第5章江苏中考新考法二次函数-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学下册（苏科版2012）

第5章二次函数 江苏中考新考法一二次函数 目/考法一/利用二次函数的性质求参数的取值范围（代表地区：南京、扬州、盐城、苏州、南通、无锡） 1.若点A(m一2，a)、B(4,b)、C(m,a)都在二次函数y=x2一2tx十3(t>0)的图像上，且 a<b<3,则m的取值范围是 () A.3<m<4 B.4<m<6 C.m<3或m>6D.3<m<4或m>6 2.已知二次函数y=a,x2十bx十c(a<0)图像的对称轴为直线x=t,该二次函数图像上存在 两点A(x1,y1)、B(x2,y),若对于1<x1<2<x<3,始终有y<y2,则1的取值范围 是 3.如图，已知A(0,3)、B(一4,3)、C(2,0),抛物线y=a(x一h)+k过点C,顶点M位于第 二象限且在线段AB的垂直平分线上，若该抛物线与线段AB没有公共点，则k的取值 范围是 y (第3题) (第7题) (第8题) (第9题) 目/考法二/二次函数的最值（代表地区：南京、无锡、扬州、宿迁） 4.二次函数y=a.x2+2x十3(4为常数，a≠0)的图像的顶点P与原点O的距离的最小值 为 5.已知二次函数y=a.x+bx十c(其中a是正整数)的图像经过点A(一1,4)与点B(2,1), 并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为 6.若实数x、y满足关系式3x2+y2=6.x,则2x2+y的最大值为 7.如图，已知矩形ABCD,AB=2,BC=3,E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE=CF,将 △BCF沿着BC方向向右平移到△EGH,连接DE、DH,当DE=EH时，DH的长 是 :运动过程中，△DEH的面积的最小值是 目/考法三/抛物线的翻折与旋转变换（代表地区：连云港、盐城、常州） 8.函数y=|a.x2十bx十c(a>0,-4ac>0)的图像是由函数y=a.x2十bx十c(a>0,b 4ac>0)的图像x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示.现有下列 结论：①2a+b=0:②c=3:③abc>0;④将函数y=|a.x2+bx+c|的图像向上平移2个单 位长度后与直线y=5有3个交点.其中结论正确的是 () A.①② B.①③ C.②③④ D.①③④ 9.如图，将抛物线y=2(x十1)”十1绕原点O顺时针旋转45°得到新曲线，新曲线与直线 y=x交于点M,则点M的坐标为 37 【课时提优计划作业本数学九年级下册>)园 国/考法四/二次函数的综合实践（代表地区：宿迁、泰州） 10.一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线AC、BD为某一抛物线的一部分，杯口 AB=8cm,杯底CD=4cm,且AB∥CD,杯深12cm.如图2，若盛有部分水的水杯倾斜 45(即∠ABP=45),水面正好经过点B,则此时点P到杯口AB的距离为 cm. 图1 图2 11.请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三 制作简易水流装置 如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器的底面直径，从CD将圆柱 形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且星抛物线形.以O为坐标原点， 设计方案 EO所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系Oy,水流最终落到 x轴上的点M处. 示意图 AB∥x轴，AB=5cm,OM=15cm,B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同 已知 平面内，水流所在抛物线的函数表达式为y=a.x十bx+15(a≠0). 任务一 求水流抛物线的函数表达式。 现有一个底面半径为3cm、高为11cm的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好 任务二 放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由.（圆柱形水杯的厚 度忽略不计) 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱 任务三 形水杯内，求OP长的取值范围. 38》“y=-+x+8=-(x-)+3∴顶点坐标为 与x轴y轴分别交于点A,B,A20）B(0,一a). (分的），翻折后的顶点坐标为2一路)·在直线 如图，过点M作MHLy轴于点H,S△w=S形HM y=一8的下方，新图像与直线y=一8的交点个数 (g+1(a+2) S△一S△m ×号×a-号× 是4.7.(1)把C(一√6,0)的坐标代入y=一x十 2×1=a,.S关于a的函数表达式为S=a. k,得0=一6十k,解得=6，∴.抛物线的函数表达式 为y=一x2+6,.D(0,6),.OD=6.