专题03 圆内世界的奥秘：范围界定与最值求解（8大题型）-【寒假分层作业】2025年高二数学寒假培优练（苏教版2019）

专题03 圆内世界的奥秘：范围界定与最值求解 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一：斜率型 题型二：直线型 题型三：距离型 题型四：周长面积型 题型五：长度型 题型六：坐标型 题型七：阿氏圆距离最值型 题型八：角度型 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 圆中的范围与最值问题 1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题 2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略： （1）数形结合 （2）多与圆心联系 （3）参数方程 （4）代数角度转化成函数值域问题 斜率型 1．实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．0 2．如果实数，满足等式，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包部边界）的动点．则的最小值为（   ） A．-1 B． C． D． 4．已知实数x、y满足方程，则的最大值为（   ） A．0 B． C．4 D． 5．已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 直线型 1．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为 ，的最大值为 ． 2．若满足关系式，则的最大值为_________； 3．已知点是圆上任意一点.则的最大值是 . 4．已知实数满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 距离型 1．已知直线恒过点，圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　） A．＋2，－2 B．＋2， C．，－2 D．， 3．若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知点，， 为平面上一动点且满足， 当实数变化时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 周长面积型 1．两点，点是圆上任意一点，则面积最小值是（） A． B． C． D． 2．已知圆，是轴上一个动点，过作圆的切线，切点为A，B，直线AB与轴相交于，则的面积最小值是（   ） A．2 B． C．3 D． 3．已知圆M：，P为x轴上的动点，过点P作圆M的切线切，，切点为A，B，则四边形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．2 D． 4．已知点是直线：上的动点，过点作圆：的两条切线，切点为，，则四边形面积的最小值是（   ） A． B．2 C． D．4 长度型 1．已知，且，则代数式的最小值为（   ） A． B．18 C．12 D．8 2．已知圆，直线，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．已知点O是坐标原点，点Q是圆 上的动点，点在直线上，则|的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 坐标型 1．已知向量，，满足，，，则的最小值为（    ） A．－1 B． C．2 D．1 2．已知为坐标原点，过点作直线（不完全为0）的垂线，垂足为M，当变化时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．3 3．已知直线和圆，点在直线上，若直线与圆至少有一个公共点，且，则点的横坐标的最大值是（    ） A． B．1 C．3 D．4 4．已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 阿氏圆距离最值型 1．已知点为直线：上的动点，点为圆：上的动点，若点，则的最小值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若且，则点的轨迹是圆. 后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，，，点在圆C：上运动，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 角度型 1．已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是 . 3．已知圆C：和两点，（），若圆C上存在点P，使得，则m的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知点，点在圆上运动，的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 1．已知是圆的直径，是圆上两点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．4 D． 3．已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．4 C．5 D．6 4．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最小值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 5．已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 6．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法错误的是（    ） A．轨迹的方程为 B．面积最大值为 C．若，则的最大值为 D．在上存在点，使得 7．在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最大值为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 8．已知圆是圆上的两个动点，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．已知实数满足，则的最大值为 . 10．在平面直角坐标系中，，若点P满足，则面积的最大值为 . 11．已知直线与圆交于A，B两点，则面积的最大值为 ． 12．已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是 . 13．已知圆，点，，点为圆上的动点，则的最大值是 . 1．已知点是圆上的两个动点，点是直线上动点，且，下列说法正确的是（   ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．长的最小值为 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 2．若过点的直线与圆交于M，N两点，则弦长的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 3．已知点，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A． B．9 C．5 D．6 4．已知点是坐标原点，点是圆上的动点，当动点在直线上运动时，的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．