期末高频考点(6)最值问题-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学下册（苏科版2012）

期末高频考点 期末高频考点(6) 最值问题 一、选择题 C 1. 已知y{-2x+4-0,则x{+{+2x的最小值是 ) B.-8 C.-9 A.8 D.9 2. 当1<x<3时,二次函数y-x*-2ax十3的最小值为-1,则a的值为 ) C.2 A.2 B. 士2 3. 定义符合mina,b的含义为:当a>b时,mina,b-b;当a<b,mina,b=a.如; min 1,-3--3,min -4,-2)--4,则min{-x2+1,-x的最大值是 _ C.51 A.0 B.1 D.1 二、填空题 4. 二次函数y-x*-2x+1在3<x<5范围内的最小值为 5. 如图,在Rt△ABC中,BAC-90{*,AB=3,AC-4,P为斜边BC上任意一点,连接PA 以PA、PC为邻边作PAQC,连接PQ,则PQ的最小值为 7题) (第5题) (第6题) (第8题) 6. 如图,在△ABC中,C=90{*,BC=3,AC=4,D是边AC上一动点,过点A作AE1BE 7. 如图,在矩形ABCD中,AB-3,AD一4,□EFGH的四个顶点都落在矩形边上,且有AE 8. 如图,在矩形ABCD中,AB-2,AD-5,动点P从点A出发,以1cms的速度沿AD向 终点D移动,设移动时间为ts.连接PC,以PC为一边作正方形PCEF,连接DE、DF 则△DEF面积的最小值为 三、解答题 9. 如图,对称轴为直线x一2的抛物线y三r{}十bx十c与:轴交于点A和点B,与y轴交于 点C.且点A的坐标为(-1,0). (1)求抛物线的函数表达式. (2)点D在抛物线的对称轴上,求AD十CD的最小值 (3)若P是第四象限内抛物线上一个点,求Swc的最大值 《137 课时提优计划 作业本 数学 九年级下册 >>>>> 10.(2023·宿迁)某商场销售A、B两种商品,每件进价均为20元.调查发现,如果售出 A种20件,B种10件,销售总额为840元;如果售出A种10件,B种15件,销售总额 为660元. (1)求A、B两种商品的销售单价. (2)经市场调研,A种商品按原售价销售,可售出40件,原售价每降价1元,销售量可增 加10件;B种商品的售价不变,A种商品售价不低于B种商品售价,设A种商品降 价n元,如果A、B两种商品销售量相同,n取何值时,商场销售A、B两种商品可获 得总利润最大?最大利润是多少? 11. (1)【问题探究】如图1.点B、C分别在AM、AN上,AM=12,AN=20,AB=2,BC 3.6,AC-1.2.①探究△ABC与△AMN是否相似并说明理由;②求MN的长 (2)【问题解决】如图2,某初中拟在校园西南角的一块四边形ACBD区域修建植物园 对角线AB将整个四边形分成面积相等的两部分,已知AB三60m,四边形ACBL 的面积为1200m,计划在AC、BC边上分别确定点E、F,在AB边上确定点P、Q 使四边形EFPQ为矩形,在矩形EFPQ内种植各种树木,在四边形ACBD剩余区 域种植草坪,为了方便师生观赏,计划在FQ之间修一条小路,并使得FQ最短,根 据设计要求,求出FQ的最小值. 2 12. 如图1,已知点O在四边形ABCD的边AD上,且OA-OB=OC-OD-5,OB平分 之AOC,与AC交于点G,BD分别与OC、AC交于点E、F. (1)求证:OB/CD _. (2)如图2.若CE-CF,求 (3)当四边形ABCD的周长取最大值时,求sinCFD的值 #### 图1 图2概率为3 1 (2)由题意列表如下，由表可知，共有9 期末高频考点(6)最值问题 种等可能的结果，其中小明，小亮选取同一景点的结 1.A解析：y2-2.x+4=0,.y2=2.x一4≥0， ∴.x≥2，.x2+y2+2x=x2+2.x-4+2x=x2+4x十 果有3种，.P(小明、小亮选取同一景点)= 3 4一8=(x十2)2-8.，x≥2，.当x=2时，有最小值 A B 是8.2.A解析：y=x2-2ax十3=(x-a)2+3 A (A.A) (B,A) (C,A) a.抛物线开口向上，对称轴为直线x=a.若a<1,当 (A.B) (B.B) (C,B) 1≤x≤3时，y随x增大而增大.当x=1时，y有最 (A,C) (B,C) (C,C) 小值4-2a,4-2a=-1,心a=号，不符合题意，舍 8.(1)1 解析：共有3个数字，.摸到标有数字去：若1≤a≤3，当x=a时，y有最小值3一a, ∴3-a2=-1..a2=4,1≤a≤3，.a=2:若a≥ 为2的球的概率是？ (2)公平.理由如下：画树状 3,当1≤x≤3时，y随x增大而减小，当x=3时，y有 图如图所示，由树状图可知，P(小明获胜)=3= 93· 最小值12-6a,d12-6a=-1.a=号.