精品解析：广东省广州市2024-2025学年上学期八年级期末数学培优训练卷

2024-2025学年第一学期广东省广州市八年级期末数学培优训练卷 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 在以下图形中，不是轴对称图形是（ ）． A. B. C. D. 2. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A. x≤2 B. x≥2 C. x＜2 且x≠0 D. x≤2且x≠0 3. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，下列选项补充的条件中，能证明的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点与点关于x轴对称，则点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，BC，AE是锐角的高，相交于点D，若，，，则BD的长为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 如图，在平面直角坐标中，，，平分，点关于x轴的对称点是（ ）． A B. C. D. 9. 现有一张边长为a的大正方形卡片和两张边长为b的小正方形卡片（）． 如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2和图3，已知图2中的阴影部分的面积与图3中的阴影部分的面积相等，则a，b满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（　　） ①△CDF≌△EBC； ②△CEF是等边三角形； ③∠CDF＝∠EAF； ④CE∥DF A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 12. 等腰三角形两边长和，则三角形周长为____． 13. 如图，在 中，，是的垂直平分线，若，则的周长为______． 14. 学习新知时，我们利用图形的拼接得到完全平方公式，小红也想探究一下图形的奥秘，她利用四块长为，宽为的长方形纸片，拼成如图形状．观察图片，写出代数式，，之间的等量关系______； 15. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧分别交于E、F，画直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，的面积为15，则长度的最小值为______． 16. 如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①；②；③AF平分；④．其中正确结论的有______．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 20. 如图，、是四边形的对角线上两点，，，．求证： （1）． （2）． 21. 计算： （1）． （2）先化简，若的取值范围是，且为整数，求该式的值． 22. 某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多元，已知用元购进的足球和用元购进的篮球数量相等． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）若篮球售价为每个元，足球售价为每个元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多个，且获利超过元，问篮球最少要卖多少个？ 23. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE． （1）请证明图1的结论成立； （2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数； （3）如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 24. 问题情境：在学习《图形平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D在运动过程中，的周长最小值=__________（直接写答案） 25. 如图，点A、B分别是x轴、y轴上的两个动点，以B为直角顶点，以为腰作等腰． （1）如图①，若点C的横坐标为2，点B的坐标为________； （2）如图②，过C作轴于点D，连接．求的大小； （3）如图③，移动点A，B的位置，使x轴恰好平分，交x轴于点M，试猜想线段之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期广东省广州市八年级期末数学培优训练卷 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 在以下图形中，不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可． 【详解】由分析可知，已知图形中不属于轴对称图形的是图形D． 故选D． 【点睛】掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A. x≤2 B. x≥2 C. x＜2 且x≠0 D. x≤2且x≠0 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且． 故选：D 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数是非负数． 3. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的判断，把一个多项式转化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意； 故选C． 4. 如图，，，下列选项补充的条件中，能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定，根据得到，根据得到，结合三角形全等判定即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 当符合角角边定理， 当，，均不满足三角形全等的判定， 故选：A． 5. 若点与点关于x轴对称，则点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了关于y轴、x轴对称的点的坐标，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点与点关于x轴对称， 则，， ∴，， ∴， ∵点关于y轴对称点， ∴． 故选：A． 6. 如图所示，BC，AE是锐角的高，相交于点D，若，，，则BD的长为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出，再根据同角的余角相等得出，根据AAS证明，最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案． 【详解】BC，AE是锐角的高 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 7. 如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标中，，，平分，点关于x轴的对称点是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过B点作轴于点C，则，即，写出B点坐标，最后求出关于x轴的对称点的坐标． 【详解】解：如图，过B点作轴于点C ∵ ∴ ∵平分， ∴ 又∵ ∴ ∴ 即: 解得： ∴ ∴关于x轴的对称点是 故选C 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平面直角坐标系点的对称，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9. 