专题强化08：任意角三角函数、同角关系和诱导公式的题型归纳【8大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

专题强化08：任意角三角函数、同角关系和诱导公式的题型归纳 【题型归纳】 题型一：任意角的三角函数定义 题型二：各象限三角函数符合的判断 题型三：平方关系、商数关系 题型四：sin θ±cos θ和sin θcos θ 题型五：正、余弦的齐次化问题 题型六：同角三角函数基本关系的综合问题 题型七：诱导公式 题型八：诱导公式的综合问题 【题型探究】 题型一：任意角的三角函数定义 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知角的终边过点，其中，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数的定义直接求解. 【详解】角的终边过点，其中，则点到原点的距离， 所以. 故选：C 2．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）若是第二象限角，为其终边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数定义相关知识求解. 【详解】因为是第二象限角，为其终边上一点， 所以，， 解得（舍去）或， 所以. 故选：B 3．（2023高一下·四川成都·期中）已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义求出的三角函数值，再逐一判断即可. 【详解】因为角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点， 所以， 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 题型二：各象限三角函数符合的判断 4．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）已知为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意首先得出，对于ABD三个选项的判断比较常规，对于C而言，这里要利用到商数关系、平方关系进行变形. 【详解】由题意为第三象限角，所以， 从而，， ，. 故选：D. 5．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）已知，那么角是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角 【答案】B 【分析】由三角函数值的符号结合题意即可得出答案. 【详解】因为，所以同为正或同为负， 所以角是第一或第三象限角. 故选：B. 6．（21-22高一上·四川德阳·阶段练习）已知角满足，且，则（    ） A．可能在第一象限 B．可能在第二象限 C．可能在第三象限 D．可能在第四象限 【答案】B 【分析】由三角函数在各象限内的正负直接判断即可. 【详解】由知：可能在第二或第四象限； 当在第二象限时，，，满足； 当在第四象限时，，，则，不合题意； 综上所述：可能在第二象限. 故选：B. 题型三：平方关系、商数关系 7．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知α是第二象限角，，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据角所在的象限及平方关系求得，，利用商数关系求其正切值. 【详解】由题设，，故. 故选：B 8．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，结合及计算即可. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：C. 9．（22-23高一上·吉林·期末）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数基本关系计算. 【详解】由，，可知， 则. 故选：B. 题型四：sin θ±cos θ和sin θcos θ 10．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过求出的值，即可得出结论. 【详解】由题意， ， ∴， ， 解得：， ∴， ∴解得：， ∴， 故选：A. 11．（22-23高一下·广东汕头·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的范围可确定，由可求得结果. 【详解】，，，， . 故选：D. 12．（22-23高一下·河南南阳·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，得到，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由，平方可得， 可得， 因为，所以，所以， 又由，所以. 故选：B. 题型五：正、余弦的齐次化问题 13．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，则（    ） A． B． C．或1 D．或1 【答案】B 【分析】利用弦化切可得出关于的等式，即可求得的值. 【详解】因为 ，解得. 故选：B. 14．（23-24高一上·广东清远·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．-2 【答案】B 【分析】解法一：在分子和分母中同时除以，利用弦化切可求得所求代数式的值；解法二：利用二倍角公式可求得所求代数式的值. 【详解】解法一：. 解法二：. 故选：B. 15．（21-22高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方关系及齐次式法求值即可. 【详解】由. 故选：D 题型六：同角三角函数基本关系的综合问题 16． （24-25高一上·江苏扬州） （1）已知角的终边经过点，求值 （2）已知，计算的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用三角函数定义计算可得，再由同角三角函数之间的商数关系弦化切计算可得结果； （2）根据商数关系化简可得，再利用平方关系以及常数“1”的应用计算可得结果. 【详解】（1）由角的终边经过点，可知， 则. （2）由，化简得， 因此， 所以. 17．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）（1）已知角的终边经过点，求值． （2）已知，计算的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用三角函数定义计算可得，再由同角三角函数之间的商数关系计算可得结果； （2）根据商数关系化简可得，再利用平方关系以及“1”的应用计算可得结果. 【详解】（1）由角的终边经过点，可知， 则可得. （2）由，化简得， 因此. 所以. 18．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点． (1)若，求及的值； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标及，再利用齐次式法计算即得. （2）利用同角公式，结合三角函数定义求解即得. 【详解】（1）角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点， 当时，，则， 所以． （2）依题意，， 由，得，代入， 于是，解得， 即，所以点的坐标为． 题型七：诱导公式 19．（24-25高一上·江苏苏州）若角的终边上有一点，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的定义列方程即可得解． 【详解】由题意，结合三角函数的定义得，解得． 故选：D． 20．（24-25高一上·江苏南通）已知，且为第三象限角，则（    ） A．2 B．3 C．或3 D．2或 【答案】A 【分析】利用同角三角函数之间的基本关系以及角的范围计算可得结果. 【详解】易知， 整理可得，解得或， 又为第三象限角，可得，即，（舍去）； 故选：A 21．（2023·海南·模拟预测）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先左右两边平方，得出，再应用弦化切，最后结合角的范围可得求出正切值. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以，得， 解得或， 因为，且， 所以，所以，所以. 故选：. 题型八：诱导公式的综合问题 22．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点.将角的终边按逆时针方向旋转得到角. