期末强化练07 指数与指数函数小题20种常考题型总结（60题）-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 期末强化练07 指数与指数函数小题20种常考题型总结（60题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根式的化简求值 题型二 指数幂的运算 题型三 根据函数是指数函数求参数 题型四 求指数函数解析式 题型五 判断指数型函数的图象形状 题型六 根据指数型函数图象判断参数的范围 题型七 指数型函数图象过定点问题 题型八 指数函数图像应用 题型九 指数函数的定义域 题型十 指数函数的值域 题型十一 根据指数函数的值域或最值求参数 题型十二 判断指数函数的单调性 题型十三 由指数（型）的单调性求参数 题型十四 比较指数幂的大小 题型十五 由指数函数的单调性解不等式 题型十六 求已知指数型函数的最值 题型十七 根据指数函数的最值求参数 题型十八 含参指数函数的最值 题型十九 指数函数最值与不等式的综合问题 题型二十 指数函数模型的应用 1.指数幂的运算 2.有关指数函数图象问题的解题策略 （1）已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足，则排除； （2）对于指数（型）函数图象的问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所求函数的图象.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 3.比较指数式大小的方法 （1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； （2）不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小. 4.解指数方程或不等式的依据及方法 （1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a＜1时，等价于f（x）＜g（x）； （2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解. 5.指数型函数问题的求解策略 涉及指数型函数性质的综合问题时，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 题型一 根式的化简求值 1．（23-24高一上·浙江·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·四川雅安·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·云南昭通·期末） . 题型二 指数幂的运算 4．（23-24高二下·浙江·期末）若满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·重庆·期末）化简： . 6．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算 . 题型三 根据函数是指数函数求参数 7．（23-24高一上·广西河池·期末）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 8．（23-24高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 9．（2023·上海金山·一模）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 . 题型四 求指数函数解析式 10．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知指数函数且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 11．（23-24高一上·福建泉州·期末）对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . 12．（23-24高一上·广东广州·期末）已知指数函数和幂函数的图象都过点，若，则 ． 题型五 判断指数型函数的图象形状 13．（23-24高二下·天津滨海新·期末）如图所对应的函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·河北保定·二模）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．       D．       15．（23-24高一上·江西萍乡·期末）若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（    ） A．  B．  C．     D．   题型六 根据指数型函数图象判断参数的范围 16．（20-21高三上·安徽·期末）已知函数的图像如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（21-22高一上·天津和平·期中）若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 18．（17-18高一上·北京西城·期中）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 题型七 指数型函数图象过定点问题 19．（19-20高一上·四川成都·期末）已知函数，且的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·新疆·期末）函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·福建莆田·期末）对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 题型八 指数函数图像应用 22．（21-22高三上·河南驻马店·期末）已知函数，若关于x的方程有2个不同的实根，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·浙江·期末）已知函数，则其图象一定不过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型九 指数函数的定义域 25．（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 27．（22-23高一上·浙江杭州·期末）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 题型十 指数函数的值域 28．（2023·广东广州·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 29．（23-24高一上·北京平谷·期末）函数的定义域为．则其值域为（    ） A． B． C． D． 30．（22-23高一上·辽宁丹东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型十一 根据指数函数的值域或最值求参数 31．（23-24高一上·河南新乡·期末）若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 32．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（2023高三·全国·专题练习）如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 题型十二 判断指数函数的单调性 34．（23-24高二下·天津滨海新·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二下·北京通州·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 36．