9.2 向量运算（5个知识点+12类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

9．2 向量运算 课程标准 学习目标 （1）能按照向量加、减法的研究路径，类比数的乘法，定义平面向量数乘运算及运算规则，说明其几何意义；能类比数的乘法提出并作图证明向量数乘运算的运算律；能从研究向量数乘运算的结果人手，从向量共线的概念出发，提出并解释两个向量共线的充要条件． （2）能按照研究向量运算的一般路径，以物理中的功为背景，提出并解释平面向量数量积的概念，会计算平面向量的数量积；能类比平面向量的线性运算提出并作图证明数量积运算的性质；会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，解决向量的模、夹角等问题． （3）能作图说明向量向向量的投影变换，并结合图形直观解释向量在向量方向上的投影向量，得出向量在向量方向上的投影向量的表达式． （1）理解并掌握向量加法的概念． （2）掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算． （3）掌握向量减法的几何意义． （4）掌握向量数量积的定义及投影向量． （5）会计算平面向量的数量积． （6）会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 知识点01 向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量，我们规定． 知识点诠释： 两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点． 3、向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 4、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 5、向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 （1）当不共线时，； （2）当同向且共线时，同向，则； （3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，． 【即学即练1】（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．    【解析】解法一：（三角形法则），如下图所示，作，， 则，再作，则，即. 解法二：（平行四边形法则）因为向量，，不共线， 如下图所示，在平面内任取一点O，作，， 以，为邻边作平行四边形，则对角线， 再作，以，为邻边作平行四边形，则. 知识点02 向量的减法 1、向量的减法 （1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的． 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量． （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法． 知识点诠释： （1）两种方法给出的定义其实质是一样的． （2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则． （3）两个向量的差仍是一个向量． 2、向量减法的作图方法 （1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量． （2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量． 【即学即练2】（2024·高一课时练习）化简： ； ； . 【答案】 【解析】， ， . 故答案为：. 知识点03 数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 【即学即练3】（2024·高二课时练习）已知，则 . 【答案】 【解析】由题，即， 故答案为： 知识点04 向量共线的条件 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 知识点诠释： （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一． 【即学即练4】（2024·湖北·高三统考学业考试）已知，是不共线的两个向量，若，，，则（    ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【答案】D 【解析】由于向量、以及之间没有数量关系，所以考查 ，，可得，即可得解.由， ， 故， 所以，，三点共线. 故选：D. 知识点05 平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 知识点诠释： （1）两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 ①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定． ②两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替． ③在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0． （2）投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为． （3）投影向量是一个向量，当对于任意的，都有． 3、平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 4、向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． （1） （2） （3）当与同向时，；当与反向时，．特别的或 （4） （5） 5、向量数量积的运算律 （1）交换律： （2）数乘结合律： （3）分配律： 知识点诠释： （1）已知实数、、（），则．但是； （2）在实数中，有，但是 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线． 【即学即练5】（2024·北京大兴·高三统考）已知等边的边长为，分别是的中点，则 ；若是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 / 【解析】 ; 若是线段上的动点，且，不妨设点相对更靠近点， 设， ， 当时，取最小值，且为. 故答案为：；. 题型一：向量加法法则 【典例1-1】如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【解析】（1）作法：在平面内任意取一点，作，，则，如图所示． （2）在平面内任意取一点，作，，，则，如图所示． 【典例1-2】已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 【解析】（1）如图，即为所求. （2）如图，即为所求. （3）如图，即为所求. （4）如图，即为所求. 【方法技巧与总结】 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 （1）首尾相接 （2）适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 （1）共起点 （2）仅适用于不共线的两个向量求和 【变式1-1】已知、，用向量加法的平行四边形法则作出. 