第八章 向量的数量积与三角恒等变换高频考点复习（十四大考点）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

第八章 向量的数量积与三角恒等变换高频考点复习 01思维导图 02考点复习 考点一：平面向量数量积的运算 【解题必备】向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 1．向量，的夹角为，且，则（   ） A．5 B．3 C．1 D．0 2．设向量、的夹角的余弦值为，且，，则 . 3．在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则 . 4．如图，在方格边长为1的方格纸中，向量的起点和终点均在格点上，则 . 5．已知向量，，则 . 考点二：平面向量的投影问题 【解题必备】将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 6．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．设是两个不共线的向量，是在上的投影向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．若向量，，则在方向上的投影向量坐标为 . 10．已知向量，向量在上的投影向量的坐标为，则 . 考点三：平面向量的夹角问题 【解题必备】（1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； （2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 11．已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 12．若单位向量满足．则的夹角为（   ） A． B． C． D． 13．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为 . 14．已知向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 15．已知向量且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 考点四：平面向量的模长问题 【解题必备】（1）求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并应用,勿忘记开方； （2）若,则,于是有 16．已知平面向量，满足，则 ． 17．已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 18．已知空间向量和的夹角为，，，则 . 19．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（    ） A． B． C．3 D．7 20．已知向量，且向量与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点五：平面向量垂直问题 21．已知平面向量，满足，，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 22．已知向量满足，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 24．已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 25．在平面直角坐标系中，点，，，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 考点六：两角和与差的三角公式 【解题必备】（1）正用和差角公式“展开”含有特殊角的三角式,然后合并可以化简某些特殊结构的三角式.；（2）含有两个角的正、余弦值的积的和或差的三角式,若不符合和差角公式结构,通过诱导公式凑为和差角公式的结构形式,然后逆用公式“合并”为一个三角式,若为特殊角则需要求值. 26．已知，则 ． 27．已知，则 . 28．已知，，则 ； ． 29．已知，则（    ） A． B． C． D． 30．已知，，则的大小关系是 （用“”连接）． 考点七：倍角公式与半角公式 【解题必备】（1）二倍角正弦公式的正用；看到同角的正弦和余弦相乘，可逆用；（2）二倍角余弦公式的正用；看到同角的正弦平方或者余弦平方，可逆用 31．已知且，求： (1)； (2)． 32．设，若，则（    ） A． B． C． D． 33．已知． (1)求的值； (2)求的值． 34．设，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 35．已知为三角形的内角，且，则（    ） A． B． C． D． 考点八：和差化积与积化和差 36．已知，则 ． 37．求的值． 38．计算 . 39．把下列各式化成积的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 40．将下列各式化成积的形式： (1)； (2)． 考点九：三角恒等变换给角求值问题 41． （    ）． A． B． C． D． 42．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”又称黄金分割法在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用经研究，黄金分割比还可以表示成，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 43．（多选）下列式子计算结果为的有（    ） A． B． C． D． 44． ． 45．（多选）下列代数式的值为的是（    ） A． B． C． D． 考点十：三角恒等变换给值求值问题 【解题必备】（1）已知的某个三角函数值,求的三角函数值,应先根据的范围,求出的其他三角函数值,再根据二倍角公式求的三角函数值. （2）若已知与一个确定的角(如等)的和差三角函数值,求与一个确定角的三角函数值,应分析已知角与待求角之间的关系,根据式子特点,构造出二倍角的形式后,整体代入求解. 46．若，则（   ） A． B． C． D． 47．已知，，且，，则（   ） A． B． C． D． 48．已知，则（   ） A． B． C． D． 49．已知，，则（） A． B． C． D． 50．若，则（    ） A． B． C． D． 考点十一：三角恒等变换给值求角问题 【解题必备】转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角. 已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数：若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦；若角的范围是，选正弦. 51．若，且，则 . 52．已知、，，，则（    ） A． B． C． D． 53．已知锐角，满足，，求的值． 54．已知均为钝角，，且，则（    ） A． B． C． D． 55．