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型十三 由指数（型）的单调性求参数 37．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 38．（2010·吉林·一模）若函数是上的单调函数，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十四 比较指数幂的大小 40．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高一上·北京·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 42．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型十五 由指数函数的单调性解不等式 43．（23-24高一上·天津·期末）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，则不等式的解集为 ． 45．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 题型十六 求已知指数型函数的最值 46．（23-24高一下·河南新乡·期末）函数的最大值为 . 47．（19-20高一上·浙江温州·期中）已知，设函数的最大值为，最小值为，那么（   ） A．2025 B．2022 C．2020 D．2019 48．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）函数的最小值为 ，此时 ． 题型十七 根据指数函数的最值求参数 49．（23-24高一上·云南·期末）已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 50．（23-24高一上·江西宜春·期末）设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 51．（21-22高一上·陕西渭南·期中）若指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则（    ） A． B．1 C．或2 D．2 题型十八 含参指数函数的最值 52．（21-22高三上·河北衡水·期末）已知函数，若时，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 53．（20-21高一上·云南玉溪·期末）已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 54．（22-23高一上·北京·期末）函数在区间上的最小值是，则的值是 . 题型十九 指数函数最值与不等式的综合问题 55．（23-24高二上·上海·期末）若不等式对任意都成立，则实数的最大值为 . 56．（22-23高一上·四川眉山·期末）已知为偶函数，为奇函数，且满足：．若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为 ． 57．（2022·福建龙岩·一模）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是 ． 题型二十 指数函数模型的应用 58．（23-24高一上·河南开封·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余 %的污染物含量. 59．（22-23高一下·江苏镇江·开学考试）已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）近似满足函数关系（a，b为常数，e为自然对数底数），若该果蔬在7℃的保鲜时间为216小时，在28℃的有效保鲜时间为8小时，那么在14℃时，该果蔬的有效保鲜时间大约为 小时. 60．（22-23高一上·河北保定·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常数.若将62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，可测得1min以后物体的温度是52℃，由此可求出的值约为0.24.现将55℃的物体，放在15°C的空气中冷却，则开始冷却 分钟（精确0.01）后物体的温度是35℃.（参考数据：） $$2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 期末强化练07 指数与指数函数小题20种常考题型总结（60题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根式的化简求值 题型二 指数幂的运算 题型三 根据函数是指数函数求参数 题型四 求指数函数解析式 题型五 判断指数型函数的图象形状 题型六 根据指数型函数图象判断参数的范围 题型七 指数型函数图象过定点问题 题型八 指数函数图像应用 题型九 指数函数的定义域 题型十 指数函数的值域 题型十一 根据指数函数的值域或最值求参数 题型十二 判断指数函数的单调性 题型十三 由指数（型）的单调性求参数 题型十四 比较指数幂的大小 题型十五 由指数函数的单调性解不等式 题型十六 求已知指数型函数的最值 题型十七 根据指数函数的最值求参数 题型十八 含参指数函数的最值 题型十九 指数函数最值与不等式的综合问题 题型二十 指数函数模型的应用 1.指数幂的运算 2.有关指数函数图象问题的解题策略 （1）已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足，则排除； （2）对于指数（型）函数图象的问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所求函数的图象.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 3.比较指数式大小的方法 （1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； （2）不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小. 4.解指数方程或不等式的依据及方法 （1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a＜1时，等价于f（x）＜g（x）； （2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解. 5.指数型函数问题的求解策略 涉及指数型函数性质的综合问题时，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 题型一 根式的化简求值 1．（23-24高一上·浙江·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】直接由必要条件、充分条件的定义以及分数指数幂的运算化简即可判断. 【详解】由题意，即， 而“”是“”的必要而不充分条件，所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 2．（23-24高一上·四川雅安·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得，则， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 3．（23-24高一上·云南昭通·期末） . 【答案】1 【分析】由根式的运算性质求解即可. 【详解】. 故答案为：1 题型二 指数幂的运算 4．