【解析】在平面内任取点，作向量，， 以线段为一组邻边作，连接， 则， 所以即为所作的向量. 【变式1-2】如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 【解析】（1）根据向量加法的平行四边形法则可得，，分别如下图： （2）根据向量加法的平行四边形法则可得和分别如下图： 【变式1-3】（1）设O是正五边形ABCDE的中心，求； （2）设O是正n边形的中心，求． 【解析】（1）令，若将顺时针旋转，等价于将都顺时针旋转，如下图： 向量在旋转后对应位置为， 所以，旋转后向量的和为，即顺时针旋转后所得向量相等仍是，故. （2）设，将顺时针旋转，等价于将都顺时针旋转， 同理，旋转后向量的和为，即顺时针旋转后所得向量相等仍是，故. 题型二：向量加法运算律的应用 【典例2-1】设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）． （2）． （3）． 【典例2-2】化简： (1)． (2)． 【解析】（1）. （2）. 【方法技巧与总结】 向量加法运算律的意义和应用原则 （1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． （2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 【变式2-1】化简下列各式: (1) (2) 【解析】（1）原式. （2）原式 【变式2-2】如图所示，点分别为的三边的中点. 求证： (1)； (2). 【解析】（1）证明：由向量加法的三角形法则， 因为，所以. （2）证明：由向量加法的平行四边形法则， 因为， 所以 . 【变式2-3】如图所示，求： (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 题型三：向量加法的实际应用 【典例3-1】某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北走了450m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点．（1表示100m） (1)作出向量、、； (2)求． 【解析】（1）如图所示． （2）由，得四边形为平行四边形， 所以. 【典例3-2】在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？ 【解析】设表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度， 则四边形为平行四边形. 所以，， 因为，于是， 所以，， 故船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为. 【方法技巧与总结】 应用向量解决实际问题的基本步骤 （1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． （2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题． （3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 【变式3-1】有一艘在静水中速度大小为10 km/h的船，现船沿与河岸成角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均匀． (1)设船相对于河岸和静水的速度分别为，河水的流速为，求之间的关系式； (2)求这条河河水的流速． 【解析】（1）如图，是垂直到达河对岸方向的速度，是与河岸成角的静水中的船速， 则与的夹角为， 由题意知，三条有向线段构成一个直角三角形，其中， 由向量加法的三角形法则知，，即； （2）因为，而， 所以这条河河水的流速为，方向顺着河岸向下． 【变式3-2】如图，已知河水自西向东流，流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在水中的实际速度为. （1）若此人朝正南方向游去，且，求他实际前进方向与水流方向的夹角和的大小； （2）若此人实际前进方向与水流垂直，且=3m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角和的大小. 【解析】解析设，，，由题意可知，， 根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形 （1）当此人朝正南方向游去时，四边形OACB为矩形，且，如图所示. 则在中，，，又，所以.故此人实际前进方向与水流方向的夹角为60°，的大小为2m/s. （2）由题意知，且，，如图所示. 则在中，. ，，所以， 则， 故此人游泳的方向与水流方向的夹角为120°，的大小为2m/s. 【变式3-3】如果小汽艇向着垂直河岸的方向行驶，在静水中的速度是，河水的流速是，那么小汽艇在河水中的实际运动速度是多大？方向怎样？要使小汽艇沿垂直河岸方向到达对岸码头，船头方向又应怎样？ 【解析】如图（1）所示， 小汽艇在河水中的实际运动速度是 ； ， 所以小汽艇实际运动方向与河岸的夹角为； 如图（2）所示， 中，，， 所以， 解得． 所以要使小汽艇沿垂直河岸方向到达对岸码头，船头应与垂直河岸方向成的角． 题型四：向量的减法运算 【典例4-1】计算： (1)； (2) . 【解析】（1）； （2）. 【典例4-2】如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 【解析】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则． （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则； 如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则． 【方法技巧与总结】 求作两个向量的差向量的两种思路 （1）可以转化为向量的加法来进行，如，可以先作，然后作即可． （2）可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 【变式4-1】化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【解析】（1）． （2）. （3）. 【变式4-2】在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】如图，分别作，的平行线，交于点， 因为在中，，， 所以四边形是正方形， （1）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（1）成立； （2）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（2）成立； （3）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（3）成立； （4）因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 故等式（4）不成立； 综上，等式（1）、（2）、（3）成立，等式（4）成立. 【变式4-3】如图，在各小题中，已知，分别求作． 