：不符合题 P(小东获胜)=名-子P小明获胜)=P(小东获 意，舍去，综上所述，a的值为2.3.D解析：联立 胜)，即游戏规则对双方公平 1+5 y=-x+1, x1= -15 21 2 解得 观 开始 m=-16 2 2， 小明 小东 察函数y=一x2+1和y=一x在同一平面直角坐标 123123 系中的图像可知，min{一x2+1,一x}的最大值是 9.(1)5解析：，一个不透明的盒子里有n个除颜 色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，先从盒 5-1 2 4.4解析：y=x2一2x十1=(x一1)2， 子里拿走m个黄球，这时从盒子里随机摸出一个球 ∴.该二次函数图像的对称轴是直线x=1,在3≤x≤ 是黄球的事件为“随机事件”，∴不透明的盒子里至少 5范围内y随x的增大而增大，.当x=3时，ym 还剩1个黄球，m的最大值为6-1=5.(2)：不 透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球， (3-1)=4,5.号解折：设PQ与AC交于点O, 其中有6个黄球，又在盒子中再加人2个黄球，过O作BC的垂线交BC于点P',在Rt△ABC中， :牛号-04，解得=18，经检验0=18是该分式方 由勾股定理得BC=√/AB+AC=√3+4=5. 程的解…n=18.10.（①D号 (2)把鲜肉棕分别记 :四边形APCQ是平行四边形.OP=OQ=专PQ, 为A1、Az、A,赤豆粽记为B,画树状图如图所示，由 0C=-0A=2AC=2×4=2.:∠PC0=∠ACB, 树状图可知，共有12种等可能的结果，2个都是鲜肉 粽的结果有6种，∴P(九年级的小文挑到2个鲜肉 ∠CP'0=∠CAB=90,∴.△CP'O∽△CAB..OC B 棕)=6=1 122 即号-O0P-日：PQ最短也铁是0P OP 开始 最短，OP的长即为OP的最小值，∴.PQ的最小值为 20p-号 6.3解析：在Rt△ABC中，由勾股定 理得AB=√BC+AC=√3+4=5.，AE⊥BE, 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) *80 六∠AEB=∠AGB=90,A,B.CE共圆，且圆66-)=名f-+号-0+号当1=4时， O是线段AB的中点，过点E作EH⊥AC于点H, EH∥BC,△EHD∽△BCD,∴B- △DEF的面积最小，最小值为2.9.(I油A(-一1，O, b ,当EH最大时，部最小，当E是AC的中点时， 2 =2, b=-4, 对称轴为直线x=2,可得 解得 c=-5. EH最大，此时OE⊥AC于点H,OE-2AB=号· 1一b+c=0, ∴.抛物线的函数表达式为y=x-4x-5.(2)由 2OH是△ABC的中位线.OH=号BC=。 A(一1,0)，且对称轴为直线x=2,可知B(5,0). 2 y=x2-4x一5，.C(0,一5).如图1，当C,D、B三 EH'-号-是-1.心0的最小值为是-3 点共线时，AD十CD最小，即为BC的长，.BC= 7装解析：如图，连接EG,:四边形ABCD为矩 √OC+OB=5√2，即AD+CD的最小值为5√2. (3)如图2，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q.,B(5, 形，四边形EFGH为平行四边形，∴.AD∥BC,EF∥O),C(O,-5),设直线BC的函数表达式为y=kx+ GH,∠A=∠C,EF=GH,∴.∠AEG=∠CGE, 15k十b=0, ∠FEG=∠HGE,∴.∠AEG-∠FEG=∠CGE- b... b=-5. 解得 =1,·直线BC的函数表 6=-5, ∠HGE,即∠AEF=∠CGH,∴.△AEF≌△CGH 达式为y=x一5.设P(m,m2一4m一5)，则Q(,m (AAS.同理可得△DEH≌△BGF.'AE=2AF, 5),∴.PQ=m-5-(m2-4m-5)=-m2+5m,∴.SAw .设AF=a,则AE=CG=2a,BF=DH=3-a, DE=BG=4-2a,.S△AEF=S△H,S△EH=S△F. =2PQ·0B=号(-m+5m)X5=-2m+2m S=S:-SAAEE-SACGH-SADEH-SF=3X4- (m一)广+1当m=时，Sm取得最大 2a-(4-2a)(3-a)=10a-4a,.g=10a-4a 12 值为5 a>0, x=2 -(口-)广+装由题图中线段关系得 2a<4, a<3, 0<a<2.∴当a=时，受的值最大，最大值为得 图1 图2 10.(1)设A种商品的销售单价为a元，B种商品的 20a+10b=840, 销售单价为b元，由题意可得， 解得 10a+15b=660, 8.