精品解析：贵州省2024年12月普通高中学业水平合格性考试数学试卷

贵州省2024年12月普通高中学业水平合格性考试 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，共28小题，满分100分.考试用时60分钟. 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“考生条码区”. 3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.所有题目答案不能答在试卷上. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 柱体体积公式，锥体体积公式，其中为底面积，为高. 球的表面积公式，球的体积公式，其中为球的半径. 第Ⅰ卷 选择题 选择题共26小题，每小题3分，共78分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 一、选择题（每小题3分，共78分） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的交集运算得解. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 2. 已知复数（为虚数单位），则的实部为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的实部为即可求解. 【详解】因为复数的实部为， 所以复数的实部为2. 故选：A. 3. 某田径队有男运动员40人，女运动员20人，按性别进行分层随机抽样，从该田径队全体运动员中抽取一个容量为6的样本，则应抽取男运动员的人数为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的比例关系，列式求得答案. 【详解】由题意，应抽取男运动员的人数为. 故选：C 4. 函数，的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数直接得解. 【详解】由正弦函数的性质知，最小正周期为, 故选：B 5. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】由题意，抛掷一枚质地均匀的骰子一次，有6种结果，并且每种结果等可能出现， 其中“出现的点数为偶数”的情况有3种， 故所求概率为. 故选:A 6. 下列几何体为旋转体的是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱台 C. 五棱柱 D. 圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转体定义得解. 【详解】根据旋转体的定义知，圆柱为旋转体. 故选：D. 7. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数有意义列出不等式即可求解. 【详解】由解得， 所以函数的定义域为. 故选：D 8. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量加法的坐标运算求解. 【详解】向量，， 所以， 故选：A 9. 若，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式性质判断A，特殊值验证BCD即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B， 当，则；故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：A 10. 的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，得. 故选：D. 11. 如图，已知正方体，下列棱中与垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的性质即可得解. 【详解】在正方体中，与所成的角为， 棱平面,平面，所以， 故选：C 12. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数的运算直接得解. 【详解】因为，，， 所以， 故选：A 13. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题直接判断即可. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 14. 已知10位同学的身高（单位：）分别为：161，161，162，165，165，165，170，173，178，181，则这组数据的第50百分位数为（ ） A. 163 B. 165 C. 175 D. 178 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解. 【详解】一共有10个数据，故这组数据的第50百分位数为第5,6位数的平均值， 故选：B 15. （ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的定义求解即可. 【详解】. 故选：D. 16. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为向量，，且， 所以， 解得 故选：C 17. 某校高二年级1000名学生参加一次交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于90分的人数为（ ） A. 500 B. 300 C. 200 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求出不低于90分的频率，即可求得人数. 【详解】由频率分布直方图可知，成绩不低于90分的频率为：， 所以成绩不低于90分的人数为. 故选：C 18. 向量，的夹角为，且，则（ ） A. 5 B. 3 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积求解即可. 【详解】. 故选：C. 19. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数，幂函数，一次函数的单调性即可得到答案. 【详解】根据对数函数图象与性质可知在单调递增，故A错误； 根据幂函数的图象与性质可知在单调递减，故B正确； 根据幂函数的图象与性质可知在单调递增，故C错误； 根据一次函数图象与性质可知在上单调递增，故D错误. 故选：B. 20. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式直接求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为2. 故选：A. 21. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件概念得解. 【详解】因为，反之不成立， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 22. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦函数图象平移规律进行求解即可. 【详解】因为函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到的图象. 故选：A 23. 某公司生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产一台需增加投入20万元，若年销售收入（单位：万元）关于年产量（单位：台）满足函数：则当该公司所获年利润最大时，年产量为（ ） A. 50 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】根据利润为总收入减去总成本，得到关于利润的解析式，借助函数的性质即可求解. 【详解】由题意，设该公司所获年利润为（单位：万元）， 当时，， 所以当时，取到最大值； 当时，， 单调递减， 所以. 综上所述，当时，该公司所获年利润最大. 故选：B 24. 若函数在区间上有且仅有5个零点，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先求出在上由小到大的第5与第6个零点，列不等式组可解得的范围. 【详解】由，，得，， 所以函数在上由小到大的第5个零点为， 第6个零点为， 由题知，，解得， 故选：D 25. 若函数的图象关于直线对称，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数解析式后根据正弦型函数对称轴的性质代入求解. 