专题11 分式方程的应用-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（人教版）

专题11 分式方程的应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 目录 题型一 整式指数幂 1 题型二 科学计数法 2 题型三 工程问题 3 题型四 行程问题 3 题型五 购买销售问题 4 题型六 比值问题 5 题型七 古代问题 5 题型八 航行问题 6 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 整式指数幂 ⭐技巧积累与运用 1. 零指数幂 任何不等于零的数的零次幂都等于1，即. 注意：同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即（，、为整数）当时，得到. 2. 负整数指数幂 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）. 注意：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式. 例如 （），（）. 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在、、、四数中，最大的数是（   ） A． B． C． D． 3．化简的结果是x，则“？”是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．计算：． 题型二 科学计数法 ⭐技巧积累与运用 1. 科学记数法的一般形式 （1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数， （2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，. 2. 用科学记数法表示数的“两确定” (1) 确定:是只有一位整数的数. (2) 确定:当原数的绝对值≥10时，为正整数，等于原数的整数位数减1; 当原数的绝对值<1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数(含整数位数上的0). 1．某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（    ） A．-5 B．-6 C．-7 D．-8 2．是指大气中直径小于或等于的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物，将用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 3．数字用科学记数法表示为的数是（       ） A．0.000336 B．0.000036 C．0.00000336 D．0.00000036 4．用科学记数法表示： (1)0.00003； (2)； (3)0.0000314． 题型三 工程问题 ⭐技巧积累与运用 1.工作量 (1)通常把总工作量看成单位“1”. (2)每一部分的工作量=工作效率×工作时间. 2.等量关系 每人完成的工作量之和=总工作量. 1．已知某工程由甲、乙两队合做12天可完成，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成所需时间的2倍少10天．甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？设甲队单独完成需x天，根据题意列出的方程正确的是（  ） A．B． C． D． 2．某工程队在环山路改造一条长3500米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道米，则可得方程，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（   ） A．每天比原计划多铺设15米，结果提前8天完成 B．每天比原计划少铺设15米，结果延迟8天完成 C．每天比原计划多铺设15米．结果延迟8天完成 D．每天比原计划少铺设15米，结果提前8天完成 3．习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，全国上下各行各业把环境保护都放在首位．某工程队现在正铺设一条全长为2000m的排污管道，为了减少白天对交通的影响…设实际每天铺设管道xm，列方程为，根据方程可知省略的部分是（   ） A．实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果提前20天完成这一任务 B．实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果推迟20天完成这一任务 C．实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果提前20天完成这一任务 D．实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果推迟20天完成这一任务 4．在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，若甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)经过预算，甲工程队每天的施工费用是元，乙工程队每天的施工费用是元，为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少? 题型四 行程问题 ⭐技巧积累与运用 行程问题的三种时间关系 1.甲早走同时到：时间差=早走的时间. 2.甲早走早到：时间差=早走的时间一早到的时间. 3.甲早走晚到：时间差=早走的时间+晚到的时间. 1．2024年12月7日哈尔滨第五届采冰节在松花江北岸启幕，吸引了众多游客，小帅一家从距离哈尔滨180km的地方开车前往，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地．设前一小时的行驶速度为每小时千米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的路程为，王老师家到学校的路程为．由于小明脚扭伤，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的平均速度是步行平均速度的2倍，他每天比平时步行上班多用，则王老师步行的平均速度及骑自行车的平均速度各是多少？ 3．