第5章复习课-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学下册（苏科版2012）

第5章二次函数 复习课 知识梳理 1.二次函数的定义 一般地，形如y= (a、b、c是常数，且a≠0)的函数叫作二次函数，其中x是自变 量，y是x的函数 2.二次函数y=ax2十bx+c的图像 (1)画法：描点法 (2)特征：①当a>0时，图像开口向 :当a<0时，图像开口向 (说明：a越大，开口越小：a越小，开口越大.) ②对称轴：直线x= 「或直线x=凸(1、4是抛物线与x轴交点 2 的横坐标)小 ③顶点坐标： 3.二次函数y=a.x2+bx十c的性质 (1)增减性：①当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而 ;在对称轴右侧，y随 x的增大而 ②当a<0时，在对称轴左侧，y随x的增大而 :在对称轴右侧，y随 x的增大而 (2)最值：当a>0时，有最小值 :当a<0时，有最大值 (说明：一般情况下，最值为顶点的纵坐标：小范围内需要结合图像，根据增减性求解.) 4.抛物线的平移规律：左右自变量，上下常数项。 5.用待定系数法求二次函数表达式 (1)一般式：y=a.x2+bx十c(a≠0)，已知图像上三点的坐标，通常用一般式. (2)顶点式：y (a≠0)，已知图像的顶点坐标或对称轴，通常用顶点式. (3)交点式：y (α≠0)，已知图像与x轴的交点坐标，通常用交点式. 6.二次函数与一元二次方程的关系 (1)抛物线y=a.x2+bx十c(a≠0)与x轴的交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx十c=0 的根。 (2)抛物线与x轴的交点情况：①有两个交点台6一4ac0:②有一个交点台b Aac 0:③没有交点一4ac0.(拓展：也适用于求抛物线与直线的交点个数.) (3)利用图像求一元二次方程的近似根（逼近法）. 7.二次函数的实际应用 (1)建立二次函数模型. (2)利用二次函数的图像和性质解决实际问题（注意自变量的取值范围）. 39 课时提优计划作业本数学九年级下册 愿组提优训练 目/考点一/二次函数的图像和性质 L.已知二次函数y=(.x一a一1)(x一a十1)一3a+7(其中x是自变量)的图像与x轴没有公 共点，且当x<一1时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是 () A.a<2 B.a>-1 C.-1<a≤2 D.-1≤a<2 2.一个二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值如下表。 一2 0 -6 下列说法中，正确的是 A.这个函数的图像开口向下 B.这个函数的图像与x轴无交点 C.这个函数的最小值小于一6 D.当x>1时，y的值随x增大而增大 3.已知二次函数y=x2一2x一3.当一1≤x<4时，y的取值范围是 :当-2<x≤2 时，y的取值范围是 :当1<x≤3时，y的取值范围是 目/考点二/确定二次函数的表达式 4.若二次函数y=a.x2+b.x十a2-2(a、b为常数)的图像如图所示，则a的 值为 A.-2 B.-2 C.1 D.2 5.已知点P(一1,5)在抛物线y=一x十bx十c的对称轴上，且与该抛物线的顶点的距离是4， 则该抛物线的函数表达式为 6.已知二次函数y=a.x2+2a.x+c的最小值为一8.若当0<x<1时，y为负值：若当一4< x<一3时，y为正值：则二次函数的表达式是 目/考点三/二次函数与方程、不等式 7.如图，已知抛物线y=a.x2+c与直线y=kx十n交于A(一3，y)、 B(I,y2)两点，则关于x的不等式ax十kx+c≥m的解集是() A.x≤一3或x≥1 B.x≤-1或x≥3 C.-3≤x≤1 D.-1≤x≤3 8.已知关于x的函数y=(k一2)x2一(2k一1)x十k的图像与x轴有两个交点，则k的取值 范围是 9.二次函数y=a.x十bx十c(a≠0)的图像如图所示，根据图像解答下列问题： (1)写出方程a.x2十b.x+c=0的两个根. (2)写出不等式a.x2十b.x十c>0的解集. 40 第5章二次函数 (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围. (4)若方程a.x2十bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 2-10 -2 回/考点四/二次函数的应用 10.