点C的坐标为 (一6,0)，.O℃=6，由对称性知，OF=OC=6, ÷DF=OD+OF=6+6.(2)联立)= y=-x2+6, 或3. 得/3 (3)①：点M(1.-a一2)绕点P(t,一2)旋转180°得 y=-31y=2, .B(-3,-3),A(2.2),AB= 到点N,∴.点P为MN的中点.设N(m,n),则有 √(-3-2)+(-3-2)产=5√2.(3)如图，连接MN, 1+m=1,一a2+n=一2，整理得m=21-1,n= 设M(m,-m2+6),则N(一m十6，m),其中一3≤m≤ 2 2 2,.MN=√m-(-m+6)+(-m十6-m)F= a-2.,点N在直线l:y=2.x-a上，∴.a-2= 2(2t一1)一a.整理得a=2t..a与t满足的关系是 2m+m-61=(m+号)-(m+)广≥ a=2.②，抛物线C的对称轴为直线x=1,∴.当 0“当(m+)广=0时，(m+2)广-有最大值 a>0,即抛物线开口向上时，在一2≤x≤1的范围内 满足y随x增大而减小，∴抛物线C开口向下，且 2孕MN的最大值为252。 顶点坐标为N(2t-1,a-2).要满足在一2≤x≤1 的范围内y随x增大而减小，.抛物线C2的对称轴 x=2t一1需在直线x=-2左侧，.2t-1≤-2，解 得1《一之1的取值范围是1<一子 江苏中考新考法一二次函数 1.D解析：，A(m一2，a),C(m,a)都在这个二次函 8.A解析：y=(x-3)(x-5)=x2-8.x+15=(x 数的图像上，二次函数y=x一2tx十3的对称轴为 4)”一1，该抛物线的顶点坐标是(4，一1)将该抛物线 直线x=1即为直线x=m一？十m-m-11=m一1， 绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（一4,1），再 2 向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（一2,1）， ,t>0,∴m-1>0,解得m>1.又m一2<m一1< ∴.此时抛物线的函数表达式为y=一(x十2)2+1=m,.点A在对称轴左侧，点C在对称轴右侧，在y 一x2-4x-3.9.y=2(x一3)2-3解析：抛物x2一21x十3中，令x=0得y=3,∴.抛物线y=x2 线y=一2(.x+3)°+3的顶点坐标为（一3,3），绕原点21x+3与y轴的交点为(0,3)，.(0,3)关于对称轴直 旋转180后，变为(3，一3)且开口相反，故所得抛物线线x=m一1的对称点为(2m一2,3).b<3,·4< 的函数表达式为y=2(x-3)2-3.10.(1)y=2m-2,解得m>3:①当A(m-2,a),B(4,b)都在对 ax2-2ax一2=a(.x-1)2一a一2，∴.抛物线的顶点坐标称轴左侧时，，y随x增大而减小，且a<b,.4< 为M(1,一a一2).：抛物线与x轴只有一个交点，m一2，解得m>6,此时m满足的条件为m>6:②当 ∴.一a-2=0,解得a=-2.(2):直线：y=2x一aA(m-2,a)在对称轴左侧，B(4.b)在对称轴右侧时， 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) 22。 a<b,∴.B(4,b)到对称轴直线x=m-1距离大于-x2十6.x=一(x-3)+9.3.x2十y2=6x,∴y2= A(m一2，a)到对称轴直线x=m一1的距离，∴.4一 -3.x2+6.x.y2≥0，∴.-3x+6.x≥0，解得0≤x≤ (m-1)>m一1一(m一2)，解得m<4,此时m满足的2..当x=2时，2x2+y2的最大值为一(2-3)2+ 条件是3<m<4.综上所述，m的取值范围是3<m< 4或m>6.2.t≥2.5解析：，a<0,1<x1<2< 9=8、1.25号解析：如图，连接FH,?四边 x<3,始终有y<∴.t-3≤t-2引.①当≥3形ABCD是矩形.∴.CD=AB=2,∠BCD=90°.由 时1-3≤1-2始终成立，当t≥3时，：-3≤平移的性质可知，CF∥GH,CF=GH,EG=BC=3, 11-2|,始终有y1<y:②当2≤t<3时，.3一1≤1 ∠G=∠BCD=90°.：四边形FCGH是矩形，.EG 2,t≥2.5，当2.5≤t<3时，1-3≤11-21，始EC=BC-EC,即CG=BE,又BE=CF,∴CF=CG 终有y<y2:③当1<2时，.3-1≤2-1，.3<2， .四边形FCGH是正方形，.FH=CF,∠CFH=90°， .1一3≤1一2不成立.综上所述，1的取值范围是 ∴.∠DFH=90°.设BE=x,则CF=FH=GH=x, 1≥2.5.3.0<k<3或k>4解析：，抛物线y= .EC=3-x.DE=EH,.(3-x)+2=3十x2, a-A+的顶点M位于第二象限且在线段AB解得x=号：CF=FH=号DF=CD-CF=2 的垂直平分线上，且点A(0,3),B(-4,3),h= 一2，k>0.抛物线与线段AB无公共点分两种情况： 号=冬在R△DFH中，由勾股定理得DH一 ①当点M在线段AB下方时，：点M的坐标为 (一2，k),.0<<3:②当点M在线段AB上方时， DF+FF=√()+（号）=25.Sm 有0(2+2)+6=0. 解得k>4.