专题3 二次函数中的存在性问题-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学下册（苏科版2012）

第5章 二次函数 专题3 二次函数中的存在性问题 /类型一/二次函数中等腰三角形的存在性问题 1.如图,抛物线y-- 接AC、BC (1)求该抛物线的函数表达式 (2)求过B、C两点的直线的函数表达式 (3)P是第一象限内抛物线上的一个动点,过点P作PMIx轴,垂足为M,PM交BC于 点Q.试探究点P在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角 形是等腰三角形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由. 同/类型二/二次函数中直角三角形的存在性问题 2. 已知二次函数=ax^*}+2ax一4(a>0)的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B的左 侧),与y轴交于点C,且OA一3OB (1)求该二次函数的表达式 (2)连接AC,作BAC的平分线交抛物线于点D,求点D的坐标 (3)在(2)的情况下,若E为抛物线的顶点,作直线OE,将抛物线沿直线OE平移,点E 平移后的对应点为F,过点D作x轴的垂线与平移后的抛物线交于点G.在平移过程 中,是否存在这样的点F,使得 FDG一90{}?若存在,请直接写出点F的坐标;若不 存在,请说明理由 3 课时提优计划 作业本 数学 九年级下册 >>>>>>> /类型三/二次函数中平行四边形的存在性问题 3. 如图,抛物线y=x*十bx十c经过B(3,0)、C(0,-3)两点,与x轴的另一个交点为A,顶 点为D. (1)求该抛物线的函数表达式 (2)E为该抛物线上一动点(与点B、C不重合). ①当点E在直线BC的下方运动时,求△CBE的面积的最大值 ②在①的条件下,M是抛物线的对称轴上的动点,在该抛物线上是否存在点P,使以 C、E、P、M为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请写出所有符合条件的点P的 坐标;若不存在,请说明理由 #### 备用图 同/类型四 二次函数中特殊四边形的存在性问题 4. 抛物线=ax^*}+2x十c过点A(-1,0)、B(3,0),顶点为C (1)求抛物线的函数表达式及烦点C的坐标 (2)如图1,点P在抛物线第一象限的图像上,连接CP并延长交x轴于点D,连接AC. AP.若Scp:SApp-4:5,求点P的坐标 (3)如图2,在(2)的条件下,E是抛物线对称轴上一点,F是平面内一点,是否存在点E F,使得四边形ADFE为菱形?若存在,请求出所有符合条件的点E、F的坐标;若不 存在,请说明理由 图1 图2 34得/4， 解得 2 抛物线的函数 16a+4+c=0, c=4 表达式为y=一号2十x十4。 (2),BC为定值， .当△BEC的面积最大时，点E到BC的距离最 图4 大.如图1，过点E作EG∥y轴，交直线BC于点G. 5.(1)(4,0)解析：，点A在x轴上，也在直线y= 设点E的坐标为(m,一受十m十4)，则点G的坐 kx十2k(k≠0)上，.点A的坐标为（一2,0）.又由二 次函数y=ax2一2ax十c(a<0)知，该抛物线的对称 标为(m,-m十4)，EG=一合m2+m十4- 轴为直线x=1,.点B的坐标为(4,0).(2)把 (-m十4)=- 2m2+2m,Samr=号EG·0C= A(-2,0)代入y=a.x2-2ax+c,得4a+4a+c=0, ∴c=一8a,.二次函数的函数表达式为y=ax2一 合×4(-7m2+2m）=-m2+4m=-(m-22+4, 2ax一8a.,DE=EF,抛物线的对称轴为直线x=1, ∴，点F的横坐标为2，∴.F(2,一8a),则直线AF的函 .当m=2时，S△c最大，此时点E到BC的距离最 数表达式为y=一2ax一4a.当x=0时，y=一4a,则 大.