（23-24高二下·浙江·期末）若满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两边底数化为同样，得到，对应相等，得出方程，解方程即可. 【详解】，得，得，得，解得. 故选：C. 5．（23-24高一上·重庆·期末）化简： . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 6．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算 . 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 题型三 根据函数是指数函数求参数 7．（23-24高一上·广西河池·期末）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合指数函数定义求出即可计算得解. 【详解】由指数函数的图象经过点，得，解得， 所以. 故选：A 8．（23-24高一上·天津河西·期末）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【详解】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 9．（2023·上海金山·一模）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于的不等式，求解不等式即可得到结果. 【详解】由已知可得，且. 又时，， 即 ， 所以有，即， 解得或. 故答案为：或. 题型四 求指数函数解析式 10．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知指数函数且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数值求出，再求函数值即可. 【详解】， 故选：A. 11．（23-24高一上·福建泉州·期末）对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . 【答案】 【分析】由题意首先得，然后代入得，由此即可得解. 【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以，所以， 所以， 又的图象也过点， 所以，又，解得， 所以. 故答案为：. 12．（23-24高一上·广东广州·期末）已知指数函数和幂函数的图象都过点，若，则 ． 【答案】/0.25 【分析】根据指数函数、幂函数的知识求得和，通过解方程求得，由此求得正确答案. 【详解】依题意，设，， 代入得，，解得. 所以，，由，， 解得：，所以. 故答案为：. 题型五 判断指数型函数的图象形状 13．（23-24高二下·天津滨海新·期末）如图所对应的函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例说明A错误，利用奇偶性并综合排除法判断BCD即可得解. 【详解】对于A，当趋于0时，趋于，对比题图可知，A不符合题意； 对于B，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于轴对称，与题图不符，B不符合题意； 对于D，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于轴对称，与题图不符，D不符合题意； 对于C，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于原点对称，与题图相符，经检验，C符合题意. 故选：C. 14．（2024·河北保定·二模）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．       D．       【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性判断即可. 【详解】设，则， 所以为奇函数， 设，可知为偶函数， 所以为奇函数，则B，C错误， 易知，所以A正确，D错误． 故选：A. 15．（23-24高一上·江西萍乡·期末）若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（    ） A．  B．  C．     D．   【答案】D 【分析】首先由平移法则得函数表达式，结合指数函数图象与性质即可判断. 【详解】由题意可知图象上的点变换成点， 意味着函数的图象向右平移一个单位且向下平移2个单位， 此时对应的函数解析式为， 若，则时，且单调递减，时，且单调递增， 对比选项可知D选项符合题意. 故选：D. 题型六 根据指数型函数图象判断参数的范围 16．（20-21高三上·安徽·期末）已知函数的图像如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像分析可知，根据指数函数和对数函数的单调性，即可判断不等式的正误. 【详解】解：函数的图像可由函数的图像向下平移个单位长度得到，由图可知，. 对于A，，，A选项正确； 对于B，，，，B选项正确； 对于C，，，，C选项正确; 对于D，，，D选项错误； 故选：D. 17．（21-22高一上·天津和平·期中）若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】依据函数的图象的单调性，先确定出，在结合，得到，即可求解. 【详解】由函数的图像，可得函数为单调递增函数，所以， 又由，可得，可得， 结合选项，只有C项适合. 故选：C. 18．（17-18高一上·北京西城·期中）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论． 【详解】解：如图所示，图象与轴的交点在轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． 题型七 指数型函数图象过定点问题 19．（19-20高一上·四川成都·期末）已知函数，且的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意先得定点，再求出幂函数表达式即可得解. 【详解】，,则设，则，解得，则， 故选：A. 20．（23-24高一上·新疆·期末）函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据且恒成立可解决此题． 【详解】由函数（且） 令，即， 可得， 所以函数的图象恒过定点． 故选：A． 21．（23-24高一上·福建莆田·期末）对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的图象特点确定的图象所过定点坐标，结合正切函数的定义，即可求得答案. 【详解】对于函数，令， 故的图象过定点， 由于点在角的终边上，则， 故选：B 题型八 指数函数图像应用 22．（21-22高三上·河南驻马店·期末）已知函数，若关于x的方程有2个不同的实根，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为“与的图象有个不同的交点,且交点横坐标异号”，然后结合图象求解出的取值范围. 【详解】关于的方程有2个不同的实根直线与的图象有2个不同的交点，且交点横坐标异号； 在同一平面直角坐标系中画出与的图象，如图所示， 当经过时，且此时斜率为，由此逆时针旋转直线至靠近轴都可满足要求， 由图可知，即， 故选：C. 23．（23-24高一下·广东揭阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，，由其单调性结合图象得出大小关系. 【详解】构造函数，， 所以，， 因为均为上增函数，则函数，为增函数. 函数，与函数的图象，如下图所示： 由图可知，. 又，， 所以. 综上，. 故选：C 24．（23-24高二下·浙江·期末）已知函数，则其图象一定不过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】计算出，，，判断出图象过第一，第四，第三象限，得到答案. 