A，B，C为三个城市，A，B两市的距离为180千米，A，C两市的距离为a千米． (1)甲、乙两车同时从A市出发匀速行驶，前往B市，甲车的速度是乙车的1.2倍，且比乙车提前30分钟到B市，求乙车每小时行驶多少千米； (2)若甲、丙两车从A市出发匀速行驶前往C市，且甲车保持（1）中的速度不变，比丙车晚出发1小时，结果两车同时到C市，问甲车的速度是丙车的多少倍？（用含a的代数式表示） 题型五 购买销售问题 ⭐技巧积累与运用 总价=数量单价 售价-进价=利润 进价利润率=利润 标价折扣=售价 1．某公司欲查询某款商品的进价，发现进货单（如图）已被墨水污染，商品采购员甲和仓库保管员乙对采购情况回忆如下． 甲：①号商品进价比②号商品进价每件高； 乙：①号商品比②号商品的数量多40件． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） ① 7200 ② 3200 若两人所说的内容均符合实际情况，则下列判断正确的是（   ） A．①号商品的进价为60元/件 B．②号商品的进价为80元/件 C．①号商品的数量为80件 D．②号商品的数量为40件 2．某茶店用4000元购进了种茶叶若干盒，用8400元购进种茶叶若干盒，所购种茶叶比种茶叶多10盒，且种茶叶每盒进价是种茶叶每盒进价的倍．求，两种茶叶每盒进价分别是多少元？ (1)设种茶叶每盒进价是元，则用含的式子表示：种茶叶每盒进价是__________元，购入种茶叶____________盒，购入种茶叶____________________________盒； (2)列出方程，完成本题解答． 3．野生木耳是本市著名特产之一．某土特产专卖店经销A，B两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） 销售（元/袋） 80 100 (1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，求的值． (2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时A、B两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 题型六 比值问题 1．一个人步行从地出发，匀速向地走去；同时另一个人骑摩托车从地出发，匀速向地驶去．两人在途中相遇，如果骑摩托车者立即把步行者送到地，再向地驶去，这样他在途中所用的时间是他从地直接驶往地所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者与步行者的速度比是（   ） A． B． C． D． 2．咖啡与咖啡以之比（以质量计）混合，的原价为元/，的原价为元/若的价格增加，而的价格减少，且混合咖啡每千克的价格不变，则： ． 3．有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天，且乙单独工作3天也可完成，则甲的工作效率与乙的工作效率的比是 ． 题型七 古代问题 1．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题大意为：把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（   ） A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．快马需要的时间 2．我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？” 设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 3．我们经常在一些古装电视剧中看到送信员说这样的一句话：“六百里加急！”．在我们的古代数学名著《九章算术》中有一道关于驿站送信的题目，其大意是：一份重要的文件，若用慢马送到600里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为x天，则根据题意可列出的方程为 ． 4．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是 米． 题型八 航行问题 ⭐技巧积累与运用 1．一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（    ） A． B． C． D． 2．已知一艘轮船顺水航行千米和逆水航行千米共用的时间，正好等于船在静水中航行千米所用的时间，并且水流的速度是3千米小时，设轮船在静水中的速度为x千米小时，则顺水航行的速度是（逆水速度静水速度水流速度，顺水速度静水速度水流速度）（    ） A．千米小时 B．千米小时 C．千米小时 D．9千米小时 3．轮船顺水航行所需要的时间与逆水航行所需要的时间相同，已知水流的速度是，则轮船在静水中的速度为 ． 4．闽江奇秀清澈又雄浑宽阔，江上自然景色和人文名胜交相辉映，旅游资源丰富．坐游船游览美丽的闽江便是其旅游项目之一．已知游船在静水中的最大航速，它以最大航速顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？若设江水流速为，则依题意可列方程 ． 甲、乙两船从相距的A,B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流速度为,若甲、乙两船在静水中的速度相同，求两船在静水中的速度． 一、单选题 1．计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 2．引发秋季传染病的某种病毒的直径是，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．科技创新是发展生产力的核心要素，某品牌手机的快充功能方便了人们对于智能手机的使用.如图，这是该品牌手机的使用说明书的部分内容（充电时间为从电量充到的时间），手机电量为后开始充电，若普通充电后，再快速充电刚好充满电量，则磨损处“”的数值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．“五•一”期间，几名同学共同包租一辆面包车去某地旅游，面包车的租价为120元，出发时又有2名同学参加进来，结果每位同学少分摊3元，则原来旅游同学的人数为（　　） A．8人 B．10人 C．12人 D．30人 5．在“国庆畅游房山”系列活动中，某景点为游客定制了A，B两种文创产品，其中A种文创产品的单价比B种文创产品的单价低5元，用1200元购进A种文创产品的数量，是用1000元购进B种文创产品数量的1.5倍，求A种文创产品的单价．若设A种文创产品的单价为x元，那么依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．