【解析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量， 如图，， 题型五：向量减法法则的应用 【典例5-1】化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 【典例5-2】化简下列向量表达式： （1）－＋－； （2）(－)＋(－)． 【解析】（1）－＋－＝＋－＝－＝. （2）(－)＋(－) ＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋＝. 【方法技巧与总结】 （1）向量减法运算的常用方法 （2）向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和． ②起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 【变式5-1】化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 【解析】（1）. （2） . （3） . 【变式5-2】如图所示，在矩形中，，，设，，，求.    【解析】在矩形中，，， 则， 因为，，， 则， 因此，. 【变式5-3】化简下列各式： (1)(＋)＋()； (2)； (3)； (4)； (5) 【解析】（1）法一：原式； 法二：原式； （2）法一：原式 法二：原式 （3）方法一：； 方法二：； （4） （5） 题型六：向量的线性运算 【典例6-1】化简： (1)； (2)； (3) 【解析】（1）； （2）； （3）. 【典例6-2】根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）由， 得， 即， ； （2）由， 得， 得； （3）由， 得， ， 可得． 【方法技巧与总结】 向量线性运算的基本方法 （1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． （2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 【变式6-1】化简下列各式： (1)3； (2)； (3)2． 【解析】（1）； （2）； （3）. 【变式6-2】已知，求. 【解析】因为， 所以 . 【变式6-3】求下列未知向. (1)； (2)； (3). 【解析】（1）由得， 所以. （2）由得， 所以. （3）由得， 所以. 题型七：用已知向量表示其他向量 【典例7-1】在中，若，． (1)若P、Q是线段BC的三等分点，求证：； (2)若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：； (3)如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知） 【解析】（1）当P、Q是线段BC的三等分点时，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC， 连接AD，交BC于O点，连接PD、QD，如图所示， 则 ，因为，，所以且， 所以四边形APDQ是平行四边形，所以. （2）当P、Q、S是线段BC的四等分点时，如图所示，则Q是BC的中点， 所以. （3）结论：． 【典例7-2】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，，则. 故选：C 【方法技巧与总结】 用已知向量表示其他向量的两种方法 （1）直接法 （2）方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 【变式7-1】如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，利用三角形定则可得，故A错误， 对于B，因为，故B错误， 对于C，因为E是的中点，所以，故C错误 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：D 【变式7-2】如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为的中点，为的中点， 所以. 故选：D. 【变式7-3】在中，点在边上，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题. 故选：B. 【变式7-4】如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A. 题型八：向量共线的判定及应用 【典例8-1】已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为4. 故选：B 【典例8-2】已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【解析】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 【方法技巧与总结】 （1）证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得（或等）即可． （2）利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 【变式8-1】已知向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【解析】对于A，令，即，则有，无解， 因此不存在t，使得，即 三点不共线，A错误； 对于B，，则，又直线MN，NQ有公共点N， 因此 ，，三点共线，B正确； 对于C，，令，即， 则有，无解，因此不存在m，使得，即三点不共线，C错误； 对于D，令，即，则有，无解， 因此不存在n，使得，即三点不共线，D错误. 故选：B 【变式8-2】设，为平面上两个不共线的单位向量，已知向量，，，若三点共线，则的值是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【解析】由题意， 且， 因为三点共线， 所以存在实数，使得, 所以， 即，解得. 故选：A. 【变式8-3】已知平面向量，不共线，，，若A，B，C三点共线，则实数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若A，B，C三点共线，则， 则存在唯一实数，使得， 即，解得或. 故选：D． 题型九：三点共线的常用结论（鸡爪定理） 【典例9-1】在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    【解析】如图，连接，   中，，， 点P满足， ， ， 又， ， 又三点共线， ， ， 当且仅当，即时取“”， 则的最小值为． 【典例9-2】如图，在中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E．设． (1)用向量表示； (2)若，求实数的值． 【解析】（1）因为点A是的中点， 所以，即， 整理得， 可得， 故． （2）由题意可得， 因为三点共线，所以，且， 则， 可得，解得， 故． 【方法技巧与总结】 应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，为直线外一点存在实数x，y，使，且． 【变式9-1】如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，． (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时，的值． 