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据单位圆的定义，求，再根据三角函数的定义，以及诱导公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，以及诱导公式，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，，且，则， 所以，， ； （2），， 原式. 23．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求的值； (2)记点的横坐标为，若，求的值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由题意可得，进而利用诱导公式化简、求解； （2）由题意可得：，进而可知，根据同角三角关系结合三角恒等变换分析求解. 【详解】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得， 所以， 所以 ； （2）由（1）可知，且为锐角，可得， 根据三角函数定义可得：， 因为，且， 因此，所以 所以 . 24．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3)答案见详解 【分析】（1）运用诱导公式和化简即可； （2），再运用化弦为切的思想即可求解. （3）令，则，则有，用诱导公式可得，再用同角关系式联立即可求解. 【详解】（1） （2）由（1）得， 所以. （3）由（1）得，令，则， 则， ，又， 得，代入，计算得：， 当为第二象限角时，，即； 当为第四象限角时，，即. 【专题强化】 一、单选题 25．（24-25高一上·江苏）已知，且是第四象限角，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用诱导公式和平方关系，即可求解. 【详解】因为，得到，又是第四象限角， 所以，得到， 故选：B. 26．（23-24高一上·江苏南京·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的诱导公式求解. 【详解】解：因为， 所以， 故选：A 27．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知为第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数关系式及诱导公式即可求解． 【详解】因为，所以， 又为第三象限角，所以， 所以. 故选：D. 28．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式有，已知，由诱导公式有，两边同时平方即可求值. 【详解】由得：， 两边平方得：，解得：， . 故选：D 29．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用同角三角函数的基本关系求，再利用诱导公式把用来表示即可得到答案. 【详解】因为为锐角，且，所以也是锐角， 所以. ，即. 故选：C. 二、多选题 30．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）若，则终边可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AC 【分析】利用诱导公式化简，根据三角函数值在各象限的符号判断. 【详解】∵，∴， ∴终边可能在第一象限或第三象限. 故选：AC. 31．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据同角三角函数之间的关系平方可得到选项A，B，根据的正负可判断选项C，根据立方和公式判断选项D 【详解】对于A，将两边同时平方可得， 因为，所以，该选项正确； 对于B，因为，，所以， 则，所以，该选项错误； 对于C，因为，，联立可求得， 则，该选项正确； 对于D，根据立方和公式可得，该选项正确； 故选：ACD. 32．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先根据同角三角函数的关系求出，再根据诱导公式逐一判断即可. 【详解】因为，， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 33．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】借助诱导公式计算即可得. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：AC. 34．（21-22高一上·湖北十堰·期末）已知点是角终边上一点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由三角函数的定义可得，，然后逐一判断即可. 【详解】因为点是角终边上一点，所以，，A正确，B错误. ，C正确. ，D正确. 故选：ACD 三、填空题 35．（2023高一上·江苏·专题练习）计算：＝ ． 【答案】1 【分析】根据诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案. 【详解】 ． 故答案为：1 36．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知的终边上有一点，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据三角函数的定义，得到，再利用三角函数的诱导公式和基本关系式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】因为的终边上有一点，可得 则. 故答案为：. 37．（23-24高三上·上海崇明·阶段练习）化简： . 【答案】 【分析】利用诱导公式运算即可得解. 【详解】解：∵， ，， ，， ∴. 故答案为：. 38．（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】根据条件，利用齐次式，即可求解. 【详解】因为，所以， 故答案为： 39．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知为第二象限角，且满足，则 ． 【答案】 【分析】平方得到，变换得到，解得，，解得答案. 【详解】，则，即， 故， 为第二象限角，故，，， 解得，，故. 故答案为：. 40．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】由于，所以， 而，所以， 所以. 故答案为： 41．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若，则的值为 . 【答案】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】， 由得， 所以. 故答案为： 42．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若为第二象限角，则可化简为 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系化简即可. 【详解】因为为第二象限角，所以，， 所以原式 . 故答案为：. 四、解答题 43．（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知且为第三象限角. (1)求，的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意由同角三角函数的基本关系求解即可； （2）利用诱导公式化简，再代入求解即可. 【详解】（1）因为且为第三象限角， 所以， ； （2） . 44．（24-25高一上·江苏·阶段练习）（1）已知，且，求的值． （2）已知，若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据给定条件，利用同角公式列式计算即得. （2）利用诱导公式及同角公式计算得解. 【详解】（1）由，两边平方得， 即，解得， 所以. （2）由，得，又，则， 所以. 45．（24-25高一上·江苏·阶段练习）（1）化简：. （2）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用平方关系计算可得； （2）依题意可得，再求出，最后由同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】（1） ； （2）因为是第三象限角，所以， 又是方程的一个实根，由，解得，， 所以， 所以 . 46．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知是第四象限角． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方关系和商数关系求出，根据诱导公式化简，再利用商数关系化弦为切即可得解； （2）根据，再利用商数关系化弦为切即可得解. 