某工程队在西城路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道x米，则可得方程，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（ ） A．每天比原计划少铺设10米，结果延迟15天完成 B．每天比原计划多铺设10米，结果延迟15天完成 C．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天完成 D．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成 二、填空题 7．甲乙两地相距，骑自行车从甲地到乙地，出发后，骑摩托车也从甲地去乙地，已知的速度是的速度的倍，结果两人同时到达乙地，则的速度是 ，到达乙地用时 ． 8．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的地方，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马的2倍，则规定时间为 ． 9．题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 ． 10．闽江奇秀清澈又雄浑宽阔，江上自然景色和人文名胜交相辉映，旅游资源丰富． 坐游船游览美丽的闽江便是其旅游项目之一． 已知游船在静水中的最大航速为，它以最大航速顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？若设江水流速为，则依题意可列方程 ． 三、解答题 11．计算： 12．甲、乙两船从相距的A,B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流速度为,若甲、乙两船在静水中的速度相同，求两船在静水中的速度． 13．临近春节，某书店计划在规定日期内采购一批挂历，根据甲、乙两个印刷厂的基本情况，经测算得出以下结论： ①甲厂单独生产这批挂历刚好如期完成； ②乙厂单独生产这批挂历要比规定日期多用6天； ③若甲、乙两厂共同生产3天，余下的由乙厂单独生产也正好如期完成． 根据以上信息，问书店采购这批挂历的规定日期是多少天？ 14．为进一步丰富义务教育阶段学生假期生活，有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开设了丰富多彩的寒假托管服务，学校决定购买A，B两种文具奖励在此次托管服务中表现优秀的学生．已知A文具比B文具每件多5元，用600元购买A文具，900元购买B文具，且购买B文具的数量是A文具的2倍． (1)求A，B文具的单价； (2)为了调动学生的积极性，学校再次在该店购买了A，B两种文具．在购买当日，正逢该店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1200元的情况下，A，B两种文具共买了90件，则最多购买了A文具多少件？ 15．如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两位同学不完整的解答过程． 张庄和李庄两地之间的路程是，嘉琪和爸爸二人都从张庄到李庄，嘉琪骑自行车，爸爸骑摩托车．爸爸比嘉琪晚出发，却和嘉琪同时到达．已知爸爸的速度是嘉琪的速度的2.5倍，嘉琪和爸爸二人的速度各是多少？ 甲： 乙：设嘉琪的速度为 根据以上信息，解答下列问题． (1)甲同学所列方程中的x表示_______________； (2)根据乙同学设的未知数，列方程并解答． 16．某市政府计划对该市博物馆进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队单独完成该改造计划比乙队单独完成该计划少用4天． (1)甲、乙两队单独完成该计划分别需要多少天？ (2)若甲队工作一天需付费用8万元，乙队工作一天需付费用6万元，由于项目原因，甲队先做了几天后，由乙队接着将改造计划完成，最后改造费用不超过67万元，甲队至少做了多少天？ 一、单选题 1．为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为126km，建成通车后全程约为28km，平均速度将提高原来的，时间将少用90min，则原来的平均速度是（    ） A．63km/h B．60km/h C．72km/h D．80km/h 2．甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下： 甲说：我的工作效率比乙的工作效率少 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量． 如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（    ）小时． A．20 B．21 C．19 D．19 二、填空题 3．同学在“2024义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品．销售一件甲纪念品可获利：销售一件乙纪念品可获利；当销售量的比为时，总获利为．当销售量的比为时，总获利为 ． 4．如图所示的电路的总电阻为，若，则 ． ， 三、解答题 5．“垃圾分一分，环境美十分”．我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从超市购进了，两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买品牌垃圾桶的数量与用6000元购买品牌垃圾桶的数量相同． (1)求购买一个品牌、一个品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若学校决定再次准备用不超过4800元购进，两种品牌垃圾桶共50个，恰逢超市对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：品牌按第一次购买时售价的九折出售，品牌比第一次购买时售价下降了20%，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？ 6．一辆汽车开往距离出发地的目的地． 出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地， (1)求汽车实际走完全程所花的时间． (2)若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较 的大小，并说明理由． 7． 