【解析】（1）如图所示， 因为G为重心，所以， 所以， 因为M，G，N三点共线，所以，即． （2）由题意可知，且， 所以 当且仅当，即时取等号， 又∵，∴，时，取得最小值为． 【变式9-2】如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【解析】（1）因为点D是中BC边的中点，且，， 所以； （2）因为点G是的重心， 所以 . （3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以， 又，所以，所以. 【变式9-3】如图，在中，点，分别是，边的中点，，分别与分别交于点，两点，你能发现，，之间的大小关系吗？用向量方法证明你的结论. 【解析】因为平行四边形，所以设， 又因为，，三点共线，所以，所以，. 设， 又因为，，三点共线，所以，所以，， 所以. 【变式9-4】如图所示，中，，D为AB中点，E为CD上一点，且，AE的延长线与BC的交点为F. （1）用向量与表示； （2）用向量与表示，并求出和的值. 【解析】（1）是线段CD的一个三等分点（靠近C点）. 又D为AB中点， ， 故. （2）设三点共线，∴存在，使. 由（1）知，. 又C，F，B三点共线，， 即. . ，即. ， ， ∴，∴． 综上， 题型十：求两向量的数量积 【典例10-1】在平行四边形中，过点作的垂线，垂足为，且，则 . 【答案】 【解析】如图所示，在平行四边形中，连接，交于点， 则. 故答案为：. 【典例10-2】已知向量和的夹角为，且，，则 . 【答案】 【解析】， 则. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 求平面向量数量积的方法 计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 【变式10-1】在中，已知，若，且，则 ． 【答案】 【解析】由，则， 又，所以，又， 所以，即. 故答案为：. 【变式10-2】向量，满足，，，那么 . 【答案】 【解析】由，得，即（*）， 因为，，* 所以，， 代入（*）式得，解得. 故答案为：. 【变式10-3】已知向量满足，则 . 【答案】 【解析】因为，所以， 又因为，所以 所以. 故答案为：. 题型十一：向量的模和夹角的计算问题 【典例11-1】已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 【解析】（1）由可得， 即， 所以，解得， 且，所以. （2） . 【典例11-2】已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 【解析】（1）由向量与的夹角，且，，得， ， 所以. （2）在上的投影向量为. （3），则， 所以向量与夹角的余弦值为. 【方法技巧与总结】 （1）求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方． （2）求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解． 【变式11-1】已知向量与的夹角，且. (1)求； (2)求与的夹角的余弦值. 【解析】（1）， . （2） . 【变式11-2】如图，在平行四边形中，已知，，，点为的中点，点为边上的动点，，相交于点，设，.    (1)若点为边上的中点， （i）用，表示，； （ii）求，，，及的余弦值； (2)求的取值范围. 【解析】（1）（i）由点为的中点，点为的中点， 可得，； （ii）由，，， 则，， 可得 ； 由， 可得； 由， 可得； ； （2）， 设，由题意可知，， 由此得到， 由，，可得， 即的取值范围为. 题型十二：与垂直有关的问题 【典例12-1】已知，，. (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 【解析】（1）因为，，， 所以，则. （2）若与垂直，则， 从而，解得：. 【典例12-2】已知，. (1)若，求； (2)若与垂直，求当为何值时，? 【解析】（1）， ， 所以； （2）因为与垂直， 所以，即， 解得， 当时，， 即， 得，解得， 所以当时，. 【方法技巧与总结】 解决有关垂直问题时利用（，为非零向量）． 【变式12-1】如图，在中，已知P为线段AB上的一点，，，且与的夹角为．    (1)若，求； (2)若，且，求实数λ的值． 【解析】（1）由已知，，夹角为，可得． 因为，所以可得． 所以； （2）因为， 则 ，所以. 【变式12-2】已知，且. (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值. 【解析】（1）由题意知，， 又，所以， 由，得， 即. 所以，解得. （2），， 设与的夹角为，则， 所以与的夹角的余弦值为. 【变式12-3】已知两个不共线的向量的夹角为，且为正实数 (1)若与垂直，求； (2)若，求的最小值，并证明此时与垂直. 【解析】（1）由与垂直， 得， 解得，所以. （2）当时，， ， 当且仅当时取等号，此时，即与垂直， 所以当时，取得最小值，且与垂直. 1．已知向量，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 又， 所以， 又， 所以， 由时可推出与共线， 有与共线不能推出， 所以“与共线”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由数乘向量的运算律知，，D正确. 故选：B. 3．若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由条件可知，两边平方后得， 并且，. 因为向量夹角的范围是，所以向量与的夹角为. 故选：A. 4．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设与的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为 . 故选：A. 5．如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 即得. 故选：B. 6．在四边形中，，，，若，不共线，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】C 【解析】由已知得，， 故，且，所以四边形是梯形． 故选：C. 7．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上的投影向量为， 则，， ， 所以与的夹角为. 故选：B. 8．在中，，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，， 则、均为单位向量，且与同向，与同向， 可知与的角平分线的方向向量共线， 因为，可知的角平分线与垂直， 即的角平分线与高线重合，所以为等腰三角形，且， 又因为， 且，可得， 则边上的高为，. 所以的周长为. 故选：B. 9．（多选题）设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A，因为，故A错误， 对于B，因为表示与共线的向量，表示与共线的向量， 但与不一定共线，故B错误， 对于C，因为，则，故C正确， 对于D，由数量积的运算知，故D正确. 故选：AB. 10．（多选题）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】如图，为的重心，D为BC的中点， 因三角形重心到三顶点的距离不一定相等，A不正确； ，则，B正确； ，C正确. ，D不正确； 故选：BC 11．