角形的三边长，在图②中画出此三角形，使三角形的顶点均在格点上． 10．（24-25八年级上·山西运城·期中）阅读与思考：下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． 年月××日　　星期三 巧用方程解决三角形求高问题 法国数学家笛卡尔在《指导思维的法则》一书中写道：“一切问题可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数学问题，而一切代数学问题又都可以转化为方程问题”．可见方程思想对于数学学习的重要性． 今天数学课上，老师提出问题：在中，已知边的长，求点到边的距离． 小亮画出的图形如图①所示：在中，已知：，小亮的同桌小明思索片刻就得出：点到边的距离为5； 小明画出的图形如图②所示：在中，已知：，经过小组讨论，大家得出了如下的解题思路： 请你根据小亮的日记内容完成下列各题：(1)写出小明得出图①中点到距离为5的理由； (2)根据小亮小组讨论的思路，写出图②中点到的距离为 ； (3)根据（2）的解题思路解决下面的问题：如图③，某商场楼梯长，商场准备改善原有楼梯的安全性能，将楼梯长度加长，调整后的楼梯如图所示，占地面的长度增加了，求此楼梯的高度． 1．（2024·重庆·校考一模）如图为一块光学直棱镜，其截面为，所在的面为不透光的磨砂面，，，现将一束单色光从边上的点射入，折射后到达边上的点处，恰有，再经过反射后（即），从点垂直于射出，则光线在棱镜内部经过的路径的总长度为（   ）    A． B． C．（） D． 2．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图1），将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图2），继续折叠纸片，使得点与点重合，折痕是，得到多边形（如图3），将若干个全等的多边形交叉重叠便可得到棒棒糖的糖果部分（如图4）．      （1）图1中的长为 ．（2）图3中的长为 ． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）综合与实践：拼搭现代七巧板 素材：如图1是一副现代七巧板，它由七块不规则板块构成，其中有等腰直角三角形，直角梯形，且，半圆与圆的半径相等． 链接：如图2，是小清用现代七巧板拼出的一个人型图案． 问题1：一副现代七巧板各板块的面积和是多少？问题2：图2中人型图案的身高是多少？ 4．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）项目主题：监控器最优布设方式 项目背景：台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河流决堤，危害当地居民的生命财产安全． 已知监控器有效监测距离，最大旋转角度；如图所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长度；监控布设线距离河流，任意两个监控器布设点之间的距离相等． 项目方案1：如图2所示，从河流南岸与村落边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；从点处起，使，，即为监控器监测范围． （1）若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案2：为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时； （2）若按方案2进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案3：如图4所示，此时，，且，，则监控器监测范围的距离为． 反思提升：我认为方案_________是最优化方案，原因是__________． 5．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【问题背景】如图1，深圳市洪湖公园内有一大湖，湖心有一人造小岛，那是鸟儿们的乐园，湖四周各有一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P，首先在笔直的步道上找一处A（），一工人沿步道从点A出发直走80米到达B处，又继续前行80米到达点C处，接着从C处沿与步道垂直的方向行走，当到达D处时，P、B、D刚好在同一直线上，最后工人测得的长为75米． 请根据以上信息，回答下面的问题： 【问题探究】（1）求小岛离步道的垂直距离． 【问题拓展】（2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道，小岛P到的距离米，点A到的距离米，在之间有一任意点E，当的最小值为100米时， ① 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因． 【方法迁移】（3）若将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）． 6．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）综合与应用 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）就巧妙地利用面积法证明了勾股定理．运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下： 如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，则：，化简得．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【类比探究】（1）数学兴趣小组的同学也对勾股定理的证明进行了探究，他们惊喜地发现：将两个全等的直角三角形纸片如图2方式摆放，并连接，利用两种方法表示四边形的面积，也可以证明勾股定理，请你利用图2写出证明过程； 【应用拓展】（2）兴趣小组的同学继续大胆探究，他们在几何图形中，通过构造直角三角形，并应用勾股定理，来研究一些线段之间的数量关系．如图3，是边上的高． ①请你证明：； ②在图3中，若，，M是上的任意一点，直接写出的值； （3）兴趣小组的同学进一步探究猜想：如图4，在四边形中，若，垂足为点P，则四条线段，，，之间也存在着等量关系，请你用式子表示这个等量关系（不用证明）． 7．（24-25八年级上·四川成都·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长：(3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$