两港之间的距离为千米． (1)若从港口到 港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快千米时， 顺流所用时间比逆流少用小时，求水流的速度； (2)若轮船在静水中的速度为千米时，水流速度为千米时，该船从 港顺流航行到 港，再从 港逆流航行返回到 港所用的时间为；若轮船从港航行到 港再返回到 港 均为静水航行，且所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 分式方程的应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 目录 题型一 整式指数幂 1 题型二 科学计数法 3 题型三 工程问题 4 题型四 行程问题 6 题型五 购买销售问题 8 题型六 比值问题 10 题型七 古代问题 11 题型八 航行问题 11 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 整式指数幂 ⭐技巧积累与运用 1. 零指数幂 任何不等于零的数的零次幂都等于1，即. 注意：同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即（，、为整数）当时，得到. 2. 负整数指数幂 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）. 注意：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式. 例如 （），（）. 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：当时，，故该选项错误； 选项B：无意义，故该选项错误； 选项C：成立的条件是，故该选项错误； 选项D：，，，故该选项正确； 故选D． 2．在、、、四数中，最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 最大的数是 故选：D． 3．化简的结果是x，则“？”是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：用代替“？”， 根据题意得：，即：， ∴，即：， 故答案为：D． 4．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型二 科学计数法 ⭐技巧积累与运用 1. 科学记数法的一般形式 （1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数， （2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，. 2. 用科学记数法表示数的“两确定” (1) 确定:是只有一位整数的数. (2) 确定:当原数的绝对值≥10时，为正整数，等于原数的整数位数减1; 当原数的绝对值<1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数(含整数位数上的0). 1．某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为mm（n为负整数），则n的值为（    ） A．-5 B．-6 C．-7 D．-8 【答案】C 【详解】解：∵0.000 000 67mm=6.7×10-7 ∴n=-7 故选：C 2．是指大气中直径小于或等于的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物，将用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 故选：B． 3．数字用科学记数法表示为的数是（       ） A．0.000336 B．0.000036 C．0.00000336 D．0.00000036 【答案】C 【详解】解：， 故选：C． 4．用科学记数法表示： (1)0.00003； (2)； (3)0.0000314． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2） （3） 题型三 工程问题 ⭐技巧积累与运用 1.工作量 (1)通常把总工作量看成单位“1”. (2)每一部分的工作量=工作效率×工作时间. 2.等量关系 每人完成的工作量之和=总工作量. 1．已知某工程由甲、乙两队合做12天可完成，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成所需时间的2倍少10天．甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？设甲队单独完成需x天，根据题意列出的方程正确的是（  ） A．B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设甲单独完成这项工程需要天，则乙单独完成需要天， 依题意得， 故选：A． 2．某工程队在环山路改造一条长3500米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道米，则可得方程，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（   ） A．每天比原计划多铺设15米，结果提前8天完成 B．每天比原计划少铺设15米，结果延迟8天完成 C．每天比原计划多铺设15米．结果延迟8天完成 D．每天比原计划少铺设15米，结果提前8天完成 【答案】A 【详解】解：∵某工程队在环山路改造一条长3500米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道米，则可得方程， ∴根据已有信息，题中用“”表示的缺失的条件应补充“每天比原计划多铺设15米，结果提前8天完成”， 故选：A． 3．习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，全国上下各行各业把环境保护都放在首位．某工程队现在正铺设一条全长为2000m的排污管道，为了减少白天对交通的影响…设实际每天铺设管道xm，列方程为，根据方程可知省略的部分是（   ） A．实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果提前20天完成这一任务 B．实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果推迟20天完成这一任务 C．实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果提前20天完成这一任务 D．