（多选题）在中，下列说法正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若G是的重心，则 C．若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 D．已知，，则的最大值为10 【答案】BCD 【解析】对A，由可知的外角为钝角，所以为锐角，故不能判断三角形为钝角三角形，故A错误； 对B，由G是的重心，可知，故B正确； 对C，因为，，与的夹角为，所以在方向上的投影向量为 ，故C正确； 对D，因为，当，即同向时等号成立，故D正确. 故选：BCD 12．在矩形中，已知，，为的中点，且，则 ． 【答案】/0.625 【解析】如图，由可得， 则 ， 则，，故． 故答案为：. 13．已知向量，的模分别为2，1，且，则 . 【答案】 【解析】由，得，所以，所以， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 14．已知为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则的取值范围是 . 【答案】[-8，24] 【解析】 由题意可得的模为4， 根据正六边形的特征及投影的定义可以得到在方向上的投影长度的取值范围是， 由数量积定义可知等于的模与在方向上的投影长度的乘积， 所以的取值范围是， 故答案为：. 15．已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【解析】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，且取到最小值时. 16．已知，，． (1)求向量与的夹角； (2)当向量与的模相等时，求实数的值． 【解析】（1）因，，， 则有，解得， 因此，而，于是得， 所以向量与的夹角. （2）由，则， 即，得，解得或. 17．在平行四边形ABCD中，，，若M，N分别是边BC，CD所在直线上的点，且满足，，.    (1)当，时，求向量和夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，同理， 而，故， 故， 而，， 故. （2）,, 故 ， 因为，故， 故的取值范围为. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9．2 向量运算 课程标准 学习目标 （1）能按照向量加、减法的研究路径，类比数的乘法，定义平面向量数乘运算及运算规则，说明其几何意义；能类比数的乘法提出并作图证明向量数乘运算的运算律；能从研究向量数乘运算的结果人手，从向量共线的概念出发，提出并解释两个向量共线的充要条件． （2）能按照研究向量运算的一般路径，以物理中的功为背景，提出并解释平面向量数量积的概念，会计算平面向量的数量积；能类比平面向量的线性运算提出并作图证明数量积运算的性质；会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，解决向量的模、夹角等问题． （3）能作图说明向量向向量的投影变换，并结合图形直观解释向量在向量方向上的投影向量，得出向量在向量方向上的投影向量的表达式． （1）理解并掌握向量加法的概念． （2）掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算． （3）掌握向量减法的几何意义． （4）掌握向量数量积的定义及投影向量． （5）会计算平面向量的数量积． （6）会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． 知识点01 向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1、向量加法的概念及三角形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图 本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2、向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量，我们规定． 知识点诠释： 两个向量的和是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点． 3、向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有 4、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 5、向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 （1）当不共线时，； （2）当同向且共线时，同向，则； （3）当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，． 【即学即练1】（2024·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．    知识点02 向量的减法 1、向量的减法 （1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的． 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量． （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法． 知识点诠释： （1）两种方法给出的定义其实质是一样的． （2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则． （3）两个向量的差仍是一个向量． 2、向量减法的作图方法 （1）已知向量，，作，则=，即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量． （2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量． 【即学即练2】（2024·高一课时练习）化简： ； ； . 知识点03 数乘向量 1、向量数乘的定义 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 2、向量数乘的几何意义 由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 【即学即练3】（2024·高二课时练习）已知，则 . 知识点04 向量共线的条件 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 知识点诠释： （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一． 【即学即练4】（2024·湖北·高三统考学业考试）已知，是不共线的两个向量，若，，，则（    ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 知识点05 平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 知识点诠释： （1）两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 ①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定． ②两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替． ③在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0． （2）投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为． （3）投影向量是一个向量，当对于任意的，都有． 