已知圆，直线，若与圆交于两点，设坐标原点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知实数x，y满足，则的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D．1 7．（多选题）已知，，是曲线上的任意一点，若的值与无关，则（   ） A．m的取值范围为 B．n的取值范围为 C．的最大值为7 D．的最小值为 8．（多选题）已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．直线被圆截得的弦长为 B．的最大值 C．的最大值为 D．的最大值为 9．（多选题）若圆：与圆：的交点为，，则（   ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．过点作圆：的切线方程为 D．若实数，满足圆：，则的最大值为2 10．已知，（，），动圆（）经过原点，且圆心在直线上.当直线的斜率取最大值时， . 11．已知点均在圆上，点是圆上的点，则圆的一般方程是 ，的最大值为 ． 12．如图，在中，，，P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，则当取最大值时， ． 13．在平面直角坐标系xOy中，点，，点满足.设点的轨迹为，给出下列四个结论： （1）当三点不共线时，面积的最大值为12； （2）在轴上存在异于的两定点使得； （3）当三点不共线时，射线是的平分线； （4）在上存在点，使得. 其中所有正确结论的序号是 . 14．已知点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为 . 15．已知实数满足，则的最大值为 ． 1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆内世界的奥秘：范围界定与最值求解 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一：斜率型 题型二：直线型 题型三：距离型 题型四：周长面积型 题型五：长度型 题型六：坐标型 题型七：阿氏圆距离最值型 题型八：角度型 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 圆中的范围与最值问题 1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题 2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略： （1）数形结合 （2）多与圆心联系 （3）参数方程 （4）代数角度转化成函数值域问题 斜率型 1．实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】可化为， 表示圆心为，半径为的圆. 表示圆上的点与点连线的斜率. 设过且与圆相切的直线为，即， 所以，化简可得，解得或， 由图可得的最大值为. 故选:A. 2．如果实数，满足等式，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为 画出图形 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小， 圆心，半径为 所以，解得或（舍）， 故选：D. 3．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包部边界）的动点．则的最小值为（   ） A．-1 B． C． D． 【答案】B 【解析】表示点与点连线的斜率， 由图可知过点且与以为圆心的半圆相切的一条切线的斜率最小，设切线方程为，即， 由，解得或， 所以的最小值是． 故选：B． 4．已知实数x、y满足方程，则的最大值为（   ） A．0 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】设，即， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或， 所以的最大值为， 故选：B 5．已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得：， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 的几何意义为该圆上的点与连线的斜率， 当过点的直线斜率不存在，即为时，与圆显然不相切； 设过点的圆的切线为，即， 圆心到切线的距离，解得：， ，则的最大值为. 故选：C. 直线型 1．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【解析】设，故，的几何意义为直线与轴交点的纵坐标， 且直线与有公共点， 其中是圆心为，半径为的圆， 故，解得， 故的最小值为； ， 可以看作上的点到直线的距离 与它到点的距离比值的2倍， 圆心到的距离为， 故直线与相交，且圆心在直线上方， 过点作⊥直线于点， 则，故， 当过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时， 此时取得最大值， 故取到最大值， 设直线为， 联立与得 ， 由得， 结合图形可知， 将代入中得， 解得， 将代入中得，故切点坐标为， 代入中得， 故的最大值为. 故答案为：， 2．若满足关系式，则的最大值为_________； 【答案】4 【解析】设，由得（*）， 所以，解得． 时，由（*）得，代入得，满足， 所以的最大值是4． 故答案为：4． 3．已知点是圆上任意一点.则的最大值是 . 【答案】/ 【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径为， 设，可知直线与圆有公共点， 则，解得， 所以的最大值是为. 故答案为：. 4．已知实数满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 设， 则， 故当时，， 故选：C 距离型 1．已知直线恒过点，圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，圆上的点到直线的距离可取到最大值，而， 所以，又圆的半径为2， 故圆上的点到直线的距离的最大值为． 故选：B. 2．已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　） A．＋2，－2 B．＋2， C．，－2 D．， 【答案】C 【解析】由，可知，， 且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示： 又因为表示半圆上的动点与点的距离， 又因为， 所以的最小值为， 当动点与图中点重合时，取最大值， 故选：C． 3．若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 即直线与圆相离，又点在该圆上， 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：A 4．在平面直角坐标系中，已知点，， 为平面上一动点且满足， 当实数变化时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 整理可得：， 点轨迹是以为圆心，半径的圆， ， 当时，， . 故选：B. 周长面积型 1．