实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果推迟20天完成这一任务 【答案】A 【详解】解：∵设实际每天铺设管道xm，， ∴表示原计划每天铺设管道的长度， ∴表示原计划铺设管道所需时间， 表示实际铺设管道所需时间． ∵， ∴实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前20天完成这一任务， 故选：A． 4．在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，若甲、乙两个工程队合作天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)经过预算，甲工程队每天的施工费用是元，乙工程队每天的施工费用是元，为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少? 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要天，乙工程队单独完成此项工程需要天 (2)打通这条隧道的施工费用是元 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要天， 可得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 天， 所以，甲工程队单独完成此项工程需要天，乙工程队单独完成此项工程需要天． （2）解：甲、乙两个工程队合作完成，需要的天数为：天， （元）， 所以打通这条隧道的施工费用是元． 题型四 行程问题 ⭐技巧积累与运用 行程问题的三种时间关系 1.甲早走同时到：时间差=早走的时间. 2.甲早走早到：时间差=早走的时间一早到的时间. 3.甲早走晚到：时间差=早走的时间+晚到的时间. 1．2024年12月7日哈尔滨第五届采冰节在松花江北岸启幕，吸引了众多游客，小帅一家从距离哈尔滨180km的地方开车前往，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地．设前一小时的行驶速度为每小时千米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设前一小时的行驶速度为，则一小时后的速度为， 由题意得：， 故选：B． 2．如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的路程为，王老师家到学校的路程为．由于小明脚扭伤，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的平均速度是步行平均速度的2倍，他每天比平时步行上班多用，则王老师步行的平均速度及骑自行车的平均速度各是多少？ 【答案】王老师步行速度为，骑自行车的速度为 【详解】解：设王老师步行速度为，则骑自行车的速度为， 依题意，可得： ， 解得：， 经检验是原分式方程的根， 则， 答：王老师步行速度为，骑自行车的速度为． 3．A，B，C为三个城市，A，B两市的距离为180千米，A，C两市的距离为a千米． (1)甲、乙两车同时从A市出发匀速行驶，前往B市，甲车的速度是乙车的1.2倍，且比乙车提前30分钟到B市，求乙车每小时行驶多少千米； (2)若甲、丙两车从A市出发匀速行驶前往C市，且甲车保持（1）中的速度不变，比丙车晚出发1小时，结果两车同时到C市，问甲车的速度是丙车的多少倍？（用含a的代数式表示） 【答案】(1)乙车每小时行驶千米 (2)倍 【详解】（1）解：设乙车每小时行驶千米，则甲车车每小时行驶千米，根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解， 答：乙车每小时行驶千米 （2）解：设丙车的速度为千米每小时，由（1）可得甲的速度为千米每小时，根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解， ∴丙车每小时行驶千米 ∴甲车的速度是丙车的倍 题型五 购买销售问题 ⭐技巧积累与运用 总价=数量单价 售价-进价=利润 进价利润率=利润 标价折扣=售价 1．某公司欲查询某款商品的进价，发现进货单（如图）已被墨水污染，商品采购员甲和仓库保管员乙对采购情况回忆如下． 甲：①号商品进价比②号商品进价每件高； 乙：①号商品比②号商品的数量多40件． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） ① 7200 ② 3200 若两人所说的内容均符合实际情况，则下列判断正确的是（   ） A．①号商品的进价为60元/件 B．②号商品的进价为80元/件 C．①号商品的数量为80件 D．②号商品的数量为40件 【答案】A 【详解】解：设②号商品进价为元，则①号商品进价为元， 由题意可得：， 解得：， ∴，，， 故①号商品的进价为60元/件，②号商品的进价为4元/件，①号商品的数量为120件，②号商品的数量为80件． 故选：A． 2．某茶店用4000元购进了种茶叶若干盒，用8400元购进种茶叶若干盒，所购种茶叶比种茶叶多10盒，且种茶叶每盒进价是种茶叶每盒进价的倍．求，两种茶叶每盒进价分别是多少元？ (1)设种茶叶每盒进价是元，则用含的式子表示：种茶叶每盒进价是__________元，购入种茶叶____________盒，购入种茶叶____________________________盒； (2)列出方程，完成本题解答． 【答案】(1)；；； (2)见解析 【详解】（1）解：设种茶叶每盒进价是元，种茶叶每盒进价是种茶叶每盒进价的倍， ∴种茶叶每盒进价是元， ∵茶店用4000元购进了种茶叶若干盒，用8400元购进种茶叶若干盒， ∴购入种茶叶盒，购入种茶叶盒， 故答案为：；；． （2）解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：种茶叶每盒进价是200元，种茶叶每盒进价是280元． 3．野生木耳是本市著名特产之一．某土特产专卖店经销A，B两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） 销售（元/袋） 80 100 (1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，求的值． (2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时A、B两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 【答案】(1)60 (2)至少购进B品牌100袋 【详解】（1）解：由题意可得：，解得：． 经检验：是原方程的解． 答：x的值为60． （2）解：设购进B为m袋，A为袋，由题意可得： ， 解得：． 答：至少购进B品牌100袋． 题型六 比值问题 1．