5.2.3 二次函数y=ax²+c的图像和性质-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学下册（苏科版2012）

课时提优计划 作业本 数学 九年级下册 第3课时 二次函数y一ax2十c的图像和性质 课堂演练 1. (教材练习变式)二次函数=一3x^{}一4的图像是由抛物线=一3r^*}向 平移 ,对称轴是 ,当2二 个单位长度得到的,开口 时,y有 , 值,为 2. 下列关于二次函数y一x2十2的图像的说法中,错误的是 ( ) A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是y轴 C. 抛物线的项点是(0,2) D. y随x增大而增大 C 3. 将抛物线三一3x*十3平移,使其经过原点,下列平移方式正确的是 ) A. 向上平移3个单位长度 B. 向下平移3个单位长度 C. 向左平移3个单位长度 D. 向右平移3个单位长度 4. 与抛物线y一工}十3的形状、对称轴、顶点坐标都相同,但是开口方向相反的抛物线对应 C 的函数表达式是 -、 A.y-x2十3 B.y-2-3 C.y--x2十3 D.y=-2-3 5. 函数y=ax②}-a与y=ax十a(a去0)在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是( _ # B A D 7. 若点A(2,m)在函数v一x2-1的图像上,则点A关于x轴对称的点的坐标是 8. 若抛物线y一ax*沿着y轴向下平移2个单位长度后经过点(2,一4),则原抛物线对应的 函数表达式是 9. 已知抛物线y=ax*+经过点A(-1,0)、M(0,1)及x轴上另一点B,直线v/x轴且与 18 第5章 二次函数 课后拓展 10. 下列图形中,阴影部分的面积相等的是 ) # ### ① ② ③ ④ A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 11.(2023·广东)如图,抛物线y=ax2}十c经过正方形OABC的三个顶点A、B、C,点B在 y轴上,则ac的值为 C ) B.-2 A.-1 C.-3 D.-4 ) ### (第12题) (第11题) (第13题) (第14题) 12. 如图,抛物线y=ax2十1(a<0)与过点(0,一3)且平行于x轴的直线相交于点A、B,与 y轴交于点C,若ACB为直角,则a-__. 于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 动点,则△PMF的周长的最小值是 15. 如图,已知顶点为C(0,一3)的抛物线y一ax}十b(a关0)与x轴交于A、B两点,直线y x十n过顶点C和点B (1)求n的值. (2)求抛物线的函数表达式 (3)抛物线上是否存在点M使得 MCB一15{?若存在,求出点M的 坐标;若不存在,请说明理由5.D解析：a=一2<0，.该函数图像开口向下，y=ax2,得4a=4,解得a=1;把A(6,4)代入y= 顶点坐标为(0,0)，图像有最高点，y有最大值，函数 ar,得36a=4,解得a=日.抛物线y=ar(a≠0) 图像关于y轴对称，故①②③④都正确.当x<0时， y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小， 与线段AB只有一个公共点，根据抛物线的对称性 故⑤错误.综上所述，正确的有4个.6.C解析： 可得，a的取值范围是号≤a<1.13.(1)由题意 ,a<-1,∴.a-1<a<a+1<0,.点(a-1,y1)、 (a,y2)、(a十1，y)都在y轴左侧的抛物线上.又当 得，，解得任3或任1 又：点A在 y=2x+3, y=9y=1. x<0时，y随x增大而减小，y<y<y1·7.A 点B的右侧，∴.点A、B的坐标分别为(3,9)、 解析：y=的图像是双曲线，当x>0时，y随x增大 (-1,1).(2)当x=0时，y=2x+3=3,.直线y= 2x+3与y轴交于点C(0,3),即OC=3,.S△og= 而减小，故①不符合题意：y=一5x的图像是一条直 线，当x>0时，y随x增大而减小，故②不符合题意； Sae+5x=20c.1x+20c.z=2× y=7x的图像是一条直线，当x>0时，y随x增大而 增大，故③符合题意；y=一x2的图像是抛物线，当 3X3+号×3X1=号+号=6.14.(1)根据题意可 x>0时，y随x增大而减小，故④不符合题意.综上 设点A的坐标为(a,2a2),则点B的坐标为（一a,2a2). 所述，符合题意的只有1个.8.(1)一4或0解 ,四边形ABCD是正方形，∴.AB=AD,∴.2a=2a2, 析：由题意得，k十2=一2或k十2=2，解得=一4或 ∴.a=1或a=0(舍去)，.