3、平面向量数量积的几何意义 数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即． 事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以． 4、向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． （1） （2） （3）当与同向时，；当与反向时，．特别的或 （4） （5） 5、向量数量积的运算律 （1）交换律： （2）数乘结合律： （3）分配律： 知识点诠释： （1）已知实数、、（），则．但是； （2）在实数中，有，但是 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线． 【即学即练5】（2024·北京大兴·高三统考）已知等边的边长为，分别是的中点，则 ；若是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 题型一：向量加法法则 【典例1-1】如图（1）（2），已知向量，，，求作向量和． 【典例1-2】已知下列各组向量、，求作. (1) (2) (3) (4) 【方法技巧与总结】 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 （1）首尾相接 （2）适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 （1）共起点 （2）仅适用于不共线的两个向量求和 【变式1-1】已知、，用向量加法的平行四边形法则作出. 【变式1-2】如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 【变式1-3】（1）设O是正五边形ABCDE的中心，求； （2）设O是正n边形的中心，求． 题型二：向量加法运算律的应用 【典例2-1】设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【典例2-2】化简： (1)． (2)． 【方法技巧与总结】 向量加法运算律的意义和应用原则 （1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． （2）应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 【变式2-1】化简下列各式: (1) (2) 【变式2-2】如图所示，点分别为的三边的中点. 求证： (1)； (2). 【变式2-3】如图所示，求： (1)； (2)； (3)； (4). 题型三：向量加法的实际应用 【典例3-1】某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北走了450m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点．（1表示100m） (1)作出向量、、； (2)求． 【典例3-2】在静水中船的速度是，水流的速度是.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？ 【方法技巧与总结】 应用向量解决实际问题的基本步骤 （1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． （2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题． （3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 【变式3-1】有一艘在静水中速度大小为10 km/h的船，现船沿与河岸成角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均匀． (1)设船相对于河岸和静水的速度分别为，河水的流速为，求之间的关系式； (2)求这条河河水的流速． 【变式3-2】如图，已知河水自西向东流，流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在水中的实际速度为. （1）若此人朝正南方向游去，且，求他实际前进方向与水流方向的夹角和的大小； （2）若此人实际前进方向与水流垂直，且=3m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角和的大小. 【变式3-3】如果小汽艇向着垂直河岸的方向行驶，在静水中的速度是，河水的流速是，那么小汽艇在河水中的实际运动速度是多大？方向怎样？要使小汽艇沿垂直河岸方向到达对岸码头，船头方向又应怎样？ 题型四：向量的减法运算 【典例4-1】计算： (1)； (2) . 【典例4-2】如图，已知向量、、，作出下列向量： (1)和； (2)和． 【方法技巧与总结】 求作两个向量的差向量的两种思路 （1）可以转化为向量的加法来进行，如，可以先作，然后作即可． （2）可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． 【变式4-1】化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【变式4-2】在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 【变式4-3】如图，在各小题中，已知，分别求作． 题型五：向量减法法则的应用 【典例5-1】化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 【典例5-2】化简下列向量表达式： （1）－＋－； （2）(－)＋(－)． 【方法技巧与总结】 （1）向量减法运算的常用方法 （2）向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和． ②起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用． 【变式5-1】化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 【变式5-2】如图所示，在矩形中，，，设，，，求.    【变式5-3】化简下列各式： (1)(＋)＋()； (2)； (3)； (4)； (5) 题型六：向量的线性运算 【典例6-1】化简： (1)； (2)； (3) 【典例6-2】根据下列条件，求向量： (1)； (2)； (3)． 【方法技巧与总结】 向量线性运算的基本方法 （1）类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． （2）方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 【变式6-1】化简下列各式： (1)3； (2)； (3)2． 【变式6-2】已知，求. 【变式6-3】求下列未知向. (1)； (2)； (3). 