28.1.1 锐角三角函数（第一课时） 教案 2024—2025学年人教版数学九年级下册

28.1.1 锐角三角函数（第一课时：正弦）

教案

【内容解析】

本节课是锐角三角函数的起始课，是在学生学习了正比例函数、一次函数、反比例函数以及二次函数后已对函数有了一定的理解的基础上来学习，但是锐角三角函数与以前学习过的函数有着明显区别，函数值随角度变化而变化，函数值是关于角度的函数与所在三角形无关，课本把它放在直角三角形中来进行定义及进行简单计算，可以降低难度，学生能更好地理解学习.本课时主要内容是掌握正弦的概念、表示方法及进行简单的计算应用，而其中正弦的概念应是本节课的重点.

【教学目标】

1.理解并掌握锐角正弦的定义，掌握正弦的表示方法；

2.能根据正弦概念正确进行计算；

3.经历探索直角三角形中的边与角的关系，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力，通过学生自我发现培养学生的自我反思能力，通过提出困惑提升学生发现问题的能力.

【重难点】

重点：理解并掌握正弦的概念及表示方法.

难点：理解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与科边的比值都固定的事实.

【教学过程】

【知识回顾】

如图，直角三角形ABC中，三边之间、两个锐角之间有什么关系？

三边之间的关系式：                            .  

两锐角之间的关系式：                        .

师生活动:教师提出问题，学生通过之前所学知识尝试回答问题.

【设计意图】通过回顾之前所学内容，为接下来学习正弦的概念打好基础.

【探究新知】

问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水 管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡的仰角30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？

师：上述情境中，可看作是在△ABC中探求某些问题，你可以把已知条件用数学语言描述出来吗?

师生活动:学生思考后，找同学回答.从而将上述问题转化为数学问题: 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ∠ A=30°，BC=35 m，求 AB.

【问题】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ∠ A=30°，BC=35 m，求 AB.

师:可以用学过的什么数学知识来解决这个问题?

师生活动:学生思考后回答问题, 根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即 = = ，可得AB=2BC=70(m)，

也就是说，需要准备70m长的水管.

【问题】如果出水口的高度为 50m，其它条件不变，那么需要准备多长的水管?

师生活动:学生思考后回答问题. 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”.可得 AB=2BC=100(m).也就是说，如果出水口的高度为 50m，需要准备100m 长的水管.

【设计意图】运用数学知识解决实际生活问题，激发学生学习的兴趣,进而为接下来探究直角三角形，30°角的对边与斜边的数量关系打好基础.

【问题】对于有一个锐角为 30”的任意直角三角形，30”角的对边与斜边有怎样的数量关系?可以用一个怎样的式子表示呢?

师生活动:学生思考后回答问题.最后由教师归纳总结，得出:在直角三角形中，如果一个锐角的度数等于 30”，那么无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于.

【思考】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，那么∠A的对边与斜边的比 是一个定值吗？

师生活动:学生独立解决问题，利用勾股定理，得出AB=BC。最后由教师归纳总结，得出: 在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .

师小结：综上，在Rt△ABC中，∠C=90°，

当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；

当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值.

【猜想】一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?

师生活动:学生分组讨论，自行探讨.

【探究】：任意画 Rt△ABC 和 Rt △ A′B′C′ ，使得∠C=∠C′ =90°，∠A=∠A′，那么 与 有什么关系？

师生活动:学生独立解决问题，利用相似三角形判定定理，得出 = .最后由教师归纳总结，得出:这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值.