第14章整式的乘法与因式分解 期末复习知识点分类解答专项练习题三 2024-2025学年人教版八年级数学上册

2024-2025学年人教版八年级数学上册《第14章整式的乘法与因式分解》 期末复习知识点分类解答专项练习题三（附答案） 一、因式分解—提公因式法 1．因式分解 (1)； (2)． 2．计算： 3．将多项式分解因式后求值，其中 4．因式分解：． 5．已知，，求代数式的值． 6．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 7．用提公因式法将下列各式分解因式： (1)； (2)． 8．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 二、因式分解—公式法 9．因式分解： (1)； (2)． 10．因式分解． (1) (2) (3) 11．若、、为非零实数，且，求证：． 12．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 13．将下列各式分解因式： (1) (2) 14．阅读下列材料． 分解因式：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你用“整体思想”解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 15．我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如： 分解因式： ． 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由． 16．阅读并解答 在分解因式时，李老师讲了如下方法： 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 (1)从第一步到第二步逆用了什么乘法公式 ．从第二步到第三步逆用了什么乘法公式 ． (2)仿照上例分解因式． 17．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解：． 解： ． ②求的最小值． 解： ， ， 即的最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______． (2)利用上述方法进行因式分解：． (3)求的最小值． 18．在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．张老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： 的最小值为4 小欣的解法及结果得到了张老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有 ．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则的值等于 （为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 19．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解． (1)图可以解释的代数恒等式是______； (2)现有足够多的正方形和矩形卡片（如图），试在下面的虚线方框中画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为，并利用你所画的图形面积对进行因式分解． 20．【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故有即可将形如的多项式因式分解成（p，q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：______． 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是______． 【拓展应用】 （3）分解因式：． 参考答案： 1．（1）解： （2）解： ． 2．解：根据同底数幂乘法的逆运算，得， ∴ ． 3．解： 当时， 原式 4．解： ， ， ， ． 5．解： 将，，代入得： ， ． 6．（1）解：． （2）解： ． 7．（1）解： （2）解： ． 8．（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 9．（1）解：原式； （2）解：原式． 10．（1）解：（1） （2） （3） 11．证明：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（1）解： ； （2）解： ． 13．（1）解： ； （2）解： ． 14．（1）解：将“”看成整体，令， 原式， 再将“A”还原，得原式； （2）解：将“”看成整体，令， 则 ， 再将“A”还原，得原式． 15．（1）解：原式 ； （2）解：等腰三角形． 由，可得． ， ． ． 是等腰三角形． 16．（1）解：从第一步到第二步逆用了什么乘法公式完全平方公式；从第二步到第三步逆用了什么乘法公式平方差公式； 故答案为：完全平方公式；平方差公式； （2）解： ． 17．（1）解：∵， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ， ∵， ∴， 即的最小值为． 18．（1）解：①不是完全平方式；②是完全平方式；③是完全平方式；④不是完全平方式， 故答案为：②③； （2）解：∵是一个完全平方式，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式有最大值，最大值为． 19．:解：（1）图可以解释的代数恒等式是：； （2）根据题意，可以画出相应的图形，如图所示 ， 因式分解为：． 20．解：（1） ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴整数的值可能为：或或或， ∴整数m的值可能是8或或4， 故答案为：8或或4； （3） ． 学科网（北京）股份有限公司 $$