已知，其中． (1)求的值； (2)若，求的值． 考点十二：三角恒等变换化简证明 56．已知，求证：． 57．求证：. 58．求证： ． 59．求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 60．以表示的结果为（    ） A． B． C． D． 考点十三：三角形中的三角恒等变换 61． 中，若，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 62．已知中，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 63．在△ABC中，若，则△ABC为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 64．在中，已知，那么一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．形状无法确定 65．在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 考点十四：三角恒等变换的实际应用 66．已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点.ABCD是扇形的内接矩形，记，矩形的面积为. (1)当时，求矩形的面积的值. (2)求关于角的解析式，并求的最大值. 67．某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2所示，若圆O的半径为10cm，，，甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，（    ） A．10cm B． C． D． 68．如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 69．在这春光明媚的季节里，2021江苏省梁丰高级中学“校长杯”班级足球联赛正如火如荼地举行，在高一年级某场比赛中，两个班级的比赛场地为矩形（如图），现已知矩形中米，米，宽为5米的足球门在边的中间放置. （1）比赛中，同学甲在距离为18米，离为12米的地点处获得直接任意球机会，准备直接射门，求其有效射门角度；（求出的某个三角函数值即可） （2）同学乙在边线上带球突破（视作点在边上移动），准备起脚向球门射门，求该同学应在何处（长为多少米时）射门角度最佳.（即使最大） （以上问题不考虑场上其他因素） 70．为落实《中共中央、国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，加快构建德智体美劳全面培养的教育体系，开齐、开足、开好德育、体育、美育、劳动教育课程，某校成立了劳技兴趣小组．为了迎接“五一”晚会，该小组制作了一个半径为的圆形灯箱，其发光部分为该圆内的一个关于圆心对称的“工”型，“工”型由横、竖、横三个等宽的矩形组成，两个横向矩形全等且它们的长边是竖直矩形的长边的倍，设为圆心，，“工”型的面积记为． （1）将表示为的函数； （2）为了使得灯箱亮度最大，设计时应使尽可能大，则当为何值时，最大？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换高频考点复习 01思维导图 02考点复习 考点一：平面向量数量积的运算 【解题必备】向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 1．向量，的夹角为，且，则（   ） A．5 B．3 C．1 D．0 【答案】C 【详解】. 故选：C. 2．设向量、的夹角的余弦值为，且，，则 . 【答案】 【详解】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以. 故答案为：. 3．在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则 . 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 4．如图，在方格边长为1的方格纸中，向量的起点和终点均在格点上，则 . 【答案】 【详解】 如图将向量放入平面直角坐标系中， 则，，， 则，故. 故答案为：. 5．已知向量，，则 . 【答案】 【详解】由题意可得：， 所以， 故答案为： 考点二：平面向量的投影问题 【解题必备】将已知量代入在方向上的投影向量公式 (是与方向相同的单位向量,且)中计算即可. 6．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为，， 所以， 所以向量在向量方向上的投影向量， 故选：A 7．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为 . 故选：A. 8．设是两个不共线的向量，是在上的投影向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，由题意可设， 对于A，由数量积的定义可得，故A错误； 对于B，根据向量数量积的定义得，故B正确； 对于C，设，则，由于可以为任意正数，故C错误； 对于D，由数量积的定义可得，故D错误； 故选：B. 9．若向量，，则在方向上的投影向量坐标为 . 【答案】 【详解】向量，，则， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 10．已知向量，向量在上的投影向量的坐标为，则 . 【答案】 【详解】因为，则， 则向量在上的投影向量为， 又向量在上的投影向量的坐标为， 所以，即. 故答案为： 考点三：平面向量的夹角问题 【解题必备】（1）求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； （2）在个别含有与的等量关系式中,常利用消元思想计算的值. 11．已知非零向量，满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设非零向量，的夹角为， 所以在向量方向上的投影向量为， 又，所以， 所以与夹角的余弦值为. 故选：. 12．若单位向量满足．则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，， 由得， 即，所以， 设与的夹角为， 所以， 又，所以. 故选：C 13．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为 . 【答案】 【详解】因为是夹角为的两个单位向量，所以， 所以，则与的夹角为. 故答案为：. 14．已知向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】由， 由. 所以向量与夹角为钝角时，且. 故选：B 15．已知向量且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又，所以， 则，解得，则， 所以， 又，所以. 故选：B. 考点四：平面向量的模长问题 【解题必备】（1）求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并应用,勿忘记开方； （2）若,则,于是有 16．