【详解】（1）是第四象限角，， ， 则； （2）由， 得 . 47．（24-25高一上·江苏·阶段练习）（1）已知，且，求值． （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据诱导公式化简可得，结合同角三角函数关系式构造齐次式，化简即可； （2）根据诱导公式及对数运算化简可得，再结合三角函数关系式化简求值. 【详解】（1）由诱导公式可知， 又， 则 ， 又，所以，， 即，所以， 即 （2）由，即，， 由诱导公式可知 . 48．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）计算求值. (1) (2)若，且，求下列式子. （i） （ii）. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式求解即得. （2）（i）（ii）利用同角公式求出，再利用诱导公式及齐次式法计算即得. 【详解】（1）由于， 所以. （2）（i）由，，得，， 所以. （ii）. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化08：任意角三角函数、同角关系和诱导公式的题型归纳 【题型归纳】 题型一：任意角的三角函数定义 题型二：各象限三角函数符合的判断 题型三：平方关系、商数关系 题型四：sin θ±cos θ和sin θcos θ 题型五：正、余弦的齐次化问题 题型六：同角三角函数基本关系的综合问题 题型七：诱导公式 题型八：诱导公式的综合问题 【题型探究】 题型一：任意角的三角函数定义 1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知角的终边过点，其中，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）若是第二象限角，为其终边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023高一下·四川成都·期中）已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 题型二：各象限三角函数符合的判断 4．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）已知为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）已知，那么角是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角 6．（21-22高一上·四川德阳·阶段练习）已知角满足，且，则（    ） A．可能在第一象限 B．可能在第二象限 C．可能在第三象限 D．可能在第四象限 题型三：平方关系、商数关系 7．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知α是第二象限角，，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 8．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一上·吉林·期末）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型四：sin θ±cos θ和sin θcos θ 10．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一下·广东汕头·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高一下·河南南阳·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 题型五：正、余弦的齐次化问题 13．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，则（    ） A． B． C．或1 D．或1 14．（23-24高一上·广东清远·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．-2 15．（21-22高一上·江苏扬州）已知，则为（   ） A． B． C． D． 题型六：同角三角函数基本关系的综合问题 16． （24-25高一上·江苏扬州） （1）已知角的终边经过点，求值 （2）已知，计算的值. 17．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）（1）已知角的终边经过点，求值． （2）已知，计算的值． 18．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点． (1)若，求及的值； (2)若，求点的坐标． 题型七：诱导公式 19．（24-25高一上·江苏苏州）若角的终边上有一点，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上·江苏南通）已知，且为第三象限角，则（    ） A．2 B．3 C．或3 D．2或 21．（2023·海南·模拟预测）若，且，则（    ） A． B． C． D． 题型八：诱导公式的综合问题 22．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点.将角的终边按逆时针方向旋转得到角. (1)求； (2)求的值. 23．（23-24高一下·辽宁大连）在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求的值； (2)记点的横坐标为，若，求的值. 24．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求的值. 【专题强化】 一、单选题 25．（24-25高一上·江苏）已知，且是第四象限角，那么的值是（   ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·江苏南京·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知为第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 30．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）若，则终边可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 31．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 34．（21-22高一上·湖北十堰·期末）已知点是角终边上一点，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 35．（2023高一上·江苏·专题练习）计算：＝ ． 36．（22-23高一上·广东深圳·期末）已知的终边上有一点，则的值为 . 37．（23-24高三上·上海崇明·阶段练习）化简： . 38．（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知，则 ． 39．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知为第二象限角，且满足，则 ． 40．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，且，则 ． 41．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若，则的值为 . 42．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若为第二象限角，则可化简为 ． 四、解答题 43．（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知且为第三象限角. (1)求，的值； (2)求的值. 44．（24-25高一上·江苏·阶段练习）（1）已知，且，求的值． （2）已知，若，求的值． 45．（24-25高一上·江苏·阶段练习）（1）化简：. （2）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值. 46．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知是第四象限角． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 47．（24-25高一上·江苏·阶段练习）（1）已知，且，求值． （2）若，求的值． 48．（23-24高一上·江苏徐州）计算求值. (1) (2)若，且，求下列式子. （i） （ii）. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$