此时点E的坐标为(2,4). D(0,-4a).SAmor=Son-Sm+ 2)×(-8a）-2×(4+2)×(-4a)=12,解得a 一1，.这个二次函数的表达式为y=一x2+2x十8. (3)存在.理由如下：如图，，抛物线的对称轴为直线 图1 x=1,C(0,8),.点C关于直线x=1的对称点的坐 x十x十4可得对称轴是 1 (3)存在.由抛物线y=一 标为(2,8)，即为点F,∴.QF=QC.当O、Q、F三点共 直线x=1.:Q是抛物线对称轴上的动点，∴点Q的 线时，QO+QF的值最小，即QO+QC的值最小.由 横坐标为1.①如图2、图3，当BC为边时，点B到点C 题意得，直线OF的函数表达式为y=4x.令x=1,得 的水平距离是4，∴点Q到点P的水平距离也是4 y=4,.存在满足条件的点Q,其坐标为(1,4). 点P的横坐标是5或-3∴点P的坐标为5，一) 或(-3，-)：②如图4，当BC为对角线时，点Q到点 C的水平距离是3，点B到点P的水平距离也是3， “点P的坐标为(3，)综上所述，在抛物线上存在 点P,使得以P,Q、B、C为顶点的四边形是平行四边 专题3二次函数中的存在性问题 形，点P的坐标为5，-)或(-3，-)或(3，) 1.(1)将点A(-3,0)、B(4,0)代入y= 3x24 [-3-3b+c=0, bx十c,得 16+4b+c=0, 解得 ∴.该抛物线 c=4, 的函数表达式为y=一 3x2+ 3x+4.(2)在y= 图3 号女+3十4中，当x=0时y=4C0,0.设 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) 18 过B、C两点的直线的函数表达式为y=kx十4，将 ∠BAC的平分线，·∠HAG=∠OAG.又由题意得， 点B(4,0)代入y=kx十4，得4k十4=0，解得k= ∠AHG=∠AOG=90°.在△AHG和△AOG中， 一1，过B、C两点的直线的函数表达式为y= ∠AHG=∠AOG, -x十4.(3)存在.理由如下：A(-3,0)、B(4, ∠HAG=∠OAG,.△AHG≌△AOG(AAS), 0)、C(0,4),.OA=3,OC=OB=4,∴.AC= AG=AG, √OA+OC=5,BC=√OB+OC=4√2，∠OCB= ..HG=OG,AH=AO=3...CH=AC-AH=5- ∠O8C=45设点P的坐标为m,一言m+号m十4： 3=2.在Rt△CHG中，由勾股定理得CG=HG+ 则点Q的坐标为(m,一m十4)，.QM=一m十4， CP,即4-0G=0G+23,解得0G=是， AM=m+3.①当AC=AQ时，(m+3)2+(-m+ G(0,-)设直线AG的函数表达式为y=6x 4)2=25,解得m1=1,m2=0(舍去)，当m=1时， 一专m+号m+4=4,则点P的坐标为1,4)：②当 将点A(-3,0)代入，得一3张一号=0，解得 AC=CQ时，如图，过点Q作QD⊥y轴于点D,则 -号…直线AG的函数表达式为y=一x一是当 QD=CD=0M=m,则有2m2=5,解得m1=5y2, 、1 21 一昌=+号一4时，解得x=一3C合去) m=-（合去），当m=59时，m+m十或音点D的坐标为一器) 2 2 4=52,则点P的坐标为(2,52)@当 6 CQ=AQ时，(m十3)2+（一m+4)2=2m2,解得m 罗（舍去.综上所述，点P的坐标为(1,4）或 (3)存在这样的点F,使得∠FDG=90°.理由如下： y=2+号-4=音（+10- 4 E(-1,-)…直线0E的函数表达式为y 9:沿直线BE平移，可设抛物线先向右平移 2.(1)设A(x1,0)、B(x2,0).当ax+2ax-4=0时， x1+x2=-2.OA=3OB,-x1=3x2,.x1+ 方个单位长度，再向上平移号个单位长度，”点E x2十2x2=0,即-2十2x2=0,解得xg=1,x1= -3,A(-3,0),B(1,0),将B(1,0)代入y=ax2+ 平移后的对应点为F,F(-1十h,一9+A),平 2ax-4中，可得a十2a-4=0,解得a=号该二次 移后二次函数的表达式为y=等（红十1一）-9+ 3 函数的表达式为y=号2+号x一4。