一个人步行从地出发，匀速向地走去；同时另一个人骑摩托车从地出发，匀速向地驶去．两人在途中相遇，如果骑摩托车者立即把步行者送到地，再向地驶去，这样他在途中所用的时间是他从地直接驶往地所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者与步行者的速度比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设步行者的速度为1，骑摩托车者的速度为，两地相距． 由题意，有， ， 解得， 经检验是原方程的根， ． 即骑摩托车者的速度与步行者速度的比是． 故选：B． 2．咖啡与咖啡以之比（以质量计）混合，的原价为元/，的原价为元/若的价格增加，而的价格减少，且混合咖啡每千克的价格不变，则： ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， 化简得：， ， ∴． 故答案为：． 3．有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天，且乙单独工作3天也可完成，则甲的工作效率与乙的工作效率的比是 ． 【答案】 【详解】解：设甲单独工作x天可以完成工程，以单独工作y天可以完成工程． 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴甲的工作效率与乙的工作效率的比是． 故答案是： 题型七 古代问题 1．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题大意为：把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（   ） A．快马的速度 B．慢马的速度 C．规定的时间 D．快马需要的时间 【答案】C 【详解】解：已知快马的速度是慢马的2倍，根据题意列方程为， ∴， ∴表示慢马的速度，表示快马的速度， ∵需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所的时间比规定时间少3天， ∴x表示规定的时间， 故选：C． 2．我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？” 设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设6210文能买x株椽，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故选：C． 3．我们经常在一些古装电视剧中看到送信员说这样的一句话：“六百里加急！”．在我们的古代数学名著《九章算术》中有一道关于驿站送信的题目，其大意是：一份重要的文件，若用慢马送到600里远的城市，所需时间比规定时间多2天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．若设规定时间为x天，则根据题意可列出的方程为 ． 【答案】 【详解】解：设规定时间为x天，则快马的时间为天，慢马的时间为天， 根据题意，得， 故答案为：． 4．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是 米． 【答案】/ 【详解】解：设边衬的宽度是米，则整幅图画宽为米，整幅图画长为米，根据整幅图画宽与长的比是，得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 边衬的宽度是米． 故答案为：． 题型八 航行问题 ⭐技巧积累与运用 1．一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设江水的流速为，根据题意可得： ， 解得：， 经检验：是原方程的根， 答：江水的流速为． 故选：D． 2．已知一艘轮船顺水航行千米和逆水航行千米共用的时间，正好等于船在静水中航行千米所用的时间，并且水流的速度是3千米小时，设轮船在静水中的速度为x千米小时，则顺水航行的速度是（逆水速度静水速度水流速度，顺水速度静水速度水流速度）（    ） A．千米小时 B．千米小时 C．千米小时 D．9千米小时 【答案】B 【详解】解：由题意知，逆水速度为千米小时，顺水速度为千米小时， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． 3．轮船顺水航行所需要的时间与逆水航行所需要的时间相同，已知水流的速度是，则轮船在静水中的速度为 ． 【答案】 【详解】解：设轮船在静水中的速度为， 根据题意可得：， 解得：， 经检验是原分式方程的根， 答：轮船在静水中的速度为． 故答案为： ． 4．闽江奇秀清澈又雄浑宽阔，江上自然景色和人文名胜交相辉映，旅游资源丰富．坐游船游览美丽的闽江便是其旅游项目之一．已知游船在静水中的最大航速，它以最大航速顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？若设江水流速为，则依题意可列方程 ． 【答案】 【详解】解：设江水流速为， 根据题意可得：， 故答案为：． 甲、乙两船从相距的A,B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流速度为,若甲、乙两船在静水中的速度相同，求两船在静水中的速度． 【答案】两船在静水中的速度为 【详解】解：设两船在静水中的速度为, 根据题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：两船在静水中的速度为． 一、单选题 1．计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：； 故选：C． 2．引发秋季传染病的某种病毒的直径是，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 故选：． 3．科技创新是发展生产力的核心要素，某品牌手机的快充功能方便了人们对于智能手机的使用.如图，这是该品牌手机的使用说明书的部分内容（充电时间为从电量充到的时间），手机电量为后开始充电，若普通充电后，再快速充电刚好充满电量，则磨损处“”的数值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：设磨损处“”的数值为，根据题意得， 解得：，经检验是原方程的解，且符合题意 故选：B 4．“五•一”期间，几名同学共同包租一辆面包车去某地旅游，面包车的租价为120元，出发时又有2名同学参加进来，结果每位同学少分摊3元，则原来旅游同学的人数为（　　） A．8人 B．10人 C．12人 D．