两点，点是圆上任意一点，则面积最小值是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】两点，则， 直线方程为， 圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 2．已知圆，是轴上一个动点，过作圆的切线，切点为A，B，直线AB与轴相交于，则的面积最小值是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径为，圆与轴相离，设点， 依题意，点在以为直径的圆上，又点在圆上， 两圆方程相减得直线的方程：，显然，点， 因此，当且仅当时取等号， 的面积，所以当或时，面积取得最小值3. 故选：C 3．已知圆M：，P为x轴上的动点，过点P作圆M的切线切，，切点为A，B，则四边形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】圆M的方程可化为， 所以x轴与圆M相离. 又，且和均为直角三角形， ，为圆的半径，且， 所以面积的最小值转化为求最小， 当垂直于x轴时，四边形面积取得最小值， 此时，所以四边形面积最小值为. 故选：B. 4．已知点是直线：上的动点，过点作圆：的两条切线，切点为，，则四边形面积的最小值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【解析】如图所示， 因为MC，MD都与圆相切，所以， 因为在Rt和Rt中，，OM为公共边， . 又因为， 所以当取得最小值时，面积最小， 此时四边形面积也取得最小值， 又由勾股定理，， 所以当取最小值时，最小. 由题意，当时，取得最小值，， 所以此时，， 故四边形面积的最小值. 故选：D. 长度型 1．已知，且，则代数式的最小值为（   ） A． B．18 C．12 D．8 【答案】D 【解析】 设与为圆上一点， 则，得， ，即为等腰直角三角形， 设为的中点，则， 得，即点在以为圆心，为半径的圆上， 故， 所以点到定点的距离的最小值为， 因此的最小值为. 故选：D 2．已知圆，直线，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆的圆心为，半径， 因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 设点C关于l的对称点为， 则，解得，即， 则， 所以的最小值为． 故选：C. 3．已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】如图： 因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 4．已知点O是坐标原点，点Q是圆 上的动点，点在直线上，则|的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【解析】设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 圆的圆心为，半径， ， 又，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：C. 坐标型 1．已知向量，，满足，，，则的最小值为（    ） A．－1 B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】由题意设，，， 则，即，且， 解得，或. 由可得 ，即， 则，即的终点在以为圆心，1为半径的圆上, 故. 由圆的对称性，不妨令，即， 如图，连接，交圆于， 由点与圆的位置关系可知，. 故选：A. 2．已知为坐标原点，过点作直线（不完全为0）的垂线，垂足为M，当变化时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】由直线，得， 由，解得，即直线恒过点， 设，， 当与都不重合时，，则， 当与之一重合时，有， 因此对任意点，恒有， 整理得，即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 而，所以. 故选：A 3．已知直线和圆，点在直线上，若直线与圆至少有一个公共点，且，则点的横坐标的最大值是（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由圆，可得， 所以圆心，半径， 设，由题意知圆心到直线的距离， 即，解得， 故点的横坐标的最大值为4. 故选：D． 4．已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【解析】，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 又P在圆C上，所以两圆有交点，则，而， 得． 故选：B 阿氏圆距离最值型 1．已知点为直线：上的动点，点为圆：上的动点，若点，则的最小值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】设，，则， 所以 ， 所以，， 过点作⊥，交圆于点， 故的最小值为， 所以的最小值为. 故选：C 2．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若且，则点的轨迹是圆. 后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，此时，交点为. 当时，由，斜率为， 由，斜率为，， 综上，. 又， 直线恒过， ， 直线恒过， 若为的交点，则，设点， 所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为， 即，则有. 又，易知O，Q在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取， 则，满足. 下面证明任意一点都满足，即， ， 又， ∴. 所以， 又， 所以， 如图，当且仅当三点共线，且位于之间时，等号成立 即最小值为. 故选：A. 3．已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线，直线，易知， 且分别过定点，取其中点，易知， 则P点在以C为圆心，3为半径的圆上，取点，连接, 不难发现，则，所以， 则， 当且仅当三点共线，且与线段和圆C的交点重合时取得等号. 故选：A. 4．在平面直角坐标系中，，，点在圆C：上运动，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】设存在定点，使得点在圆上运动时均有， 设，则有， 化简可得，①， 又因为，即，②， 将②代入①化简可得：， 即，解得，故， 所以， 所以， 当且仅当三点共线且在线段上时等号成立， 所以的最小值为， 故选：B. 角度型 1．已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，：的圆心，半径为2， 圆心到直线的距离为，即直线与相离， 则当PA，PB分别为圆的切线，且最小时，最大， 又，则最大，即最大，此时最小， 而，则， 所以的最小值为. 故选：D 2．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大.”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆与射线的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是 . 【答案】2 【解析】因为则线段的中点坐标为，易知， 则经过、两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上， 设圆心为，则圆的方程为， 当取最大值时，圆必与轴相切于点（由题中结论得）， 则此时的坐标为， 代入圆的方程得，解得或， 即对应的切点分别为和， 因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大， 又过点、、的圆的半径大于过点、、的圆的半径， 所以，故点为所求，即点的横坐标为. 