【详解】因为，取，得，所以在第一象限有图象， 取，得，所以在第四象限有图象， 取，得，所以在第三象限有图象． 由排除法知图象不过第二象限． 故选：B． 题型九 指数函数的定义域 25．（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 函数定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足，解得. 所以该函数的定义域为. 故选：B. 26．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数有意义的条件计算即可得. 【详解】由题意可知，，解得且； 故该函数定义域为. 故选：B. 27．（22-23高一上·浙江杭州·期末）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为； 对于B选项，函数的定义域为； 对于C选项，函数的定义域为； 对于D选项，函数的定义域为. 故选：B. 题型十 指数函数的值域 28．（2023·广东广州·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义域、指数函数的值域求得,，进而求得. 【详解】由，解得，所以， 而，所以， 所以. 故选：C 29．（23-24高一上·北京平谷·期末）函数的定义域为．则其值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，结合指数函数单调性即可求解. 【详解】由题意，所以，. 故选：C. 30．（22-23高一上·辽宁丹东·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求出的范围，根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】依题意， 令，则， 因为单调递减，且 所以， 所以. 故选：A. 题型十一 根据指数函数的值域或最值求参数 31．（23-24高一上·河南新乡·期末）若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据对数函数的单调性求出函数的值域，再分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上的值域为， 当时，在上单调递减，则，解得， 则，得， 当时，在上单调递增，则，解得或（舍去）， 则，得， 综上，或. 故选：A. 32．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数型函数和分式型函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，函数单调递增，故有， 此时函数的值域为， 当时，函数单调递减，故有， 此时函数的值域为， 要想函数的值域为， 只需， 故选：B 33．（2023高三·全国·专题练习）如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】D 【分析】利用换元法，令，转化为二次函数，根据单调性及在区间上的最大值是，求出的值即可. 【详解】令，则． 当时，因为，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得（舍去）． 当时，因为，所以， 又函数在上单调递增， 则， 解得（舍去）． 综上知或． 故选：D. 题型十二 判断指数函数的单调性 34．（23-24高二下·天津滨海新·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式，直接判断函数的单调性即可． 【详解】对于A，二次函数对称轴为，所以在单调递减，在单调递增，故A错误； 对于B，由对数函数的单调性得，在上单调递增，故B错误； 对于C，当时，，由指数函数单调性得，在上单调递减，故C正确； 对于D，因为和在上单调递增，故在上单调递增，故D错误； 故选：C． 35．（23-24高二下·北京通州·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数、二次函数单调性判断AB；利用指数、对数函数单调性判断CD. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上单调递减，B不是； 对于C，函数在上单调递增，C是； 对于D，函数在上单调递减，D不是. 故选：C 36．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论的单调性，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则的图象为： 可知在上单调递增； 若，则的图象为： 可知在上单调递减； 综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件. 故选：C． 题型十三 由指数（型）的单调性求参数 37．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，可知内层函数在上单调递减，且，结合复合函数法可得出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围. 【详解】令，因为且，则内层函数在上单调递减， 且，可得， 因为函数且在区间上单调递增， 则外层函数为减函数，所以，， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 38．（2010·吉林·一模）若函数是上的单调函数，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数以及一次函数的单调性，结合分段函数单调性即可分类求解. 【详解】①函数单调性递增， 则满足，即 ， 解得. ②若函数单调性递减， 则满足即，此时无解. 综上实数取值范围为：. 故选：D. 39．（23-24高一上·福建福州·期末）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 故选：A 题型十四 比较指数幂的大小 40．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可判断，根据，即可求解. 【详解】由于，， 故， 又，故， 故选：B 41．（24-25高一上·北京·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，判断大致范围即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以. 故选：C 42．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数单调性判断大小，利用对数函数单调性判断的符号，然后可得. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C 题型十五 由指数函数的单调性解不等式 43．（23-24高一上·天津·期末）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知的取值范围. 【详解】因为，所以， ，即 ， 当时，有最小值， ， 故选：A 44．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意分和两种情况，结合指数函数单调性解不等式即可. 【详解】因为， 若，则，即，解得； 若，则，解得； 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：. 45．