已知平面向量，满足，则 ． 【答案】 【详解】由，可得，所以， 所以，又，所以， 所以. 故答案为：. 17．已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，则，得到， 所以在上的投影向量是， 故选：B. 18．已知空间向量和的夹角为，，，则 . 【答案】 【详解】. 故答案为： 19．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（    ） A． B． C．3 D．7 【答案】B 【详解】因向量在向量上的投影向量是，则， 故，于是. 故选：B. 20．已知向量，且向量与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 考点五：平面向量垂直问题 21．已知平面向量，满足，，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由可得，故， 又，故，故， 故选：C 22．已知向量满足，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法1、因为，所以， 因为，，所以，解得， 则或，解得，则的取值范围为． ［易错］容易忽略作为分式的分母不能为0以及，从而导致取值范围错误． 方法2、 如图，设，则，， 因为，则， 当时，，且； 当时，，所以的取值范围为． 故选：C 23．已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由，得， 即，解得， 所以． 故选：D 24．已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由题，，，则， 又，即， ，解得. 故选：B. 25．在平面直角坐标系中，点，，，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，，所以，， 又，所以， 所以， 因为，所以，即， 解得，所以，所以． 故选：A． 考点六：两角和与差的三角公式 【解题必备】（1）正用和差角公式“展开”含有特殊角的三角式,然后合并可以化简某些特殊结构的三角式.；（2）含有两个角的正、余弦值的积的和或差的三角式,若不符合和差角公式结构,通过诱导公式凑为和差角公式的结构形式,然后逆用公式“合并”为一个三角式,若为特殊角则需要求值. 26．已知，则 ． 【答案】/ 【详解】由题意得，， 则， 化简得，解得. 故答案为：. 27．已知，则 . 【答案】 【详解】， ， 又，， . 故答案为：. 28．已知，，则 ； ． 【答案】 /0.6 / 【详解】由题意知； 又，  ①， 将①式等号两边同时平方，得，解得． ，，则． ，  ②． 由①②得，，． 故答案为：； 29．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以 . 故选：A. 30．已知，，则的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【详解】， ， 根据余弦函数单调性可得， 故答案为：． 考点七：倍角公式与半角公式 【解题必备】（1）二倍角正弦公式的正用；看到同角的正弦和余弦相乘，可逆用；（2）二倍角余弦公式的正用；看到同角的正弦平方或者余弦平方，可逆用 31．已知且，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 于是， ， 所以． （2） ． 32．设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：因为，， 所以，即， 又，， 所以， 解法二：因为 ， 故选：D． 33．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）， 故． （2）， 则有，解得或． 34．设，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】因为，则，所以或， 则“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 35．已知为三角形的内角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为三角形的内角，， 所以 . 故选：B 考点八：和差化积与积化和差 36．已知，则 ． 【答案】/ 【详解】由得①， 由得②， 得． 故答案为：. 37．求的值． 【答案】 【详解】原式 ． 故答案为： 38．计算 . 【答案】2 【详解】分母 ， 分子 ， 所以原式. 故答案为：2. 39．把下列各式化成积的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 40．将下列各式化成积的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） . （2）. 考点九：三角恒等变换给角求值问题 41． （    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：. 故选：D. 42．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”又称黄金分割法在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用经研究，黄金分割比还可以表示成，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【详解】由题意知，， 则 . 故选：C 43．（多选）下列式子计算结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D正确； 故选：BCD. 44． ． 【答案】 【详解】原式， 故答案为：. 45．（多选）下列代数式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，； 对于D选项， . 故选：BCD. 考点十：三角恒等变换给值求值问题 【解题必备】（1）已知的某个三角函数值,求的三角函数值,应先根据的范围,求出的其他三角函数值,再根据二倍角公式求的三角函数值. （2）若已知与一个确定的角(如等)的和差三角函数值,求与一个确定角的三角函数值,应分析已知角与待求角之间的关系,根据式子特点,构造出二倍角的形式后,整体代入求解. 46．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 即，， 两边平方得，即， 解得. 故选：B 47．已知，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由则， ， ，可得①， ，则或， 由①可得，, ； 故选：B. 48．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，则， 即， 即， 即， 所以. 故选：C. 49．已知，，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知, 则 故选:. 