题型七：用已知向量表示其他向量 【典例7-1】在中，若，． (1)若P、Q是线段BC的三等分点，求证：； (2)若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：； (3)如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知） 【典例7-2】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 用已知向量表示其他向量的两种方法 （1）直接法 （2）方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 【变式7-1】如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式7-2】如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【变式7-3】在中，点在边上，，记，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型八：向量共线的判定及应用 【典例8-1】已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【典例8-2】已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【方法技巧与总结】 （1）证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得（或等）即可． （2）利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． 【变式8-1】已知向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式8-2】设，为平面上两个不共线的单位向量，已知向量，，，若三点共线，则的值是（    ） A．2 B． C． D．3 【变式8-3】已知平面向量，不共线，，，若A，B，C三点共线，则实数等于（   ） A． B． C． D． 题型九：三点共线的常用结论（鸡爪定理） 【典例9-1】在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    【典例9-2】如图，在中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E．设． (1)用向量表示； (2)若，求实数的值． 【方法技巧与总结】 应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，为直线外一点存在实数x，y，使，且． 【变式9-1】如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，． (1)求的值； (2)求的最小值，并求此时，的值． 【变式9-2】如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【变式9-3】如图，在中，点，分别是，边的中点，，分别与分别交于点，两点，你能发现，，之间的大小关系吗？用向量方法证明你的结论. 【变式9-4】如图所示，中，，D为AB中点，E为CD上一点，且，AE的延长线与BC的交点为F. （1）用向量与表示； （2）用向量与表示，并求出和的值. 题型十：求两向量的数量积 【典例10-1】在平行四边形中，过点作的垂线，垂足为，且，则 . 【典例10-2】已知向量和的夹角为，且，，则 . 【方法技巧与总结】 求平面向量数量积的方法 计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 【变式10-1】在中，已知，若，且，则 ． 【变式10-2】向量，满足，，，那么 . 【变式10-3】已知向量满足，则 . 题型十一：向量的模和夹角的计算问题 【典例11-1】已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 【典例11-2】已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 【方法技巧与总结】 （1）求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方． （2）求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找三者之间的关系，然后代入求解． 【变式11-1】已知向量与的夹角，且. (1)求； (2)求与的夹角的余弦值. 【变式11-2】如图，在平行四边形中，已知，，，点为的中点，点为边上的动点，，相交于点，设，.    (1)若点为边上的中点， （i）用，表示，； （ii）求，，，及的余弦值； (2)求的取值范围. 题型十二：与垂直有关的问题 【典例12-1】已知，，. (1)求的值； (2)当为何值时，与垂直？ 【典例12-2】已知，. (1)若，求； (2)若与垂直，求当为何值时，? 【方法技巧与总结】 解决有关垂直问题时利用（，为非零向量）． 【变式12-1】如图，在中，已知P为线段AB上的一点，，，且与的夹角为．    (1)若，求； (2)若，且，求实数λ的值． 【变式12-2】已知，且. (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值. 【变式12-3】已知两个不共线的向量的夹角为，且为正实数 (1)若与垂直，求； (2)若，求的最小值，并证明此时与垂直. 1．已知向量，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列关于向量的线性运算，不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 6．在四边形中，，，，若，不共线，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 7．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 8．在中，，，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）设是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）在中，下列说法正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若G是的重心，则 C．若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 D．已知，，则的最大值为10 12．在矩形中，已知，，为的中点，且，则 ． 13．已知向量，的模分别为2，1，且，则 . 14．已知为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则的取值范围是 . 15．已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 16．已知，，． (1)求向量与的夹角； (2)当向量与的模相等时，求实数的值． 17．在平行四边形ABCD中，，，若M，N分别是边BC，CD所在直线上的点，且满足，，.    (1)当，时，求向量和夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$