现有一张边长为a的大正方形卡片和两张边长为b的小正方形卡片（）． 如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2和图3，已知图2中的阴影部分的面积与图3中的阴影部分的面积相等，则a，b满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查数形结合，利用代数式表示阴影部分面积，再结合完全平方公式和整式的加减运算即可求得答案． 【详解】解：图2中阴影部分的面积可表示为，图3中阴影部分的面积可表示为， ∵图2中的阴影部分的面积与图3中的阴影部分的面积相等， ∴，化解得， 故选：A． 10. 如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（　　） ①△CDF≌△EBC； ②△CEF是等边三角形； ③∠CDF＝∠EAF； ④CE∥DF A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用“边角边”证明△CDF和△EBC全等，判定①正确；同理求出△CDF和△EAF全等，根据全等三角形对应边相等可得，判定△ECF是等边三角形，判定②正确；利用“8字型”判定③正确；若，则C、F、A三点共线，故④错误；即可得出答案． 【详解】在中，，，， ∵都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ， ∴， 在和中，， ∴，故①正确； 在中，设AE交CD于O，AE交DF于K，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； 则， 若时， 则， ∵， ∴， 则C、F、A三点共线 已知中没有给出C、F、A三点共线，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是能通过题目所给的条件以及选用合适的判定三角形全等的方法证明． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标，根据平面直角坐标系中任意一点，关于x轴的对称点的坐标是，关于y轴对称的点的坐标为，从而得出答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 等腰三角形两边长为和，则三角形周长为____． 【答案】18或21 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．此类题不要漏掉一种情况，同时注意看是否符合三角形的三边关系． 分情况考虑：当5是腰时或当8是腰时，然后分别求出两种情况下的周长． 【详解】解：当5是腰时，能组成三角形，周长为 ； 当8是腰时，能组成三角形，则三角形的周长是 ． 故答案为：21或18． 13. 如图，在 中，，是的垂直平分线，若，则的周长为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，又，， ∴的周长为， 故答案为：20． 14. 学习新知时，我们利用图形的拼接得到完全平方公式，小红也想探究一下图形的奥秘，她利用四块长为，宽为的长方形纸片，拼成如图形状．观察图片，写出代数式，，之间的等量关系______； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查乘法公式与图形面积关系，根据图形面积及面积和找到关系式， 【详解】解：由图形面积得： ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧分别交于E、F，画直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，的面积为15，则长度的最小值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】如图，连接，，利用三角形的面积公式求出，再根据两点之间线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可求解． 【详解】解：如图，连接，． ∵，D为的中点， 根据等腰三角形三线合一的性质， ， ， ， 垂直平分线段， ， ， 的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，两点之间线段最短、等腰三角形的性质，解题的关键是学会利用垂线段最短来解决最值问题． 16. 如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①；②；③AF平分；④．其中正确结论的有______．（注：把你认为正确的答案序号都写上） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可判断①②，再证明结合角平分线的性质可判断③，由AF平分逆向推导出与题干互相矛盾的结论，可判断④，从而可得答案． 【详解】解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O． ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴EC=BD，∠BDA=∠AEC，故①符合题意； ∵∠DOF=∠AOE， ∴∠DFO=∠EAO=90°， ∴BD⊥EC，故②符合题意， ∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC， ∴AM=AN， ∴FA平分∠EFB，而 ∴∠AFE=45°，故④符合题意， 若③成立，则∠EAF=∠BAF， ∵∠AFE=∠AFB， ∴∠AEF=∠ABD=∠ADB，推出AB=AD， 由题意知，AB不一定等于AD， 所以AF不一定平分∠CAD，故③不符合题意， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理的应用，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查用提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． （1）先提公因式，再运用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，再运用完全平方公式分解因式即可． 【17题详解】 解：原式； 【18题详解】 解：原式． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及多项式乘以多项式、平方差公式等知识，灵活掌握整式加减乘法运算法则是解决问题的关键． （1）利用多项式乘以多项式法则，再由整式加减合并同类项即可得到答案； （2）根据整式结构特征，利用整式乘法中的平方差公式逐步求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）1 【解析】 【分析】本题考查作轴对称图形、最短路径问题、代数式求值，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． （1）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数得到对应点，再顺次连接即可画出对称图形； （2）找到点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，由图知点P坐标； （3）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于a、b的方程，求得a、b值代入求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作： 【小问2详解】 解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小， 由图知，； 【小问3详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 20. 