【详解】因为 ，且函数图象关于直线对称， 所以，解得. 故选：C. 26. 在平面四边形中，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出四边形的外接圆，结合圆的几何性质转化所求数量积，利用基本不等式求最值. 详解】如图， 由题意知，为四边形外接圆的直径，由可知， ，设， 所以垂直平分于点, 由正弦定理，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用所给条件恰当转化，利用已知及角转化为三角函数式子求最值，变形后利用基本不等式得最值，本题思路比较难寻，需要一定创造力. 第Ⅱ卷 非选择题 非选择题共2小题，每小题11分，共22分.除填空外的解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤. 二、非选择题（每小题11分，共22分） 27. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，交于点. （1）异面直线与所成的角为________（填度数）； （2）若三棱柱的体积为6，则棱的长是________； （3）求证：平面. 【答案】（1） （2）3 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角得解； （2）由直三棱柱的体积公式计算得解； （3）根据线面平行判定定理证明即可. 【小问1详解】 ， 异面直线与所成的角为, 故答案为： 【小问2详解】 由直三棱柱的体积公式可得： ， 解得， 故答案为：3 小问3详解】 因为直三棱柱中，平面为矩形， 所以为的中点，又为的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面. 28. 的内角，，所对的边分别为，，，且，. （1）若，则________； （2）若，则的面积为________； （3）已知的角平分线交于，求的最大值. 【答案】（1）4 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据题意，由直角三角形求解即可； （2）结合面积公式求解即可； （3）由余弦定理得出的关系，再由角平分线的性质及三角形面积公式建立关于的方程，化简后再换元求最值即可. 【小问1详解】 因为，所以， 即. 【小问2详解】 当时，，由（1）知， 所以， 所以. 【小问3详解】 由余弦定理可得, 即，可得，当且仅当时等号成立， 所以， 由面积公式可得， 即，所以， 所以， 令，则， 所以当时，有最小值，有最大值， 即三角形为正三角形时，有最大值3. 【点睛】关键点点睛：本题的第三问关键在于利用面积公式建立关于的表达式，再平方后运用余弦定理得到的条件，转化为二次函数求最值，难度较大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵州省2024年12月普通高中学业水平合格性考试 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，共28小题，满分100分.考试用时60分钟. 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“考生条码区”. 3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.所有题目答案不能答在试卷上. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 柱体体积公式，锥体体积公式，其中为底面积，为高. 球的表面积公式，球的体积公式，其中为球的半径. 第Ⅰ卷 选择题 选择题共26小题，每小题3分，共78分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 一、选择题（每小题3分，共78分） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则的实部为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 某田径队有男运动员40人，女运动员20人，按性别进行分层随机抽样，从该田径队全体运动员中抽取一个容量为6的样本，则应抽取男运动员的人数为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 函数，的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 5. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 下列几何体为旋转体的是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱台 C. 五棱柱 D. 圆柱 7. 函数定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 9. 若，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A B. C. 1 D. 2 11. 如图，已知正方体，下列棱中与垂直的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知，，，则，，大小关系为（ ） A B. C. D. 13. 命题：，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 14. 已知10位同学的身高（单位：）分别为：161，161，162，165，165，165，170，173，178，181，则这组数据的第50百分位数为（ ） A. 163 B. 165 C. 175 D. 178 15. （ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 2 16. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 17. 某校高二年级1000名学生参加一次交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于90分的人数为（ ） A. 500 B. 300 C. 200 D. 100 18. 向量，的夹角为，且，则（ ） A. 5 B. 3 C. 1 D. 0 19. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 20. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 21. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 22. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 23. 某公司生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产一台需增加投入20万元，若年销售收入（单位：万元）关于年产量（单位：台）满足函数：则当该公司所获年利润最大时，年产量为（ ） A. 50 B. 80 C. 100 D. 120 24. 若函数在区间上有且仅有5个零点，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 25. 若函数的图象关于直线对称，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 26. 在平面四边形中，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题 非选择题共2小题，每小题11分，共22分.除填空外的解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤. 二、非选择题（每小题11分，共22分） 27. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，交于点. （1）异面直线与所成的角为________（填度数）； （2）若三棱柱的体积为6，则棱的长是________； （3）求证：平面. 28. 的内角，，所对的边分别为，，，且，. （1）若，则________； （2）若，则的面积为________； （3）已知角平分线交于，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$