多解析：设△PCD的面积为y,由题意知，AP 1a=30, 答：A种商品的销售单价为30元，B种商品 t.PD=5-t∴y=2CD·PD=号×2x5-0= b=24. 的销售单价为24元.(2)设利润为元，由题意可 5一.四边形EFPC是正方形，∴.S△x十S△mx= 得，=(30-m-20)(40+10m)+(24-20)(40+ 2SE为形m.PC=PD+CD,∴.PC=2+(5- 10m)=一10(m-5)2+810.,A种商品售价不低于 B种商品售价，∴.30一m≥24，解得m≤6，∴.当m=5 0=r-10+29,∴5m=专-10+29)- 时，e取得最大值，此时=810.答：m取5时，商场 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) 81 销售A,B两种商品可获得总利润最大，最大利润是 ∴CD=2OG=10-5m2,∴四边形ABCD的周长为 810元.1L,(1)①△ABC与△AMN相似.理由如 下：AM=12.AN=20,AB=2,AC=1.2S 2AB+CD+AD=2m+10-号m2+10=-言m+ S-0·又：∠BAC-∠NaM,:△ABCO 2m+20.”a=-号<0当m=一名-5时，四边 形ABCD的周长最大，∴.AB=OA=5,∴.△OAB为等 △ANM.②由①知，△ABCO△ANM,S 边三角形，∠AOB=∠CDO=60°，∴.∠CDF=30°. 又AM=12,AC=1.2,BC=860 六∠CFD=60,∴sin∠CFD=S 21 M,MN=36。(2)四边形ACBD的面积为 1200m,对角线AB将整个四边形分成面积相等的 两部分，.△ABC的面积为600m,设△ABC中AB 边上的高为方m:AB=60m∴号×60h=60,解得 h=20.:四边形EFPQ为矩形，∴.EF∥AB. 期末高频考点(7)二次函数综合题 .∠CFE=∠CBA,∠CEF=∠CAB,∴.△CEFO △CAB,∴.EF:AB=(h-FP):h.设EF=xm, 1.(1)证明：令y=0,则x2一2m.x十m2一1=0.， 4ac=(-2)-4×1×(m2-1)=4>0,.不论m为 ∴x:60=(20-FP):20∴FP=20-3x.由勾股定 何实数，方程x2一2mx十m2一1=0总有两个不相等 理得0-(20-+r-0r-9x 3x+400= 的实数根.∴.不论m为何实数，该二次函数的图像与 x轴总有两个公共点.(2)：y=x2-2n.x十m2一1= 号9一6+360，当x=6时，F0最小.即PQ最小，红一m1,抛物线开日向上，对称轴为直线 .FQ的最小值为6√10.12.(1)证明：：OC=OD, m.,m一(m一1)<(m十2)一m,∴.点M到抛物线对 ∴.∠OCD=∠ODC,.∠AOC=∠ODC+∠OCD= 称轴的距离小于点N到抛物线对称轴的距离， 2∠ODC.OB平分∠AO,∴.∠AOC=2∠AOB, ∴y<y2.(3),地物线y=x2-2m.x+m2一1= ∴∠AOB=∠CDO,.OB∥CD.(2):OA=OB= (x一m)一1，.沿y轴翻折后的函数表达式为y= (OC=OD,∴点A、B、C、D在以AD为直径的圆上， (x十m)2一1.∴.该抛物线的对称轴为直线x=一m. ∴∠ACD=90°.设∠BDC=x,则∠ODC-∠OCD= ①若-m<1,即m>一1，则当x=1时，y有最小值， 2x.CE=CF,.∠CEF=∠CFE=3.x,.4.x=90°， ∴.(1+m)2-1=3,解得m1=1,m2=-3,m>一1， .x=22.5°，.∠ODC=∠OCD=45°..△COD和 .m=1:②若1≤一m≤3，即-3≤m≤一1，则当x= △AOC都是等腰直角三角形.：∠ODE=∠CDF, 一m时，y有最小值一1，不合题意：③若一m>3,即 ∠D0E=∠DCF,&△DOEO△DCR,Bs- m<一3，则当x=3时，y有最小值，∴.(3十m)2一1=3， 解得m1=一1，m2=一5，m<-3,∴.m=-5.综上 、0-号.(3)由(2)知，∠A0B=∠B0C,0GLAC, 所述，m的值为1或一5.2.(1)由直线y=x+3得 B(-3,0)、C(0,3).:抛物线y=x2十b.x十c过点B、 则AB=BC.设AB=BC=m,BG=y,则OG=5-y, 5-(5-y=m-了，解得y=0m,BG= C... 9-3b+c=0, 解得/4， 二次函数的表达 c=3, (c=3, 式为y=x十4x十3.(2)如图1，过点D作DF∥ m2,0G=5-0m.0G是△ACD的中位线， BC,交y轴于点F,连接BF,则S△x=S△xo=6.由 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) 82.