“冰墩墩”和“雪容融”两个可爱的北京冬奥会吉祥物以满满的“未来感”和“中国风”圈粉 无数.某商家购进了A、B两种类型的冬奥吉祥物纪念品，已知3套A型纪念品与4套 B型纪念品的价格相同，2套A型纪念品与1套B型纪念品共220元 (1)求A、B两种类型纪念品每套的进价. (2)该商家准备购进A、B两种类型纪念品共50套，以相同的售价全部售完.设售价为 每套m元，A型纪念品的销量为n套，且n与m之间的关系满足一次函数n= 一2m十80，如何确定售价才能使A型纪念品的销售利润最大？ 11.如图，二次函数y=a.x2十hx十4的图像与x轴交于点A(一1,0)、B(4,0),与y轴交于点C, P为线段AB上一动点，将射线PB绕点P逆时针方向旋转45°后与函数图像交于点Q. (1)求该二次函数的表达式. (2)当点P在二次函数图像的对称轴上时，求此时PQ的长. (3)求线段PQ的长的最大值. (4)抛物线的对称轴上是否存在点D,使P,Q、B、D四点能构成平行四边形？若存在， 请求出点D的坐标：若不存在，请说明理由. O P B 4 【课时提优计划作业本数学九年级下册) 直击？中考前沿 1.(2024·南通)将抛物线y=x2十2x一1向右平移3个单位长度后得到的新抛物线的顶点 坐标为 A.(-4,-1) B.(-4,2) C.(2,1) D.(2,-2) 2.(2024·凉山)抛物线y=号(x-1+c经过(-2).0)（侵）三点，则 的大小关系正确的是 A.y>y2>ys B.y2>ya>y C.ya>y>y2 D.y>ys>y 3.(2024·赤峰)如图，正方形ABCD的顶点A、C在抛物线y=一x2十4 上，点D在y轴上.若A、C两点的横坐标分别为m、n(n>n>0),则下 列结论正确的是 ( A.m+n=1 B.m-n=1 C.m=1 D.m-1 4.(2024·连云港)已知抛物线y=a.x2十bx十c(a、b、c是常数，a<0)的顶点为(1,2).小烨 同学得出以下结论：①ab<0:②当x>1时，y随x的增大而减小：③若a.x2十bx十c=0 的一个根为3，则a=一2：④抛物线y=ar2+2是由抛物线y=ar2十bx十c先向左平移 1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的.其中结论正确的是 ( A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 5.(2024·济宁)将抛物线y=x2一6x+12向下平移k个单位长度.若平移后得到的抛物线 与x轴有公共点，则k的取值范围是 6.(2024·辽宁)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a.x2+bx十3与x轴相交于点 A、B,点B的坐标为(3,0)，若点C(2,3)在抛物线上，则AB的长为 (第6题) (第7题) 7.(2024·广西)如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是m,出手后实心 球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点为 M,则OM= m. 42 第5章二次函数 8.(2024·新楼)如图，抛物线y=2-4r十6与y轴交于点A,与x轴 交于点B,线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且 CD=3.当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 9.(2024·通辽)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= 2r+3与 x轴y轴分别交于点C,D,抛物线y=一}(x一2)+(k为常数)经过点D且交x轴于 A、B两点. (1)求抛物线的函数表达式. (2)若P为抛物线的顶点，连接AD、DP、CP,求四边形ACPD的面积. 10.(2024·扬州)如图，已知二次函数y=一x2十h.x十c的图像与x轴交于A(一2,0)、 B(1,0)两点. (1)求b、c的值 (2)若点P在该二次函数的图像上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标. 《43'.将函数y=ax}+bx十c|的图像向上平移2个单 -10a,.15a-10a+1-0,解得a=- 位长度后与直线y一5有4个交点,故④错误.综上所 #.(3##3#) .水流抛物线的函数表达式为y一一 述,正确的是①③. 