30人 【答案】A 【详解】解：设原来人数为x人，由题意得 ， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：原来旅游同学有8人， 故选：A． 5．在“国庆畅游房山”系列活动中，某景点为游客定制了A，B两种文创产品，其中A种文创产品的单价比B种文创产品的单价低5元，用1200元购进A种文创产品的数量，是用1000元购进B种文创产品数量的1.5倍，求A种文创产品的单价．若设A种文创产品的单价为x元，那么依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设A种文创产品的单价为x元，则B种文创产品的单价为元， 根据题意，得． 故选：D． 6．某工程队在西城路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“×××”，设实际每天改造人行道x米，则可得方程，根据已有信息，题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（ ） A．每天比原计划少铺设10米，结果延迟15天完成 B．每天比原计划多铺设10米，结果延迟15天完成 C．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天完成 D．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成 【答案】D 【详解】解：设实际每天改造人行道x米， 则表示原计划每天比实际少铺设10米，即每天比原计划多铺设10米， ∴表示原计划铺设天数，表示实际铺设天数， ∴表示原计划铺设天数比实际多15天， ∴题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成， 故选：D． 二、填空题 7．甲乙两地相距，骑自行车从甲地到乙地，出发后，骑摩托车也从甲地去乙地，已知的速度是的速度的倍，结果两人同时到达乙地，则的速度是 ，到达乙地用时 ． 【答案】 【详解】解：设的速度为，则的速度为， ， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合实际， （）， 答：的速度为，到达乙地用时． 故答案为：，． 8．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的地方，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马的2倍，则规定时间为 ． 【答案】7天 【详解】解：设规定时间为天，根据题意得： ， 两边同时乘以 得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：7天． 9．题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．”阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是 ． 【答案】甲每小时比乙数少做6个 【详解】解：根据方程可得设乙每小时做个，甲每小时做个， ∴被墨迹弄污的条件应是甲每小时比乙数少做6个， 故答案为：甲每小时比乙数少做6个． 10．闽江奇秀清澈又雄浑宽阔，江上自然景色和人文名胜交相辉映，旅游资源丰富． 坐游船游览美丽的闽江便是其旅游项目之一． 已知游船在静水中的最大航速为，它以最大航速顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？若设江水流速为，则依题意可列方程 ． 【答案】 【详解】解：设江水流速为， 由题意得，， 故答案为：． 三、解答题 11．计算： 【答案】 【详解】解： ． 12．甲、乙两船从相距的A,B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流速度为,若甲、乙两船在静水中的速度相同，求两船在静水中的速度． 【答案】两船在静水中的速度为 【详解】解：设两船在静水中的速度为, 根据题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：两船在静水中的速度为． 13．临近春节，某书店计划在规定日期内采购一批挂历，根据甲、乙两个印刷厂的基本情况，经测算得出以下结论： ①甲厂单独生产这批挂历刚好如期完成； ②乙厂单独生产这批挂历要比规定日期多用6天； ③若甲、乙两厂共同生产3天，余下的由乙厂单独生产也正好如期完成． 根据以上信息，问书店采购这批挂历的规定日期是多少天？ 【答案】规定日期为6天 【详解】解：设规定日期为天． 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：规定日期为6天． 14．为进一步丰富义务教育阶段学生假期生活，有效缓解义务教育阶段学生假期“看护难”问题，某校在寒假期间开设了丰富多彩的寒假托管服务，学校决定购买A，B两种文具奖励在此次托管服务中表现优秀的学生．已知A文具比B文具每件多5元，用600元购买A文具，900元购买B文具，且购买B文具的数量是A文具的2倍． (1)求A，B文具的单价； (2)为了调动学生的积极性，学校再次在该店购买了A，B两种文具．在购买当日，正逢该店促销活动，所有商品八折销售．在不超过预算资金1200元的情况下，A，B两种文具共买了90件，则最多购买了A文具多少件？ 【答案】(1)A文具的单价为20元，B文具的单价为15元； (2)最多购买了A文具30件． 【详解】（1）解：设B文具的单价为x元，则A文具的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 答：A文具的单价为20元，B文具的单价为15元； （2）解：设购买A文具m件，则购买B文具件， 依题意得：， 解得：． 答：最多购买了A文具30件． 15．如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和甲、乙两位同学不完整的解答过程． 张庄和李庄两地之间的路程是，嘉琪和爸爸二人都从张庄到李庄，嘉琪骑自行车，爸爸骑摩托车．爸爸比嘉琪晚出发，却和嘉琪同时到达．已知爸爸的速度是嘉琪的速度的2.5倍，嘉琪和爸爸二人的速度各是多少？ 甲： 乙：设嘉琪的速度为 根据以上信息，解答下列问题． (1)甲同学所列方程中的x表示_______________； (2)根据乙同学设的未知数，列方程并解答． 【答案】(1)嘉琪从张庄到李庄所用的时间 (2)方程见解析，嘉琪和爸爸二人的速度各是和 【详解】（1）解：甲同学所列方程中的表示嘉琪所用时间； 故答案为：嘉琪所用时间； （2）解：设嘉琪的速度为，则爸爸的速度为， 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 答：嘉琪和爸爸二人的速度各是和． 