50．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于 ， 代入原式中得：，解得：； 又. 故选：D 考点十一：三角恒等变换给值求角问题 【解题必备】转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角. 已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数：若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦；若角的范围是，选正弦. 51．若，且，则 . 【答案】 【详解】因，所以，又，所以. 根据，得，同时也能确定. 因为，所以. . 所以 因为，所以. 在这个区间内，时，. 故答案为：. 52．已知、，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为、，则， 由题意可得，解得， 所以，，故. 故选：D. 53．已知锐角，满足，，求的值． 【答案】 【详解】由，，且，可知，，． ． 又，，，． 54．已知均为钝角，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 即，得，由，且均为钝角， 所以， ， ， 由，所以，所以. 故选：C 55．已知，其中． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以，所以， ， 所以， 所以； （2）由（1）得， 则， 因为，所以， 所以， 所以， 即，所以， ， 即， 所以. 考点十二：三角恒等变换化简证明 56．已知，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】因为，所以． 即． 去分母，得． 又 ， 所以， 即， 所以， 于是， 故． 57．求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明： ， 即. 58．求证： ． 【答案】证明见解析. 【详解】证明：因. 则， . 故左边 右边. 59．求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)证明见详解 (4)证明见详解 【详解】（1）因为左边， 右边， 所以左边=右边，原等式成立. （2）因为左边右边， 所以，原等式成立. （3）因为左边右边， 所以，原等式成立. （4）因为左边右边， 所以，原等式成立. 60．以表示的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】． 故选：D. 考点十三：三角形中的三角恒等变换 61． 中，若，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】中，若， 则,即， 故，而 ， 故, 故为直角三角形， 故选：B 62．已知中，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【详解】由题意， ，又 为钝角，故是钝角三角形 故选：A 63．在△ABC中，若，则△ABC为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【详解】由题意，，又， ∴，即，， ∴当时，；当时，，又，则； ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 64．在中，已知，那么一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．形状无法确定 【答案】A 【详解】解：在中，， ， 即， ， ， ． 一定是等腰三角形． 故选：． 65．在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【详解】因为 ， 所以在中，，即一定是直角三角形． 故选：B 考点十四：三角恒等变换的实际应用 66．已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点.ABCD是扇形的内接矩形，记，矩形的面积为. (1)当时，求矩形的面积的值. (2)求关于角的解析式，并求的最大值. 【答案】(1) (2)； 时，. 【详解】（1）在中，，，在中，， ∴，∴， ∴ . 当时，. （2）由（1）知 由得，所以当，即时，. 67．某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2所示，若圆O的半径为10cm，，，甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，（    ） A．10cm B． C． D． 【答案】B 【详解】过O点作，分别交BC，AD于E，F两点，如图所示 设，则，， 由，，得， 则，， ， 当，即时，OB取得最大值， 此时 故选：B. 68．如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【详解】过点作，垂足为点，设，，且，， 由题意可得，， 所以， ， 因为， 令，则 ， 当且仅当时，等号成立， 故（千米）. 故选：D. 69．在这春光明媚的季节里，2021江苏省梁丰高级中学“校长杯”班级足球联赛正如火如荼地举行，在高一年级某场比赛中，两个班级的比赛场地为矩形（如图），现已知矩形中米，米，宽为5米的足球门在边的中间放置. （1）比赛中，同学甲在距离为18米，离为12米的地点处获得直接任意球机会，准备直接射门，求其有效射门角度；（求出的某个三角函数值即可） （2）同学乙在边线上带球突破（视作点在边上移动），准备起脚向球门射门，求该同学应在何处（长为多少米时）射门角度最佳.（即使最大） （以上问题不考虑场上其他因素） 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）分别作，，垂足分别为，， 由题意可知米，米，米，米，所以米，米，在中，，在中，， ∴ （2）设，，，， 当且仅当时等号成立，此时最大， 所以该同学应在距离点为时射门角度最佳 70．为落实《中共中央、国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，加快构建德智体美劳全面培养的教育体系，开齐、开足、开好德育、体育、美育、劳动教育课程，某校成立了劳技兴趣小组．为了迎接“五一”晚会，该小组制作了一个半径为的圆形灯箱，其发光部分为该圆内的一个关于圆心对称的“工”型，“工”型由横、竖、横三个等宽的矩形组成，两个横向矩形全等且它们的长边是竖直矩形的长边的倍，设为圆心，，“工”型的面积记为． （1）将表示为的函数； （2）为了使得灯箱亮度最大，设计时应使尽可能大，则当为何值时，最大？ 【答案】（1），；（2）． 【详解】（1）取的中点，连接交于， 由，可得，，且，， 由题意可得， ， 由，可得，由于，则，则， 则，； （2） ， 由，可得， 当时，即当时，取得最大值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$