解析:直线 任务二:圆柱形水杯最左端到点O的距离是15-3= y-x绕原点O逆时针旋转45{得到x-0,设抛物线 y-2(x十1)+1与y轴的交点为M,·抛物线y $(x+1)*+1,当x-0时,y=3,M(0,3), 10.2.·11>10.2,.,水流不能流到圆柱形水杯内 '.OM-3.根据题意可设点M的坐标为(n,n)(m>0). 由旋转的性质得,OM=OM=3,.'n}+n}-3^,.'m 5+3、5-3=(2+35)(cm),5+35+3-(8+ 2 3v5)cm,..OP长的取值范围是(2+3v5)cm OP<(8+3/5)cm. 复习课 知识梳理 ③3(-#4#) 10. 7 解析:建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 3.(1)①减小 增大 ②增大 过点P作PE Ix轴于点E,则 PEB=90*,各点坐 标为A(-4,0)、B(4,0)、C(-2,-12)、D(2,-12). Aa 4a 设该水杯左右轮廓线所在抛物线的函数表达式为 5. (x+h)*+e a(x-x)(x-x) 6.(2)①> y=a(x+4)(x-4),把C(-2,-12)代入,得-12= ②-③< a(-2十4)(-2-4),解得a=1,..该水杯左右轮廊 题组提优训练 线所在抛物线的函数表达式为y=(x十4)(x一4)- 考点一:1.D 解析:y=(x-a)-1-3a+7= *-16. ABP=45^{*$, PEB-90{,' BPE 2ax十a{}一3a十6..函数图像与x轴无公共点; 4$5 {* .$EPB= EBP,.'EP=EB.设P(x,),则 '.(-2a)*-4$1x(a-3a+6)-12a-24<0$ BE-4-x,EP--y.-y-4-x,即-(c2-16)= 4-,解得x-4(舍去),x=-3,,y=(-3)-16- 一7...PE-7,即点P到杯口AB的距离为7cm. a,且当x一1时,v随x增大而减小,..a一1.综 上所述,a的取值范围是一1<a<2. 2. C 解析; ) 设这个二次函数的表达式为y=ax2}十bx十c,由题 [6-ax(-2)*+6X(-2)+c. [a-1, 可知,一4-c, 解得{--3, -6-a十b十c. lc--4. '.这个二次函数的表达式为y=x?-3x-4-(x- 11. 任务一:'AB/x轴,AB-5cm,B为水流抛物 A选项错误;与x轴的交点坐标为(4,0)和(一1,0), 5, 'b--10a.把点M(15,0)代入y=ax2+bx+15, 得$15}a+15b+15=0, .15a+b+1-0,又:b- 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) ·24. -25<-6,故C选项正确;函数图像的对称轴为直 y=ax*+c与直线y=-kx+m交于A.(3,y) B(-1,)两点,图像如图所示,..当-1<x<3时, ax^{}十c>一kx十m,即不等式ax{}十kx十c三m的解 大而增大,故D选项错误.3.-4<y<5 -4< 集是-1<x<3. 5 -4<y<0 解析::y=x-2x-3=(- 1)*-4...顶点坐标为(1,一4),与x轴的交点坐标为 (3,0)、(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,一3),其关 于对称轴的对称点为(2,一3),函数图像如图所示,当 -1<x<4时,由图像知x=4时,y-5,即(4,5)是最 高点,顶点(1,-4)是最低点,..-4<y5;当-2< 过8. -寸且去2 解析:根据题意,得 x<2时,由图像知x=-2时,y-5,即(一2,5)是最 (2-1)*-4(-2)>0, 高点,顶点(1,-4)是最低点,.-4<y<5;当1 ”解得>-1且≠2. x<3时,顶点(1,一4)是最低点,x=3时,y=0, -270, ..(3,0)是最高点,.'.-4<y0 9.(1)由二次函数图像可知,与x轴的交点坐标分别 是(1,0)、(3,0),..方程ax2十bx十c-0的两个根为 x.-1,x-3. (2)由图像可知,当1<x<3时,不 等式ax*十bx十c>0. (3)由图像可知,y=ax*十 bx十c(a去0)的图像的对称轴为直线x一2,开口向 下,即当x>2时,y随x增大而减小.(4)由图像可 知,二次函数y=ax*十bx十c(a≠0)的最大值为2,若 考点二:4. B 解析:将(0,0)代入二次函数的表达 方程ax^{}十bx十c一k有两个不相等的实数根,则必 式,得a-2-0,.,a-士/②,由图像得,a<0,.'a= 须小于y三ax^{}十bx十c(a关0)的最大值,..k的取值 -2.5.y=-x-2或y=-r*-2x+8 解 范围是<2. 