综上所述，k的取值 S△n十S形Gn-S△H=2(3-x)X2+2(2+ 1a(0+2)+k>3, 范围是0<k<3或k>4.4.3y区 )Xr-号×3×x=r-x+3=2(-2) 2 解析：，y 15>0,当x= a+2x十3，顶点P为(-云124.2）即 8 2 时，Sam有最小值，为只， 2 即△DEH的面积的最小值是5 (-a3-aoP=(-a)'+(3-a)= 8 (a)+9-9+(日)°=20-2)+22>0 :当。-时，OP有最小值号∴.二次函数图像顶 a 点与原点0的距离的最小值为、侣-3.5.-4 8.B解析：图像经过（一1,0）、(3,0)，.抛物线 解析：将点A(-1,4)、B(2,1)代人y=a.x2+bx+c, y=a2+br十e的对称轴为直线x=1,一品=1， 得0-6十c=4.解得-一a-1 .b=一2a,即2a十b=0,故①正确：由图像可得抛物 :二次函数图像 14a+2b+c=1,c=3-2a. 线y=ax2+bx十c与y轴交点为(0，一3)，.c=-3, 与x轴有两个不同的交点，.b一4ac>0,',(一a 故②错误：a>0,∴.b=-2a<0,∴.abc>0,故③正 1)-4a(3-2a)>0,即(9a-1)(a-1)>0,.a>1 确：设抛物线y=ax十bx十c的表达式为y=a(x十 1)(x-3),代入(0，-3)得-3a=-3,解得a=1, 或a<号又：a是正整数.∴a≥26十c=(-a- ∴y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3=(x-1)2-4, 1)十(3一2a)=一3a十2≤一4.即b十c的最大值为∴.顶点坐标为(1，一4)，翻折到x轴上方后坐标为 一4.6.8解析：3x2+y2=6.x,∴.2x+y=(1,4),再向上平移2个单位长度后坐标为(1,6)， 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) .23 ∴.将函数y=ax2十b.x十c的图像向上平移2个单 -10a…15a-10a+1=0,解得a=-5,b=2, 位长度后与直线y=5有4个交点，故④错误.综上所 述，正确的是①③. 9 323V2 22 解析：直线 水流抛物线的函数表达式为y=一吉十2十15. 任务二：圆柱形水杯最左端到点O的距离是15一3= y=x绕原点O逆时针旋转45°得到x=0,设抛物线 y=2(x十1)2+1与y轴的交点为M,:抛物线y= 12(em.当x-12时y-号×12+2×12+15 2(x十1)2十1，.当x=0时，y=3,.M(0,3),10.2.11>10.2,.水流不能流到圆柱形水杯内 ∴.OM=3.根据题意可设点M的坐标为(m,m)(m>0). 任务三：令y=一吉+2x+15=11,解得x=5士35.。 由旋转的性质得，OM=OM=3,∴.m十m=3,∴.m 5+35-3=(2+35)(m),5+35+3=(8+ 号（负值已合去）点M的坐标为2,32）)】 2 3√5)cm,∴.OP长的取值范围是(2+35)cm< 0P<(8+3w5)cm 复习课 知识梳理 1.a.x2+b.x+e2.(2)①上 下@-品 10.7解析：建立如图所示的平面直角坐标系xOy, 3.(1)①减小增大②增大 过点P作PELx轴于点E,则∠PEB=90°，各点坐 Aac-b 标为A(-4,0),B(4,0)、C(-2,一12)、D(2,-12). 减小(2)4ac一： 4.加减加减 4a 4a 设该水杯左右轮廓线所在抛物线的函数表达式为5.a(x十h)2+ka(.x一x1)(,x一x:)6.(2)①> y=a(x十4)(x-4),把C(-2,-12)代入，得-12= ②=③< a(一2十4)（一2-4），解得a=1,∴.该水杯左右轮廓题组提优训练 线所在抛物线的函数表达式为y=(x十4)(x一4)=考点一：1.D解析：y=(x-a)一1一3a+7=x2 x2-16.∠ABP=45°，∠PEB=90°，∴.∠BPE=2a.x十a2-3a十6.：函数图像与x轴无公共点， 45°，∴.∠EPB=∠EBP,.EP=EB.设P(x,y),则.(-2a)2-4×1×(a2-3a+6)=12a-24<0. BE=4-x,EP=-y,∴.-y=4-x,即-(x2-16) <2.又：二次函数的对称轴为直线x=-一24= 2 4-x,解得x1=4(舍去)，x=-3,∴.y=(-3)2一16 -7,∴.PE=7,即点P到杯口AB的距离为7cm a,且当x<一1时，y随x增大而减小，∴a≥一1.综 上所述，a的取值范围是一1≤a<2.2.C解析： 设这个二次函数的表达式为y=a.x2十bx十c,由题 6=a×(-2)2+b×(-2)+c. a=1, 可知，{一4=c, 解得b=一3， -6=a+b+c, c=-4, ∴.这个二次函数的表达式为y=x2一3x一4=(x 11.任务一：，AB∥x轴，AB=5cm,B为水流抛物 线的顶点∴抛物线的对称轴为直线x=5心一么日 4)x十1D=(一)-孕函数图像开口向上，故 A选项错误：与x轴的交点坐标为(4,0)和（一1,0）， 5,.b=-10a.把点M(15,0)代人y=ax2+b.x十15， 得152a+15b+15=0,∴.15a+b+1=0,又，b= 故B选项错误：当x=号时，函数有最小值为-， 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) .24.