16．某市政府计划对该市博物馆进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队单独完成该改造计划比乙队单独完成该计划少用4天． (1)甲、乙两队单独完成该计划分别需要多少天？ (2)若甲队工作一天需付费用8万元，乙队工作一天需付费用6万元，由于项目原因，甲队先做了几天后，由乙队接着将改造计划完成，最后改造费用不超过67万元，甲队至少做了多少天？ 【答案】(1)甲队单独完成该计划需要8天，乙队单独完成该计划需要12天 (2)甲队至少做了5天 【详解】（1）解：设乙队单独完成该计划需要天，则甲队单独完成该计划需要天， 根据题意得： 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：甲队单独完成该计划需要8天，乙队单独完成该计划需要12天； （2）解：设甲队做了天，则乙队做了天， 根据题意得： 解得：， 答：甲队至少做了5天． 一、单选题 1．为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为126km，建成通车后全程约为28km，平均速度将提高原来的，时间将少用90min，则原来的平均速度是（    ） A．63km/h B．60km/h C．72km/h D．80km/h 【答案】C 【详解】解：设原来的平均速度是，则现在的平均速度为， 由题意得： 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 即原来的平均速度是， 故选：C． 2．甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下： 甲说：我的工作效率比乙的工作效率少 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量． 如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（    ）小时． A．20 B．21 C．19 D．19 【答案】D 【详解】解：设甲单独完成任务需要小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是，由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的根，且符合题意， 甲的工作效率是，乙的工作效率是， ∵丙的工作效率是乙的工作效率的， 丙的工作效率是， ∴一轮的工作量为：， ∴轮后剩余的工作量为：， ∴还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为：， ∴乙还需要工作的时间为（小时）， ∴按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（小时）． 故选：D． 二、填空题 3．同学在“2024义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品．销售一件甲纪念品可获利：销售一件乙纪念品可获利；当销售量的比为时，总获利为．当销售量的比为时，总获利为 ． 【答案】 【详解】解：设一件甲纪念品的成本为a元，一件乙纪念品的成本为b元， 则， 解得， 当销售量的比为时，总获利为：， 故答案为：． 4．如图所示的电路的总电阻为，若，则 ． ， 【答案】 【详解】根据并联电阻的特点，总电阻为，， 则有：， ， ， ， 故答案为： 三、解答题 5．“垃圾分一分，环境美十分”．我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从超市购进了，两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买品牌垃圾桶的数量与用6000元购买品牌垃圾桶的数量相同． (1)求购买一个品牌、一个品牌的垃圾桶各需多少元？ (2)若学校决定再次准备用不超过4800元购进，两种品牌垃圾桶共50个，恰逢超市对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：品牌按第一次购买时售价的九折出售，品牌比第一次购买时售价下降了20%，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？ 【答案】(1)品牌垃圾桶每个100元；B品牌垃圾桶每个150元 (2)品牌垃圾桶最多买10个 【详解】（1）解：设品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴（元）； 答：品牌垃圾桶每个100元，则B品牌垃圾桶每个150元； （2）解：设该学校此次最可购买y个品牌垃圾桶，则可购买A品牌垃圾桶个， 由题意得：， 解得：， ∴品牌垃圾桶最多买10个； 答：品牌垃圾桶最多买10个． 6．一辆汽车开往距离出发地的目的地． 出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地， (1)求汽车实际走完全程所花的时间． (2)若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较 的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）解：设前一小时行驶的速度为，则提速后的速度为， 依题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：汽车实际走完全程所花的时间为； （2）解：，理由如下： 由题意得，，， ， ∵a，b均为正数，且， ∴，， ∴， 即 ， ∴． 7． 两港之间的距离为千米． (1)若从港口到 港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快千米时， 顺流所用时间比逆流少用小时，求水流的速度； (2)若轮船在静水中的速度为千米时，水流速度为千米时，该船从 港顺流航行到 港，再从 港逆流航行返回到 港所用的时间为；若轮船从港航行到 港再返回到 港 均为静水航行，且所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)水流的速度为千米/时 (2)，理由见解析 【详解】（1）解：设水流的速度为千米/时，则轮船在静水中的速度为千米时，根据题意得， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：水流的速度为千米/时； （2）解：依题意， ∵，， ∴ 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$