析:由题意得,顶点坐标为(一1,1)或(一1,9),可得 考点四:10.(1)设A型纪念品的进价是每套x元, &. B型纪念品的进价是每套y元.根据题意,得 -4 -4 3x-4y. 一2.c一0或c一8,则该抛物线的函数表达式为y= 解得/二-80, 答:A型纪念品的进价是 l2x+y-220. y-60. -2x或 =-r-2x+86.-2x^}+4$-6$$ 每套80元,B型纪念品的进价是每套60元.(2)设 解析:根据题意得,该二次函数的对称轴为直线x= 2a--1,.当x--3和x-1时,函数值相等, A型纪念品的销售利润为w元,则w三(m一80)· ·当0<x<1时,y值为负;当-4<x<-3时,y值 过 6 400-(m-120)+800.:0<-+80 为正,..x-1和x--3时,y-0,即该二次函数经过 点(一3,0)、(1,0),设该二次函数的表达式为y a(x+3)(x-1),即y=ax*+2ax-3a..y=ax+ 2ax-3a-a(x+1)?-4a,.,-4a=-8,解得a-2, w有最大值,为800.答;当售价为每套120元时, '.该二次函数的表达式为y=2x*十4x一6. A型纪念品的销售利润最大.11.(1)把A(一1,0)、 考点三:7. D 解析:.抛物线y=ax^{*}十c与直线 解得 y=kx十m交于A(-3,y)、B(1,y)两点,抛物线 116a十4+4-0, 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) ·25. *.该二次函数的表达式为y---2十3x十4. PE=QE,则 BPQ=45*且 PQ 6-3, (2)如图1,作QEIx轴于点E,作直线y=x+1交 PQBD是平行四边形,此时D(3,-).如图4, y轴于点F,则F(0,1),且该直线过点A(一1,0). PQ是以P、Q、B、D四点为顶点的平行四边形的对 :A-OF.AOF-90.OAF- BPO-45^ 角线,则PD=BO.PD//BO.. /GPD=/EBO. '.PQ/AF.设直线PQ的函数表达式为y一x十c,由 " PGD= BEQ=90{,. △PGD △BEQ$$ A(一1,0)、B(4,0)得,抛物线的对称轴为直线x (AAS),.'.PG=BE,$DG=QE.设$DG=QE=$t.则$$$ 3,当点P落在直线x-3上,则P(.o)代人y- 2 4 ## 得 -x*+ 3-+4.得-(12)+3.11+214-1.,解 --x*+3x+4 2+26 2-26 # 或{ (不符合题意,舍 -1+26 #1-26 去)$.P-2F--1+26213-2 点能构成平行四边形 图1 图2 (3)如图2,当-1<x<4时,QE的长随x增大而减小 ..当点P与点A(-1.0)重合时,QE的长最大,PQ的 图3 图4 长也最大.此时直线PQ的函数表达式为y三x十1,由 直击中考前沿 '(不符合题意, 1. D 解析:先将y=x+2x-1化为顶点式y 1y-0 (x+1)一2,顶点坐标为(一1,一2),抛物线向右平移 舍去),此时QE-4...PQ=v②QE-42,.PQ的长 3个单位长度后,相应的顶点也向右平移了3个单位 (4)存在,理由如下:如图3,PQ 的最大值为4②. 长度,..新抛物线的顶点坐标为(2,-2).2.D 解 是以P、Q、B、D四点为顶点的平行四边形的一边,则 BD/PQ..乙PBD-45*.设直线x-3交x轴于 是直线x一1,*当x<1时,y随x增大而减小 “()关于直线x=1的对称点是(一,), 图,分别过点A和点C作、轴的垂线,垂足分别为M 和N.将A、C两点的横坐标代入函数表达式得,点A 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) ·26· 的坐标为(m,一n{}十4),点C的坐标为(n,一n^{}十4), 2 *AM=m,OM=-m+4,CN-n,ON--n2+4. 的一个交点为B(3,0),..抛物线与x轴的另一个交 *四边形ABCD是正方形,'.AD三CD,/ADC三 点为A(1×2-3,0),即A(-1,0), ,AB=3 90{*.又:AMLy轴,CNy轴,.AMD=DNC 9$0{}..'CDN+ ADM= ADM+ DAM=90{*,$$ 解析:如图,以O为坐标原点, '.DAM= CDN,..△AMD△DNC(AAS), OM为x轴正半轴,OP为y轴正半轴,建立直角坐 '.DM=CN=n,DN=AM-m,..MN-DM+ 标系,由题意可知,P(o,),B(5,4),其中B为抛物 DN-m十n.