如图，、是四边形的对角线上两点，，，．求证： （1）． （2）． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键； （1）由推导出，由，证明，根据“”证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得；则． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 在和中 ， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， ． 21. 计算： （1）． （2）先化简，若的取值范围是，且为整数，求该式的值． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】（1）先根据乘法公式计算，合并同类项后，再利用多项式的除法计算即可； （2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行通分进行分式的减法运算，得到最简结果，把合适的x的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ，， ∵，且为整数， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，分式的化简求值．解（2）题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 22. 某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多元，已知用元购进的足球和用元购进的篮球数量相等． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）若篮球售价为每个元，足球售价为每个元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多个，且获利超过元，问篮球最少要卖多少个？ 【答案】（1）足球单价为元，篮球单价为元； （2）获利超过元，篮球最少要卖31个． 【解析】 【分析】（）利用分式方程即可求出篮球和足球的单价； （）设购买篮球个，则购买足球个，根据题意列不等式即可； 本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，解题的关键是弄清题意找准等量关系和不等量关系，正确列出方程和不等式． 【小问1详解】 解：设足球单价为元，则篮球单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 则， 答：足球单价为元，篮球单价为元； 【小问2详解】 解：设购买篮球个，则购买足球个， 由题意得：， 解得， ∵为整数， ∴篮球最少要卖个， 答：获利超过元，篮球最少要卖个． 23. 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE． （1）请证明图1的结论成立； （2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数； （3）如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2）60° （3）∠A+∠BCD=180°，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出∠ADB=∠AEC，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，即可得出答案； （3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出结论． 【小问1详解】 解：证明：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； 【小问2详解】 如图2， ∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB=∠AEC， 令AD与CE交于点G， ∵∠AGE=∠DGO， ∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE， ∴∠DOE=∠DAE=60°， ∴∠BOC=60°； 【小问3详解】 ∠A+∠BCD=180°．理由： 如图3，延长DC至P，使DP=DB， ∵∠BDC=60°， ∴△BDP是等边三角形， ∴BD=BP，∠DBP=60°， ∵∠ABC=60°=∠DBP， ∴∠ABD=∠CBP， ∵AB=CB， ∴△ABD≌△CBP（SAS）， ∴∠BCP=∠A， ∵∠BCD+∠BCP=180°， ∴∠A+∠BCD=180°． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键． 24. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D在运动过程中，的周长最小值=__________（直接写答案） 【答案】（1），证明见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）连接，由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，所以的周长，所以当最小时，的周长最小，最小值，所以当时，最小，此时的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 解：， 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 小问2详解】 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【小问3详解】 解：连接，如图， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴ 由（1）知 ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小，最小值， ∴当时，最小，此时的周长最小， ∵，等边， ∴， 由勾股定理，得 ∴的周长最小值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 如图，点A、B分别是x轴、y轴上两个动点，以B为直角顶点，以为腰作等腰． （1）如图①，若点C的横坐标为2，点B的坐标为________； （2）如图②，过C作轴于点D，连接．求的大小； （3）如图③，移动点A，B的位置，使x轴恰好平分，交x轴于点M，试猜想线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）过点C作y轴垂线轴，证明，推出，可得结论； （2）过C作轴于点E，则，证明为等腰直角三角形，再求解即可； （3），点P在x轴上，交y轴于点N，先证明，可得，再证明，可得，再求解即可． 【小问1详解】 过点C作y轴垂线轴，即（即C点横坐标为2） ∵， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴B坐标为； 【小问2详解】 ∵由①得，， ∵过C作轴于点E，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【小问3详解】 ∵在与中， 作，点P在x轴上，交y轴于点N ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$