点A的坐标为(1,2). k=0.(2)k<一2解析：：x>0时，y随x增大而 (2)由(1)得，B(-1,2)、D(1,0).设直线BD的函数 减小，.k十2<0，k<一2.9.(1)由题意得2十 表达式为y=kx十b,将B(-1,2)、D(1,0)代人，得 3k一2-2，.k一一4或k=1.又，函数图像开口向 (-k+b=2 解得一1， ,直线BD的函数表达 下，.k十3<0，.k<一3，.=一4.(2)顶点坐标 1k十b=0, b=1, 为(0,0)，对称轴为y轴.(3)由(1)得，y=-x2, 式为y=一x十1.联立得方程组x十1， 解得 .当x<0时，y随x的增大而增大. y=2x2, 1 课后拓展 x=一1， 10.D解析：当一次函数y=ax十b的图像经过第 舍去)或 (y=2 1 “减P的坐标为合，2》 一、二、三象限时，a>0,此时二次函数y=-ax2的 y=2' 图像应该开口向下，故A选项错误；当一次函数y 第3课时 二次函数y=ax2十c的图像和性质 ax十b的图像经过第一、二、四象限时，a<0,此时二 课堂演练 次函数y=一ax的图像应该开口向上，故B选项错 1.下4向下y轴0大一4解析：y= 误；当一次函数y=ax十b的图像经过第二、三、四象 一3x2一4的图像的顶点坐标为(0，一4)，y=-3x 限时，a<0,此时二次函数y=一ax2的图像应该开 的顶点坐标为(0,0)，∴.二次函数y=一3x2一4的图 口向上，故C选项错误；当一次函数y=ax+b的图像是由抛物线y=一3x2向下平移4个单位长度得到 像经过第一，二、四象限时，a<0,此时二次函数y= 的，开口向下，对称轴是y轴，当x=0时，y有最大 一ax2的图像应该开口向上，故D选项正确.11.C值，为一4.2.D解析：对于函数y=x2十2，当x<0 解析：根据y=x2的图像分析可得，当x=0时，y取时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大 得最小值为0；当x=2时，y取得最大值为22=4,3.B4.C解析：由题意得，a=一1，顶点为(0,3)， .当-1≤x≤2时，y的取值范围是0≤y≤4.故所求函数表达式为y=一x2+3.5.C解析：当 12.D解析：：点A(6,4)关于直线x=2的对称点a>0时，函数y=ax2-a的图像开口向上，顶点坐标 为点B,∴.点B的坐标为(-2,4).把B(一2,4)代入为(0，一a),y=ax十a(a≠0)的图像经过第一，二、三 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) 。3 象限，故A、D选项错误；当a<0时，函数y=ax一a是③④.11.B解析：如图，过点A作AH⊥x轴 的图像开口向下，顶点坐标为(0，一a),y=ax十a 于点H.四边形ABCO是正方形，.∠AOB=45°， (a≠0)的图像经过第二、三、四象限，故B选项错误， ∠AOH=45°，.AH=OH.设A(m,m),则B(0, C选项正确.6.(0，-3)7.(2，-3)解析：把 (m=am+c, 2m),. 解得am=一1，∴.ac=a·2m= 点A(2,m)代入y=x2-1中，得m=4-1=3,即 2m=c, A(2,3),根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐 2am=-2. 标互为相反数”可知，点A关于x轴对称的点的坐标 是(2，-3).8.y=一解析：由题意可知，新抛 物线的函数表达式为y=ax2一2.把点(2，一4)代入，得 一4=4a一2，解得a=一原抛物线对应的函数 D (第11题) (第12题) 表达式为y=-2.9.把A(-1,0)M0,1)代 12.-1 解析：如图，设直线AB与y轴交于点D, 人y=ar2+,得2十=0 则D(0,-3).C(0,1),.CD=4.AB过点 k=1, 解得一1， 抛物线 k=1, (0,一3)且平行于x轴，△ABC为等腰三角形. 的函数表达式为y=一x2+1.令y=0,则一x2+1= :∠ACB=90°，∴，△ABC为等腰直角三角形，∴.AD 0,解得x=士1，则点B坐标为(1,0)：当x=时， BD=CD=4,∴.B(4,-3).把B(4,-3)代人y= y=-+1=是，则点C坐标为（侵，）如图，“直 ar2+1,得16a+1=-3,解得a=-子 13.8解 析：由题意可知，两条抛物线的形状与开口都相同，由 线∥x轴且与抛物线交于C、D两点，∴.点C和点D 关于抛物线的对称轴y轴对称，∴.点D的坐标为 平移的性质可知，阴影部分的面积与矩形ABCD的面 积相等，易知AB=CD=2,AD=BC=4,∴.S阳影蒂分= (-2,)Sm=7×(侵+2+1+1)× S矩形cD=2X4=8. -8 (第13题) (第14题) 14.5解析：如图，过点M作ME⊥x轴于点E, 课后拓展 ME与抛物线交于点P.