又:MN=ON-OM=(-n*+4)- 线的顶点,设抛物线表达式为y一a(x一5)②}十4,将 (-m+4)=m{}-n,.,n}-n2=m+n,即(n+$$ P(o)代人得-ax(0o-5):+4,解得a-- n)(m-n)=m十n..m>n>0,..n+n≠o,.m 100' n-1. M为抛物线与x轴的交点,即y-一 0.解得x-35. 3,_ m. 4. B 解析:.抛物线y=ax十bx十c的顶点为(1 -0 2a 8.(4,1) 解析:作点A关于对称轴对称的点A',将 2)的坐标代入y=ax②十bx十c,得a十b十c=2,..c= 点A向下平移3个单位长度,得到点A”,连接A“B,交 2-a-b-2-a-(-2a)-2+a,.,c的正负无法判 对称轴于点C,此时AD+BC的值最小,AD+BC 断,故①错误;.a0,..抛物线开口向下,.对称轴 为直线x=1,.,当x>1时,y随x增大而减小,故② 正确;.b--2a,c-2+a,.,y-ar*-2ar+2+a, .当x=3时,y=0,..0-9a-6a+2+a,解得a= 2 6)..'A”(8,3).设直线A”B的函数表达式为y a(x一1)+2,.将抛物线先向左平移1个单位长度, 8十b-3, 再向下平移2个单位长度得到y=a(x-1十1)十 x十b,将A”(8,3)、B(2,0)代人,得 '解得 2十b-0, 2-2-ar{,故④错误.综上所述,正确的是②③. $. 3 解析:将抛物线y=--6x十12向下平移 个单位长度得y-x^{-6x十12一k.,.平移后得到的抛 --1, 物线与x轴有公共点,.'.-4ac0,即(-6)-4× 当x-4时,y-1...点C的坐标为(4,1). $X(12-)三0,整理得-12+4>0,解得>3 6. 4 解析:由题意得,抛物线y一ax*十bx十3过点 (a=-1, B(3,0)、C(2,3),.. .抛 14a+2b+3-3. lb-2, 物线的函数表达式为y=-x2十2x十3.'.抛物线的 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) .27. 9.(1)令x=0,则y=- 第6章 图形的相似 6.1 图上距离与实际距离 课堂演练 点D(0,3).,3=- 1. C 解析:根据比例尺一图上距离:实际距离可得 -1(x-2){}+4--1+x+3,即抛物线的函数表 它的实际长度约为43.7×100000-4370000(cm) 43.7(km). 2. B 解析;2×5字3×4,故A选项不 (2)如图,连接OP.令 符合题意:1×4-2×2,故B选项符合题意;4×10字 6×8.故C选项不符合题意;②×3去③×③,故D 选项不符合题意.3. A 解析:根据题意得,c* ab,即c*-2×8,解得c=4(负值已舍去).4. D 解析:m-的两边同时乘pn得,mn=pq,与原式一 0),B(6,0)..'OA-2,OB-6.由(1)知,抛物线的顶 标为(2,4),'.PC1x轴,PC=4,.'.Sm形Acpo= 得,mn一pq,与原式一致,故B选项不符合题意;- SAoo+S△roo+Sroc-oA·OD+oD·OC+ #$ $·$-x2×3+×3×2+$2×4-3+ 选项不符合题意;"_的两边同时乘qn得, 3+4-10,即四边形ACPD的面积为10 mq=n,与原式不一致,故D选项符合题意. 解析:._y_ # 10.(1)将A(-2,0)、B(1,0)代入y=-x2}+bx+c. 6.9.2 b--1, 解得 (2)由(1)知,二 1-1十十c-0. 1c-2. 次函数的表达式为y=一x2-x十2.设点P的坐标 为(m,-m{}-m+2).:△PAB的面积为6,AB- 2)## 1-(-2)-3,: $a-1AB·131-3x 解得 -3,.x-3{-9,y-5k-15. |-n^{}-m+2-6,\m}+m-2-4.若m+m- a 2-4,整理得m{}+m-6-0,解得m,--3,m-2,当 3. 6 (3)由题意得,x·y:z一 mn=-3时,--(-3)-(-3)+2--4,当m-2 时,y,--2-2+2--4;若m+m-2--4,整理 {6 : 10:15.设x=6k,y-10k,z-15k,则-++元= 2x-y十z 得m^{}十m十2一0,此方程无解,综上所述,点P的坐 6+10+15 31 31 标为(-3,-4)或(2,-4). $$6-10+15 1717* 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) .28.