故答案为：2 3．已知圆C：和两点，（），若圆C上存在点P，使得，则m的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】显然，因为，所以， 所以要求的最小值即求圆上点到原点的最小距离， 因为，所以，即的最小值为. 故选：C 4．已知点，点在圆上运动，的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图， 过点向圆引两条切线，切点分别为， 则与分别为的最大､最小角，设， 由，可得， 由可知, 所以. 故选：D. 1．已知是圆的直径，是圆上两点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设弦MN的中点为，由，得， 由为MN的中点，得，设向量与的夹角为， ，又， 所以的最小值为. 故选：D 2．已知，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【解析】因为，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，   ，此时. 故选：C 3．已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】记圆心到直线的距离为，则． 因为， 所以当直线与垂直，即时，的值最小， 故． 故选：B. 4．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最小值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】C 【解析】对A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A选项错误. 对B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且， 根据对称性知的最小值为，B选项不正确； 对C，直线，即，过定点， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为， 即，解得，所以C选项正确； 对D，圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D选项错误. 故选：C 5．已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】根据，则直线的方程为，即， 又由，则圆心为， 则， 所以点到直线的最小值， . 故选：C 6．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，、，点满足．设点的轨迹为，则下列说法错误的是（    ） A．轨迹的方程为 B．面积最大值为 C．若，则的最大值为 D．在上存在点，使得 【答案】D 【解析】设，不与、重合， 由、，有，， ，即，化简得， 所以点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，如图所示， 对于A选项，由曲线的方程为，选项A正确； 对于B选项，由图可知，当时，点到直线的距离取最大值， 所以，，B对； 对于C选项，设，可得， 由题意可知，直线与圆有公共点，则， 解得，故的最大值为，C对； 对于D选项，设，由得， 化简得，因为， 所以上不存在点，使得，故D错误. 故选：D. 7．在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最大值为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】D 【解析】设， 因为，则， 整理可得，可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 则，可得，当且仅当点为时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 8．已知圆是圆上的两个动点，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图， 圆，圆心为点，设线段的中点为， 得，所以点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 即为可看作点到直线的距离， 同理，可看作点到直线的距离， 因此可看作点到直线的距离， 于是点到直线的距离最大值即，则，即，故D正确． 故选：D 9．已知实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 所以点在圆上，其中圆心为，半径为， 又，其中表示点与点连线的斜率， 又，所以点在圆外， 由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设过点的直线的方程为， 即，则，解得或， 即的最大值为，最小值为， 所以的最大值为. 故答案为： 10．在平面直角坐标系中，，若点P满足，则面积的最大值为 . 【答案】 【解析】设，由， 得，整理得， 即，即点P的轨迹是以为圆心，半径的圆， 则面积的最大值为. 故答案为：. 11．已知直线与圆交于A，B两点，则面积的最大值为 ． 【答案】 【解析】直线可化为，直线过点， 因为，所以点在圆内，且. 如图，过点作于点，则， 设，则， 在中，，故，，， 所以的面积为，面积最大值为. 故答案为：. 12．已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是 . 【答案】 【解析】设直线：，半圆：， 则表示半圆弧上的任意一点到直线的距离大于或等于，即原点到直线的距离大于或等于， 即，解得， 所以实数的最大值为. 13．已知圆，点，，点为圆上的动点，则的最大值是 . 【答案】74 【解析】设点.∵点，，， 其中的几何意义为：点到原点的距离的平方. ∵点为圆上的动点，圆心到原点的距离为5， ∴点到原点的距离的最大值为5+1=6， 的最大值为. 故答案为：74. 1．已知点是圆上的两个动点，点是直线上动点，且，下列说法正确的是（   ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．长的最小值为 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 【答案】D 【解析】A.由题意得，圆心，半径， ∴圆心到直线的距离为， ∵， ∴圆上有两个点到直线的距离为，选项A错误. B. 如图， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，有最小值， 当，即为圆心到直线的距离时，， ∴，选项B错误. C. 由题意得，， ∴四边形面积为：， 由选项B可知，选项C错误. D.设， ∵是圆的切线， ∴点在以为直径的圆上. ∵， ∴以为直径的圆为， 整理得， 与圆方程相减得直线方程为： ， 由得，即直线恒过定点，选项D正确. 故选：D. 2．若过点的直线与圆交于M，N两点，则弦长的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】可化为，可得圆心，半径． 当时，最小，此时点到的距离， 所以的最小值为. 故选：C 3．已知点，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A． B．