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性化简不等式，由此求得不等式的解集. 【详解】在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则由得，解得，即不等式的解集为． 故答案为： 题型十六 求已知指数型函数的最值 46．（23-24高一下·河南新乡·期末）函数的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据二次函数的性质得，再由指数函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 故函数的最大值为4. 故答案为：4. 47．（19-20高一上·浙江温州·期中）已知，设函数的最大值为，最小值为，那么（   ） A．2025 B．2022 C．2020 D．2019 【答案】B 【分析】由指数函数与反比例函数的单调性，根据复合函数的单调性，求得最值，可得答案. 【详解】由，则在上单调递增， 所以，，. 故选：B. 48．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）函数的最小值为 ，此时 ． 【答案】 0 1 【分析】化简为，即可确定时，取得最小值．再结合，的图象即可求得取值小值时x的值. 【详解】由题意得， 当时，取得最小值0． 作出函数，的图象， 可知，的图象只有一个交点，且， 故结合图象可知交点的横坐标为1，所以方程的解为． 故答案为：0；1 题型十七 根据指数函数的最值求参数 49．（23-24高一上·云南·期末）已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得，然后对进行分类讨论，结合函数的单调性列方程来求得的值. 【详解】由奇函数的性质可知，，∴，∴，经检验，符合题意， ∴，当时，在上单调递增， ∴，解得或（舍去）； 当时，在上单调递减， ∴，解得或（舍去）. 综上所述，或. 故选：A 50．（23-24高一上·江西宜春·期末）设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 【答案】C 【分析】首先换元令，则函数等价于，根据题意能取到，分 和两种情况讨论即可. 【详解】设，则函数等价于， 因为函数函数在区间上的最小值为－8， 所以能取到， 当时，， 所以，可得， 当时，， 所以，可得， 故选：C 51．（21-22高一上·陕西渭南·期中）若指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则（    ） A． B．1 C．或2 D．2 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性求出最值，即可得出答案. 【详解】解：当时，函数为增函数， 则， 故，解得或（舍去）， 当时，函数为减函数， 则， 故，无解， 综上，. 故选：D. 题型十八 含参指数函数的最值 52．（21-22高三上·河北衡水·期末）已知函数，若时，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式转化为，然后再求最值即可. 【详解】不等式可化为，有，有，当时，（当且仅当时取等号），，故有． 故选：C 53．（20-21高一上·云南玉溪·期末）已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，先求得，把不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数的值域为，可得函数的最大值为， 当时，函数显然不存在最大值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有最大值，即，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 此时函数无最大值， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 由在上恒成立，可得； 由在上恒成立，即在上恒成立，可得； 由在上恒成立，即在上恒成立， 令，可得函数在上单调递增，所以，即， 综上可得，即实数的取值范围是. 故选：A. 54．（22-23高一上·北京·期末）函数在区间上的最小值是，则的值是 . 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，结合复合函数单调性即可求解. 【详解】令，则，其对称轴为， 当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，解得， 当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，解得. 综上，所以或. 故答案为：或 题型十九 指数函数最值与不等式的综合问题 55．（23-24高二上·上海·期末）若不等式对任意都成立，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】由参变量分离法可知，对任意的恒成立，求出函数在上的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为不等式对任意都成立，则， 因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 所以，当时，，所以，， 因此，实数的最大值为. 故答案为：. 56．（22-23高一上·四川眉山·期末）已知为偶函数，为奇函数，且满足：．若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由为偶函数，为奇函数，构造方程组，分别解出和的解析式，代入不等式中，利用换元法求出函数的最值，可得实数的范围． 【详解】为偶函数，为奇函数，，即 又，解得， 时，等价于， 化简得，， 令，则，在上单调递增， 当时， 则实数的最大值为 故答案为： 57．（2022·福建龙岩·一模）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解. 【详解】由题意得：有解 令 有解，即有解，显然无意义 ,当且仅当，即时取等， 故答案为：. 题型二十 指数函数模型的应用 58．（23-24高一上·河南开封·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余 %的污染物含量. 【答案】 【分析】根据所给函数模型，代入后整体计算即可得解. 【详解】因为前5h消除了的污染物， 所以，解得， 当经过10h后，， 所以10h后剩余的污染物含量. 故答案为： 59．（22-23高一下·江苏镇江·开学考试）已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）近似满足函数关系（a，b为常数，e为自然对数底数），若该果蔬在7℃的保鲜时间为216小时，在28℃的有效保鲜时间为8小时，那么在14℃时，该果蔬的有效保鲜时间大约为 小时. 【答案】72 【分析】根据题意列出方程组，求出，确定函数解析式，再代入求值即可. 【详解】由题意得：，①÷②得：，故， 则，，故 故当时，. 故答案为：72 60．（22-23高一上·河北保定·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常数.若将62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，可测得1min以后物体的温度是52℃，由此可求出的值约为0.24.现将55℃的物体，放在15°C的空气中冷却，则开始冷却 分钟（精确0.01）后物体的温度是35℃.（参考数据：） 【答案】2.89 【分析】根据所给数据代入方程即可求得结果. 【详解】由题意可知，，， 代入方程得即， 两边取对数得， 由参考数据可知， 所以， 故答案为：2.89 $$