(2)如图，设射 9,G(管号+A-),当∠FDG=90时， 线AD与y轴的交点为G,过点G作GH⊥AC于 FD:轴一9+9一器解得A一器 点H.当x=0时，y=-4,∴.C(0,-4),即OC=4. A(-3,0),.AO=3.在Rt△AOC中，由勾股定理 ∴（一），即点F的坐标为（一影一）： 得AC=√OA+OC=√32+4=5.：AD是3.(1)将点B(3,0)、C(0,-3)代人y=x2+bx十c, 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) 。19 得/9+36+c=0, 解得 c=-3, =一2：抛物线的函数表达 c=-3, 式为y=x2-2x-3.(2)①如图1，连接CE、BE,过 点E作x轴的垂线FE,交直线BC于点F,设直线 BC的函数表达式为y=kx十m,将B、C两点的坐标 图3 图4 代人得 m3,"解得1， 3k+m=0, 4.(1)把点A(-1,0)、B(3,0)代人y=a.x2+2x十c, m=-3, 直线BC的函 得8一2十c=0,解得-。-1抛物线的函数表 9a+6+c=0," c=3, 数表达式为y=x一3.设F(n,n一3)，则 达式为y=-x2+2x+3.y=-x2+2x+3= E(n,n2-2n-3),.EF=n-3-n2+2n+3=-n2+ 一(x一1)2+4，∴.顶点C的坐标为(1,4).(2)如图 3m,∴SaE=Sam+SAg=号EF,0B=2(-R+ 1,过点C作CM⊥x轴于点M,过点P作PN⊥x轴 于点N,:S△ACP:S△DP=4:5,.SAADP:SADc= 3m=-2(a-2}+a=-<0，且0<< AD·PN 59 c2 号器号设p,-t+ 3,当n= 号时，S△E有最大值，最大值是智，此时 TAD.CM 21+3),其中>0，则-+24+3= 号，解得4=一方 点E的坐标为（侵一》， ②存在点P,使以C、E、 (会去)-子点P的坐标为（仔留） (3)存 P、M为顶点的四边形为平行四边形.由(2)①可知 在，设直线CP的函数表达式为y=kx十b,则 C0,-3)、E(含，-）设P(p,-20-3 4 k+b=4, 十6=20.解得 3 7 ∴.直线CP的函数表 M(1,q).(1)如图2，当四边形CEPM为平行四边形 3 9 16 3 时，则CE∥PM,CE=PM,.xc+xp=xE+xM, 达式为y=一 0+p=+1,解得p=号P(受，-)(1)如 +总令y=0,得-告+9=0，解 4 得x=4,∴D(4,0).由(1)知，抛物线的对称轴为直 图3，当四边形CEMP为平行四边形时，则CE∥ 线x=1,A(-1,0),.AD=5.设E(1,m),当四边形 ADFE为菱形时，则AE=AD,如图2，设直线x=1 MP,CE=PM,.xc十xM=xE十xp,.0+1= 2 与x轴交于点H,则H(1,0),∴.AH=1-(一1)=2， EH=ml,..AE=EH+AH=m2+4,AD= p,解得p=-2P(-,-子)()如图4，当 25,.m2十4=25，解得m=士√21，.点E的坐标为 四边形CPEM为平行四边形时，则CP∥EM,CP= (1,√2T)或(1，一√2T),由平移的性质可知点F的 坐标为(6，√2I)或(6，一21).综上所述，存在点E EM,xc十xE=xP十xM,0+ 3 -p十1，解得p= 的坐标为(1，√2I),点F的坐标为(6，√2I)或点E 的坐标为(1，一√2I),点F的坐标为(6，一√2I),使 2,P(分，-）综上所述，所有符合条件的点P 得四边形ADFE为菱形. 的坐标为（受-）或(-，-)或（合，-） OHBD八 OM NB D 图 图2 图1 图2 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) 20-