9 C．5 D．6 【答案】D 【解析】由点，得直线，圆的圆心，半径，点C到直线的距离， 因此点P到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值为. 故选：D. 4．已知点是坐标原点，点是圆上的动点，当动点在直线上运动时，的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【解析】设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由题意可知：圆的圆心为，半径， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当三点共线时，等号成立， 综上所述：当且仅当时，的最小值为6. 故选：B. 5．已知圆，直线，若与圆交于两点，设坐标原点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由于， 故恒过定点，这恰好是圆的圆心，同样记该点为. 所以，且，同时显然有. 所以. 从而，得. 故 ，从而，故. 另一方面，对，，直接计算可知的中点为，且 . 故均在圆上，此时， 而，故. 综上，的最大值是. 故选：C. 6．已知实数x，y满足，则的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】D 【解析】在方程中，用换方程不变，用换方程不变， 因此曲线关于x轴和y轴对称， 当，时，方程为，即， 方程表示的曲线如图（含原点）： 令，则表示过点的直线（不含点）， 观察图知，当直线与曲线在第四象限部分半圆（圆心为，半径为）相切时，斜率最大， 由圆心到直线的距离为得，，而，解得， 所以的最大值为 故选：D 7．（多选题）已知，，是曲线上的任意一点，若的值与无关，则（   ） A．m的取值范围为 B．n的取值范围为 C．的最大值为7 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】由曲线，得，则（）， 所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）. 设直线：与：， 由， 得表示点到直线和的距离和的倍， 对于AB，若的值与无关， 则该曲线在两平行直线：与：之间， 当与该曲线相切时，，解得， 则的取值范围为， 当经过点时，，解得， 则的取值范围为，故A正确，B错误； 对于C，由图知，当点的坐标为时， 点到直线的距离最大，为， 所以的最大值为7，故C正确； 对于D，由图可知，当与该曲线相切，且经过点时， 点到直线和的距离和最小， 此时， 则点到直线和的距离和最小值为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 8．（多选题）已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．直线被圆截得的弦长为 B．的最大值 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】CD 【解析】对于A选项，实数、满足方程， 所以把看作是以为圆心，以为半径的圆上点， 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离， 于是弦长，故A错误； 对于B选项，原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为， 所以，即， 所以的最大值为，故B错误； 对于C选项，令，则直线与圆有公共点，所以，， 解得，所以的最大值为，故C正确； 对于D选项，令，则直线与圆有公共点，所以， 解得，所以的最大值为，故D正确. 故选：CD. 9．（多选题）若圆：与圆：的交点为，，则（   ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．过点作圆：的切线方程为 D．若实数，满足圆：，则的最大值为2 【答案】ACD 【解析】圆：的圆心， 圆：的圆心， 两圆方程相减可得：，即公共弦所在直线方程为，故A正确； 线段中垂线即为直线，所以方程为：， 化简可得：，故B错； 点在圆：上，所以切线与圆心和切点的连线垂直， 切线斜率为：，故切线方程为，即，C正确. 令，则，代入得 ，整理得， 方程有解，故，解得， 则的最大值为，D正确； 故选：ACD 10．已知，（，），动圆（）经过原点，且圆心在直线上.当直线的斜率取最大值时， . 【答案】 【解析】依题意得 , ， 则直线 的斜率为 . 因为 当且仅当 , 即 时, 等号成立,所以 , 即当直线 的斜率取最大值时， ， 所以 ,故 . 故答案为：. 11．已知点均在圆上，点是圆上的点，则圆的一般方程是 ，的最大值为 ． 【答案】 【解析】由题可得直线斜率为0，直线的斜率不存在，可得， 从而可得为圆的直径， 故圆方程为， 化为一般方程为， 圆心，半径为 表示点到原点距离的平方， 即． 因为，则， 即， 即的最大值为． 故答案为：；. 12．如图，在中，，，P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，则当取最大值时， ． 【答案】/ 【解析】 如图所示，以为坐标原点，以方向为x轴，垂直方向为y轴，建立平面直角坐标系， 因为，，所以，． 设，圆O方程为， 则，， 所以． 因为，当时，， 此时，且，， 所以，，则． 故答案为：. 13．在平面直角坐标系xOy中，点，，点满足.设点的轨迹为，给出下列四个结论： （1）当三点不共线时，面积的最大值为12； （2）在轴上存在异于的两定点使得； （3）当三点不共线时，射线是的平分线； （4）在上存在点，使得. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】（1）（2）（3） 【解析】设，由得，， 化简得，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆. （1） 如图，，点在上运动时，点到直线的最大距离为， ∴面积的最大值为，（1）正确. （2）设，由得，， 化简得， ∵点的轨迹方程为，即， ∴，解得或（舍去）， ∴存在使得，（2）正确. （3）∵， ∴， 由角平分线定理的逆定理得射线是的平分线，（3）正确. （4）设在上存在点，则，， 由得， 化简得， 联立与，方程组无解， ∴不存在点，使得，（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3）. 14．已知点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设，， 所以有， 因为点在圆上， 所以有， 显然，得， 故联立，得， 由题可知方程有解， 得，解得. 因为，所以的最大值为. 故答案为： 15．已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】设，， 因为，，所以、为圆上的两点.如图： 则. 又，所以， 取中点，则. 作直线：，作，，，，垂足分别为，，，. 所以 又，所以. 即. 所以. 故答案为： 1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【解析】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时. 故选：C 3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【解析】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$