点P在抛物线上， 10.D解析：①中的函数图像与x轴交于点(2,0)， ∴P'F=PE.又，点到直线之间垂线段最短，MF= 与y轴交于点(0,2)，∴S0=号×2×2=2，②中 √(5-0)2+(3-2)2=2，.当点P运动到点P'时， 的函数图像与直线x=1交于点(1,3)，S翻都分= △PMF的周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2= 号×1×3=名，⊙中的函数图像与x轴交于点（一1， 5.15.(1)将(0，-3)代入y=x十m,得m=-3. (2)由(1)得，y=x-3.将y=0代人y=x-3,得x 0),（1,0),与y轴交于点(0，-1)，.S别影部分=立 3,∴.点B的坐标为(3,0).将C(0,一3)、B(3,0)代人 2×1=1:④中的函数图像与直线x=1交于点(1,2)， 1b=一3， “Sm=之×1×2=1.“阴影都分的面积相等的 y=ax2十b,得 解得 一3’“抛物线的 19a+b=0, b=-3, 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) 4 函数表达式为y=了2-3.(3)存在.如图，分以下 ax2沿x轴向左或向右平移得到的，平移法则是左加 右减，抛物线y=a.x2向左平移h(h>0)个单位长度， 两种情况：①若点M在直线BC上方的点M处，设 则得到抛物线y=a(x十h),抛物线y=ax2向右平 M,C交x轴于点D,则∠OCD=45°-15=30°， 移h(h>0)个单位长度，则得到抛物线y=a(x ∴OD=CD.在R△COD中，由勾股定理得OC+ h).2.C3.D解析：对于函数y=-2(x-m) 的图像，：a=一2<0，∴开口向下，对称轴为直线x OD=CD,即32+OD=(2OD)2,解得OD=√3（负值 m,顶点坐标为(m,0),函数有最大值，最大值为0，当 已舍去)，∴.D(W3,0).设直线DC的函数表达式为y= x>m时，y随x增大而减小，故A、B、C选项正确， kx一3，将D(W5,0)代人，得=√5，∴.直线DC的函数 D选项错误。4.B解析：y=号（红一3）的顶点坐 表达式为y=5x-3联立抛物线y=专2-3，得 标是(3,0)，故A选项不符合题意：y=号(x+3)的 y=3x-3, 解得=0, 或一3N3··与L的坐 y=-3,=-3{=6, 顶点坐标是(-3,0)，开口方向，形状与函数y=专 标为(3√3,6)：②若点M在直线BC下方的点M处， 的图像相同，故B选项符合题意：=一(x十3？的 设M,C交x轴于点E,则∠OEC=45°一15°=30°， 顶点坐标是(-3,0，开口方向与函数y=子x的图 ÷0C=2CE,即CE=20C=6,在R△C0E中，由勾 像不相同，故C选项不符合题意：y=一}(x-3)2的 股定理得OE=√CE-OC=√62-3=35. .E(33,0).设直线EC的函数表达式为y=mx一3， 顶点坐标是(3,0)，开口方向与函数y=号2的图像 不相同，故D选项不符合题意.5.B解析：把 将E33,0代人，得m号，∴直线C的函数表达式 A(-4,y1)、B(-3,)、C(3,y)分别代入y= -2(x十2)2得，y1=-2×(-4+2)2=-8,y2= 为y= 3x一3联立抛物线y= 3x-3,得 -2×(-3+2)2=-2,y3=-2×(3+2)2=-50, y= ·y>y>.6.(2,0)(0,12)解析：当y=0 时，3(x一2)2=0，解得x1=x1=2,.与x轴的交点 解得0， 或=3，：点M,的坐标为3，-2. 坐标为(2,0)：当x=0时，y=3×(-2)2=12,.与 y=-3y=-2, y轴的交点坐标为(0,12).7.y=(x-3)2解析： 综上所述，抛物线上存在点M使得∠MCB=15°，且 设所求抛物线的函数表达式为y=(x十)2， 点M的坐标为(3√5,6)或(3，一2). ,点A(1,4)在抛物线上，∴.4=(1十k)2,解得k=1 或k=一3.，抛物线沿x轴方向向右平移，.平移后 的抛物线对应的函数表达式是y=(x一3)， 8.(3,一2)解析：：抛物线的函数表达式是y= D. -之(x-12,∴对称轴为直线x=1.“点B和点A (一1，一2)关于直线x=1对称，点B的坐标是 第4课时二次函数y=a(x十h)2的图像和性质 (3,-2).9.y轴直线x=-210.a≤3解 课堂演练 析：二次函数y=6(x一a)2的对称轴为直线x=a. 1.右3向下x=3(3,0)>3<3=3 ,当x>a时，y随x增大而增大，∴.a≤3.11.画 大0解析：抛物线y=a(x十h)2是由抛物线y=出函数y=(x一1)2的图像草图如图所示.(1)当 课时提优计划作业本·数学·九年级下册(SK版) ，5